Jump to content

Правильный 4-многогранник

Тессеракт . — один из 6 выпуклых правильных 4-многогранников

В математике правильный 4-многогранник или правильный многогранник — это правильный четырёхмерный многогранник . Это четырехмерные аналоги правильных многогранников в трех измерениях и правильных многоугольников в двух измерениях.

Всего имеется шесть выпуклых и десять звездчатых правильных четырехмерных многогранников, всего шестнадцать.

Выпуклые правильные 4-многогранники были впервые описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19 века. [1] Он обнаружил, что таких фигур ровно шесть.

Шлефли также нашел четыре правильных звездных 4-многогранника: большой 120-ячеечный , большой звездчатый 120-ячеечный , большой 600-ячеечный и большой большой звездчатый 120-ячеечный . Он пропустил оставшиеся шесть, потому что не допускал форм, не удовлетворяющих эйлеровой характеристике, в ячейках или фигурах вершин (для торов с нулевыми дырками: F - E + V = 2). Это исключает ячейки и вершинные фигуры, такие как большой додекаэдр {5, 5 / 2 } и малый звездчатый додекаэдр { 5 / 2 ,5}.

Эдмунд Гесс (1843–1903) опубликовал полный список в своей немецкой книге 1883 года « Введение в теорию сферического деления» с особым рассмотрением ее применения к теории равноповерхностей и равноугольных многогранников .

Строительство

[ редактировать ]

Существование правильного 4-многогранника ограничено существованием правильных многогранников которые образуют его ячейки и на двугранный угол ограничение

чтобы гарантировать, что ячейки встречаются, образуя замкнутую 3-поверхность.

Описанные шесть выпуклых и десять звездчатых многогранников являются единственными решениями этих ограничений.

Существует четыре невыпуклых символа Шлефли {p,q,r}, которые имеют допустимые ячейки {p,q} и фигуры вершин {q,r} и проходят тест на двугранность, но не могут создать конечные фигуры: {3, 5 / 2 ,3}, {4,3, 5 / 2 }, { 5 / 2 ,3,4}, { 5 / 2 ,3, 5 / 2 }.

Правильные выпуклые 4-многогранники

[ редактировать ]

Правильные выпуклые 4-многогранники являются четырехмерными аналогами платоновых тел в трех измерениях и выпуклых правильных многоугольников в двух измерениях.

Каждый выпуклый правильный 4-многогранник ограничен набором трехмерных ячеек , которые являются платоновыми телами одного типа и размера. Они соединяются вместе вдоль своих соответствующих граней (лицом к лицу) регулярным образом, образуя поверхность 4 -многогранника, который представляет собой замкнутое искривленное трехмерное пространство (аналогично тому, как поверхность Земли представляет собой замкнутое, искривленное двумерное пространство).

Характеристики

[ редактировать ]

Как и их трехмерные аналоги, выпуклые правильные 4-многогранники можно естественным образом упорядочить по размеру как мере четырехмерного содержимого (гиперобъема) для того же радиуса. Каждый больший многогранник в последовательности более округлый , чем его предшественник, и содержит больше содержимого в пределах того же радиуса. [2] У 4-симплексного (5-клеточного) наименьшее содержимое, а у 120-клеточного — самое большое.

Правильные выпуклые 4-многогранники
Symmetry groupA4B4F4H4
Name5-cell

Hyper-tetrahedron
5-point

16-cell

Hyper-octahedron
8-point

8-cell

Hyper-cube
16-point

24-cell


24-point

600-cell

Hyper-icosahedron
120-point

120-cell

Hyper-dodecahedron
600-point

Schläfli symbol{3, 3, 3}{3, 3, 4}{4, 3, 3}{3, 4, 3}{3, 3, 5}{5, 3, 3}
Coxeter mirrors
Mirror dihedrals𝝅/3 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2𝝅/3 𝝅/3 𝝅/4 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2𝝅/4 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2𝝅/3 𝝅/4 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2𝝅/3 𝝅/3 𝝅/5 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2𝝅/5 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2
Graph
Vertices5 tetrahedral8 octahedral16 tetrahedral24 cubical120 icosahedral600 tetrahedral
Edges10 triangular24 square32 triangular96 triangular720 pentagonal1200 triangular
Faces10 triangles32 triangles24 squares96 triangles1200 triangles720 pentagons
Cells5 tetrahedra16 tetrahedra8 cubes24 octahedra600 tetrahedra120 dodecahedra
Tori1 5-tetrahedron2 8-tetrahedron2 4-cube4 6-octahedron20 30-tetrahedron12 10-dodecahedron
Inscribed120 in 120-cell675 in 120-cell2 16-cells3 8-cells25 24-cells10 600-cells
Great polygons2 squares x 34 rectangles x 44 hexagons x 412 decagons x 6100 irregular hexagons x 4
Petrie polygons1 pentagon x 21 octagon x 32 octagons x 42 dodecagons x 44 30-gons x 620 30-gons x 4
Long radius
Edge length
Short radius
Area
Volume
4-Content

В следующей таблице перечислены некоторые свойства шести выпуклых правильных 4-многогранников. Все группы симметрии этих 4-многогранников являются группами Кокстера и заданы в обозначениях, описанных в этой статье. Число, следующее за названием группы, является порядком группы.

Имена Изображение Семья Шлефли
Коксетер
V И Ф С Зеленый.
инжир.
Двойной Группа симметрии
5-ячеечный
пентахорон
пентатоп
4-симплекс
n -симплекс
( Семья )
{3,3,3}
5 10 10
{3}
5
{3,3}
{3,3} самодвойственный A 4
[3,3,3]
120
16-ячеечный
гексадекашорон
4-ортоплекс
n- ортоплекс
и семья)
{3,3,4}
8 24 32
{3}
16
{3,3}
{3,4} 8-ячеечный Б 4
[4,3,3]
384
8-ячеечный
октахорон
тессеракт
4-кубовый
гиперкуб
n- куб
и семья)
{4,3,3}
16 32 24
{4}
8
{4,3}
{3,3} 16-ячеечный
24-ячеечный
икоситетрахорон
октаплекс
полиоктаэдр
(pO)
F и семья {3,4,3}
24 96 96
{3}
24
{3,4}
{4,3} самодвойственный FF4
[3,4,3]
1152
600-ячеечный
гексакосихорон
тетраплекс
политетраэдр
(пТ)
n-пятиугольный
многогранник

( семья Х )
{3,3,5}
120 720 1200
{3}
600
{3,3}
{3,5} 120-ячеечный Ч 4
[5,3,3]
14400
120-ячеечный
гекатоникосахорон
додекаконтахорон
додекаплекс
полидодекаэдр
(пД)
n-пятиугольный
многогранник

( семья Х )
{5,3,3}
600 1200 720
{5}
120
{5,3}
{3,3} 600-ячеечный

Джон Конвей пропагандировал названия симплекс, ортоплекс, тессеракт, октаплекс или полиоктаэдр (pO), тетраплекс или политетраэдр (pT), а также додекаплекс или полидодекаэдр (pD). [3]

Норман Джонсон защитил названия n-клетка, или пентахорон, гексадекахорон, тессеракт или октахорон, икоситетрахорон, гексакосихорон и гекатоникосахорон (или додекаконтахорон), придумав термин полихорон, являющийся четырехмерной аналогией трехмерного многогранника и двумерного многоугольника, выраженного от греческого корни поли («много») и choros («комната» или «пространство»). [4] [5]

Эйлерова характеристика для всех 4-многогранников равна нулю, мы имеем 4-мерный аналог многогранной формулы Эйлера:

где N k обозначает количество k -граней в многограннике (вершина — 0-грань, ребро — 1-грань и т. д.).

Топология любого данного 4-многогранника определяется его числами Бетти и коэффициентами кручения . [6]

В качестве конфигураций

[ редактировать ]

Правильный 4-многогранник можно полностью описать как конфигурационную матрицу, содержащую количество составляющих его элементов. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа (слева вверху и справа внизу) показывают, сколько элементов каждого элемента встречается во всем 4-многограннике. Недиагональные числа показывают, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. Например, в каждом ребре по 2 вершины (каждое ребро имеет каждой грани сходятся по 2 клетки 2 вершины), а на (каждая грань принадлежит 2 ячейкам) в любом правильном 4-многограннике. Конфигурацию двойного многогранника можно получить, повернув матрицу на 180 градусов. [7] [8]

5-ячеечный
{3,3,3}
16-ячеечный
{3,3,4}
8-ячеечный
{4,3,3}
24-ячеечный
{3,4,3}
600-ячеечный
{3,3,5}
120-ячеечный
{5,3,3}

Визуализация

[ редактировать ]

В следующей таблице показаны некоторые двумерные проекции этих 4-многогранников. Различные другие визуализации можно найти по внешним ссылкам ниже. Графики диаграмм Коксетера -Дынкина также приведены под символом Шлефли .

A 4 = [3,3,3] Б 4 = [4,3,3] Ф 4 = [3,4,3] Ч 4 = [5,3,3]
5-ячеечный 16-ячеечный 8-ячеечный 24-ячеечный 600-ячеечный 120-ячеечный
{3,3,3} {3,3,4} {4,3,3} {3,4,3} {3,3,5} {5,3,3}
Твердые 3D ортогональные проекции

Тетраэдрический
конверт

(центрировано по ячейке/вершине)

Кубический конверт
(клеточно-центрированный)

Кубический конверт
(клеточно-центрированный)

Кубооктаэдрический
конверт

(клеточно-центрированный)

Пентакис икосододекаэдрический
конверт

(вершинно-центрированный)

Усеченный ромб
триаконтаэдр
конверт

(клеточно-центрированный)
Каркасные диаграммы Шлегеля ( Перспективная проекция )

клеточно-центрированный

клеточно-центрированный

клеточно-центрированный

клеточно-центрированный

Вершинно-центрированный

клеточно-центрированный
Каркасные стереографические проекции ( 3-сферные )

Правильная звезда (Шлефли – Гесса) 4-многогранник

[ редактировать ]
Это показывает отношения между четырехмерными звездными многогранниками. Две выпуклые формы и 10 звездчатых форм можно рассматривать в 3D как вершины кубооктаэдра . [9]
Подмножество отношений между 8 формами из 120-ячеечного полидодекаэдра (pD). Три операции {a,g,s} перестановочны, определяя кубическую структуру. В вертикальном положении можно увидеть семь плотностей , причем две двойные формы имеют одинаковую плотность.

представляют 4-многогранники Шлефли – Гесса собой полный набор из 10 правильных самопересекающихся звездчатых полихор ( четырехмерных многогранников ). [10] Они названы в честь своих первооткрывателей: Людвига Шлефли и Эдмунда Гесса . Каждый представлен символом Шлефли { p , q , r }, в котором одно из чисел равно 5/2 . Таким образом, они аналогичны правильным невыпуклым многогранникам Кеплера – Пуансо , которые, в свою очередь, аналогичны пентаграмме.

Их имена, приведенные здесь, были даны Джоном Конвеем , расширяя имена Кэли для многогранников Кеплера-Пуансо : наряду со звездчатыми и великими он добавляет модификатор grand . Конвей предложил следующие рабочие определения:

  1. звездчатость – заменяет края более длинными краями в тех же линиях. (Пример: пятиугольник превращается в пентаграмму )
  2. укрупнение – заменяет грани крупными в тех же плоскостях. (Пример: икосаэдр превращается в большой икосаэдр )
  3. увеличение – заменяет ячейки на большие в тех же трехмерных пространствах. (Пример: 600-ячейка увеличивается в большую 600-ячейку )

Джон Конвей называет 10 форм из 3-х правильных клеточных 4-многогранников: pT=политетраэдр {3,3,5} (тетраэдр из 600 ячеек ), pI=поликосаэдр {3,5, 5 / 2 } ( икосаэдр, 120 ячеек ) и pD=полидодекаэдр {5,3,3} (додекаэдр, 120 ячеек ), с модификаторами префикса: g , a и s для великого, (ag)гранд , и звездчатый. Последняя звездчатая форма, большой звездчатый полидодекаэдр, содержит их всех как gaspD .

Симметрия

[ редактировать ]

Все десять полихор обладают [3,3,5]( H 4 ) гексакосихорной симметрией . Они порождаются из 6 связанных тетраэдров Гурса групп симметрии рационального порядка : [3,5,5/2], [5,5/2,5], [5,3,5/2], [5/2,5 ,5/2], [5,5/2,3] и [3,3,5/2].

В каждой группе имеется по 2 правильные звезды-полихоры, за исключением двух самодвойственных групп, имеющих только одну. Итак, среди десяти правильных звездчатых полихор имеются 4 дуальные пары и 2 самодвойственные формы.

Характеристики

[ редактировать ]

Примечание:

Ячейки (многогранники), их грани (многоугольники), многоугольников фигуры ребер и многогранников фигуры вершин идентифицируются их символами Шлефли .

Имя
Конвей (сокр.)
Ортогональный
проекция
Шлефли
Коксетер
С
{п, д}
Ф
{р}
И
{р}
V
{q, р}
Его. час
Икосаэдрический 120-ячеечный
полиикосаэдр (pI)
{3,5,5/2}
120
{3,5}
1200
{3}
720
{5/2 }
120
{5,5/2}
4 480
Маленький звездчатый, 120 ячеек.
звездчатый полидодекаэдр (spD)
{5/2,5,3}
120
{5/2,5}
720
{5/2}
1200
{3}
120
{5,3}
4 −480
Отличный 120-ячеечный
большой полидодекаэдр (gpD)
{5,5/2,5}
120
{5,5/2}
720
{5}
720
{5}
120
{5/2,5}
6 0
Гранд, 120 ячеек
большой полидодекаэдр (apD)
{5,3,5/2}
120
{5,3}
720
{5}
720
{5/2}
120
{3,5/2}
20 0
Большой звездчатый 120-ячеечный
большой звездчатый полидодекаэдр (gspD)
{5/2,3,5}
120
{5/2,3}
720
{5/2}
720
{5}
120
{3,5}
20 0
Большой звездчатый, 120 ячеек
большой звездчатый полидодекаэдр (aspD)
{5/2,5,5/2}
120
{5/2,5}
720
{5/2}
720
{5/2}
120
{5,5/2}
66 0
Большой гранд, 120 ячеек
большой большой полидодекаэдр (gapD)
{5,5/2,3}
120
{5,5/2}
720
{5}
1200
{3}
120
{5/2,3}
76 −480
Большой икосаэдр, 120 ячеек.
большой полиикосаэдр (gpI)
{3,5/2,5}
120
{3,5/2}
1200
{3}
720
{5}
120
{5/2,5}
76 480
Гранд 600-ячеечный
большой политетраэдр (apT)
{3,3,5/2}
600
{3,3}
1200
{3}
720
{5/2}
120
{3,5/2}
191 0
Большой гранд звездчатый, 120 ячеек.
большой звездчатый полидодекаэдр (gaspD)
{5/2,3,3}
120
{5/2,3}
720
{5/2}
1200
{3}
600
{3,3}
191 0

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Коксетер 1973 , с. 141, §7-х. Исторические замечания.
  2. ^ Coxeter 1973 , стр. 292–293, Таблица I (ii): Шестнадцать правильных многогранников { p,q,r } в четырех измерениях.
  3. ^ Конвей, Бургель и Гудман-Штраусс 2008 , гл. 26. Еще выше
  4. ^ «Выпуклые и абстрактные многогранники», Программа и рефераты, Массачусетский технологический институт, 2005 г.
  5. ^ Джонсон, Норман В. (2018). «§ 11.5 Сферические группы Кокстера» . Геометрии и преобразования . Издательство Кембриджского университета. стр. 246–. ISBN  978-1-107-10340-5 .
  6. ^ Ричесон, Дэвид С. (2012). «23. Анри Пуанкаре и господство топологии» . Жемчужина Эйлера: формула многогранника и рождение топологии . Издательство Принстонского университета. стр. 256–. ISBN  978-0-691-15457-2 .
  7. ^ Коксетер 1973 , § 1.8 Конфигурации
  8. ^ Коксетер, Комплексные правильные многогранники, стр.117
  9. ^ Конвей, Бургель и Гудман-Штраусс 2008 , стр. 406, рис 26.2
  10. ^ Коксетер, Звездные многогранники и функция Шлефли f(α,β,γ) с. 122 2. Многогранники Шлефли-Гесса.

Библиография

[ редактировать ]
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: fdd4cc419171236ed53aa65fd3d74e67__1722548040
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/fd/67/fdd4cc419171236ed53aa65fd3d74e67.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Regular 4-polytope - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)