Гиперконус

Стереографическая проекция образующих сферического конуса (красный), параллелей (зеленый) и гипермеридианов (синий). Благодаря конформному свойству стереографической проекции кривые пересекают друг друга ортогонально (в желтых точках), как в 4D. Все кривые представляют собой круги или прямые линии. Образующие и параллели создают двойной трехмерный конус. Гипермеридианы порождают набор концентрических сфер.

В геометрии гиперконус ) — это (или сферический конус фигура в 4-мерном евклидовом пространстве, представленная уравнением

x^{2}+y^{2}+z^{2}-w^{2}=0.

Это квадратичная поверхность и одно из возможных трехмерных многообразий , которые являются четырехмерными эквивалентами конической поверхности в трех измерениях. Его также называют «сферическим конусом», потому что его пересечения с гиперплоскостями, перпендикулярными оси w , представляют собой сферы . Четырехмерный правый гиперконус можно рассматривать как сферу, которая расширяется со временем, начиная свое расширение из одного точечного источника, так что центр расширяющейся сферы остается фиксированным. Наклонный гиперконус — это сфера, которая расширяется со временем, снова начиная расширение с точечного источника, но так, что центр расширяющейся сферы движется с постоянной скоростью.

Параметрическая форма

Правый сферический гиперконус можно описать функцией

{\vec {\sigma }}(\phi ,\theta ,t)=(ts\cos \theta \cos \phi ,ts\cos \theta \sin \phi ,ts\sin \theta ,t)

с вершиной в начале координат и скоростью расширения s .

Правый сферический гиперконус радиуса r и высоты h можно описать функцией

{\vec {\sigma }}(\phi ,\theta ,t)=\left(t\cos \phi \sin \theta ,t\sin \phi \sin \theta ,t\cos \theta ,{\frac {h}{r}}t\right)

Тогда наклонный сферический гиперконус можно было бы описать функцией

{\vec {\sigma }}(\phi ,\theta ,t)=(v_{x}t+ts\cos \theta \cos \phi ,v_{y}t+ts\cos \theta \sin \phi ,v_{z}t+ts\sin \theta ,t)

где $(v_{x},v_{y},v_{z})$ – 3-скорость центра расширяющейся сферы.Примером такого конуса может быть расширяющаяся звуковая волна , наблюдаемая с точки зрения движущейся системы отсчета: например, звуковая волна реактивного самолета, наблюдаемая из собственной системы отсчета реактивного самолета.

Обратите внимание, что приведенные выше 3D-поверхности заключают в себе 4D-гиперобъемы , которые являются собственно 4-конусами.

Геометрическая интерпретация

Сферический конус состоит из двух неограниченных покровов , которые встречаются в начале координат и являются аналогами покровов трехмерной конической поверхности. Верхний покров соответствует половине с положительными координатами w , а нижний покров соответствует половине с отрицательными координатами w .

Если он ограничен между гиперплоскостями w = 0 и w = r для некоторого ненулевого r , то он может быть замкнут 3-шаром радиуса r с центром в точке (0,0,0, r ), так что он ограничивает конечный 4-мерный объем. Этот объем определяется формулой ⁠ 1 / 3 ⁠ $π$ r ⁴, и является 4-мерным эквивалентом твердого конуса . Шар можно рассматривать как «крышку» у основания покрова четырехмерного конуса, а начало координат становится его «вершиной».

Эту форму можно проецировать в трехмерное пространство различными способами. Если проецировать его на xyz гиперплоскость , его изображение будет шаром . Если проецировать его на гиперплоскости xyw , xzw или yzw , его изображение представляет собой сплошной конус . Если проецировать его на наклонную гиперплоскость, то его изображение представляет собой либо эллипсоид , либо сплошной конус с эллипсоидным основанием (напоминающий рожок мороженого ). Эти изображения являются аналогами возможных изображений сплошного конуса, проецируемых в 2 измерения.

Строительство

(Половина) гиперконуса может быть построена аналогично построению трехмерного конуса. Трехмерный конус можно рассматривать как результат укладки дисков все меньшего размера друг на друга, пока они не сужаются до точки. Альтернативно, трехмерный конус можно рассматривать как объем, охватываемый вертикальным равнобедренным треугольником , вращающимся вокруг своего основания.

Четырехмерный гиперконус можно построить аналогичным образом: складывая все меньшие шарики друг на друга в 4-м направлении, пока они не сужаются до точки, или взяв гиперобъем, охватываемый тетраэдром, стоящим вертикально в 4-м направлении, когда он свободно вращается вокруг своей оси. основание в 3D-гиперплоскости, на которой оно покоится.

Измерения

Гиперобъем

Гиперобъем четырехмерной пирамиды и конуса равен

H={\frac {1}{4}}Vh

где V — объем основания, а h — высота (расстояние между центром основания и вершиной). Для сферического конуса с объемом основания ${\textstyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ , гиперобъем

H={\frac {1}{4}}Vh={\frac {1}{4}}\left({\frac {4}{3}}\pi r^{3}\right)h={\frac {1}{3}}\pi r^{3}h

Объем поверхности

Объем боковой поверхности прямого сферического конуса равен ${\textstyle LSV={\frac {4}{3}}\pi r^{2}l}$ где $r$ - радиус сферического основания и $l$ — наклонная высота конуса (расстояние между двумерной поверхностью сферы и вершиной). Объём поверхности сферического основания такой же, как и у любой сферы, ${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ . Следовательно, общий объем поверхности прямого сферического конуса можно выразить следующим образом:

Радиус и высота

${\frac {4}{3}}\pi r^{3}+{\frac {4}{3}}\pi r^{2}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$
(объем основания плюс объем боковой 3D поверхности; термин ${\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$ это наклонная высота)
${\frac {4}{3}}\pi r^{2}\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)$
где $r$ это радиус и $h$ это высота.

Радиус и наклонная высота

${\frac {4}{3}}\pi r^{3}+{\frac {4}{3}}\pi r^{2}l$
${\frac {4}{3}}\pi r^{2}\left(r+l\right)$
где $r$ это радиус и $l$ это наклонная высота.

Площадь поверхности, радиус и наклонная высота

${\frac {1}{3}}Ar+{\frac {1}{3}}Al$
${\frac {1}{3}}A\left(r+l\right)$
где $A$ - площадь базовой поверхности, $r$ это радиус, а $l$ это наклонная высота.

Временная интерпретация

Если w -координату уравнения сферического конуса интерпретировать как расстояние ct , где t — координатное время , а c — скорость света (константа), то это форма светового конуса в специальной теории относительности . В этом случае уравнение обычно записывается так:

x^{2}+y^{2}+z^{2}-(ct)^{2}=0,

которое также является уравнением для сферических волновых фронтов света. ^[1] Тогда верхний покров — это световой конус будущего , а нижний покров — световой конус прошлого . ^[2]

См. также

Ссылки

^ А. Халперн (1988). 3000 решенных задач по физике . Серия Шаум. Мак Грау Хилл. п. 689. ИСБН 978-0-07-025734-4 .
^ Р.Г. Лернер , Г.Л. Тригг (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издатели ВХК. п. 1054 . ISBN 0-89573-752-3 .

[1] А. Халперн (1988). 3000 решенных задач по физике . Серия Шаум. Мак Грау Хилл. п. 689. ИСБН 978-0-07-025734-4 .

[2] Р.Г. Лернер , Г.Л. Тригг (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издатели ВХК. п. 1054 . ISBN 0-89573-752-3 .

[1]

[2]