Призма (геометрия)
Набор однородных n -угольных призм | |
---|---|
Тип | однородный в смысле полуправильный многогранник |
Лица | 2 n -сторонних правильных многоугольника n квадратов |
Края | 33н |
Вершины | 22н |
Конфигурация вершин | 4.4. н |
Символ Шлефли | { п }×{ } [1] т{2, п } |
Обозначение Конвея | П н |
Диаграмма Кокстера | |
Группа симметрии | D n h , [ n ,2], (* n 22), порядок 4 n |
Группа ротации | Д н , [ н ,2] + , ( n 22), порядок 2 n |
Двойной многогранник | выпуклая дуально- однородная n -угольная бипирамида |
Характеристики | выпуклые, многоугольника правильные грани , изогональные , перенесенные основания, стороны ⊥ основания |
Сеть | |
Пример: сетка однородной эннеагональной призмы ( n = 9 ) |
В геометрии призма , — это многогранник состоящий из n- стороннего многоугольника в основании , второго основания, представляющего собой транслированную копию (жестко перемещаемую без вращения) первой, и n других граней , обязательно все параллелограммы , соединяющие соответствующие стороны двух оснований. . Все сечения, параллельные основаниям, являются трансляциями оснований. Призмы называются по основаниям, например, призма с пятиугольным основанием называется пятиугольной призмой. Призмы — подкласс призматоидов . [2]
Как и многие основные геометрические термины, слово «призма» (от греческого πρίσμα (призма) «что-то распиленное») впервые было использовано в «Началах» Евклида . Евклид определил этот термин в книге XI как «твёрдую фигуру, состоящую из двух противоположных, равных и параллельных плоскостей, а остальные являются параллелограммами». Однако это определение подвергалось критике за недостаточную конкретность в отношении природы оснований (что вызывает некоторую путаницу среди поколений более поздних авторов геометрии). [3] [4]
Косой против правого
[ редактировать ]Косая призма — это призма, у которой соединяемые ребра и грани не перпендикулярны основным граням.
Пример: параллелепипед — это наклонная призма, основанием которой является параллелограмм или, что то же самое, многогранник с шестью гранями параллелограмма.
Правильная — это призма , призма у которой соединяемые ребра и грани перпендикулярны основным граням. [5] Это применимо тогда и только тогда, когда все соединяемые грани прямоугольные .
Двойственной n прямой - призме является правая n - бипирамида .
Правая призма (с прямоугольными сторонами) с правильными n -угольными основаниями имеет символ Шлефли { }×{ n }. Он приближается к цилиндру , когда n приближается к бесконечности . [6]
Особые случаи
[ редактировать ]- Прямую прямоугольную призму (с прямоугольным основанием) еще называют кубоидом или неофициально прямоугольным ящиком . Прямоугольная призма имеет символ Шлефли { }×{ }×{ }.
- Прямоугольную призму (с квадратным основанием) также называют квадратным кубоидом или неофициально квадратной коробкой .
Примечание: в некоторых текстах термин «прямоугольная призма» или «квадратная призма» может применяться как к прямой призме с прямоугольным основанием, так и к призме с прямым квадратным основанием.
Типы
[ редактировать ]Правильная призма
[ редактировать ]Правильная призма – это призма с правильными основаниями.
Равномерная призма
[ редактировать ]Однородная призма или полуправильная призма — это прямая призма с правильными основаниями и всеми ребрами одинаковой длины.
Таким образом, все боковые грани однородной призмы являются квадратами .
Таким образом, все грани однородной призмы являются правильными многоугольниками. Кроме того, такие призмы изогональны ; таким образом, они являются однородными многогранниками . Они образуют одну из двух бесконечных серий полуправильных многогранников , другую серию образуют антипризмы .
Равномерная n -угольная призма имеет символ Шлефли t{2, n }.
Семейство однородных n -угольных призм |
---|
Характеристики
[ редактировать ]Объем
[ редактировать ]Объем основания призмы — это произведение площади на высоту, т. е. расстояние между двумя гранями основания (в случае непрямой призмы обратите внимание, что это означает расстояние по перпендикуляру).
Таким образом, объем составляет:
где B — площадь основания, а h — высота.
Следовательно, объем призмы, основанием которой является n -сторонний правильный многоугольник со стороной s , равен:
Площадь поверхности
[ редактировать ]поверхности Площадь прямой призмы равна:
где B — площадь основания, h — высота, P основания — периметр .
Следовательно, площадь поверхности прямой призмы, основанием которой является правильный n -сторонний многоугольник с длиной стороны s и высотой h , равна:
Симметрия
[ редактировать ]Группа симметрии правосторонней n -сторонней призмы с правильным основанием равна D n h порядка 4 n , за исключением куба, который имеет большую группу симметрии порядка Oh 48, которая имеет три версии D 4h как подгруппы . Группа вращения — это D n порядка 2 n , за исключением куба, который имеет большую группу симметрии O порядка 24, которая имеет три версии D 4 в качестве подгрупп.
Группа симметрии D n h содержит инверсию тогда и только тогда, когда n четно.
Осоэдры геометрического и диэдры также обладают двугранной симметрией, и n -угольная призма может быть построена путем усечения n - угольного осоэдра, а также путем сгибания или расширения n - угольного диэдра.
П3 | П4 | П5 | П6 | Р7 | Р8 |
Подобные многогранники
[ редактировать ]Усеченная призма
[ редактировать ]образуется Усеченная призма , когда призму разрезают плоскостью, не параллельной ее основаниям. У усеченной призмы основания не равны , а ее стороны не являются параллелограммами. [7]
Витая призма
[ редактировать ]— Скрученная призма это невыпуклый многогранник, построенный из однородной n -призмы, каждая боковая грань которой разделена пополам по диагонали квадрата, путем скручивания вершины, обычно на π / n радиан ( 180 / n градусов) в одном направлении, в результате чего стороны становятся вогнутыми. [8] [9]
Скрученную призму невозможно разрезать на тетраэдры без добавления новых вершин. Простейшая витая призма имеет треугольные основания и называется многогранником Шёнхардта .
n - угольная скрученная призма топологически идентична n -угольной однородной антипризме , но имеет половину группы симметрии : D n , [ n ,2] + , заказывайте 2 н . Его можно рассматривать как невыпуклую антипризму с удаленными тетраэдрами между парами треугольников.
3-угольный | 4-угольный | 12-угольный | |
---|---|---|---|
Многогранник Шёнхардта | Витая квадратная призма | Квадратная антипризма | Скрученная двенадцатиугольная антипризма |
Кусок
[ редактировать ]— Усеченная пирамида это конструкция, похожая на призму, с трапециевидными боковыми гранями и верхними и нижними многоугольниками разного размера.
Звездная призма
[ редактировать ]Звездная призма — это невыпуклый многогранник, построенный из двух одинаковых граней звездчатого многоугольника сверху и снизу, параллельных, смещенных на расстояние и соединенных прямоугольными гранями. Однородная звездная призма будет иметь символ Шлефли { p / q } × { }, с p прямоугольниками и 2 гранями { p / q } . Топологически она идентична p -угольной призме.
{ }×{ } 180 ×{ } | т а {3}×{ } | {5/2}×{ } | {7/2}×{ } | {7/3}×{ } | {8/3}×{ } | |
---|---|---|---|---|---|---|
Д 2ч , заказ 8 | Д 3ч , заказ 12 | Д 5ч , заказ 20 | Д 7ч , заказ 28 | Д 8ч , заказ 32 | ||
Перекрещенная призма
[ редактировать ]— Скрещенная призма невыпуклый многогранник, построенный из призмы, вершины одного основания которой перевернуты вокруг центра этого основания (или повернуты на 180°). Это преобразует боковые прямоугольные грани в скрещенные прямоугольники . Основание правильного многоугольника имеет вид n -угольных песочных часов . Все косые ребра проходят через один центр тела. Примечание: в центре тела нет вершин. Скрещенная призма топологически идентична n -угольной призме.
{ }×{ } 180 ×{ } 180 | т а {3}×{ } 180 | {3}×{ } 180 | {4}×{ } 180 | {5}×{ } 180 | {5/2}×{ } 180 | {6}×{ } 180 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Д 2ч , заказ 8 | Д 3д , заказать 12 | Д 4ч , заказ 16 | Д 5д , заказ 20 | Д 6д , заказ 24 | |||
Тороидальная призма
[ редактировать ]Тороидальная призма — это невыпуклый многогранник, подобный скрещенной призме , но без нижней и верхней граней основания, а также с простыми прямоугольными боковыми гранями, замыкающими многогранник. Это можно сделать только для односторонних базовых многоугольников. Это топологические торы с эйлеровой характеристикой нулевой . Топологическую многогранную сеть можно вырезать из двух рядов квадратной мозаики (с конфигурацией вершин 4.4.4.4 ): полосы из n квадратов, каждый из которых прикреплен к скрещенному прямоугольнику . n скрещенных -угольная тороидальная призма имеет 2 n вершин, 2 n граней: n квадратов и n прямоугольников, а также 4 n ребер. Оно топологически самодвойственно .
Д 4ч , заказ 16 | Д 6ч , заказ 24 |
В = 8 , Е = 16 , Ж = 8 | В = 12 , Е = 24 , Ж = 12 |
Призматический многогранник
[ редактировать ]Призматический — многогранник это многомерное обобщение призмы. n - -мерный призматический многогранник состоит из двух ( n 1 )-мерных многогранников, переведенных в следующее измерение.
Призматические элементы n -многогранника удваиваются из элементов ( n - 1 )-многогранника, а затем создаются новые элементы из следующего нижнего элемента.
Возьмем n -многогранник с Fi i i -грани элементами ( i = 0, ..., n ). Его ( n + 1 )-многогранная призма будет иметь 2 F i + F i −1 i -гранных элемента. (При F −1 = 0 , F n = 1. )
По размеру:
- Возьмем многоугольник с n вершинами и n ребрами. Его призма имеет 2 n вершин, 3 n ребер и 2 + n граней.
- Возьмем многогранник с V вершинами , ребрами E и F. гранями Его призма имеет 2 вершины V , 2 ребра E + V , 2 грани F + E и 2 + F ячеек.
- Возьмем полихорон с V вершинами, E ребрами, F гранями и C ячейками. Его призма имеет 2 вершины V , 2 ребра E + V , 2 F + E грани , 2 ячейки C + F и 2 + C гиперячейки.
Однородный призматический многогранник
[ редактировать ]Правильный n -многогранник, представленный символом Шлефли { p , q ,..., t }, может образовывать равномерный призматический ( n + 1 )-многогранник, представленный декартовым произведением двух символов Шлефли : { p , q ,... , т }×{ }.
По размеру:
- 0-многогранная призма — это отрезок прямой , представленный пустым символом Шлефли { }.
- 1-многогранная призма — это прямоугольник , составленный из двух сдвинутых отрезков. Он представлен как произведение символа Шлефли { }×{ }. Если это квадрат , симметрию можно уменьшить: { }×{ } = {4}.
- Многоугольная . призма — это трехмерная призма, состоящая из двух сдвинутых многоугольников, соединенных прямоугольниками Правильный многоугольник { p } может составить равномерную n -угольную призму, представленную произведением { p }×{ }. Если p = 4 , с симметрией квадратных сторон он становится кубом : {4}×{ } = {4,3}.
- Пример: , Пятиугольная призма , {5}×{ }, два параллельных пятиугольника, соединенных 5 прямоугольными сторонами .
- Многогранная призма — это четырехмерная призма, состоящая из двух сдвинутых многогранников , соединенных трехмерными призматическими ячейками. Правильный многогранник { p , q } может построить равномерную полихорическую призму, представленную произведением { p , q }×{ }. Если многогранник и стороны являются кубами, он становится тессерактом : { 4,3}×{ } = {4,3,3}.
- Пример: , Додекаэдрическая призма , {5,3}×{ }, два параллельных додекаэдра, соединенных 12 сторонами пятиугольной призмы .
- ...
Призматические многогранники более высокого порядка также существуют как декартово произведение любых двух или более многогранников. Размерность многогранника-произведения равна сумме размерностей его элементов. Первые их примеры существуют в 4-мерном пространстве; они называются дуопризмами как произведение двух многоугольников в 4-х измерениях.
Правильные дуопризмы представлены как { p } × { q }, с pq вершинами, 2 pq ребрами, pq квадратными гранями, p q -угольными гранями, q p -угольными гранями и ограничены p q -угольными призмами и q p -угольными гранями. призмы.
Например, {4}×{4}, дуопризма 4–4, является формой более низкой симметрии тессеракта , как и {4,3}×{ }, кубическая призма . {4}×{4}×{ } (призма дуопризмы 4-4), {4,3}×{4} (дуопризма куба-4) и {4,3,3}×{ } (тессерактическая призма) расположены ниже формы симметрии 5-куба .
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Джонсон, Северная Западная Европа (2018). «Глава 11: Конечные группы симметрии». Геометрии и преобразования . ISBN 978-1-107-10340-5 . См. 11.3 Пирамиды, призмы и антипризмы, рисунок 11.3b.
- ^ Грюнбаум, Бранко (1997). «Изогональные призматоиды» . Дискретная и вычислительная геометрия . 18 :13–52. дои : 10.1007/PL00009307 .
- ^ Мальтон, Томас (1774). Королевская дорога в геометрию, или простое и знакомое введение в математику . автор, и продал. п. 360.
- ^ Эллиот, Джеймс (1845). Ключ к полному трактату по практической геометрии и измерениям: содержащий полную демонстрацию правил . Лонгман, Браун, Грин и Лонгманс. п. 3.
- ^ Керн, Уильям Ф.; Бланд, Джеймс Р. (1938). Твердые измерения с доказательствами . п. 28.
- ^ Геретшлагер, Роберт (2020). Привлечение молодежи к занятиям математикой посредством олимпиад: мировые перспективы и практика . Том. 1. Всемирный научный . п. 39. ИСБН 978-981-120-582-8 .
- ^ Керн и Бланд (1938) , с. 81.
- ^ Горини, Кэтрин А. (2003). Факты в файле: Справочник по геометрии . п. 172. ИСБН 0-8160-4875-4 .
- ^ «Картины витых призм» .
- Энтони Пью (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Издательство Калифорнийского университета в Беркли. ISBN 0-520-03056-7 . Глава 2: Архимедовы многогранники, призмы и антипризмы
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Вайсштейн, Эрик В. «Призма» . Математический мир .
- Бумажные модели призм и антипризм Бесплатные сетки призм и антипризм
- Бумажные модели призм и антипризм с использованием сеток, созданных Стеллой.