Поликуб

Поликуб кубов — это объемная фигура, образованная путем соединения одного или нескольких равных лицом к лицу. Поликубы — это трехмерные аналоги плоских полимино . Куб Сомы , куб Бедлама , Дьявольский куб , головоломка Слотубера-Граатсмы и головоломка Конвея — примеры задач упаковки, основанных на поликубах. ^[1]

Перечисление поликубов

Как и полимино , поликубы можно нумеровать двумя способами, в зависимости от того, считаются ли киральные пары поликубов (эквивалентные зеркальным отражением , а не использованием только сдвигов и вращений) одним поликубом или двумя. Например, 6 тетракубов являются ахиральными, а один - хиральным, что дает соответственно 7 или 8 тетракубов. ^[2] В отличие от полимино, поликубы обычно считаются с выделенными парами зеркал, потому что поликуб нельзя перевернуть, чтобы отразить его, как это можно сделать с полимино, имеющим три измерения. В частности, куб Сома использует обе формы хирального тетракуба.

Поликубы классифицируются по количеству кубических ячеек: ^[3]

н	Имя n -поликуба	Количество односторонних n -поликубов (отражения считаются отчетливыми) (последовательность A000162 в OEIS )	Количество свободных n -поликубов (отражения считаются вместе) (последовательность A038119 в OEIS )
1	монокуб	1	1
2	двукубический	1	1
3	трикуб	2	2
4	тетракуб	8	7
5	пентакуб	29	23
6	шестигранник	166	112
7	семикуб	1023	607
8	октакуб	6922	3811

Фиксированные поликубы (как отражения, так и вращения считаются отдельными (последовательность A001931 в OEIS )) и односторонние поликубы нумеруются до n = 22. Свободные поликубы пронумерованы до n =16. ^[4] Совсем недавно были исследованы конкретные семейства поликубов. ^[5]^[6]

Симметрии поликубов

Как и полимино, поликубы можно классифицировать в зависимости от того, сколько у них симметрий. Симметрии поликуба (классы сопряженности подгрупп ахиральной октаэдрической группы ) были впервые перечислены У. Ф. Лунноном в 1972 году. Большинство поликубов асимметричны, но многие имеют более сложные группы симметрии, вплоть до полной группы симметрии куба с 48 элементами. . Возможны многочисленные другие симметрии; например, существует семь возможных форм 8-кратной симметрии. ^[2]

Свойства пентакубов

12 пентакубов плоские и соответствуют пентамино . Из оставшихся 17 5 обладают зеркальной симметрией, а остальные 12 образуют 6 киральных пар.

Ограничительные рамки пентакубов имеют размеры 5×1×1, 4×2×1, 3×3×1, 3×2×1, 3×2×2 и 2×2×2. ^[7]

Поликуб может иметь до 24 ориентаций в кубической решетке или 48, если разрешено отражение. Из пентакубов 2 плоские (5-1-1 и крест) имеют зеркальную симметрию по всем трем осям; они имеют только три направления. 10 имеют одну зеркальную симметрию; они имеют 12 направлений. Каждый из оставшихся 17 пентакубов имеет 24 ориентации.

Развертки октакуба и гиперкуба

Тессеракт , и так же , (четырехмерный гиперкуб ) имеет восемь кубов в качестве граней как куб можно развернуть в гексомино , тессеракт можно развернуть в октакуб. Одно развертывание, в частности, имитирует хорошо известное развертывание куба в латинский крест : оно состоит из четырех кубиков, сложенных один на другой, а еще четыре кубика прикреплены к открытым квадратным граням второго сверху. куб стопки, чтобы сформировать трехмерную форму двойного креста . Сальвадор Дали использовал эту форму в своей картине «Распятие» (Corpus Hypercubus) 1954 года. ^[8] и это описано в Роберта А. Хайнлайна рассказе 1940 года « И он построил кривой дом ». ^[9] В честь Дали этот восьмикуб был назван крестом Дали . ^[10]^[11] Он может плиткой пространство . ^[10]

В более общем плане (отвечая на вопрос, заданный Мартином Гарднером в 1966 году), из всех 3811 различных свободных октакубов 261 являются развертками тессеракта. ^[10]^[12]

Граничная связь

Хотя кубы поликуба должны быть соединены квадрат с квадратом, квадраты его границы не обязательно должны быть соединены ребром с ребром.Например, 26-куб, образованный путем создания сетки кубов 3×3×3 с последующим удалением центрального куба, является действительным поликубом, в котором граница внутренней пустоты не соединена с внешней границей. Также не требуется, чтобы граница поликуба образовывала многообразие .Например, один из пятикубов состоит из двух кубов, соприкасающихся ребром к ребру, так что ребро между ними является стороной четырех граничных квадратов.

Если поликуб обладает дополнительным свойством, заключающимся в том, что его дополнение (множество целочисленных кубов, не принадлежащих поликубу) соединено путями кубов, пересекающимися квадрат с квадратом, то граничные квадраты поликуба обязательно также соединены путями квадратов, соприкасающихся от края до края. ^[13] То есть в этом случае граница образует полиминоид .

Нерешенная задача по математике :

Можно ли любой поликуб со связной границей развернуть в полимино? Если да, то можно ли каждый такой поликуб развернуть в полимино, замощающее плоскость?

(еще нерешенные задачи по математике)

Каждый $k$ -куб с $k <7$ , а также крест Дали (с $k = 8$ ) можно развернуть в полимино, которое замостит плоскость. остается открытым . Вопрос о том, можно ли развернуть каждый поликуб со связной границей в полимино, или это всегда можно сделать с дополнительным условием, что полимино замостит плоскость, ^[11]

Двойной график

Структуру поликуба можно визуализировать с помощью «двойного графа», в котором есть вершина для каждого куба и ребро для каждых двух кубов, имеющих общий квадрат. ^[14] Это отличается от одноименных понятий двойственного многогранника и двойственного графа к графу, вложенному в поверхность.

Двойственные графы также использовались для определения и изучения специальных подклассов поликубов, например тех, чей двойственный граф является деревом. ^[15]

См. также

Ссылки

^ Вайсштейн, Эрик В. «Поликуб». Из MathWorld
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ланнон, В.Ф. (1972), «Симметрия кубических и общих полимино», в книге Рид, Рональд К. (редактор), Теория графов и вычисления , Нью-Йорк: Academic Press, стр. 101–108, ISBN 978-1-48325-512-5
^ Поликубы, на Poly Pages
^ Перечисление поликубов Кевином Гонгом
^ «Перечисление конкретных классов поликубов», Жан-Марк Шампарно и др., Руанский университет, Франция PDF
^ «Свертка Дирихле и перечисление поликубов-пирамид», К. Карре, Н. Дебру, М. Денёфшатель, Ж. Дюбернар, К. Хилларе, Ж. Люк, О. Малле; 19 ноября 2013 г. PDF
^ Аартс, Рональд М. «Пентакуб» . Из МатМира.
^ Кемп, Мартин (1 января 1998 г.), «Измерения Дали», Nature , 391 (27): 27, Бибкод : 1998Natur.391...27K , doi : 10.1038/34063
^ Фаулер, Дэвид (2010), «Математика в научной фантастике: математика как научная фантастика», World Literature Today , 84 (3): 48–52, doi : 10.1353/wlt.2010.0188 , JSTOR 27871086 , S2CID 115769478 , «И» Роберта Хайнлайна Он построил кривой дом», опубликованный в 1940 году, и «Безсторонний профессор» Мартина Гарднера, опубликованный в 1946 году, являются одними из первых в научной фантастике, которые знакомят читателей с лентой Мебиуса, бутылкой Клейна и гиперкубом (тессерактом). ). .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Диас, Джованна; О'Рурк, Джозеф (2015), Гиперкуб, разворачивающий эту плитку $\mathbb {R} ^{3}$ и $\mathbb {R} ^{2}$ , arXiv : 1512.02086 , Bibcode : 2015arXiv151202086D .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Лангерман, Стефан ; Уинслоу, Эндрю (2016), «Развертки Поликуба, удовлетворяющие критерию Конвея» (PDF) , 19-я Японская конференция по дискретной и вычислительной геометрии, графикам и играм (JCDCG^3, 2016) .
^ Терни, Питер (1984), «Развертывание тессеракта», Журнал развлекательной математики , 17 (1): 1–16, MR 0765344 .
^ Багчи, Амитабха; Бхаргава, Анкур; Чаудхари, Амитабх; Эппштейн, Дэвид ; Шайделер, Кристиан (2006), «Влияние сбоев на расширение сети», Теория вычислительных систем , 39 (6): 903–928, arXiv : cs/0404029 , doi : 10.1007/s00224-006-1349-0 , MR 2279081 , S2CID 9332443 . См., в частности, лемму 3.9, с. 924, в котором говорится об обобщении этого свойства связности границ на многомерные поликубы.
^ Бареке, Ронни; Барекет, Гилл; Роте, Гюнтер (2010), «Формулы и скорости роста многомерных поликубов», Combinatorica , 30 (3): 257–275, CiteSeerX 10.1.1.217.7661 , doi : 10.1007/s00493-010-2448-8 , MR 2728490 , S2CID 18571788 .
^ Алупи, Грег; Бозе, Просенжит К .; Коллетт, Себастьян; Демейн, Эрик Д .; Демейн, Мартин Л .; Дуеб, Карим; Дуймович, Вида ; Яконо, Джон ; Лангерман, Стефан ; Морин, Пэт (2011), «Общие развертки полимино и поликубов», Вычислительная геометрия, графики и приложения (PDF) , Конспекты лекций по Comput. наук, том. 7033, Springer, Heidelberg, стр. 44–54, doi : 10.1007/978-3-642-24983-9_5 , hdl : 1721.1/73836 , MR 2927309 .

Внешние ссылки

Деревянный пазл-гексакуб от Kadon
Поликубические симметрии
Программа решения Polycube (с исходным кодом Lua) для заполнения ящиков поликубами с использованием алгоритма X.

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Поликуб». Из MathWorld

[symmetry-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ланнон, В.Ф. (1972), «Симметрия кубических и общих полимино», в книге Рид, Рональд К. (редактор), Теория графов и вычисления , Нью-Йорк: Academic Press, стр. 101–108, ISBN 978-1-48325-512-5

[3] Поликубы, на Poly Pages

[4] Перечисление поликубов Кевином Гонгом

[5] «Перечисление конкретных классов поликубов», Жан-Марк Шампарно и др., Руанский университет, Франция PDF

[6] «Свертка Дирихле и перечисление поликубов-пирамид», К. Карре, Н. Дебру, М. Денёфшатель, Ж. Дюбернар, К. Хилларе, Ж. Люк, О. Малле; 19 ноября 2013 г. PDF

[7] Аартс, Рональд М. «Пентакуб» . Из МатМира.

[8] Кемп, Мартин (1 января 1998 г.), «Измерения Дали», Nature , 391 (27): 27, Бибкод : 1998Natur.391...27K , doi : 10.1038/34063

[9] Фаулер, Дэвид (2010), «Математика в научной фантастике: математика как научная фантастика», World Literature Today , 84 (3): 48–52, doi : 10.1353/wlt.2010.0188 , JSTOR 27871086 , S2CID 115769478 , «И» Роберта Хайнлайна Он построил кривой дом», опубликованный в 1940 году, и «Безсторонний профессор» Мартина Гарднера, опубликованный в 1946 году, являются одними из первых в научной фантастике, которые знакомят читателей с лентой Мебиуса, бутылкой Клейна и гиперкубом (тессерактом). ). .

[hut-10] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Диас, Джованна; О'Рурк, Джозеф (2015), Гиперкуб, разворачивающий эту плитку $\mathbb {R} ^{3}$ и $\mathbb {R} ^{2}$ , arXiv : 1512.02086 , Bibcode : 2015arXiv151202086D .

[pucc-11] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Лангерман, Стефан ; Уинслоу, Эндрю (2016), «Развертки Поликуба, удовлетворяющие критерию Конвея» (PDF) , 19-я Японская конференция по дискретной и вычислительной геометрии, графикам и играм (JCDCG^3, 2016) .

[12] Терни, Питер (1984), «Развертывание тессеракта», Журнал развлекательной математики , 17 (1): 1–16, MR 0765344 .

[13] Багчи, Амитабха; Бхаргава, Анкур; Чаудхари, Амитабх; Эппштейн, Дэвид ; Шайделер, Кристиан (2006), «Влияние сбоев на расширение сети», Теория вычислительных систем , 39 (6): 903–928, arXiv : cs/0404029 , doi : 10.1007/s00224-006-1349-0 , MR 2279081 , S2CID 9332443 . См., в частности, лемму 3.9, с. 924, в котором говорится об обобщении этого свойства связности границ на многомерные поликубы.

[14] Бареке, Ронни; Барекет, Гилл; Роте, Гюнтер (2010), «Формулы и скорости роста многомерных поликубов», Combinatorica , 30 (3): 257–275, CiteSeerX 10.1.1.217.7661 , doi : 10.1007/s00493-010-2448-8 , MR 2728490 , S2CID 18571788 .

[15] Алупи, Грег; Бозе, Просенжит К .; Коллетт, Себастьян; Демейн, Эрик Д .; Демейн, Мартин Л .; Дуеб, Карим; Дуймович, Вида ; Яконо, Джон ; Лангерман, Стефан ; Морин, Пэт (2011), «Общие развертки полимино и поликубов», Вычислительная геометрия, графики и приложения (PDF) , Конспекты лекций по Comput. наук, том. 7033, Springer, Heidelberg, стр. 44–54, doi : 10.1007/978-3-642-24983-9_5 , hdl : 1721.1/73836 , MR 2927309 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

v т и Полиформы
Полимино	Домино Тромино Тетромино Пентамино Гексомино Гептомино Октамино Нономино декомино
Высшие измерения	Полиоминоид Поликуб
Другие	Поляболо Полиграфик Полигекс Полиалмаз Псевдополимино Полистик
Игры и головоломки	Блоки Кубик сомы Змеиный куб Танграм Гексастикс Тантрикс Тетрис
ВикиПроект Портал