Лицо (геометрия)
В твердотельной геометрии грань — это плоская поверхность ( плоская область ), которая образует часть границы твердого объекта; [1] трехмерное тело, ограниченное исключительно гранями, — это многогранник .
В более технических трактовках геометрии многогранников и многогранников более высокой размерности этот термин также используется для обозначения элемента любого измерения более общего многогранника (в любом количестве измерений). [2]
Многоугольное лицо
[ редактировать ]В элементарной геометрии грань — это многоугольник. [примечание 1] на границе многогранника . [2] [3] Другие названия многоугольной грани включают сторону многогранника евклидовой плоскости и плитку .
Например, любой из шести квадратов , ограничивающих куб, является гранью куба. Иногда «лицо» также используется для обозначения двумерных особенностей 4-мерного многогранника . В этом смысле четырехмерный тессеракт имеет 24 квадратных грани, каждая из которых имеет две из 8 кубических ячеек.
| Многогранник | Звездный многогранник | Евклидова мозаика | Гиперболическая мозаика | 4-многогранник |
|---|---|---|---|---|
| {4,3} | {5/2,5} | {4,4} | {4,5} | {4,3,3} |
 Куб на имеет по три квадратных грани каждую вершину. |  Маленький звездчатый додекаэдр имеет по пять пентаграммных граней на вершину. |  Квадратная мозаика на евклидовой плоскости имеет по 4 квадратных грани на вершину. |  имеет Квадратная мозаика 5-го порядка 5 квадратных граней на вершину. |  Тессеракт на имеет по три квадратных грани каждом ребре. |
Количество многоугольных граней многогранника
[ редактировать ]Поверхность любого выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику.
где V — количество вершин , E — количество ребер , а F — количество граней. Это уравнение известно как формула многогранника Эйлера . Таким образом, количество граней на 2 больше, чем превышение числа ребер над числом вершин. Например, у куба 12 ребер и 8 вершин, а значит, 6 граней.
к -лицо
[ редактировать ]В многомерной геометрии грани многогранника являются элементами всех измерений. [2] [4] [5] Грань размерности k называется k -гранью. Например, многоугольные грани обычного многогранника являются 2-гранями. В теории множеств набор граней многогранника включает в себя сам многогранник и пустое множество, причем пустое множество предназначено для согласованности с учетом «размерности» -1. Для любого n -многогранника ( n -мерного многогранника) −1 ≤ k ≤ n .
Например, в этом значении грани куба включают в себя сам куб (3-грань), его (квадратные) грани (2-грани), его (отрезки) ребра (1-грани), его (точечные) вершины. (0-грани) и пустое множество.
В некоторых областях математики, таких как многогранная комбинаторика , многогранник по определению является выпуклым. Формально грань многогранника P — это пересечение P с любым замкнутым полупространством , граница которого не пересекается с внутренностью P . [6] Из этого определения следует, что множество граней многогранника включает в себя сам многогранник и пустое множество. [4] [5]
В других областях математики, таких как теории абстрактных многогранников и звездных многогранников , требование выпуклости ослаблено. Абстрактная теория по-прежнему требует, чтобы набор граней включал сам многогранник и пустое множество.
n = -мерный симплекс (отрезок ( n = 1 ), треугольник ( n = 2 ), тетраэдр ( n 3 ) и т. д.), определенный n + 1 вершиной, имеет грань для каждого подмножества вершин, от пустое множество через множество всех вершин. В частности, есть 2 п + 1 лица в целом. Число из них, являющихся k -гранями, для k ∈ {−1, 0, ..., n } , является биномиальным коэффициентом .
Существуют конкретные имена k -граней в зависимости от значения k и, в некоторых случаях, от того, насколько близко k к размерности n многогранника.
Вершина или 0-грань
[ редактировать ]Вершина — это общее название 0-грани.
Край или 1 грань
[ редактировать ]Край — это общее название одногранника.
Лицевое или двустороннее
[ редактировать ]Использование face в контексте, где конкретный k предназначен для k -грани, но не указан явно, обычно является 2-гранью.
Ячейка или 3-гранная
[ редактировать ]Ячейка . — это многогранный элемент ( 3-грань ) 4-мерного многогранника или 3-мерной мозаики или выше Ячейки являются гранями для 4-многогранников и 3-сот.
Примеры:
| 4-многогранники | 3-соты | ||
|---|---|---|---|
| {4,3,3} | {5,3,3} | {4,3,4} | {5,3,4} |
 Тессеракт имеет по 3 кубические ячейки (3 грани) на каждом ребре. |  имеет 120-ячеечная структура по 3 додекаэдра (3 грани) на ребро. |  Кубические соты заполняют евклидово трехмерное пространство кубами с 4 ячейками (3-гранями) на каждом ребре. |  заполняют Додекаэдрические соты четвертого порядка трехмерное гиперболическое пространство додекаэдрами, по 4 ячейки (3 грани) на ребро. |
Фасет или ( n − 1)-грань
[ редактировать ]В многомерной геометрии грани (также называемые гипергранями ) [7] -многогранника n - это ( n - 1 )-грани (грани размерности на единицу меньше, чем сам многогранник). [8] Многогранник ограничен своими гранями.
Например:
- Фасетами отрезка являются его 0-грани или вершины .
- Фасеты многоугольника — это его 1-грани или ребра .
- Фасеты многогранника или плоской мозаики — это его 2-грани .
- Фасеты 4D-многогранника или 3-сот — это его 3-грани или ячейки.
- Фасеты 5D-многогранника или 4-сот являются его 4-гранями .
Гребень или ( n − 2)-грань
[ редактировать ]В родственной терминологии ( n − 2 ) -грани s n -многогранника называются гребнями (также подгранями ). [9] Гребень рассматривается как граница между ровно двумя гранями многогранника или сот.
Например:
- Ребра двумерного многоугольника или одномерного мозаики — это его нулевые грани или вершины .
- Ребра трехмерного многогранника или плоской мозаики — это его 1-грани или ребра .
- Гребни 4D-многогранника или 3-сот — это его 2-грани или просто грани .
- Ребра 5D-многогранника или 4-сот — это его 3-грани или ячейки .
Пик или ( n − 3)-грань
[ редактировать ]( n − 3 ) -грани s n -многогранника называются вершинами . Пик содержит оси вращения граней и гребней в правильном многограннике или сотах.
Например:
- Вершины трехмерного многогранника или плоской мозаики — это его 0-грани или вершины .
- Вершины 4D-многогранника или 3-сот — это его 1-грани или ребра .
- Вершины 5D-многогранника или 4-сот — это его 2-грани или просто грани .
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Некоторые другие многоугольники, не являющиеся гранями, также важны для многогранников и мозаик. К ним относятся многоугольники Петри , вершинные фигуры и фасеты (плоские многоугольники, образованные копланарными вершинами, не лежащими в одной грани многогранника).
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Университетский словарь Мерриам-Вебстера (одиннадцатое изд.). Спрингфилд, Массачусетс: Мерриам-Вебстер . 2004.
- ^ Перейти обратно: а б с Матушек, Иржи (2002), Лекции по дискретной геометрии , Тексты для аспирантов по математике , том. 212, Спрингер, 5.3 Грани выпуклого многогранника, с. 86, ISBN 9780387953748 .
- ^ Кромвель, Питер Р. (1999), Многогранники , издательство Кембриджского университета, стр. 13, ISBN 9780521664059 .
- ^ Перейти обратно: а б Грюнбаум, Бранко (2003), Выпуклые многогранники , Тексты для аспирантов по математике, том. 221 (2-е изд.), Спрингер, с. 17 .
- ^ Перейти обратно: а б Циглер, Гюнтер М. (1995), Лекции по многогранникам , Тексты для аспирантов по математике, том. 152, Спрингер, Определение 2.1, с. 51, ISBN 9780387943657 .
- ^ Матушек (2002) и Зиглер (1995) используют немного другое, но эквивалентное определение, которое сводится к пересечению P либо с гиперплоскостью, не пересекающейся с внутренней частью P , либо со всем пространством.
- ^ Н. В. Джонсон : Геометрии и трансформации , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.1 Многогранники и соты, стр. 225
- ^ Матушек (2002) , с. 87; Грюнбаум (2003) , с. 27; Зиглер (1995) , с. 17.
- ^ Матушек (2002) , стр. 87; Зиглер (1995) , стр. 71.