Конус

Чтобы узнать о других значениях, см. Конус (значения) .

Не путать с конической поверхностью .

Конус
Прямой круглый конус с радиусом основания r , высотой h , наклонной высотой c и углом θ .
Тип	Солидная фигура
Лица	1 круглая грань и 1 коническая поверхность
Эйлер чар.	2
Группа симметрии	О (2)
Площадь поверхности	π р 2 + π рℓ
Объем	( π р 2 ч )/3

Прямой круговой конус и наклонный круговой конус.

Двойной конус (не показан бесконечно вытянутым)

3D модель конуса

Конус называемой — это трехмерная геометрическая форма , которая плавно сужается от плоского основания (часто, но не обязательно круглого) к точке, вершиной или вершиной .

Конус формируется набором отрезков , полупрямых или линий, соединяющих общую точку (вершину) со всеми точками основания, находящегося в плоскости , не содержащей вершину. В зависимости от автора, основание может быть ограничено кругом , любой одномерной квадратичной формой на плоскости, любой замкнутой одномерной фигурой или любым из вышеперечисленных плюс всеми заключенными в них точками. Если заключенные точки включены в основу, конус представляет собой сплошной объект ; в противном случае это двумерный объект в трехмерном пространстве. В случае твердого объекта граница, образованная этими линиями или частичными линиями, называется боковой поверхностью ; если боковая поверхность неограничена, то это коническая поверхность .

В случае отрезков конус не выходит за пределы основания, а в случае полупрямых — бесконечно далеко. В случае линий конус простирается бесконечно далеко в обе стороны от вершины, и в этом случае его иногда называют двойным конусом . Любая половина двойного конуса на одной стороне вершины называется покровом .

Ось круговую конуса — это прямая линия (если она есть), проходящая через вершину, относительно которой основание (и весь конус) имеет симметрию .

В обычном использовании в элементарной геометрии конусы считаются прямоугольными , где круговой означает, что основание представляет собой круг , а прямой означает, что ось проходит через центр основания под прямым углом к ​​его плоскости. Если конус прямоугольный, то пересечение плоскости с боковой поверхностью представляет собой коническое сечение . Однако в целом основа может быть любой формы. и вершина может лежать где угодно (хотя обычно предполагается, что основание ограничено и, следовательно, имеет конечную площадь и что вершина лежит вне плоскости основания). Противопоставлением правых конусов являются косые конусы, у которых ось проходит через центр основания неперпендикулярно.

Вышка управления воздушным движением в форме конуса, аэропорт Шарджи.

Конус с многоугольным основанием называется пирамидой .

В зависимости от контекста «конус» может также означать выпуклый конус или проективный конус .

Конусы также могут быть обобщены на более высокие измерения .

Дополнительная терминология

Периметр основания конуса называется «директрисой», а каждый из отрезков между направляющей и вершиной является «образующей» или «образующей линией» боковой поверхности. (О связи между этим смыслом термина «директриса» и директрисой конического сечения см. Сферы Одуванчика .)

«Радиус основания» круглого конуса — это радиус его основания; часто это называют просто радиусом конуса. Апертура ; прямого кругового конуса — это максимальный угол между двумя образующими линиями если образующая составляет угол θ к оси, апертура равна 2 θ . В оптике угол θ называют половиной угла конуса, чтобы отличить его от апертуры.

Иллюстрация из «Математических задач...», опубликованная в Acta Eruditorum , 1734 г.

Конус, усеченный наклонной плоскостью

Конус, часть которого, включая его вершину, отрезана плоскостью, называется усеченным конусом ; если плоскость усечения параллельна основанию конуса, это называется усеченной конусом . – Эллиптический конус это конус с эллиптическим основанием. — Обобщенный конус это поверхность, созданная набором линий, проходящих через вершину и каждую точку границы (см. также визуальную оболочку ).

Измерения и уравнения

Объем

Объем ​ $V$ любого конического тела равна трети произведения площади основания $A_{B}$ и высота $h$

$V={\frac {1}{3}}A_{B}h.$

В современной математике эту формулу можно легко вычислить с помощью математического анализа — с точностью до масштабирования это интеграл $$\int x^{2}\,dx={\tfrac {1}{3}}x^{3}$$ Без использования исчисления формулу можно доказать, сравнив конус с пирамидой и применив принцип Кавальери , в частности, сравнив конус с правильной квадратной пирамидой (в вертикальном масштабе), которая составляет одну треть куба. Эту формулу невозможно доказать без использования таких бесконечно малых аргументов – в отличие от двумерных формул для площади многогранника, хотя и похожих на площадь круга – и, следовательно, допускались менее строгие доказательства до появления исчисления, когда древние греки использовали метод истощение . По сути, это содержание третьей проблемы Гильберта - точнее, не все многогранные пирамиды конгруэнтны ножницам (их можно разрезать на конечные части и переставить в другие), и поэтому объем не может быть вычислен исключительно с использованием аргумента разложения.

Центр масс

Центр масс конического тела с одинаковой плотностью находится на четверти пути от центра основания до вершины, на прямой линии, соединяющей их.

Правый круглый конус

Объем

Для круглого конуса радиусом r и высотой h основанием является круг площадью $\pi r^{2}$ и поэтому формула объема становится

$V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h.$

Высота наклона

Наклонная высота прямого кругового конуса — это расстояние от любой точки окружности его основания до вершины через отрезок линии, проходящий вдоль поверхности конуса. Это дано ${\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$, где $r$ - радиус основания и $h$ это высота. Это можно доказать с помощью теоремы Пифагора .

Площадь поверхности

Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса равна $LSA=\pi r\ell$ где $r$ - радиус круга в нижней части конуса и $\ell$ - наклонная высота конуса. Площадь поверхности нижнего круга конуса такая же, как и у любого круга. $\pi r^{2}$. Таким образом, общую площадь поверхности прямого кругового конуса можно выразить следующим образом:

• Радиус и высота

$\pi r^{2}+\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$

(площадь основания плюс площадь боковой поверхности; термин ${\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$ это наклонная высота)

$\pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)$

где $r$ это радиус и $h$ это высота.

Общая площадь поверхности прямого кругового конуса с учетом радиуса 𝑟 и высоты наклона ℓ.

• Радиус и наклонная высота

$\pi r^{2}+\pi r\ell$

$\pi r(r+\ell )$

где $r$ это радиус и $\ell$ это наклонная высота.

• Окружность и наклонная высота

${\frac {c^{2}}{4\pi }}+{\frac {c\ell }{2}}$

$\left({\frac {c}{2}}\right)\left({\frac {c}{2\pi }}+\ell \right)$

где $c$ это окружность и $\ell$ это наклонная высота.

• Угол и высота вершины

$\pi h^{2}\tan {\frac {\theta }{2}}\left(\tan {\frac {\theta }{2}}+\sec {\frac {\theta }{2}}\right)$

$-{\frac {\pi h^{2}\sin {\frac {\theta }{2}}}{\sin {\frac {\theta }{2}}-1}}$

где $\theta$ угол при вершине и $h$ это высота.

Круговой сектор

Круглый сектор получается разворачиванием поверхности одного покрова конуса:

• радиус R

$R={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$

• длина дуги L

$L=c=2\pi r$

• центральный угол φ в радианах

$\varphi ={\frac {L}{R}}={\frac {2\pi r}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

Форма уравнения

Поверхность конуса можно параметризовать как

$f(\theta ,h)=(h\cos \theta ,h\sin \theta ,h),$

где $\theta \in [0,2\pi )$ - угол «вокруг» конуса, а $h\in \mathbb {R}$ - это «высота» вдоль конуса.

Правильный сплошной круглый конус высотой $h$ и диафрагма $2\theta$, ось которого $z$ координатной оси, вершина которой является началом координат, параметрически описывается как

$F(s,t,u)=\left(u\tan s\cos t,u\tan s\sin t,u\right)$

где $s,t,u$ диапазон более $[0,\theta )$, $[0,2\pi )$, и $[0,h]$, соответственно.

В неявной форме одно и то же тело определяется неравенствами

$\{F(x,y,z)\leq 0,z\geq 0,z\leq h\},$

где

$F(x,y,z)=(x^{2}+y^{2})(\cos \theta )^{2}-z^{2}(\sin \theta )^{2}.\,$

В более общем смысле, прямой круговой конус с вершиной в начале координат и осью, параллельной вектору. $d$, и диафрагма $2\theta$, задаётся неявным векторным уравнением $F(u)=0$ где

$F(u)=(u\cdot d)^{2}-(d\cdot d)(u\cdot u)(\cos \theta )^{2}$

$F(u)=u\cdot d-|d||u|\cos \theta$

где $u=(x,y,z)$, и $u\cdot d$ обозначает скалярное произведение .

Эллиптический конус

Квадрикическая поверхность эллиптического конуса

В декартовой системе координат эллиптический конус является центром уравнения вида

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=z^{2}.$

Это аффинный образ единичного правоциркульного конуса с уравнением $x^{2}+y^{2}=z^{2}\ .$ Из того факта, что аффинным образом конического сечения является однотипное коническое сечение (эллипс, парабола,...), получаем:

• Любое плоское сечение эллиптического конуса является коническим сечением.

Очевидно, что любой прямой круговой конус содержит окружности. Это также верно, но менее очевидно в общем случае (см. круговой раздел ).

Пересечение эллиптического конуса с концентрической сферой представляет собой сферический конус .

Проективная геометрия

В проективной геометрии цилиндр — это просто конус , вершина которого находится в бесконечности, что визуально соответствует цилиндру в перспективе, который выглядит как конус, обращенный к небу.

В проективной геометрии цилиндр — это просто конус , вершина которого обращена в бесконечность. Интуитивно, если оставить основание фиксированным и принять предел, когда вершина уходит в бесконечность, получится цилиндр, угол стороны которого увеличивается как арктанс , в пределе образуя прямой угол . Это полезно при определении вырожденных коник , которые требуют рассмотрения цилиндрических коник .

По мнению ГБ Хальстеда , конус генерируется аналогично конике Штейнера, только с использованием проективности и осевых карандашей (не в перспективе), а не проективных диапазонов, используемых для коники Штейнера:

«Если два копунктуальных непрямых осевых пучка проективны, но не перспективны, то места пересечения коррелирующих плоскостей образуют «коническую поверхность второго порядка», или «конус».

Обобщения

Дополнительная информация: Гиперконус.

Определение конуса можно распространить на более высокие измерения; см. выпуклый конус . В этом случае говорят, что выпуклое множество C в действительном векторном пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ является конусом (с вершиной в начале координат), если для каждого вектора x из C и каждого неотрицательного действительного числа a вектор ax находится в C . В этом контексте аналоги круглых конусов обычно не являются чем-то особенным; на самом деле часто интересуются многогранными конусами .

Еще более общим понятием является топологический конус , который определяется в произвольных топологических пространствах.

См. также

• Биконус
• Конус (линейная алгебра)
• Цилиндр (геометрия)
• Демокрит
• Обобщенная коническая
• Гиперболоид
• Список фигур
• Пирометрический конус
• Квадрик
• Вращение осей
• Линейчатая поверхность
• Перевод осей

Ссылки

• Проттер, Мюррей Х.; Морри, Чарльз Б. младший (1970), Колледжское исчисление с аналитической геометрией (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , LCCN   76087042

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Конус» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Двойной конус» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Обобщенный конус» . Математический мир .
• Интерактивный вращающийся конус из Maths Is Fun
• Бумажная модель конуса
• Площадь боковой поверхности косого конуса
• Cut a Cone Интерактивная демонстрация пересечения конуса плоскостью.