B 4 Многогранник

Ортографические проекции в _{B 4} плоскости Кокстера

Тессеракт

16-ячеечный

В 4-мерной геометрии существует 15 однородных 4-многогранников с _B4 симметрией . Есть две правильные формы: тессеракт и 16-ячеечная , с 16 и 8 вершинами соответственно.

Визуализации

Их можно визуализировать как симметричные ортогональные проекции в плоскостях Кокстера группы B ₅ Кокстера и других подгрупп.

Симметричные ортогональные проекции этих 32 многогранников можно построить в плоскостях B ₅ , B ₄ , B ₃ , B ₂ , A ₃ , Кокстера . A _k имеет симметрию [k+1] , а B _k имеет симметрию [2k] .

Каждый из этих 32 многогранников показан в этих 5 плоскостях симметрии, с нарисованными вершинами и ребрами, а вершины окрашены в соответствии с количеством перекрывающихся вершин в каждой проективной позиции.

Изображения нарисованы в виде перспективных проекций диаграммы Шлегеля с центром в ячейке поз. 3, с постоянной ориентацией, а 16 ячеек в позиции 0 показаны сплошными, попеременно окрашенными.

#	Имя	плоскости Кокстера Проекции				Шлегель диаграммы		Сеть
		Б 4 [8]	BБ3 [6]	BБ2 [4]	AА3 [4]	Куб центрированный	Тетраэдр центрированный
1	8-клеточный или тессеракт = {4,3,3}
2	выпрямленный 8-клеточный = г{4,3,3}
3	16-ячеечный = {3,3,4}
4	усеченный 8-клеточный = т{4,3,3}
5	сочлененный 8-клеточный = рр{4,3,3}
6	сморщенный 8-клеточный (также 16-ячеечный ) = t03{4,3,3}
7	усеченный 8-ячеечный (также усеченный 16-ячеечный ) = 2т{4,3,3}
8	усеченный 16-ячеечный = т{3,3,4}
9	усеченный, 8-элементный = тр{3,3,4}
10	укороченный, 8-клеточный = t013{4,3,3}
11	усеченный, 16-клеточный = t013{3,3,4}
12	всеусеченный 8-элементный (также всеусеченный 16-элементный ) = t0123{4,3,3}

#	Имя	плоскости Кокстера Проекции					Шлегель диаграммы		Сеть
		FF4 [12]	Б 4 [8]	BБ3 [6]	BБ2 [4]	AА3 [4]	Куб центрированный	Тетраэдр центрированный
13	*ректифицированный 16-клеточный (То же, что и 24-ячеечный ) = г {3,3,4} = {3,4,3}
14	*кантеллированный 16-клеточный (То же, что и исправленный 24-элементный ) = рр{3,3,4} = р{3,4,3}
15	*усеченный 16-клеточный (То же, что и усеченная 24-ячейка ) = тр{3,3,4} = т{3,4,3}

#	Имя	плоскости Кокстера Проекции					Шлегель диаграммы		Сеть
		FF4 [12]	Б 4 [8]	BБ3 [6]	BБ2 [4]	AА3 [4]	Куб центрированный	Тетраэдр центрированный
16	чередующиеся кантиусеченные 16-клеточные (То же, что и курносый 24-элементный ) = ср{3,3,4} = с{3,4,3}

Тессерактическое семейство 4-многогранников задается выпуклыми оболочками базовых точек, перечисленных в следующей таблице, со всеми перестановками координат и знаков. Каждая базовая точка порождает отдельные однородные 4-многогранники. Все координаты соответствуют однородным 4-многогранникам с длиной ребра 2.

Координаты однородных 4-многогранников в семействе Tesseract/16-cell

#	Базовая точка	Имя	Диаграмма Кокстера	Вершины
3	(0,0,0,1) √ 2	16-ячеечный		8	2 4-3 4!/3!
1	(1,1,1,1)	Тессеракт		16	2 4 4!/4!
13	(0,0,1,1) √ 2	Выпрямленный 16-элементный ( 24-элементный )		24	2 4-2 4!/(2!2!)
2	(0,1,1,1) √ 2	Исправленный тессеракт		32	2 4 4!/(3!2!)
8	(0,0,1,2) √ 2	Усеченный 16-клеточный		48	2 4-2 4!/2!
6	(1,1,1,1) + (0,0,0,1) √ 2	Сморщенный тессеракт		64	2 4 4!/3!
4	(1,1,1,1) + (0,1,1,1) √ 2	Усеченный тессеракт		64	2 4 4!/3!
14	(0,1,1,2) √ 2	Согнутый 16-элементный ( выпрямленный 24-элементный )		96	2 4 4!/(2!2!)
7	(0,1,2,2) √ 2	Усеченный 16-ячеечный		96	2 4 4!/(2!2!)
5	(1,1,1,1) + (0,0,1,1) √ 2	Кантеллированный тессеракт		96	2 4 4!/(2!2!)
15	(0,1,2,3) √ 2	усеченный, 16 ячеек ( усеченный, 24 ячейки )		192	2 4 4!/2!
11	(1,1,1,1) + (0,0,1,2) √ 2	Ранцитусеченный 16-клеточный		192	2 4 4!/2!
10	(1,1,1,1) + (0,1,1,2) √ 2	Усеченный тессеракт		192	2 4 4!/2!
9	(1,1,1,1) + (0,1,2,2) √ 2	Кантитусеченный тессеракт		192	2 4 4!/2!
12	(1,1,1,1) + (0,1,2,3) √ 2	Всеусеченный 16-ячеечный		384	2 4 4!

Ссылки

• Дж. Х. Конвей и М. Дж. Т. Гай : Четырехмерные архимедовы многогранники , материалы коллоквиума по выпуклости в Копенгагене, стр. 38 и 39, 1965 г.
• Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , Симметрии вещей 2008, ISBN   978-1-56881-220-5 (глава 26)
• ХСМ Коксетер :
  • HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Дувр, Нью-Йорк, 1973 г.
• Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN   978-0-471-01003-6 Wiley:: Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера
  • (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380-407, МР 2,10]
  • (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
  • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
• Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.

Внешние ссылки

• Клитцинг, Ричард. «4D однородные 4-многогранники» .
• Однородные выпуклые многогранники в четырех измерениях: Марко Мёллер (на немецком языке)
  • Мёллер, Марко (2004). Viersizede Archimedische Polytope (PDF) (Докторская диссертация) (на немецком языке). Университет Гамбурга.
• Однородные многогранники в четырех измерениях , Георгий Ольшевский.
  • Выпуклая равномерная полихора на основе тессерракта/16-клеток , Георгий Ольшевский.