Синусоидальные плосковолновые решения уравнения электромагнитных волн

Синусоидальные плоские волновые решения являются частными решениями волнового уравнения .

Общее решение уравнения электромагнитных волн в однородных, линейных, независящих от времени средах можно записать как линейную суперпозицию плоских волн разных частот и поляризаций .

Рассмотрение в этой статье является классическим , но из-за общности уравнений Максвелла для электродинамики оно может быть преобразовано в квантово-механическое рассмотрение только с новой интерпретацией классических величин (помимо квантово-механического рассмотрения, необходимого для плотностей заряда и тока). .

Реинтерпретация основана на теориях Макса Планка и интерпретациях Альберта Эйнштейна. ^{[ сомнительно – обсудить ]} этих теорий и других экспериментов. Квантовое обобщение классической трактовки можно найти в статьях о поляризации фотонов и динамике фотонов в двухщелевом эксперименте.

Объяснение

Экспериментально каждый световой сигнал можно разложить на спектр частот и длин волн, соответствующий синусоидальным решениям волнового уравнения. Поляризационные фильтры можно использовать для разложения света на различные поляризационные компоненты. Компоненты поляризации могут быть линейными , круговыми или эллиптическими .

Плоские волны

Плоское синусоидальное решение для электромагнитной волны , распространяющейся в направлении z: ${\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&={\begin{pmatrix}E_{0,x}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{x}\right)\\E_{0,y}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{y}\right)\\0\end{pmatrix}}\\[1ex]&=E_{0,x}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{x}\right)\,{\hat {\mathbf {x} }}\;+\;E_{0,y}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{y}\right)\,{\hat {\mathbf {y} }}\end{aligned}}$ для электрического поля и ${\begin{aligned}c\,\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&={\hat {\mathbf {z} }}\times \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\\[1ex]&={\begin{pmatrix}-E_{0,y}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{y}\right)\\{\hphantom {-}}E_{0,x}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{x}\right)\\0\end{pmatrix}}\\[1ex]&=-E_{0,y}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{y}\right){\hat {\mathbf {x} }}\;+\;E_{0,x}\cos \left(kz-\omega t+\alpha _{x}\right){\hat {\mathbf {y} }}\end{aligned}}$ для магнитного поля, где k — волновое число , $\omega =ck$ $\omega$ - угловая частота волны, а $c$ это скорость света . Шляпки на векторах обозначают единичные векторы в направлениях x, y и z. $r = (x, y, z)$ — вектор положения (в метрах).

Плоская волна параметризуется амплитудами

Электромагнитное излучение можно представить как самораспространяющуюся поперечно-колеблющуюся волну электрического и магнитного полей. На этой диаграмме изображена плоская линейно поляризованная волна, распространяющаяся справа налево. Магнитное поле (обозначено М) находится в горизонтальной плоскости, а электрическое поле (обозначено Е) — в вертикальной плоскости.

${\begin{aligned}E_{0,x}&=\left|\mathbf {E} \right|\cos \theta \\[1.56ex]E_{0,y}&=\left|\mathbf {E} \right|\sin \theta \end{aligned}}$ и фазы $\alpha _{x},\alpha _{y}$ где $\theta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \tan ^{-1}\left({\frac {E_{0,y}}{E_{0,x}}}\right).$ и $\left|\mathbf {E} \right|^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(E_{0,x}\right)^{2}+\left(E_{0,y}\right)^{2}.$

Вектор состояния поляризации

Вектор Джонса

Всю информацию о поляризации можно свести к одному вектору, называемому вектором Джонса , в плоскости xy. Этот вектор, хотя и возникает в результате чисто классической трактовки поляризации, можно интерпретировать как вектор квантового состояния . Связь с квантовой механикой сделана в статье о поляризации фотонов .

Вектор возникает из решения в виде плоской волны. Решение для электрического поля можно переписать в комплексных обозначениях как $\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=|\mathbf {E} |\,\operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left[|\psi \rangle e^{i(kz-\omega t)}\right]$ где $|\psi \rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(\theta )e^{i\alpha _{x}}\\\sin(\theta )e^{i\alpha _{y}}\end{pmatrix}}$ — вектор Джонса в плоскости xy. Обозначение этого вектора — это , которое обозначение Дирака обычно используется в квантовом контексте. Квантовые обозначения используются здесь в ожидании интерпретации вектора Джонса как вектора квантового состояния.

Двойной вектор Джонса

Вектор Джонса имеет двойственный вектор , заданный формулой $\langle \psi |\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{pmatrix}\psi _{x}^{*}&\psi _{y}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(\theta )e^{-i\alpha _{x}}&\sin(\theta )e^{-i\alpha _{y}}\end{pmatrix}}.$

Нормализация вектора Джонса

Вектор Джонса представляет собой конкретную волну с определенной фазой, амплитудой и состоянием поляризации. Когда вектор Джонса используется просто для обозначения состояния поляризации, его обычно нормируют . Для этого требуется, чтобы внутренний продукт вектора сам на себя был равен единице: $\langle \psi |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\psi _{x}^{*}&\psi _{y}^{*}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\end{pmatrix}}=1.$

Для достижения этого свойства произвольный вектор Джонса можно просто масштабировать. Все нормированные векторы Джонса представляют собой волну одной и той же интенсивности (внутри определенной изотропной среды). Даже при наличии нормализованного вектора Джонса умножение на чистый фазовый коэффициент приведет к получению другого нормализованного вектора Джонса, представляющего то же состояние поляризации.

Поляризационные состояния

Линейная поляризация

В общем случае волна линейно поляризована, когда фазовые углы $\alpha _{x},\alpha _{y}$ равны, $\alpha _{x}=\alpha _{y}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \alpha .$

Это представляет собой волну, поляризованную под углом $\theta$ относительно оси х. В этом случае вектор Джонса можно записать $|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}e^{i\alpha }.$

Эллиптическая и круговая поляризация

Общий случай, когда электрическое поле не ограничено одним направлением, а вращается в плоскости x — y , называется эллиптической поляризацией . Вектор состояния определяется выражением $|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(\theta )e^{i\alpha _{x}}\\\sin(\theta )e^{i\alpha _{y}}\end{pmatrix}}=e^{i\alpha }{\begin{pmatrix}\cos(\theta )\\\sin(\theta )e^{i\Delta \alpha }\end{pmatrix}}.$

В частном случае $\Delta \alpha =0$ , это сводится к линейной поляризации.

Круговая поляризация соответствует частным случаям $\theta =\pm \pi /4$ с $\Delta \alpha =\pi /2$ . Таким образом, два состояния круговой поляризации задаются векторами Джонса: $|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\end{pmatrix}}=e^{i\alpha }{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\\pm i\end{pmatrix}}.$

См. также

ряд Фурье
Поперечный режим
Поперечная волна
Теоретическое и экспериментальное обоснование уравнения Шредингера
Уравнения Максвелла
Уравнение электромагнитной волны
Математические описания электромагнитного поля
Поляризация от атомного перехода: линейная и круговая

Ссылки

Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Уайли. ISBN 0-471-30932-Х .