Прямоугольник

Прямоугольник
Прямоугольник
	Прямоугольник
Тип	четырехугольник , трапеция , параллелограмм , ортотоп
Ребра и вершины	4
Символ Шлефли	{ } × { }
Диаграммы Кокстера – Дынкина
Группа симметрии	Диэдр (D 2 ), [2], (*22), порядок 4
Характеристики	выпуклая , изогональная , циклическая. Противоположные углы и стороны равны.
Двойной полигон	ромб

В евклидовой плоской геометрии прямоугольник четырехугольник представляет собой с четырьмя прямыми углами . Его также можно определить как: равноугольный четырехугольник, поскольку равноугольность означает, что все его углы равны (360°/4 = 90°); или параллелограмм, содержащий прямой угол. Прямоугольник с четырьмя сторонами одинаковой длины является квадратом . Термин « продолговатый » используется для обозначения неквадратного прямоугольника . ^[1]^[2]^[3] Прямоугольник с вершинами ABCD будет обозначаться как АБСД .

Слово «прямоугольник» происходит от латинского rectangulus , которое представляет собой комбинацию слов «rectus» (прилагательное «правый», «собственный») и «angulus» ( «угол» ).

Скрещенный прямоугольник — это скрещенный (самопересекающийся) четырехугольник, состоящий из двух противоположных сторон прямоугольника и двух диагоналей. ^[4] (поэтому только две стороны параллельны). Это частный случай антипараллелограмма , и его углы не являются прямыми и не все равны, хотя противоположные углы равны. Другие геометрии, такие как сферическая , эллиптическая и гиперболическая , имеют так называемые прямоугольники с противоположными сторонами, равными по длине, и равными углами, которые не являются прямыми.

Прямоугольники используются во многих задачах замощения мозаики , таких как замощение плоскости прямоугольниками или замощение прямоугольника многоугольниками .

Характеристики

Выпуклый : четырехугольник является прямоугольником тогда и только тогда, когда он соответствует любому из следующих свойств ^[5]^[6]

параллелограмм , у которого хотя бы один прямой угол
параллелограмм с диагоналями одинаковой длины
параллелограмм ABCD , в котором треугольники ABD и DCA равны .
равноугольный четырехугольник
четырехугольник с четырьмя прямыми углами
четырехугольник, в котором две диагонали равны по длине и делят друг друга пополам ^[7]
Выпуклый четырехугольник с последовательными сторонами a , b , c , d, площадь которого равна ${\tfrac {1}{4}}(a+c)(b+d)$ . ^[8]^{: фн.1}
Выпуклый четырехугольник с последовательными сторонами a , b , c , d, площадь которого равна ${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}.$ ^[8]

Классификация

Традиционная иерархия

Прямоугольник — частный случай параллелограмма , которого каждая пара смежных сторон перпендикулярна у .

Параллелограмм — это частный случай трапеции (известной в Северной Америке как трапеция ), у которой обе пары противоположных сторон параллельны и равны по длине .

Трапеция – это выпуклый четырехугольник , у которого есть хотя бы одна пара параллельных противоположных сторон.

Выпуклый четырехугольник – это

Просто : граница не пересекает сама себя.
В форме звезды : весь интерьер виден из одной точки, не пересекая края.

Альтернативная иерархия

Де Вильерс определяет прямоугольник в более общем смысле как любой четырехугольник, оси симметрии которого проходят через каждую пару противоположных сторон. ^[9] Это определение включает как прямоугольные прямоугольники, так и скрещенные прямоугольники. У каждого есть ось симметрии, параллельная и равноудаленная от пары противоположных сторон, а другая - серединный перпендикуляр этих сторон, но в случае скрещенного прямоугольника первая ось не является осью симметрии ни для одной из сторон. что оно делит пополам.

Четырехугольники с двумя осями симметрии, каждая из которых проходит через пару противоположных сторон, относятся к более широкому классу четырехугольников, у которых хотя бы одна ось симметрии проходит через пару противоположных сторон. Эти четырехугольники включают равнобедренную трапецию и скрещенную равнобедренную трапецию (перекрещенные четырехугольники с тем же расположением вершин, что и равнобедренная трапеция).

Характеристики

Симметрия

Прямоугольник является циклическим : все углы лежат на одной окружности .

Он равноугольный : все его угловые углы равны (каждый по 90 градусов ).

Он изогональный или вершинно-транзитивный : все углы лежат на одной и той же орбите симметрии .

Он имеет две линии и отражательной симметрии вращательную симметрию второго порядка (до 180°).

Двойственность прямоугольника и ромба

Двойной многоугольник прямоугольника представляет собой ромб , как показано в таблице ниже. ^[10]

Прямоугольник	Ромб
Все углы равны.	Все стороны равны.
Альтернативные стороны равны.	Альтернативные углы равны.
Его центр равноудален от вершин , следовательно, он имеет описанную окружность .	Его центр равноудален от сторон , следовательно, он имеет вписанную окружность .
Две оси симметрии делят противоположные стороны пополам .	Две оси симметрии делят противоположные углы пополам .
Диагонали равны по длине .	Диагонали пересекаются под равными углами .

Фигура, образованная соединением по порядку середин сторон прямоугольника, является ромбом и наоборот.

Разнообразный

Прямоугольник – это прямолинейный многоугольник : его стороны сходятся под прямым углом.

Прямоугольник в плоскости может быть определен пятью независимыми степенями свободы , состоящими, например, из трех для положения (включая две для перемещения и одну для вращения ), одну для формы ( соотношение сторон ) и одну для общего размера (площади). .

Два прямоугольника, ни один из которых не помещается внутри другого, называются несравнимыми .

Формулы

Если прямоугольник имеет длину $\ell$ и ширина $w$ , затем: ^[11]

у него есть площадь $A=\ell w\,$ ;
у него есть периметр $P=2\ell +2w=2(\ell +w)\,$ ;
каждая диагональ имеет длину $d={\sqrt {\ell ^{2}+w^{2}}}$ ; и
когда $\ell =w\,$ , прямоугольник является квадратом . ^[1]

Теоремы

Изопериметрическая теорема для прямоугольников утверждает, что среди всех прямоугольников данного периметра имеет квадрат наибольшую площадь .

Середины сторон любого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями образуют прямоугольник.

Параллелограмм является прямоугольником с равными диагоналями .

Японская теорема для вписанных четырехугольников ^[12] утверждает, что центры четырех треугольников, определяемые вершинами вписанного четырехугольника, взятыми по три за раз, образуют прямоугольник.

Теорема о британском флаге гласит, что с вершинами, обозначенными A , B , C и D , для любой точки P на одной плоскости прямоугольника: ^[13]

\displaystyle (AP)^{2}+(CP)^{2}=(BP)^{2}+(DP)^{2}.

Для каждого выпуклого тела C на плоскости мы можем вписать прямоугольник r в C такой, что гомотетическая копия R тела r описана вокруг C и положительный коэффициент гомотети не превосходит 2 и $0.5{\text{ × Area}}(R)\leq {\text{Area}}(C)\leq 2{\text{ × Area}}(r)$ . ^[14]

Существует единственный прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ , где $a$ меньше, чем $b$ , с двумя способами сгиба по линии, проходящей через его центр, так что область перекрытия сводится к минимуму и каждая область имеет разную форму — треугольник и пятиугольник. Уникальное соотношение длин сторон равно $\displaystyle {\frac {a}{b}}=0.815023701...$ . ^[15]

Перекрещенные прямоугольники

четырехугольник Перекрещенный . (самопересекающийся) состоит из двух противоположных сторон несамопересекающегося четырехугольника и двух диагоналей Точно так же скрещенный прямоугольник — это скрещенный четырехугольник , который состоит из двух противоположных сторон прямоугольника и двух диагоналей. Он имеет то же расположение вершин, что и прямоугольник. Он выглядит как два одинаковых треугольника с общей вершиной, но геометрическое пересечение не считается вершиной.

иногда Перекрещенный четырехугольник сравнивают с галстуком-бабочкой или бабочкой , иногда называют «угловой восьмеркой». Трехмерный , скрученный , прямоугольный проволочный каркас может принять форму галстука-бабочки.

Внутренняя часть скрещенного прямоугольника может иметь плотность многоугольников ±1 в каждом треугольнике, в зависимости от ориентации обмотки по часовой стрелке или против часовой стрелки.

можно Перекрещенный прямоугольник считать равноугольным, если разрешены повороты направо и налево. Как и в любом скрещенном четырехугольнике , сумма его внутренних углов равна 720°, что позволяет внутренним углам появляться снаружи и превышать 180°. ^[16]

Прямоугольник и скрещенный прямоугольник являются четырехугольниками со следующими общими свойствами:

Противоположные стороны равны по длине.
Обе диагонали равны по длине.
Он имеет две линии отражательной симметрии и вращательную симметрию второго порядка (до 180°).

Другие прямоугольники

В сферической геометрии сферический прямоугольник — это фигура, четыре края которой представляют собой большие дуги окружностей, пересекающиеся под равными углами, превышающими 90°. Противоположные дуги равны по длине. Поверхность сферы в евклидовой объемной геометрии является неевклидовой поверхностью в смысле эллиптической геометрии. Сферическая геометрия — это простейшая форма эллиптической геометрии.

В эллиптической геометрии эллиптический прямоугольник — это фигура на эллиптической плоскости, четыре края которой представляют собой эллиптические дуги, пересекающиеся под равными углами, превышающими 90 °. Противоположные дуги равны по длине.

В гиперболической геометрии гиперболический прямоугольник — это фигура на гиперболической плоскости, четыре края которой представляют собой гиперболические дуги, пересекающиеся под равными углами менее 90 °. Противоположные дуги равны по длине.

Мозаика

Прямоугольник используется во многих периодических мозаики узорах в кирпичной кладке , например, :

Штабелированная облигация	Текущая облигация	Корзинное плетение	Корзинное плетение	Узор «елочка»

Квадратные, идеальные и другие плиточные прямоугольники

Прямоугольник, замощенный квадратами, прямоугольниками или треугольниками, называется «квадратным», «прямоугольным» или «треугольным» (или «треугольным») прямоугольником соответственно. Плиточный прямоугольник идеален ^[17]^[18] если плитки одинаковы и ограничены по количеству и нет двух плиток одинакового размера. Если две такие плитки имеют одинаковый размер, мозаика несовершенна . В идеальном (или несовершенном) треугольном прямоугольнике треугольники должны быть прямоугольными . Базу данных всех известных идеальных прямоугольников, идеальных квадратов и связанных с ними фигур можно найти на сайтеquaring.net . Наименьшее количество квадратов, необходимое для идеального замощения прямоугольника, равно 9. ^[19] а наименьшее число, необходимое для идеальной обработки квадрата, — 21, оно было найдено в 1978 году с помощью компьютерного поиска. ^[20]

Прямоугольник имеет соизмеримые стороны тогда и только тогда, когда его можно замостить конечным числом неравных квадратов. ^[17]^[21] То же самое верно, если плитки представляют собой неравные равнобедренные прямоугольные треугольники .

Наибольшее внимание привлекли мозаики прямоугольников другими плитками, состоящие из конгруэнтных непрямоугольных полимино , допускающих все вращения и отражения. Существуют также замощения конгруэнтными полиаболами .

Юникод

Следующие кодовые точки Юникода изображают прямоугольники:

   U+25AC ▬ BLACK RECTANGLE
   U+25AD ▭ WHITE RECTANGLE
   U+25AE ▮ BLACK VERTICAL RECTANGLE
   U+25AF ▯ WHITE VERTICAL RECTANGLE

См. также

Кубовидный
Золотой прямоугольник
Гиперпрямоугольник
Суперэллипс (включает прямоугольник с закругленными углами)

Ссылки

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Тэпсон, Фрэнк (июль 1999 г.). «Сборник выдержек из математического словаря» (PDF) . Издательство Оксфордского университета. Архивировано из оригинала (PDF) 14 мая 2014 г. Проверено 20 июня 2013 г.
^ «Определение продолговатого» . Математика — это весело . Проверено 13 ноября 2011 г.
^ Продолговатый – Геометрия – Математический словарь . Icoachmath.com. Проверено 13 ноября 2011 г.
^ Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд ; Лонге-Хиггинс, MS; Миллер, JCP (1954). «Равномерные многогранники». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки . 246 (916). Королевское общество: 401–450. Бибкод : 1954RSPTA.246..401C . дои : 10.1098/rsta.1954.0003 . ISSN 0080-4614 . JSTOR 91532 . МР 0062446 . S2CID 202575183 .
^ Залман Усискин и Дженнифер Гриффин, «Классификация четырехугольников. Исследование определения», Information Age Publishing, 2008, стр. 34–36. ISBN 1-59311-695-0 .
^ Оуэн Байер; Феликс Лазебник; Дейдра Л. Смелцер (19 августа 2010 г.). Методы евклидовой геометрии . МАА. стр. 53–. ISBN 978-0-88385-763-2 . Проверено 13 ноября 2011 г.
^ Джерард Венема, «Изучение продвинутой евклидовой геометрии с помощью GeoGebra», MAA, 2013, стр. 56.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Йозефссон Мартин (2013). «Пять доказательств характеристики площади прямоугольников» (PDF) . Форум Геометрикорум . 13 : 17–21.
^ Расширенная классификация четырехугольников. Архивировано 30 декабря 2019 г. в Wayback Machine (отрывок из книги Де Вильерс, М., 1996. Некоторые приключения в евклидовой геометрии. Университет Дурбан-Вествилля).
^ де Вильерс, Майкл, «Обобщение Ван Обеля с использованием двойственности», Mathematics Magazine 73 (4), октябрь 2000 г., стр. 303–307.
^ «Прямоугольник» . Математика — это весело . Проверено 22 марта 2024 г.
^ Циклический четырехугольник Incenter-Rectangle. Архивировано 28 сентября 2011 г. в Wayback Machine с интерактивной анимацией, иллюстрирующей прямоугольник, который становится «перекрещенным прямоугольником», что дает хорошие основания рассматривать «перекрещенный прямоугольник» как тип прямоугольника.
^ Холл, Леон М. и Роберт П. Роу (1998). «Неожиданный максимум в семействе прямоугольников» (PDF) . Журнал «Математика» . 71 (4): 285–291. дои : 10.1080/0025570X.1998.11996653 . JSTOR 2690700 .
^ Ласак, М. (1993). «Приближение выпуклых тел прямоугольниками». Посвящается геометрии . 47 : 111–117. дои : 10.1007/BF01263495 . S2CID 119508642 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A366185 (Десятичное разложение действительного корня уравнения пятой степени $\ x^{5}+3x^{4}+4x^{3}+x-1=0$ )» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
^ Звезды: Второй взгляд . (PDF). Проверено 13 ноября 2011 г.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Р.Л. Брукс; КЭБ Смит; А. Х. Стоун и В. Т. Тутт (1940). «Разрезание прямоугольников на квадраты» . Герцог Мат. Дж. 7 (1): 312–340. дои : 10.1215/S0012-7094-40-00718-9 .
^ Джей Ди Скиннер II; CAB Smith & WT Tutte (ноябрь 2000 г.). «О разрезании прямоугольников на прямоугольные равнобедренные треугольники» . Журнал комбинаторной теории, серия B. 80 (2): 277–319. дои : 10.1006/jctb.2000.1987 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A219766 (Количество неквадратных простых прямоугольников с идеальными квадратами порядка n с точностью до симметрии)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ «Квадраты; совершенные простые, совершенные сложные и несовершенные простые» . www.squaring.net . Проверено 26 сентября 2021 г.
^ Р. Спрэг (1940). «О разложении прямоугольников на разные квадраты». Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке). 1940 (182): 60-64. дои : 10.1515/crll.1940.182.60 . S2CID 118088887 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Прямоугольник» . Математический мир .
Определение и свойства прямоугольника с интерактивной анимацией.
Площадь прямоугольника с интерактивной анимацией.

[:0-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Тэпсон, Фрэнк (июль 1999 г.). «Сборник выдержек из математического словаря» (PDF) . Издательство Оксфордского университета. Архивировано из оригинала (PDF) 14 мая 2014 г. Проверено 20 июня 2013 г.

[2] «Определение продолговатого» . Математика — это весело . Проверено 13 ноября 2011 г.

[3] Продолговатый – Геометрия – Математический словарь . Icoachmath.com. Проверено 13 ноября 2011 г.

[4] Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд ; Лонге-Хиггинс, MS; Миллер, JCP (1954). «Равномерные многогранники». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки . 246 (916). Королевское общество: 401–450. Бибкод : 1954RSPTA.246..401C . дои : 10.1098/rsta.1954.0003 . ISSN 0080-4614 . JSTOR 91532 . МР 0062446 . S2CID 202575183 .

[5] Залман Усискин и Дженнифер Гриффин, «Классификация четырехугольников. Исследование определения», Information Age Publishing, 2008, стр. 34–36. ISBN 1-59311-695-0 .

[6] Оуэн Байер; Феликс Лазебник; Дейдра Л. Смелцер (19 августа 2010 г.). Методы евклидовой геометрии . МАА. стр. 53–. ISBN 978-0-88385-763-2 . Проверено 13 ноября 2011 г.

[7] Джерард Венема, «Изучение продвинутой евклидовой геометрии с помощью GeoGebra», MAA, 2013, стр. 56.

[Josefsson-8] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Йозефссон Мартин (2013). «Пять доказательств характеристики площади прямоугольников» (PDF) . Форум Геометрикорум . 13 : 17–21.

[9] Расширенная классификация четырехугольников. Архивировано 30 декабря 2019 г. в Wayback Machine (отрывок из книги Де Вильерс, М., 1996. Некоторые приключения в евклидовой геометрии. Университет Дурбан-Вествилля).

[10] де Вильерс, Майкл, «Обобщение Ван Обеля с использованием двойственности», Mathematics Magazine 73 (4), октябрь 2000 г., стр. 303–307.

[11] «Прямоугольник» . Математика — это весело . Проверено 22 марта 2024 г.

[12] Циклический четырехугольник Incenter-Rectangle. Архивировано 28 сентября 2011 г. в Wayback Machine с интерактивной анимацией, иллюстрирующей прямоугольник, который становится «перекрещенным прямоугольником», что дает хорошие основания рассматривать «перекрещенный прямоугольник» как тип прямоугольника.

[13] Холл, Леон М. и Роберт П. Роу (1998). «Неожиданный максимум в семействе прямоугольников» (PDF) . Журнал «Математика» . 71 (4): 285–291. дои : 10.1080/0025570X.1998.11996653 . JSTOR 2690700 .

[14] Ласак, М. (1993). «Приближение выпуклых тел прямоугольниками». Посвящается геометрии . 47 : 111–117. дои : 10.1007/BF01263495 . S2CID 119508642 .

[15] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A366185 (Десятичное разложение действительного корня уравнения пятой степени $\ x^{5}+3x^{4}+4x^{3}+x-1=0$ )» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.

[16] Звезды: Второй взгляд . (PDF). Проверено 13 ноября 2011 г.

[BSST-17] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Р.Л. Брукс; КЭБ Смит; А. Х. Стоун и В. Т. Тутт (1940). «Разрезание прямоугольников на квадраты» . Герцог Мат. Дж. 7 (1): 312–340. дои : 10.1215/S0012-7094-40-00718-9 .

[18] Джей Ди Скиннер II; CAB Smith & WT Tutte (ноябрь 2000 г.). «О разрезании прямоугольников на прямоугольные равнобедренные треугольники» . Журнал комбинаторной теории, серия B. 80 (2): 277–319. дои : 10.1006/jctb.2000.1987 .

[19] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A219766 (Количество неквадратных простых прямоугольников с идеальными квадратами порядка n с точностью до симметрии)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[20] «Квадраты; совершенные простые, совершенные сложные и несовершенные простые» . www.squaring.net . Проверено 26 сентября 2021 г.

[21] Р. Спрэг (1940). «О разложении прямоугольников на разные квадраты». Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке). 1940 (182): 60-64. дои : 10.1515/crll.1940.182.60 . S2CID 118088887 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]