Правило Крамера

В линейной алгебре правило Крамера — это явная формула для решения системы линейных уравнений с таким количеством уравнений, сколько неизвестных, действительная, когда система имеет единственное решение. Он выражает решение через определители (квадратной) матрицы коэффициентов и матриц, полученных из нее заменой одного столбца на вектор-столбец правых частей уравнений. Он назван в честь Габриэля Крамера , опубликовавшего правило для произвольного числа неизвестных в 1750 году. хотя Колен Маклорен также опубликовал особые случаи этого правила в 1748 году, и, возможно, знал об этом еще в 1729 году.

Правило Крамера, реализованное наивным способом, вычислительно неэффективно для систем, состоящих более чем из двух или трех уравнений. В случае n уравнений с n неизвестными требуется вычисление n + 1 определителя, а метод исключения Гаусса дает результат с той же вычислительной сложностью , что и вычисление одного определителя. Правило Крамера также может быть численно нестабильным даже для систем 2 × 2. Однако правило Крамера может быть реализовано с той же сложностью, что и метод исключения Гаусса . (последовательно требует вдвое больше арифметических операций и имеет одинаковую числовую стабильность при применении одних и тех же матриц перестановок).

Общий случай

Рассмотрим систему n линейных уравнений для n неизвестных, представленную в форме матричного умножения следующим образом:

$A\mathbf {x} =\mathbf {b}$

где размера n × n матрица A имеет ненулевой определитель, а вектор $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\mathsf {T}}$ — вектор-столбец переменных. Тогда теорема утверждает, что в этом случае система имеет единственное решение, индивидуальные значения неизвестных которого определяются формулой:

$x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}\qquad i=1,\ldots ,n$

где $A_{i}$ — матрица, сформированная путем замены i -го столбца A вектором-столбцом b .

Более общая версия правила Крамера. рассматривает матричное уравнение

$AX=B$

где размера n × n матрица A имеет ненулевой определитель, а X , B — матрицы размера n × m . Данные последовательности $1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n$ и $1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq m$, позволять $X_{I,J}$ — подматрица k × k матрицы X со строками в $I:=(i_{1},\ldots ,i_{k})$ и столбцы в $J:=(j_{1},\ldots ,j_{k})$. Позволять $A_{B}(I,J)$ — матрица размера n × n, сформированная заменой $i_{s}$ столбец А по $j_{s}$ столбец B , для всех $s=1,\ldots ,k$. Затем

$\det X_{I,J}={\frac {\det(A_{B}(I,J))}{\det(A)}}.$

В случае $k=1$, это сводится к обычному правилу Крамера.

Правило справедливо для систем уравнений с коэффициентами и неизвестными в любых полях , а не только в действительных числах .

Доказательство

Доказательство правила Крамера использует следующие свойства определителей : линейность по отношению к любому заданному столбцу и тот факт, что определитель равен нулю, когда два столбца равны, что подразумевается из свойства того, что знак определителя меняется при переключении две колонки.

Зафиксируйте индекс j столбца и учтите, что записи других столбцов имеют фиксированные значения. Это делает определитель функцией элементов j -го столбца. Линейность по этому столбцу означает, что эта функция имеет вид

$D_{j}(a_{1,j},\ldots ,a_{n,j})=C_{1,j}a_{1,j}+\cdots ,C_{n,j}a_{n,j},$

где $C_{i,j}$ — это коэффициенты, которые зависят от записей A , которых нет в столбце j . Итак, у человека есть

$\det(A)=D_{j}(a_{1,j},\ldots ,a_{n,j})=C_{1,j}a_{1,j}+\cdots ,C_{n,j}a_{n,j}$

( Разложение Лапласа дает формулу для вычисления $C_{i,j}$ но их выражение здесь не важно.)

Если функция $D_{j}$ применяется к любому другому столбцу k из A , то результатом является определитель матрицы, полученной из A путем замены столбца j копией столбца k , поэтому результирующий определитель равен 0 (случай двух равных столбцов).

Теперь рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными $x_{1},\ldots ,x_{n}$, чья матрица коэффициентов равна A , где det( A ) предполагается ненулевым:

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\&\vdots &\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}&=&b_{n}.\end{matrix}}$

Если объединить эти уравнения, взяв C _{1, j,} умноженное на первое уравнение, плюс C _{2, j} , умноженное на второе, и так далее, пока C _{n , j} , умноженное на последнее, тогда для каждого k результирующий коэффициент при x _k станет

$D_{j}(a_{1,k},\ldots ,a_{n,k}).$

Итак, все коэффициенты обращаются в ноль, кроме коэффициента $x_{j}$ это становится $\det(A).$ Аналогично, постоянный коэффициент становится $D_{j}(b_{1},\ldots ,b_{n}),$ и полученное уравнение, таким образом, имеет вид

$\det(A)x_{j}=D_{j}(b_{1},\ldots ,b_{n}),$

что дает значение $x_{j}$ как

$x_{j}={\frac {1}{\det(A)}}D_{j}(b_{1},\ldots ,b_{n}).$

Поскольку числитель по построению является определителем матрицы, полученной из A заменой столбца j на b , мы получаем выражение правила Крамера как необходимое условие решения.

Осталось доказать, что эти значения неизвестных образуют решение. Пусть M — матрица размера n × n , имеющая коэффициенты $D_{j}$ в качестве j- й строки, для $j=1,\ldots ,n$ (это сопряженная матрица для A ). Выражаясь в матричных терминах, мы должны таким образом доказать, что

$\mathbf {x} ={\frac {1}{\det(A)}}M\mathbf {b}$

является решением; то есть, что

$A\left({\frac {1}{\det(A)}}M\right)\mathbf {b} =\mathbf {b} .$

Для этого достаточно доказать, что

$A\,\left({\frac {1}{\det(A)}}M\right)=I_{n},$

где $I_{n}$ является единичной матрицей .

Вышеуказанные свойства функций $D_{j}$ покажите, что MA = det( A ) I _n , и, следовательно,

$\left({\frac {1}{\det(A)}}M\right)\,A=I_{n}.$

Это завершает доказательство, поскольку левая обратная квадратной матрице также является обратной правой (см. Теорему об обратимой матрице ).

Другие доказательства см. ниже .

Нахождение обратной матрицы

Основная статья: Обратимая матрица § Методы обращения матрицы

Пусть A — матрица n × n с элементами в поле F. размера Затем

$A\,\operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} (A)\,A=\det(A)I$

где adj( A ) обозначает сопряженную матрицу , det( A ) является определителем, а I является единичной матрицей . Если det( A ) не равно нулю, то обратная матрица A равна

$A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\operatorname {adj} (A).$

Это дает формулу, обратную A , при условии, что det( A ) ≠ 0 . Фактически, эта формула работает всякий раз, когда F — коммутативное кольцо , при условии, что det( A ) — единица . Если det( A ) не является единицей, то A не обратимо над кольцом (оно может быть обратимо над большим кольцом, в котором некоторые неединичные элементы F могут быть обратимыми).

Приложения

Явные формулы для малых систем

Рассмотрим линейную систему

$\left\{{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y&={\color {red}c_{1}}\\a_{2}x+b_{2}y&={\color {red}c_{2}}\end{matrix}}\right.$

что в матричном формате

${\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}c_{1}}\\{\color {red}c_{2}}\end{bmatrix}}.$

Предположим, что a ₁ b ₂ − b ₁ a ₂ не равно нулю. помощью определителей x Тогда с и y можно найти по правилу Крамера как

${\begin{aligned}x&={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}{c_{1}}}&b_{1}\\{\color {red}{c_{2}}}&b_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}={{\color {red}c_{1}}b_{2}-b_{1}{\color {red}c_{2}} \over a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&{\color {red}{c_{1}}}\\a_{2}&{\color {red}{c_{2}}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}={a_{1}{\color {red}c_{2}}-{\color {red}c_{1}}a_{2} \over a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}}\end{aligned}}.$

Правила для матриц 3×3 аналогичны. Данный

$\left\{{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z&={\color {red}d_{1}}\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z&={\color {red}d_{2}}\\a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z&={\color {red}d_{3}}\end{matrix}}\right.$

что в матричном формате

${\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}d_{1}}\\{\color {red}d_{2}}\\{\color {red}d_{3}}\end{bmatrix}}.$

Тогда значения x, y и z можно найти следующим образом:

$x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}d_{1}}&b_{1}&c_{1}\\{\color {red}d_{2}}&b_{2}&c_{2}\\{\color {red}d_{3}}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&{\color {red}d_{1}}&c_{1}\\a_{2}&{\color {red}d_{2}}&c_{2}\\a_{3}&{\color {red}d_{3}}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}},{\text{ and }}z={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&{\color {red}d_{1}}\\a_{2}&b_{2}&{\color {red}d_{2}}\\a_{3}&b_{3}&{\color {red}d_{3}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}}.$

Дифференциальная геометрия

Фигурное исчисление

Правило Крамера используется в исчислении Риччи при различных вычислениях с символами Кристоффеля первого и второго рода.

В частности, правило Крамера можно использовать для доказательства того, что оператор дивергенции на римановом многообразии инвариантен относительно замены координат. Мы даем прямое доказательство, опуская роль символов Кристоффеля.Позволять $(M,g)$ быть римановым многообразием, снабженным локальными координатами $(x^{1},x^{2},\dots ,x^{n})$. Позволять $A=A^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$ быть векторным полем . используем соглашение о суммировании Мы повсюду .

Теорема .

Расхождение ​ ​ $A$,

$\operatorname {div} A={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left(A^{i}{\sqrt {\det g}}\right),$

инвариантен относительно изменения координат.

show Доказательство

Let $(x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n})\mapsto ({\bar {x}}^{1},\ldots ,{\bar {x}}^{n})$ be a coordinate transformation with non-singular Jacobian. Then the classical transformation laws imply that $A={\bar {A}}^{k}{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{k}}}$ where ${\bar {A}}^{k}={\frac {\partial {\bar {x}}^{k}}{\partial x^{j}}}A^{j}$. Similarly, if $g=g_{mk}\,dx^{m}\otimes dx^{k}={\bar {g}}_{ij}\,d{\bar {x}}^{i}\otimes d{\bar {x}}^{j}$, then ${\bar {g}}_{ij}=\,{\frac {\partial x^{m}}{\partial {\bar {x}}^{i}}}{\frac {\partial x^{k}}{\partial {\bar {x}}^{j}}}g_{mk}$. Writing this transformation law in terms of matrices yields ${\bar {g}}=\left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)^{\text{T}}g\left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)$, which implies $\det {\bar {g}}=\left(\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)\right)^{2}\det g$. Now one computes ${\begin{aligned}\operatorname {div} A&={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left(A^{i}{\sqrt {\det g}}\right)\\&=\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right){\frac {1}{\sqrt {\det {\bar {g}}}}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{k}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{k}}}\left({\frac {\partial x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\ell }}}{\bar {A}}^{\ell }\det \!\left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)^{\!\!-1}\!{\sqrt {\det {\bar {g}}}}\right).\end{aligned}}$ In order to show that this equals ${\frac {1}{\sqrt {\det {\bar {g}}}}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{k}}}\left({\bar {A}}^{k}{\sqrt {\det {\bar {g}}}}\right)$,it is necessary and sufficient to show that ${\frac {\partial {\bar {x}}^{k}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{k}}}\left({\frac {\partial x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\ell }}}\det \!\left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)^{\!\!\!-1}\right)=0\qquad {\text{for all }}\ell ,$ which is equivalent to ${\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\ell }}}\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)=\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right){\frac {\partial {\bar {x}}^{k}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial ^{2}x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{k}\partial {\bar {x}}^{\ell }}}.$ Carrying out the differentiation on the left-hand side, we get: ${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\ell }}}\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)&=(-1)^{i+j}{\frac {\partial ^{2}x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\ell }\partial {\bar {x}}^{j}}}\det M(i|j)\\&={\frac {\partial ^{2}x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\ell }\partial {\bar {x}}^{j}}}\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right){\frac {(-1)^{i+j}}{\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)}}\det M(i|j)=(\ast ),\end{aligned}}$ where $M(i|j)$ denotes the matrix obtained from $\left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)$ by deleting the $i$th row and $j$th column.But Cramer's Rule says that ${\frac {(-1)^{i+j}}{\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)}}\det M(i|j)$ is the $(j,i)$th entry of the matrix $\left({\frac {\partial {\bar {x}}}{\partial x}}\right)$.Thus $(\ast )=\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right){\frac {\partial ^{2}x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\ell }\partial {\bar {x}}^{j}}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{j}}{\partial x^{i}}},$ completing the proof.

Неявное вычисление производных

Рассмотрим два уравнения $F(x,y,u,v)=0$ и $G(x,y,u,v)=0$. Когда u и v являются независимыми переменными, мы можем определить $x=X(u,v)$ и $y=Y(u,v).$

Уравнение для ${\dfrac {\partial x}{\partial u}}$ можно найти, применив правило Крамера.

show Расчет ${\dfrac {\partial x}{\partial u}}$

First, calculate the first derivatives of F, G, x, and y: ${\begin{aligned}dF&={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac {\partial F}{\partial u}}du+{\frac {\partial F}{\partial v}}dv=0\\[6pt]dG&={\frac {\partial G}{\partial x}}dx+{\frac {\partial G}{\partial y}}dy+{\frac {\partial G}{\partial u}}du+{\frac {\partial G}{\partial v}}dv=0\\[6pt]dx&={\frac {\partial X}{\partial u}}du+{\frac {\partial X}{\partial v}}dv\\[6pt]dy&={\frac {\partial Y}{\partial u}}du+{\frac {\partial Y}{\partial v}}dv.\end{aligned}}$ Substituting dx, dy into dF and dG, we have: ${\begin{aligned}dF&=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial v}}\right)dv=0\\[6pt]dG&=\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial v}}\right)dv=0.\end{aligned}}$ Since u, v are both independent, the coefficients of du, dv must be zero. So we can write out equations for the coefficients: ${\begin{aligned}{\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}&=-{\frac {\partial F}{\partial u}}\\[6pt]{\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}&=-{\frac {\partial G}{\partial u}}\\[6pt]{\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}&=-{\frac {\partial F}{\partial v}}\\[6pt]{\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}&=-{\frac {\partial G}{\partial v}}.\end{aligned}}$ Now, by Cramer's rule, we see that: ${\frac {\partial x}{\partial u}}={\frac {\begin{vmatrix}-{\frac {\partial F}{\partial u}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\-{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\frac {\partial F}{\partial x}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\{\frac {\partial G}{\partial x}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}}.$ This is now a formula in terms of two Jacobians: ${\frac {\partial x}{\partial u}}=-{\frac {\left({\frac {\partial (F,G)}{\partial (u,y)}}\right)}{\left({\frac {\partial (F,G)}{\partial (x,y)}}\right)}}.$ Similar formulas can be derived for ${\frac {\partial x}{\partial v}},{\frac {\partial y}{\partial u}},{\frac {\partial y}{\partial v}}.$

Целочисленное программирование

Правило Крамера можно использовать для доказательства того, что задача целочисленного программирования , матрица ограничений которой полностью унимодулярна и правая часть целая, имеет целочисленные базовые решения. Это существенно упрощает решение целочисленной программы.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Правило Крамера используется для вывода общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения методом вариации параметров .

Геометрическая интерпретация

Геометрическая интерпретация правила Крамера. Площади второго и третьего заштрихованных параллелограммов одинаковы, а второго - $x_{1}$ раз первый. Из этого равенства следует правило Крамера.

Правило Крамера имеет геометрическую интерпретацию, которую можно также рассматривать как доказательство или просто дающее представление о его геометрической природе. Эти геометрические аргументы работают в целом, а не только в случае представленных здесь двух уравнений с двумя неизвестными.

Учитывая систему уравнений

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}&=b_{2}\end{matrix}}$

его можно рассматривать как уравнение между векторами

$x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}}={\binom {b_{1}}{b_{2}}}.$

Площадь параллелограмма определяется формулой ${\binom {a_{11}}{a_{21}}}$ и ${\binom {a_{12}}{a_{22}}}$ определяется определителем системы уравнений:

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}.$

В общем, когда имеется больше переменных и уравнений, определитель n векторов длины n даст объем параллелепипеда , определяемого этими векторами в n -мерном евклидовом пространстве .

Следовательно, площадь параллелограмма, определяемая формулой $x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}$ и ${\binom {a_{12}}{a_{22}}}$ должно быть $x_{1}$ раз площадь первой, так как одна из сторон умножена на этот коэффициент. Теперь этот последний параллелограмм по принципу Кавальери имеет ту же площадь, что и параллелограмм, определяемый ${\binom {b_{1}}{b_{2}}}=x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}}$ и ${\binom {a_{12}}{a_{22}}}.$

Приравнивая площади этого последнего и второго параллелограмма, получаем уравнение

${\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}\\b_{2}&a_{22}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}x_{1}&a_{12}\\a_{21}x_{1}&a_{22}\end{vmatrix}}=x_{1}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}$

откуда следует правило Крамера.

Другие доказательства

Доказательство с помощью абстрактной линейной алгебры

Это повторение приведенного выше доказательства на абстрактном языке.

Рассмотрите карту $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto {\frac {1}{\det A}}\left(\det(A_{1}),\ldots ,\det(A_{n})\right),$ где $A_{i}$ это матрица $A$ с $\mathbf {x}$ заменен в $i$столбец, как в правиле Крамера. Из-за линейности определителя в каждом столбце это отображение является линейным. Обратите внимание, что он отправляет $i$й столбец $A$ к $i$-й базисный вектор $\mathbf {e} _{i}=(0,\ldots ,1,\ldots ,0)$ (с 1 в $i$место), поскольку определитель матрицы с повторяющимся столбцом равен 0. Таким образом, мы имеем линейное отображение, которое согласуется с обратным $A$ на пространстве столбца; следовательно, он согласен с $A^{-1}$ на пространстве столбца. С $A$ обратима, векторы-столбцы охватывают все $\mathbb {R} ^{n}$, поэтому наша карта на самом деле является обратной $A$. Далее следует правило Крамера.

Краткое доказательство

Краткое доказательство правила Крамера можно дать, заметив, что $x_{1}$ является определителем матрицы

$X_{1}={\begin{bmatrix}x_{1}&0&0&\cdots &0\\x_{2}&1&0&\cdots &0\\x_{3}&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n}&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

С другой стороны, если предположить, что наша исходная матрица A обратима, эта матрица $X_{1}$ есть столбцы $A^{-1}\mathbf {b} ,A^{-1}\mathbf {v} _{2},\ldots ,A^{-1}\mathbf {v} _{n}$, где $\mathbf {v} _{n}$ — n столбец матрицы A. - й Напомним, что матрица $A_{1}$ есть столбцы $\mathbf {b} ,\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$, и поэтому $X_{1}=A^{-1}A_{1}$. Следовательно, используя тот факт, что определитель произведения двух матриц является произведением определителей, мы имеем

$x_{1}=\det(X_{1})=\det(A^{-1})\det(A_{1})={\frac {\det(A_{1})}{\det(A)}}.$

Доказательство для других $x_{j}$ похож.

Использование геометрической алгебры

см. здесь

Несогласованные и неопределенные случаи

Система уравнений называется несовместной, если у нее нет решений, и неопределенной, если существует более одного решения. Для линейных уравнений неопределенная система будет иметь бесконечно много решений (если она находится над бесконечным полем), поскольку решения могут быть выражены через один или несколько параметров, которые могут принимать произвольные значения.

Правило Крамера применимо к случаю, когда определитель коэффициента не равен нулю. В случае 2 × 2, если определитель коэффициента равен нулю, то система несовместима, если определители числителя не равны нулю, или неопределенна, если определители числителя равны нулю.

Для систем 3 × 3 или выше единственное, что можно сказать, когда определитель коэффициента равен нулю, это то, что если какой-либо из определителей числителя не равен нулю, то система должна быть несовместной. Однако наличие нуля всех определителей не означает, что система неопределенна. Простой пример, когда все определители равны нулю (равны нулю), но система по-прежнему несовместима, — это система 3 × 3 x + y + z =1, x + y + z =2, x + y + z =3.

См. также

• Теорема Руше – Капелли
• Исключение по Гауссу

Внешние ссылки

• Доказательство правила Крамера. Архивировано 22 сентября 2015 г. в Wayback Machine.
• WebApp описательное решение систем линейных уравнений с помощью правила Крамера
• Онлайн калькулятор системы линейных уравнений
• Объяснение Wolfram MathWorld по этому вопросу