Сплит-кватернион

Умножение разделенных кватернионов
×	1	я	дж	к
1	1	я	дж	к
я	я	−1	к	-j
дж	дж	-к	1	-я
к	к	дж	я	1

В абстрактной алгебре разделенные кватернионы или кокватернионы образуют алгебраическую структуру , введенную Джеймсом Коклом в 1849 году под последним названием. Они образуют ассоциативную алгебру размерности четыре над действительными числами .

После введения в 20 веке бескоординатных определений колец и алгебр что алгебра расщепленных кватернионов изоморфна кольцу вещественных было доказано , размера $2\times2$ матриц . Таким образом, изучение расщепленных кватернионов можно свести к изучению реальных матриц, и это может объяснить, почему в математической литературе XX и XXI веков мало упоминаний о расщепленных кватернионах.

Определение [ править ]

Сплит -кватернионы представляют собой линейные комбинации (с действительными коэффициентами) четырех базисных элементов $1, i, j, k$ , которые удовлетворяют следующим правилам произведения:

я 2 = -1

,

дж 2 = 1

,

к 2 = 1

,

ij знак равно k знак равно -ji

.

По ассоциативности эти отношения подразумевают

jk = -i = -kj

,

ки = j = -ik

,

а также $ijk = 1$ .

Итак, разделенные кватернионы образуют вещественное векторное пространство размерности четыре с ${1, i, j, k}$ в качестве основы . Они также образуют некоммутативное кольцо , распространяя вышеуказанные правила произведения за счет дистрибутивности на все расщепленные кватернионы.

Рассмотрим квадратные матрицы

{\begin{aligned}{\boldsymbol {1}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\qquad &{\boldsymbol {i}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\\{\boldsymbol {j}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad &{\boldsymbol {k}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

Они удовлетворяют той же таблице умножения, что и соответствующие расщепленные кватернионы. Поскольку эти матрицы образуют основу матриц два на два, уникальная линейная функция , которая отображает $1, i, j, k$ в ${\boldsymbol {1}},{\boldsymbol {i}},{\boldsymbol {j}},{\boldsymbol {k}}$ (соответственно) индуцирует изоморфизм алгебры расщепленных кватернионов вещественным матрицам размером два на два.

Приведенные выше правила умножения подразумевают, что восемь элементов $1, i, j, k, -1, -i, -j, -k$ образуют группу при этом умножении, которая изоморфна группе диэдра D ₄ , группе симметрии многогранника. квадрат . Фактически, если рассматривать квадрат, вершинами которого являются точки с координатами $0$ или $1$ , матрица ${\boldsymbol {i}}$ это поворот по часовой стрелке на четверть оборота, ${\boldsymbol {j}}$ - симметрия вокруг первой диагонали, а ${\boldsymbol {k}}$ – симметрия вокруг $оси x$ .

Свойства [ править ]

Подобно кватернионам , введенным Гамильтоном в 1843 году, они образуют четырехмерную вещественную ассоциативную алгебру . Но, как и реальная алгебра матриц 2×2 – и в отличие от реальной алгебры кватернионов – расщепленные кватернионы содержат нетривиальные делители нуля , нильпотентные элементы и идемпотенты . (Например, 1/2 — ( 1 + j) идемпотентный делитель нуля, а i − j — нильпотент.) Как алгебра над действительными числами , алгебра расщепленных кватернионов изоморфна алгебре вещественных матриц размера 2×2 посредством определенный выше изоморфизм.

Этот изоморфизм позволяет идентифицировать каждый разделенный кватернион с матрицей 2×2. Таким образом, каждому свойству разделенных кватернионов соответствует аналогичное свойство матриц, которое часто называют по-другому.

Сопряжение кватерниона разделенного $q знак равно w + x i + y j + z k$ , $q * знак равно ш - Икс я - y j - z k$ . С точки зрения матриц, сопряженная матрица — это матрица-кофактор , полученная путем замены диагональных элементов и изменения знака двух других элементов.

Произведение разделенного кватерниона на сопряженный ему представляет собой изотропную квадратичную форму :

N(q)=qq^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2},

который называется нормой разделенного кватерниона или определителем ассоциированной матрицы.

Действительная часть расщепленного кватерниона $q = w + x i + y j + z k$ равна $w = (q * + q)/2$ . Он равен следу связанной матрицы.

Норма произведения двух расщепленных кватернионов является произведением их норм. Эквивалентно, определитель произведения матриц является произведением их определителей. Это свойство означает, что расщепленные кватернионы образуют композиционную алгебру . Поскольку существуют ненулевые расщепленные кватернионы, имеющие нулевую норму, разделенные кватернионы образуют «расщепляемую композиционную алгебру» – отсюда и их название.

Сплит-кватернион с ненулевой нормой имеет мультипликативную инверсию , а именно $q * / Н (q)$ . С точки зрения матриц это эквивалентно правилу Крамера , которое утверждает, что матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля, и в этом случае обратная матрица представляет собой частное множителя матрицы по определителю.

Изоморфизм между расщепленными кватернионами и вещественными матрицами 2 × 2 показывает, что мультипликативная группа расщепленных кватернионов с ненулевой нормой изоморфна $\operatorname {GL} (2,\mathbb {R} ),$ и группа расщепленных кватернионов нормы $1$ изоморфна $\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} ).$

Геометрически разделенные кватернионы можно сравнить с кватернионами Гамильтона как пучками плоскостей . В обоих случаях действительные числа образуют ось карандаша. В кватернионах Гамильтона существует сфера мнимых единиц, и любая пара антиподальных мнимых единиц порождает комплексную плоскость с действительной линией. Для расщепленных кватернионов существуют гиперболоиды гиперболических и мнимых единиц, которые порождают расщепленные комплексные или обычные комплексные плоскости, как описано ниже в § Стратификация .

Представление в виде комплексных матриц [ править ]

Существует представление расщепленных кватернионов как единичной ассоциативной подалгебры матриц $2\times2$ с комплексными элементами. Это представление может быть определено гомоморфизмом алгебры , который отображает расщепленный кватернион $w + x i + y j + z k$ в матрицу

{\begin{pmatrix}w+xi&y+zi\\y-zi&w-xi\end{pmatrix}}.

Здесь $i$ ( курсив ) — воображаемая единица , не путать с разделенным базисным элементом кватерниона $i$ ( прямой римский ).

Образом этого гомоморфизма является кольцо матриц , образованное матрицами вида

{\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}},

где верхний индекс $^{*}$ обозначает комплексно-сопряженное число .

Этот гомоморфизм отображает соответственно расщепленные кватернионы $i, j, k$ на матрицы

{\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix}}.

Доказательство того, что это представление является гомоморфизмом алгебры, является простым, но требует некоторых скучных вычислений, которых можно избежать, начав с выражения расщепленных кватернионов в виде $вещественных матриц 2 \times 2$ и используя подобие матриц . Пусть $S$ — матрица

S={\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}}.

Тогда, применительно к представлению разделенных кватернионов в виде $вещественных матриц размера 2 \times 2$ , вышеупомянутый гомоморфизм алгебры представляет собой подобие матриц.

M\mapsto S^{-1}MS.

Из этого почти сразу следует, что для разделенного кватерниона, представленного в виде комплексной матрицы, сопряженным является матрица кофакторов, а норма является определителем.

С представлением разделенных кватернионов в виде комплексных матриц. матрицы кватернионов нормы $1$ являются в точности элементами специальной унитарной группы SU(1,1) . Это используется в гиперболической геометрии для описания гиперболических движений модели диска Пуанкаре . ^[1]

Генерация из расщепленных комплексных чисел [ править ]

Сплит-кватернионы могут быть созданы с помощью модифицированной конструкции Кэли – Диксона. ^[2]аналогичен методу Л. Е. Диксона и Адриана Альберта . для тел алгебр C , H и O . Правило умножения

(a,b)(c,d)\ =\ (ac+d^{*}b,\ da+bc^{*})

используется при производстве удвоенного продукта в случаях реального разделения. Двойное сопряжение

(a,b)^{*}=(a^{*},-b),

так что

N(a,b)\ =\ (a,b)(a,b)^{*}\ =\ (aa^{*}-bb^{*},0).

Если a и b — расщепленные комплексные числа и расщепленный кватернион

q=(a,b)=((w+zj),(y+xj)),

затем

N(q)=aa^{*}-bb^{*}=w^{2}-z^{2}-(y^{2}-x^{2})=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.

Стратификация [ править ]

В этом разделе изучаются и классифицируются реальные подалгебры , порожденные одним расщепленным кватернионом.

Пусть $p = w + x i + y j + z k$ — расщепленный кватернион. Его действительная часть равна $w = 1/2 (р + р *)$ . Пусть $q = p - w = 1 / 2 (р - р *)$ быть его нереальной частью . У одного есть $q * = - q$ , и, следовательно, $p^{2}=w^{2}+2wq-N(q).$ Отсюда следует, что $п 2$ является действительным числом тогда и только тогда, когда $p$ является либо действительным числом ( $q = 0$ и $p = w$ ), либо чисто невещественным расщепленным кватернионом ( $w = 0$ и $p = q$ ).

Структура подалгебры $\mathbb {R} [p]$ порожденный $p$ , следует непосредственно. Надо

\mathbb {R} [p]=\mathbb {R} [q]=\{a+bq\mid a,b\in \mathbb {R} \},

и это коммутативная алгебра . Ее размерность равна двум, за исключением случаев, когда $p$ вещественно (в этом случае подалгебра просто $\mathbb {R}$ ).

Нереальные элементы $\mathbb {R} [p]$ квадрат которого вещественный, имеют вид $aq$ с $a\in \mathbb {R} .$

Необходимо рассмотреть три случая, которые подробно описаны в следующих подразделах.

Нильпотентный случай [ править ]

С учетом приведенных выше обозначений, если $q^{2}=0,$ е. если $q$ нильпотентно (т . ), то $N (q) = 0$ , т. е. $x^{2}-y^{2}-z^{2}=0.$ Это означает, что существуют $w$ и $t$ в $\mathbb {R}$ такой, что $0 ⩽ t < 2 π$ и

p=w+a\mathrm {i} +a\cos(t)\mathrm {j} +a\sin(t)\mathrm {k} .

Это параметризация всех расщепленных кватернионов, невещественная часть которых нильпотентна.

Это также параметризация этих подалгебр точками окружности: расщепленные кватернионы вида $\mathrm {i} +\cos(t)\mathrm {j} +\sin(t)\mathrm {k}$ сформировать круг ; подалгебра, порожденная нильпотентным элементом, содержит ровно одну точку окружности; и окружность не содержит других точек.

Алгебра, порожденная нильпотентным элементом, изоморфна $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}\rangle$ и в плоскость двойственных чисел .

Мнимые единицы [ править ]

Гиперболоид двух листов, источник мнимых единиц

Это тот случай, когда $N (q) > 0$ . Сдача в аренду ${\textstyle n={\sqrt {N(q)}},}$ надо

q^{2}=-q^{*}q=N(q)=n^{2}=x^{2}-y^{2}-z^{2}.

Следует, что $1 / n q$ принадлежит гиперболоиду двух листов уравнения $x^{2}-y^{2}-z^{2}=1.$ Следовательно, существуют действительные числа $n, t, u$ такие, что $0 \leq t < 2 π$ и

p=w+n\cosh(u)\mathrm {i} +n\sinh(u)\cos(t)\mathrm {j} +n\sinh(u)\sin(t)\mathrm {k} .

Это параметризация всех расщепленных кватернионов, невещественная часть которых имеет положительную норму.

Это и есть параметризация соответствующих подалгебр парами противоположных точек двухлистного гиперболоида: расщепленные кватернионы вида $\cosh(u)\mathrm {i} +\sinh(u)\cos(t)\mathrm {j} +\sinh(u)\sin(t)\mathrm {k}$ сформировать гиперболоид из двух листов; подалгебра, порожденная расщепленным кватернионом с невещественной частью положительной нормы, содержит ровно две противоположные точки на этом гиперболоиде, по одной на каждом листе; и гиперболоид не содержит других точек.

Алгебра, порожденная расщепленным кватернионом с невещественной частью положительной нормы, изоморфна $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}+1\rangle$ и в поле $\mathbb {C}$ комплексных чисел .

Гиперболические единицы [ править ]

Гиперболоид одного листа, источник гиперболических единиц .
называется $x )$ (вертикальная ось в статье

Это тот случай, когда $N (q) < 0$ . Сдача в аренду ${\textstyle n={\sqrt {-N(q)}},}$ надо

q^{2}=-q^{*}q=N(q)=-n^{2}=x^{2}-y^{2}-z^{2}.

Следует, что $1 / n q$ принадлежит гиперболоиду одного листа уравнения $y 2 + я 2 - х 2 = 1$ . Следовательно, существуют действительные числа $n, t, u$ такие, что $0 \leq t < 2 π$ и

p=w+n\sinh(u)\mathrm {i} +n\cosh(u)\cos(t)\mathrm {j} +n\cosh(u)\sin(t)\mathrm {k} .

Это параметризация всех расщепленных кватернионов, невещественная часть которых имеет отрицательную норму.

Это и есть параметризация соответствующих подалгебр парами противоположных точек однолистного гиперболоида: расщепленные кватернионы вида $\sinh(u)\mathrm {i} +\cosh(u)\cos(t)\mathrm {j} +\cosh(u)\sin(t)\mathrm {k}$ сформировать гиперболоид из одного листа; подалгебра, порожденная расщепленным кватернионом с невещественной частью отрицательной нормы, содержит ровно две противоположные точки на этом гиперболоиде; и гиперболоид не содержит других точек.

Алгебра, порожденная расщепленным кватернионом с невещественной частью отрицательной нормы, изоморфна $\mathbb {R} [X]/\langle X^{2}-1\rangle$ и кольцу расщепленных комплексных чисел . Она также изоморфна (как алгебра) $\mathbb {R} ^{2}$ отображением, определенным ${\textstyle (1,0)\mapsto {\frac {1+X}{2}},\quad (0,1)\mapsto {\frac {1-X}{2}}.}$

Стратификация по норме [ править ]

Как видно выше, чисто невещественные расщепленные кватернионы нормы $-1, 1$ и $0$ образуют соответственно однолистный гиперболоид, двухлистный гиперболоид и круговой конус в пространстве невещественных кватернионов.

Эти поверхности являются попарными асимптотами и не пересекаются. Их состав состоит из шести связанных регионов:

две области, расположенные на вогнутой стороне гиперболоида из двух листов, где $N(q)>1$
две области между двухлистным гиперболоидом и конусом, где $0<N(q)<1$
область между конусом и однолистным гиперболоидом, где $-1<N(q)<0$
область вне гиперболоида одного листа, где $N(q)<-1$

Эту стратификацию можно уточнить, рассматривая расщепленные кватернионы фиксированной нормы: для каждого действительного числа $n \neq 0$ чисто невещественные расщепленные кватернионы нормы $n$ образуют гиперболоид. Все эти гиперболоиды являются асимптотами указанного выше конуса, и ни одна из этих поверхностей не пересекается с другой. Поскольку набор чисто нереальных расщепленных кватернионов представляет собой непересекающееся объединение этих поверхностей, это обеспечивает желаемую стратификацию.

Цветовое пространство [ править ]

Разделенные кватернионы были применены к цветовому балансу. ^[3]Модель относится к йордановой алгебре симметричных матриц, представляющих алгебру. Модель примиряет трихроматию с оппозицией Геринга и использует -Клейна Кэли модель гиперболической геометрии для хроматических расстояний.

Исторические заметки [ править ]

Первоначально были введены кокватернионы (под этим названием). ^[4]в 1849 году Джеймсом Коклом Лондон-Эдинбург-Дублин в Философском журнале . Вступительные статьи Кокла были отозваны в Библиографии 1904 года. ^[5] Общества Кватернионов .

Александр Макфарлейн назвал структуру векторов расщепленных кватернионов эксферической системой , когда выступал на Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году. ^[6] Макфарлейн рассмотрел «гиперболоидный аналог сферического анализа» в статье 1910 года «Объединение и развитие принципов алгебры пространства» в Бюллетене Общества кватернионов . ^[7]

Единичная сфера была рассмотрена в 1910 году Гансом Беком. ^[8] Например, группа диэдра появляется на странице 419. Структура расщепленных кватернионов также кратко упоминалась в «Анналах математики» . ^[9]^[10]

Синонимы [ править ]

Пара-кватернионы (Иванов и Замковой 2005, Мохаупт 2006) Многообразия с пара-кватернионными структурами изучаются в дифференциальной геометрии и теории струн . В паракватернионной литературе $k$ заменяется на $-k$ .
Эксферическая система (Макфарлейн, 1900 г.)
Сплит-кватернионы (Розенфельд, 1988) ^[11]
Антикватернионы (Розенфельд, 1988)
Псевдокватернионы (Яглом 1968). ^[12] Розенфельд 1988)

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Карзель, Хельмут и Гюнтер Кист (1985) «Кинематические алгебры и их геометрии», в журналах «Кольца и геометрия» , редакторы Р. Кайя, П. Плауманн и К. Страмбах, стр. 437–509, особенно 449,50, Д. Рейдель ISBN 90-277-2112-2
^ Кевин МакКриммон (2004) Вкус джордановой алгебры , страница 64, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 МР 2014924
^ Мишель Бертье, Николетта Пренсипи и Эдуардо Провенци (2023) Разделение кватернионов для перцептивного баланса белого @ HAL
^ Джеймс Кокл (1849), О системах алгебры, включающих более одного воображаемого , философский журнал (серия 3) 35: 434,5, ссылка из Библиотеки наследия биоразнообразия
^ А. Макфарлейн (1904) Библиография кватернионов и родственных систем математики , из Корнельского университета монографий по исторической математике , записи для Джеймса Кокла, стр. 17–18
^ А. Макфарлейн (1900) Применение пространственного анализа к криволинейным координатам. Архивировано 10 августа 2014 г. в Wayback Machine , Труды Международного конгресса математиков , Париж, стр. 306, Международный математический союз.
^ А. Макфарлейн (1910) «Объединение и развитие принципов алгебры пространства» через Интернет-архив.
^ Ганс Бек (1910) Дополнительная статья о геометрии круговых отношений Мебиуса , Труды Американского математического общества 11
^ AA Альберт (1942), «Квадратичные формы, допускающие композицию», Annals of Mathematics 43:161–77
^ Валентин Баргманн (1947), «Неприводимые унитарные представления группы Лоренца» , Annals of Mathematics 48: 568–640
^ Розенфельд, BA (1988) История неевклидовой геометрии , страница 389, Springer-Verlag ISBN 0-387-96458-4
^ Исаак Яглом (1968) Комплексные числа в геометрии , страница 24, Academic Press

Дальнейшее чтение [ править ]

Броуди, Дордже К. и Ева-Мария Грефе . «О комплексной механике и кокватернионах». Журнал физики А: Математический и теоретический 44.7 (2011): 072001. дои : 10.1088/1751-8113/44/7/072001
Иванов, Стефан; Замковой, Симеон (2005), «Параэрмитовые и паракватернионные многообразия», Дифференциальная геометрия и ее приложения 23 , стр. 205–234, arXiv : math.DG/0310415 , MR 2158044 .
Мохаупт, Томас (2006), «Новые разработки в специальной геометрии», arXiv : hep-th/0602171 .
Оздемир, М. (2009) «Корни разделенного кватерниона», Applied Mathematics Letters 22:258–63. [1]
Оздемир, М. и А.А. Эргин (2006) «Вращения с времяподобными кватернионами в трехмерном пространстве Минковского», Журнал геометрии и физики 56: 322–36. [2]
Погоруй, Анатолий и Рамон М. Родригес-Дагнино (2008) Некоторые алгебраические и аналитические свойства кокватернионной алгебры , Достижения в области прикладных алгебр Клиффорда .

[1] Карзель, Хельмут и Гюнтер Кист (1985) «Кинематические алгебры и их геометрии», в журналах «Кольца и геометрия» , редакторы Р. Кайя, П. Плауманн и К. Страмбах, стр. 437–509, особенно 449,50, Д. Рейдель ISBN 90-277-2112-2

[2] Кевин МакКриммон (2004) Вкус джордановой алгебры , страница 64, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 МР 2014924

[3] Мишель Бертье, Николетта Пренсипи и Эдуардо Провенци (2023) Разделение кватернионов для перцептивного баланса белого @ HAL

[4] Джеймс Кокл (1849), О системах алгебры, включающих более одного воображаемого , философский журнал (серия 3) 35: 434,5, ссылка из Библиотеки наследия биоразнообразия

[5] А. Макфарлейн (1904) Библиография кватернионов и родственных систем математики , из Корнельского университета монографий по исторической математике , записи для Джеймса Кокла, стр. 17–18

[6] А. Макфарлейн (1900) Применение пространственного анализа к криволинейным координатам. Архивировано 10 августа 2014 г. в Wayback Machine , Труды Международного конгресса математиков , Париж, стр. 306, Международный математический союз.

[7] А. Макфарлейн (1910) «Объединение и развитие принципов алгебры пространства» через Интернет-архив.

[8] Ганс Бек (1910) Дополнительная статья о геометрии круговых отношений Мебиуса , Труды Американского математического общества 11

[9] AA Альберт (1942), «Квадратичные формы, допускающие композицию», Annals of Mathematics 43:161–77

[10] Валентин Баргманн (1947), «Неприводимые унитарные представления группы Лоренца» , Annals of Mathematics 48: 568–640

[11] Розенфельд, BA (1988) История неевклидовой геометрии , страница 389, Springer-Verlag ISBN 0-387-96458-4

[12] Исаак Яглом (1968) Комплексные числа в геометрии , страница 24, Academic Press

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

v т Это счисления Системы
Наборы определимых чисел	Натуральные числа ( $\mathbb {N}$ ) Целые числа ( $\mathbb {Z}$ ) Рациональное число ( $\mathbb {Q}$ ) Конструируемые числа Алгебраические числа ( $\mathbb {A}$ ) Числа закрытой формы Периоды Вычислимые числа Арифметические числа Теоретико-множественные определяемые числа Гауссовы целые числа
Композиционные алгебры	Алгебры с делением : Действительные числа ( $\mathbb {R}$ ) Комплексные числа ( $\mathbb {C}$ ) Кватернионы ( $\mathbb {H}$ ) Октонионы ( $\mathbb {O}$ )
Расколоть типы	Над $\mathbb {R}$ : Сплит-комплексные числа Сплит-кватернионы Сплит-октонионы Над $\mathbb {C}$ : Бикомплексные числа Бикватернионы Биоктонионы
Другой гиперкомплекс	Двойные числа Двойные кватернионы Двойные комплексные числа Гиперболические кватернионы Седенионы ( $\mathbb {S}$ ) Сплит-бикватернионы Мультикомплексные числа Геометрическая алгебра / алгебра Клиффорда Алгебра физического пространства Алгебра пространства-времени Геометрическая алгебра на основе плоскостей
Бесконечности и бесконечно малые	Количественные числительные Расширенные натуральные числа Расширенные действительные числа Проективный Гиперреальные числа Поле Леви-Чивита Порядковые номера Сверхъестественные числа Сюрреалистические цифры Сверхдействительные числа
Другие типы	Иррациональные числа Нечеткие числа Трансцендентные числа p -адические числа ( p -адические соленоиды ) Проконечные целые числа Нормальные числа
Классификация Список