Исчисление Мюллера

Исчисление Мюллера — это матричный метод управления векторами Стокса , которые представляют поляризацию света. Он был разработан в 1943 году Гансом Мюллером . В этом методе эффект конкретного оптического элемента представлен матрицей Мюллера — матрицей 4×4, которая является перекрывающимся обобщением матрицы Джонса .

Введение

Без учета суперпозиции когерентных волн любое полностью поляризованное, частично поляризованное или неполяризованное состояние света может быть представлено вектором Стокса ( ${\vec {S}}$ ) ; и любой оптический элемент может быть представлен матрицей Мюллера (М).

Если луч света изначально находится в состоянии ${\vec {S}}_{i}$ а затем проходит через оптический элемент М и выходит в состояние ${\vec {S}}_{o}$ , тогда написано

{\vec {S}}_{o}=\mathrm {M} {\vec {S}}_{i}\ .

Если луч света проходит через оптический элемент М _1, а затем М ₂ , то М ₃ пишется

{\vec {S}}_{o}=\mathrm {M} _{3}\left(\mathrm {M} _{2}\left(\mathrm {M} _{1}{\vec {S}}_{i}\right)\right)

учитывая, что умножение матриц ассоциативно , его можно записать

{\vec {S}}_{o}=\mathrm {M} _{3}\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{1}{\vec {S}}_{i}\ .

Умножение матриц не является коммутативным, поэтому в общем случае

\mathrm {M} _{3}\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{1}{\vec {S}}_{i}\neq \mathrm {M} _{1}\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{3}{\vec {S}}_{i}\ .

Исчисление Мюллера против Джонса

Не обращая внимания на когерентность, неполяризованный или частично поляризованный свет следует рассматривать с помощью исчисления Мюллера, тогда как полностью поляризованный свет можно рассматривать либо с помощью исчисления Мюллера, либо с помощью более простого исчисления Джонса . Однако многие проблемы, связанные с когерентным светом (например, лазером ) , необходимо решать с помощью исчисления Джонса, поскольку оно работает непосредственно с электрическим полем света, а не с его интенсивностью или мощностью, и тем самым сохраняет информацию о фазе волн . .Более конкретно, о матрицах Мюллера и матрицах Джонса можно сказать следующее: ^[1]

Векторы Стокса и матрицы Мюллера оперируют интенсивностями и их разностями, т. е. некогерентными суперпозициями света; они недостаточны для описания эффектов интерференции или дифракции.
(...)
Любую матрицу Джонса [J] можно преобразовать в соответствующую матрицу Мюллера – Джонса M, используя следующее соотношение: ^[2]
$\mathrm {M=A(J\otimes J^{*})A^{-1}}$ ,
где * указывает на комплексно-сопряженное [ sic ], [ A is:]
$\mathrm {A} ={\begin{pmatrix}1&0&0&1\\1&0&0&-1\\0&1&1&0\\0&i&-i&0\\\end{pmatrix}}$
и ⊗ – тензорное (кронекеровское) произведение .
(...)
Хотя матрица Джонса имеет восемь независимых параметров (два декартовых или полярных компонента для каждого из четырех комплексных значений в матрице 2х2), информация об абсолютной фазе теряется в [уравнении выше], что приводит к появлению только семи независимых матриц. элементы матрицы Мюллера, полученной из матрицы Джонса.

Матрицы Мюллера

Ниже перечислены матрицы Мюллера для некоторых идеальных распространенных оптических элементов:

Общее выражение для вращения системы отсчета ^[3] от локального каркаса к лабораторному каркасу:

{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos {(2\theta )}&\sin {(2\theta )}&0\\0&-\sin {(2\theta )}&\cos {(2\theta )}&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\quad

где $\theta$ это угол поворота. При повороте от лабораторной системы к местной система синусов меняет знак.

Линейный поляризатор (горизонтальное пропускание): ${1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&1&0&0\\1&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

Матрицы Мюллера для других углов поворота поляризатора могут быть получены путем вращения системы отсчета.

Линейный поляризатор (вертикальное пропускание): ${1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&-1&0&0\\-1&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

Линейный поляризатор (передача +45°): ${1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

Линейный поляризатор (пропускание −45°): ${1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\0&0&0&0\\-1&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

Общая матрица линейного поляризатора: ${1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&\cos {(2\theta )}&\sin {(2\theta )}&0\\\cos {(2\theta )}&\cos ^{2}(2\theta )&\cos(2\theta )\sin(2\theta )&0\\\sin {(2\theta )}&\cos(2\theta )\sin(2\theta )&\sin ^{2}(2\theta )&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\quad$

где $\theta$ – угол поворота поляризатора.

Общий линейный замедлитель (из него сделаны расчеты волновой пластины): ${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos ^{2}(2\theta )+\sin ^{2}(2\theta )\cos(\delta )&\cos(2\theta )\sin(2\theta )\left(1-\cos(\delta )\right)&\sin(2\theta )\sin(\delta )\\0&\cos(2\theta )\sin(2\theta )\left(1-\cos(\delta )\right)&\cos ^{2}(2\theta )\cos(\delta )+\sin ^{2}(2\theta )&-\cos(2\theta )\sin(\delta )\\0&-\sin(2\theta )\sin(\delta )&\cos(2\theta )\sin(\delta )&\cos(\delta )\end{pmatrix}}\quad$; где $\delta$ - это разность фаз между быстрой и медленной осью и $\theta$ – угол быстрой оси.
Четвертьволновая пластинка (вертикальная по быстрой оси): ${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}$
Четвертьволновая пластинка (быстрая ось горизонтальная): ${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\end{pmatrix}}$
Полуволновая пластинка (быстрая ось по горизонтали и вертикали, а также идеальное зеркало): ${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}$
Ослабляющий фильтр (пропускание 25%): ${1 \over 4}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\quad$

Тензоры Мюллера

Архитектуру Мюллера/Стокса также можно использовать для описания нелинейных оптических процессов, таких как многофотонная возбужденная флуоресценция и генерация второй гармоники. Тензор Мюллера можно обратно связать с лабораторным тензором Джонса по прямой аналогии с матрицами Мюллера и Джонса.

\mathrm {M} ^{(2)}=\mathrm {A} \left(\chi ^{(2)*}\otimes \chi ^{(2)}\right):\mathrm {A} ^{-1}\mathrm {A} ^{-1}

,

где $M^{(2)}$ - тензор Мюллера третьего ранга, описывающий вектор Стокса, созданный парой падающих векторов Стокса, и $\chi ^{(2)}$ представляет собой тензор Джонса лабораторной системы координат 2×2×2.

См. также

Ссылки

^ Савенков, С.Н. (2009). «Матрицы Джонса и Мюллера: структура, отношения симметрии и информационное содержание». Обзоры по светорассеянию 4 . стр. 71–119. дои : 10.1007/978-3-540-74276-0_3 . ISBN 978-3-540-74275-3 .
^ * Натан Г. Парк (1949). «Оптическая алгебра». Журнал математики и физики . 28 (1–4): 131. doi : 10.1002/sapm1949281131 .
^ Чипман, Рассел (6 октября 2009 г.). «Глава 14: Поляриметрия». В Бассе, Майкл (ред.). Справочник по оптике . Том. 1: Геометрическая и физическая оптика, поляризованный свет, компоненты и инструменты. Образование Макгроу Хилл. ISBN 978-0071498890 .

Другие источники

Э. Коллетт (2005) Полевое руководство по поляризации , SPIE Field Guides vol. FG05 , ШПИОН ISBN 0-8194-5868-6 .
Юджин Хехт (1987) Оптика , 2-е изд., Аддисон-Уэсли ISBN 0-201-11609-X .
дель Торо Иньеста, Хосе Карлос (2003). Введение в спектрополяриметрию . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета . п. 227. ИСБН 978-0-521-81827-8 .
Н. Мукунда и другие (2010) «Полная характеристика матриц Мюллера и Мюллера в поляризационной оптике», Журнал Оптического общества Америки A 27 (2): от 188 до 99. doi : 10.1364/JOSAA.27.000188 MR 2642868
Уильям Шерклифф (1966) Поляризованный свет: производство и использование , глава 8 Исчисление Мюллера и исчисление Джонса, стр. 109, издательство Гарвардского университета .
Симпсон, Гарт (2017). Нелинейно-оптический поляризационный анализ в химии и биологии . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. п. 392. ИСБН 978-0-521-51908-3 .

[1] Савенков, С.Н. (2009). «Матрицы Джонса и Мюллера: структура, отношения симметрии и информационное содержание». Обзоры по светорассеянию 4 . стр. 71–119. дои : 10.1007/978-3-540-74276-0_3 . ISBN 978-3-540-74275-3 .

[2] * Натан Г. Парк (1949). «Оптическая алгебра». Журнал математики и физики . 28 (1–4): 131. doi : 10.1002/sapm1949281131 .

[3] Чипман, Рассел (6 октября 2009 г.). «Глава 14: Поляриметрия». В Бассе, Майкл (ред.). Справочник по оптике . Том. 1: Геометрическая и физическая оптика, поляризованный свет, компоненты и инструменты. Образование Макгроу Хилл. ISBN 978-0071498890 .

[1]

[2]

[3]