Исчисление Джонса

В оптике . поляризованный свет можно описать с помощью Джонса исчисления изобретен Р. К. Джонсом в 1941 году. Поляризованный свет представлен вектором Джонса , а линейные оптические элементы представлены Джонса матрицами . Когда свет пересекает оптический элемент, результирующая поляризация выходящего света определяется путем произведения матрицы Джонса оптического элемента и вектора Джонса падающего света.Обратите внимание, что исчисление Джонса применимо только к свету, который уже полностью поляризован. Свет, который является случайно поляризованным, частично поляризованным или некогерентным, должен рассматриваться с использованием исчисления Мюллера .

Вектор Джонса

Вектор Джонса описывает поляризацию света в свободном пространстве или другой однородной изотропной неослабляющей среде, где свет можно правильно описать как поперечные волны . Предположим, что монохроматическая плоская волна света распространяется в положительном направлении z с угловой частотой ω и волновым вектором k = (0,0, k ), где волновое число k = ω / c . Тогда электрические и магнитные поля E и H ортогональны k в каждой точке; оба они лежат в плоскости, «поперечной» направлению движения. Кроме того, H определяется из E поворотом на 90 градусов и фиксированным множителем, зависящим от волнового сопротивления среды. Поэтому поляризацию света можно определить, E. изучая Комплексная амплитуда E записывается

${\begin{pmatrix}E_{x}(t)\\E_{y}(t)\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i(kz-\omega t+\phi _{x})}\\E_{0y}e^{i(kz-\omega t+\phi _{y})}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\\0\end{pmatrix}}e^{i(kz-\omega t)}.$

Обратите внимание, что физическое поле E является действительной частью этого вектора; комплексный множитель предоставляет информацию о фазе. Здесь $i$ это мнимая единица с $i^{2}=-1$.

Вектор Джонса

${\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}.$

Таким образом, вектор Джонса представляет собой амплитуду и фазу электрического поля в направлениях x и y .

Сумма квадратов абсолютных значений двух компонент векторов Джонса пропорциональна интенсивности света. Для упрощения обычно его нормализуют до 1 в начальной точке расчета. Также принято ограничивать первый компонент векторов Джонса действительным числом . При этом игнорируется общая информация о фазе, которая потребуется для расчета помех другим лучам.

Обратите внимание, что все векторы и матрицы Джонса в этой статье используют соглашение, согласно которому фаза световой волны определяется выражением $\phi =kz-\omega t$, соглашение, используемое Хехтом. Согласно этой конвенции, увеличение $\phi _{x}$ (или $\phi _{y}$) указывает на запаздывание (задержку) по фазе, а уменьшение указывает на опережение по фазе. Например, компонент векторов Джонса $i$ ( $=e^{i\pi /2}$) указывает на задержку на $\pi /2$ (или 90 градусов) по сравнению с 1 ( $=e^{0}$). Коллетт использует противоположное определение фазы ( $\phi =\omega t-kz$). Кроме того, Колле и Джонс придерживаются разных соглашений в определении направленности круговой поляризации. Конвенция Джонса называется: «С точки зрения получателя», а конвенция Коллетта называется: «С точки зрения источника». Читателю следует с осторожностью относиться к выбору соглашения при просмотре ссылок по исчислению Джонса.

В следующей таблице приведены 6 распространенных примеров нормализованных векторов Джонса.

поляризация	Вектор Джонса	Типичное кет- обозначение
Линейная поляризация в x направлении Обычно называется «горизонтальным».	${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$	$|H\rangle$
Линейная поляризация в y направлении Обычно называется «вертикальным».	${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$	$|V\rangle$
Линейная поляризация под углом 45° от x . оси Обычно называется «диагональю» L+45.	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$	$|D\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|H\rangle +|V\rangle {\big )}$
Линейная поляризация под углом −45 ° от x . оси Обычно называется «антидиагональным» L-45.	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$	$|A\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|H\rangle -|V\rangle {\big )}$
Правосторонняя круговая поляризация Обычно называется «RCP» или «RHCP».	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}$	$|R\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|H\rangle -i|V\rangle {\big )}$
Левосторонняя круговая поляризация Обычно называется «LCP» или «LHCP».	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\+i\end{pmatrix}}$	$|L\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|H\rangle +i|V\rangle {\big )}$

Общий вектор, указывающий на любое место поверхности, записывается в виде кет. $|\psi \rangle$. При использовании сферы Пуанкаре (также известной как сфера Блоха ) базисные кеты ( $|0\rangle$ и $|1\rangle$) необходимо отнести к противоположным ( антиподальным ) парам перечисленных выше кетов. Например, можно назначить $|0\rangle$ = $|H\rangle$ и $|1\rangle$ = $|V\rangle$. Эти назначения произвольны. Противостоящие пары – это

• $|H\rangle$ и $|V\rangle$
• $|D\rangle$ и $|A\rangle$
• $|R\rangle$ и $|L\rangle$

Поляризация любой точки, не равная $|R\rangle$ или $|L\rangle$ а не по кругу, который проходит $|H\rangle ,|D\rangle ,|V\rangle ,|A\rangle$ известна как эллиптическая поляризация .

Матрицы Джонса

Матрицы Джонса — это операторы, которые действуют на векторы Джонса, определенные выше. Эти матрицы реализуются различными оптическими элементами, такими как линзы, светоделители, зеркала и т. д. Каждая матрица представляет собой проекцию на одномерное комплексное подпространство векторов Джонса. В следующей таблице приведены примеры матриц Джонса для поляризаторов:

Оптический элемент	Матрица Джонса
Линейный поляризатор с горизонтальной осью пропускания	${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$
Линейный поляризатор с вертикальной осью пропускания	${\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}$
Линейный поляризатор с осью пропускания ±45° по горизонтали.	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&\pm 1\\\pm 1&1\end{pmatrix}}$
Линейный поляризатор с осью угла пропускания $\theta$ с горизонтального	${\begin{pmatrix}\cos ^{2}(\theta )&\cos(\theta )\sin(\theta )\\\cos(\theta )\sin(\theta )&\sin ^{2}(\theta )\end{pmatrix}}$
Правый круговой поляризатор	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}}$
Левый круговой поляризатор	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-i\\i&1\end{pmatrix}}$

Фазовые замедлители

Фазовый замедлитель — это оптический элемент, который создает разность фаз между двумя ортогональными компонентами поляризации монохроматического поляризованного луча света. Математически использование кетов для представления векторов Джонса означает, что действие фазового замедлителя заключается в преобразовании света с поляризацией.

$|P\rangle =c_{1}|1\rangle +c_{2}|2\rangle$

к

$|P'\rangle =c_{1}{\rm {e}}^{i\eta /2}|1\rangle +c_{2}{\rm {e}}^{-i\eta /2}|2\rangle$

где $|1\rangle ,|2\rangle$ являются ортогональными компонентами поляризации (т.е. $\langle 1|2\rangle =0$), которые определяются физической природой фазозамедлителя. В общем, ортогональными компонентами могут быть любые два базисных вектора. Например, действие кругового фазозамедлителя таково, что

$|1\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}\qquad {\text{ and }}\qquad |2\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}}$

Однако линейные фазозамедлители, для которых $|1\rangle ,|2\rangle$ являются линейными поляризациями, чаще встречаются в дискуссии и на практике. Фактически, иногда термин «фазовый замедлитель» используется конкретно для обозначения линейных фазовых замедлителей.

Линейные фазовые замедлители обычно изготавливаются из двулучепреломляющих одноосных кристаллов, таких как кальцит , MgF ₂ или кварц . Пластины, изготовленные из этих материалов, для этой цели называются волновыми . Одноосные кристаллы имеют одну кристаллическую ось, которая отличается от двух других кристаллических осей (т. е. n _i ≠ n _j = n _k ). Эта уникальная ось называется необыкновенной осью, а также оптической осью . Оптическая ось может быть быстрой или медленной осью кристалла в зависимости от имеющегося кристалла. Свет распространяется с более высокой фазовой скоростью вдоль оси с наименьшим показателем преломления , и эта ось называется быстрой осью. Точно так же ось с наибольшим показателем преломления называется медленной осью, поскольку фазовая скорость света вдоль этой оси наименьшая. «Отрицательные» одноосные кристаллы (например, кальцит CaCO ₃ , сапфир Al ₂ O ₃ ) имеют n _e < n _o, поэтому для этих кристаллов необыкновенная ось (оптическая ось) является быстрой осью, тогда как для «положительных» одноосных кристаллов (например, , кварц SiO ₂ , фторид магния MgF ₂ , рутил TiO ₂ ), n _e > n _o и, следовательно, необыкновенная ось (оптическая ось) является медленной осью. Существуют и другие коммерчески доступные линейные фазовые замедлители, которые используются в более специализированных приложениях. Ромбики Френеля — одна из таких альтернатив.

Любой линейный фазовый замедлитель, быстрая ось которого определяется как ось x или y, имеет нулевые недиагональные члены и, следовательно, может быть удобно выражен как

${\begin{pmatrix}{\rm {e}}^{i\phi _{x}}&0\\0&{\rm {e}}^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}$

где $\phi _{x}$ и $\phi _{y}$ – сдвиги фаз электрических полей в $x$ и $y$ направления соответственно. В фазовом соглашении $\phi =kz-\omega t$, определим относительную фазу между двумя волнами как $\epsilon =\phi _{y}-\phi _{x}$. Тогда позитив $\epsilon$ (т.е. $\phi _{y}$ > $\phi _{x}$) означает, что $E_{y}$ не достигает того же значения, что и $E_{x}$ до более позднего времени, т.е. $E_{x}$ ведет $E_{y}$. Аналогично, если $\epsilon <0$, затем $E_{y}$ ведет $E_{x}$.

Например, если быстрая ось четвертьволновой пластинки горизонтальна, то фазовая скорость в горизонтальном направлении опережает вертикальное направление, т. е. $E_{x}$ ведет $E_{y}$. Таким образом, $\phi _{x}<\phi _{y}$ что для четвертьволновой пластинки дает $\phi _{y}=\phi _{x}+\pi /2$.

В противоположной конвенции $\phi =\omega t-kz$, определим относительную фазу как $\epsilon =\phi _{x}-\phi _{y}$. Затем $\epsilon >0$ означает, что $E_{y}$ не достигает того же значения, что и $E_{x}$ до более позднего времени, т.е. $E_{x}$ ведет $E_{y}$.

Фазовые замедлители	Соответствующая матрица Джонса
Четвертьволновая пластинка с быстрой вертикальной осью	${\rm {e}}^{\frac {i\pi }{4}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-i\end{pmatrix}}$
Четвертьволновая пластинка с быстрой горизонтальной осью	${\rm {e}}^{-{\frac {i\pi }{4}}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}}$
Четвертьволновая пластинка с быстрой осью под углом $\theta$ относительно горизонтальной оси	${\rm {e}}^{-{\frac {i\pi }{4}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +i\sin ^{2}\theta &(1-i)\sin \theta \cos \theta \\(1-i)\sin \theta \cos \theta &\sin ^{2}\theta +i\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}$
Полуволновая пластинка, вращаемая $\theta$	${\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{pmatrix}}$
Полуволновая пластинка с быстрой осью под углом $\theta$ относительно горизонтальной оси	${\rm {e}}^{-{\frac {i\pi }{2}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta &2\cos \theta \sin \theta \\2\cos \theta \sin \theta &\sin ^{2}\theta -\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}$
Общая волновая пластина (линейный фазовый замедлитель)	${\rm {e}}^{-{\frac {i\eta }{2}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\sin ^{2}\theta &\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right)\cos \theta \sin \theta \\\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right)\cos \theta \sin \theta &\sin ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}$
Произвольный двулучепреломляющий материал (эллиптический фазовый замедлитель)	${\rm {e}}^{-{\frac {i\eta }{2}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\sin ^{2}\theta &\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right){\rm {e}}^{-i\phi }\cos \theta \sin \theta \\\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right){\rm {e}}^{i\phi }\cos \theta \sin \theta &\sin ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}$

Матрица Джонса для произвольного материала с двойным лучепреломлением является наиболее общей формой преобразования поляризации в исчислении Джонса; он может представлять любое преобразование поляризации. Чтобы убедиться в этом, можно показать

${\begin{aligned}&{\rm {e}}^{-{\frac {i\eta }{2}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\sin ^{2}\theta &\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right){\rm {e}}^{-i\phi }\cos \theta \sin \theta \\\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right){\rm {e}}^{i\phi }\cos \theta \sin \theta &\sin ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos(\eta /2)-i\sin(\eta /2)\cos(2\theta )&-\sin(\eta /2)\sin(\phi )\sin(2\theta )-i\sin(\eta /2)\cos(\phi )\sin(2\theta )\\\sin(\eta /2)\sin(\phi )\sin(2\theta )-i\sin(\eta /2)\cos(\phi )\sin(2\theta )&\cos(\eta /2)+i\sin(\eta /2)\cos(2\theta )\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Приведенная выше матрица представляет собой общую параметризацию элементов SU(2) с использованием соглашения

$\operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,\ \ |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~$

где черта означает комплексное сопряжение .

Наконец, учитывая, что множество унитарных преобразований на $\mathbb {C} ^{2}$ может быть выражено как

$\left\{{\rm {e}}^{i\gamma }{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,\ \ |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1,\ \ \gamma \in [0,2\pi ]\right\}$

становится ясно, что матрица Джонса для произвольного двулучепреломляющего материала представляет собой любое унитарное преобразование, вплоть до фазового множителя ${\rm {e}}^{i\gamma }$. Поэтому для правильного выбора $\eta$, $\theta$, и $\phi$, можно найти преобразование между любыми двумя векторами Джонса с точностью до фазового множителя ${\rm {e}}^{i\gamma }$. Однако в исчислении Джонса такие фазовые факторы не меняют представленную поляризацию вектора Джонса, поэтому либо считаются произвольными, либо налагаются ad hoc, чтобы соответствовать определенному соглашению.

Специальные выражения для фазовых замедлителей можно получить, взяв подходящие значения параметров в общем выражении для двулучепреломляющего материала. В общем выражении:

• Относительное запаздывание фазы, вызванное между быстрой осью и медленной осью, определяется выражением $\eta =\phi _{y}-\phi _{x}$
• $\theta$ — ориентация быстрой оси относительно оси x.
• $\phi$ это округлость.

Обратите внимание, что для линейных замедлителей $\phi$ = 0, а для кольцевых замедлителей $\phi$ = ± $\pi$/2, $\theta$ = $\pi$/4. В целом для эллиптических замедлителей $\phi$ принимает значения между - $\pi$/2 и $\pi$/2.

Элементы с осевым поворотом

Предположим, что оптический элемент имеет свою оптическую ось перпендикулярно вектору поверхности для плоскости падения и вращается вокруг этого поверхностного вектора на угол θ/2 (т. е. главной плоскости, через которую проходит оптическая ось, составляет угол θ/2 по отношению к плоскости поляризации электрического поля падающей волны TE). Напомним, что полуволновая пластинка поворачивает поляризацию на угол, в два раза превышающий угол между падающей поляризацией и оптической осью (главной плоскостью). Следовательно, матрица Джонса для состояния повернутой поляризации M( θ ) равна

$M(\theta )=R(-\theta )\,M\,R(\theta ),$

где $R(\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}.$

Это согласуется с выражением для полуволновой пластинки в таблице выше. Эти вращения идентичны преобразованию унитарного светоделителя в оптической физике, определяемому формулой

$R(\theta )={\begin{pmatrix}r&t'\\t&r'\end{pmatrix}}$

где коэффициенты со штрихом и без штриха представляют собой лучи, падающие с противоположных сторон светоделителя. Отраженная и прошедшая компоненты приобретают фазу θ _r и θ _t соответственно. Требования к допустимому представлению элемента:

$\theta _{\text{t}}-\theta _{\text{r}}+\theta _{\text{t'}}-\theta _{\text{r'}}=\pm \pi$

и $r^{*}t'+t^{*}r'=0.$

Оба эти представления представляют собой унитарные матрицы, соответствующие этим требованиям; и как таковые оба действительны.

Произвольно повернутые элементы

Это потребует трехмерной матрицы вращения . См. работу Рассела А. Чипмана и Гарам Юна, проделанную над этим вопросом.

См. также

• поляризация
• Параметры рассеяния
• Параметры Стокса
• Исчисление Мюллера
• Поляризация фотонов

Дальнейшее чтение

• Э. Коллетт, Полевое руководство по поляризации , SPIE Field Guides vol. FG05 , SPIE (2005). ISBN   0-8194-5868-6 .
• Д. Гольдштейн и Э. Коллетт, Поляризованный свет , 2-е изд., CRC Press (2003). ISBN   0-8247-4053-X .
• Э. Хехт, Оптика , 2-е изд., Аддисон-Уэсли (1987). ISBN   0-201-11609-X .
• Фрэнк Л. Педротти, С. Дж. Лено С. Педротти, Введение в оптику , 2-е изд., Прентис Холл (1993). ISBN   0-13-501545-6
• А. Джеральд и Дж. М. Берч, Введение в матричные методы в оптике , 1-е изд., John Wiley & Sons (1975). ISBN   0-471-29685-6
• Джонс, Р. Кларк (1941). «Новое исчисление для лечения оптических систем, I. Описание и обсуждение исчисления». Журнал Оптического общества Америки . 31 (7): 488–493. дои : 10.1364/JOSA.31.000488 .
• Гурвиц, Генри; Джонс, Р. Кларк (1941). «Новое исчисление для оптических систем, II. Доказательство трех общих теорем эквивалентности». Журнал Оптического общества Америки . 31 (7): 493–499. дои : 10.1364/JOSA.31.000493 .
• Джонс, Р. Кларк (1941). «Новое исчисление для лечения оптических систем, III Теория оптической активности Зонке». Журнал Оптического общества Америки . 31 (7): 500–503. дои : 10.1364/JOSA.31.000500 .
• Джонс, Р. Кларк (1942). «Новое исчисление для лечения оптических систем, IV». Журнал Оптического общества Америки . 32 (8): 486–493. дои : 10.1364/JOSA.32.000486 .
• Фимат, Ал. (1971). «Матричное представление оптических инструментов Джонса. I: светоделители». Прикладная оптика . 10 (11): 2499–2505. Бибкод : 1971ApOpt..10.2499F . дои : 10.1364/AO.10.002499 . ПМИД   20111363 .
• Фимат, Ал. (1971). «Матричное представление оптических инструментов Джонса. 2: Интерферометры Фурье (спектрометры и спектрополяриметры)». Прикладная оптика . 10 (12): 2711–2716. Бибкод : 1971ApOpt..10.2711F . дои : 10.1364/AO.10.002711 . ПМИД   20111418 .
• Фимат, Ал. (1972). «Эффекты поляризации в Фурье-спектроскопии. I: Представление матрицы когерентности». Прикладная оптика . 11 (1): 160–173. Бибкод : 1972ApOpt..11..160F . дои : 10.1364/AO.11.000160 . ПМИД   20111472 .
• Гилл, Хосе Хорхе; Бернабеу, Эусебио (1987). «Получение параметров поляризации и замедления недеполяризующей оптической системы из полярного разложения ее матрицы Мюллера». Оптик . 76 : 67–71.
• Бросо, Кристиан; Гивенс, Кларк Р.; Костинский, Александр Б. (1993). «Обобщенное условие следа на матрице поляризации Мюллера-Джонса». Журнал Оптического общества Америки А. 10 (10): 2248–2251. Бибкод : 1993JOSAA..10.2248B . дои : 10.1364/JOSAA.10.002248 .
• Макгуайр, Джеймс П.; Чипман, Рассел А. (1994). «Поляризационные аберрации. 1. Вращательно-симметричные оптические системы». Прикладная оптика . 33 (22): 5080–5100. Бибкод : 1994ApOpt..33.5080M . дои : 10.1364/AO.33.005080 . ПМИД   20935891 . S2CID   3805982 .
• Пистони, Натале К. (1995). «Упрощенный подход к исчислению Джонса при отслеживании оптических цепей». Прикладная оптика . 34 (34): 7870–7876. Бибкод : 1995ApOpt..34.7870P . дои : 10.1364/AO.34.007870 . ПМИД   21068881 .
• Морено, Игнасио; Изуэль, Мария Дж .; Кампос, Хуан; Варгас, Астисио (2004). «Матричная обработка Джонса для поляризационной оптики Фурье». Журнал современной оптики . 51 (14): 2031–2038. Бибкод : 2004JMOp...51.2031M . дои : 10.1080/09500340408232511 . hdl : 10533/175322 . S2CID   120169144 .
• Морено, Иван (2004). «Матрица Джонса для призм вращения изображения». Прикладная оптика . 43 (17): 3373–3381. Бибкод : 2004ApOpt..43.3373M . дои : 10.1364/AO.43.003373 . ПМИД   15219016 . S2CID   24268298 .
• Уильям Шерклифф (1966) Поляризованный свет: производство и использование , глава 8 Исчисление Мюллера и исчисление Джонса, стр. 109, издательство Гарвардского университета .

Внешние ссылки

• Исчисление Джонса, написанное Э. Коллеттом на Optipedia