Параметры Стокса

Параметры Стокса I, Q, U и V

Параметры Стокса — это набор величин, описывающих поляризации состояние электромагнитного излучения . Они были определены Джорджем Габриэлем Стоксом в 1852 году. как математически удобная альтернатива более распространенному описанию некогерентного или частично поляризованного излучения с точки зрения его полной интенсивности ( I ), (дробной) степени поляризации ( p ) и параметров формы эллипса поляризации . Влияние оптической системы на поляризацию света можно определить, построив вектор Стокса для входного света и применив исчисление Мюллера , чтобы получить вектор Стокса света, выходящего из системы. Их можно определить на основе непосредственно наблюдаемых явлений. Оригинальная бумага Стокса была независимо обнаружена Фрэнсисом Перреном в 1942 году. и Субраманяна Чандрасекара в 1947 году, который назвал его параметром Стокса.

Определения

Эллипс поляризации, показывающий связь с параметрами сферы Пуанкаре ψ и χ.

Сфера Пуанкаре — это параметризация трех последних параметров Стокса в сферических координатах .

Изображение состояний поляризации на сфере Пуанкаре

Связь параметров Стокса S ₀ , S ₁ , S ₂ , S ₃ с параметрами интенсивности и эллипса поляризации показана в уравнениях ниже и на рисунке справа.

${\begin{aligned}S_{0}&=I\\S_{1}&=Ip\cos 2\psi \cos 2\chi \\S_{2}&=Ip\sin 2\psi \cos 2\chi \\S_{3}&=Ip\sin 2\chi \end{aligned}}$

Здесь $Ip$, $2\psi$ и $2\chi$ являются сферическими координатами трехмерного вектора декартовых координат $(S_{1},S_{2},S_{3})$. $I$ - полная интенсивность луча, а $p$ степень поляризации, ограниченная $0\leq p\leq 1$. Фактор два раньше $\psi$ отражает тот факт, что любой эллипс поляризации неотличим от эллипса, повернутого на 180°, а перед этим коэффициент два $\chi$ указывает на то, что эллипс неотличим от эллипса с измененной длиной полуосей и поворотом на 90°. Фазовая информация поляризованного света не записывается в параметрах Стокса. Четыре параметра Стокса иногда обозначаются I , Q , U и V соответственно.

Учитывая параметры Стокса, можно найти сферические координаты с помощью следующих уравнений:

${\begin{aligned}I&=S_{0}\\p&={\frac {\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}}}{S_{0}}}\\2\psi &=\mathrm {arctan} {\frac {S_{2}}{S_{1}}}\\2\chi &=\mathrm {arctan} {\frac {S_{3}}{\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}}}}\\\end{aligned}}$

Векторы Стокса

Параметры Стокса часто объединяют в вектор, известный как вектор Стокса :

${\vec {S}}\ ={\begin{pmatrix}S_{0}\\S_{1}\\S_{2}\\S_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I\\Q\\U\\V\end{pmatrix}}$

Вектор Стокса охватывает пространство неполяризованного, частично поляризованного и полностью поляризованного света. Для сравнения: вектор Джонса охватывает только пространство полностью поляризованного света, но более полезен для задач, связанных с когерентным светом. Четыре параметра Стокса не являются предпочтительной системой координат пространства, а были выбраны потому, что их можно легко измерить или вычислить.

Обратите внимание, что здесь имеется неоднозначный знак для $V$ компонент в зависимости от используемого физического соглашения. На практике используются два отдельных соглашения: либо определение параметров Стокса при взгляде вниз на луч к источнику (против направления распространения света), либо при взгляде вниз на луч в сторону от источника (совпадает с направлением распространения света). Эти два соглашения приводят к разным знакам для $V$, и необходимо выбрать соглашение и соблюдать его.

Примеры

Ниже показаны некоторые векторы Стокса для распространенных состояний поляризации света.

${\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}$	Линейно поляризованный (горизонтальный)
${\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}}$	Линейно поляризованный (вертикальный)
${\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}$	Линейно поляризованный (+45°)
${\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\end{pmatrix}}$	Линейно поляризованный (-45 °)
${\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}$	Правосторонняя циркулярная поляризация
${\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix}}$	Левосторонняя циркулярная поляризация
${\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$	Неполяризованный

Альтернативное объяснение

Монохроматическая распространения плоская волна задается вектором , ${\vec {k}}$, а комплексные амплитуды электрического поля , $E_{1}$ и $E_{2}$, в основе $({\hat {\epsilon }}_{1},{\hat {\epsilon }}_{2})$. Пара $(E_{1},E_{2})$ называется вектором Джонса . В качестве альтернативы можно указать вектор распространения, фазу , $\phi$, и состояние поляризации, $\Psi$, где $\Psi$ — кривая, очерчиваемая электрическим полем как функция времени в фиксированной плоскости. Наиболее распространенными состояниями поляризации являются линейное и круговое, которые являются вырожденными случаями наиболее общего состояния — эллипса .

Один из способов описания поляризации — указать большую и малую полуоси эллипса поляризации, его ориентацию и направление вращения (см. рисунок выше). Параметры Стокса $I$, $Q$, $U$, и $V$, обеспечивают альтернативное описание состояния поляризации, которое удобно экспериментально, поскольку каждый параметр соответствует сумме или разности измеримых интенсивностей. На следующем рисунке показаны примеры параметров Стокса в вырожденных состояниях.

Определения

Параметры Стокса определяются формулой

${\begin{aligned}I&\equiv \langle E_{x}^{2}\rangle +\langle E_{y}^{2}\rangle \\&=\langle E_{a}^{2}\rangle +\langle E_{b}^{2}\rangle \\&=\langle E_{r}^{2}\rangle +\langle E_{l}^{2}\rangle ,\\Q&\equiv \langle E_{x}^{2}\rangle -\langle E_{y}^{2}\rangle ,\\U&\equiv \langle E_{a}^{2}\rangle -\langle E_{b}^{2}\rangle ,\\V&\equiv \langle E_{r}^{2}\rangle -\langle E_{l}^{2}\rangle .\end{aligned}}$

где индексы относятся к трем различным базам пространства векторов Джонса : стандартному декартову базису ( ${\hat {x}},{\hat {y}}$), декартов базис, повернутый на 45° ( ${\hat {a}},{\hat {b}}$) и круговой базис ( ${\hat {l}},{\hat {r}}$). Круговой базис определяется так, что ${\hat {l}}=({\hat {x}}+i{\hat {y}})/{\sqrt {2}}$, ${\hat {r}}=({\hat {x}}-i{\hat {y}})/{\sqrt {2}}$.

Символы ⟨⋅⟩ обозначают ожидаемые значения . Свет можно рассматривать как случайную величину, принимающую значения в пространстве C. ² Джонса векторов $(E_{1},E_{2})$. Любое данное измерение дает конкретную волну (с определенной фазой, эллипсом поляризации и величиной), но она продолжает мерцать и колебаться между разными результатами. Ожидаемые значения представляют собой различные средние значения этих результатов. Интенсивный, но неполяризованный свет будет иметь I > 0, но Q = U = V = 0, что означает, что ни один тип поляризации не преобладает. Убедительная форма сигнала изображена в статье о когерентности .

Противоположностью был бы идеально поляризованный свет, который, кроме того, имел фиксированную, неизменяющуюся амплитуду — чистую синусоидальную кривую. Это представлено случайной величиной с единственным возможным значением, скажем $(E_{1},E_{2})$. В этом случае можно заменить скобки столбиками абсолютных значений, получив четко определенное квадратичное отображение.

${\begin{matrix}I\equiv |E_{x}|^{2}+|E_{y}|^{2}=|E_{a}|^{2}+|E_{b}|^{2}=|E_{r}|^{2}+|E_{l}|^{2}\\Q\equiv |E_{x}|^{2}-|E_{y}|^{2},\\U\equiv |E_{a}|^{2}-|E_{b}|^{2},\\V\equiv |E_{r}|^{2}-|E_{l}|^{2}.\end{matrix}}$

от векторов Джонса к соответствующим векторам Стокса; более удобные формы приведены ниже. Карта принимает свое изображение в конусе, определенном | я | ² = | вопрос | ² + | В | ² + | V | ² , где чистота состояния удовлетворяет p = 1 (см. ниже).

На следующем рисунке показано, как знаки параметров Стокса определяются спиральностью и ориентацией большой полуоси эллипса поляризации.

Представления в фиксированных базисах

В фиксированном ( ${\hat {x}},{\hat {y}}$) параметры Стокса при использовании соглашения о возрастающей фазе равны

${\begin{aligned}I&=|E_{x}|^{2}+|E_{y}|^{2},\\Q&=|E_{x}|^{2}-|E_{y}|^{2},\\U&=2\mathrm {Re} (E_{x}E_{y}^{*}),\\V&=-2\mathrm {Im} (E_{x}E_{y}^{*}),\\\end{aligned}}$

в то время как для $({\hat {a}},{\hat {b}})$, они есть

${\begin{aligned}I&=|E_{a}|^{2}+|E_{b}|^{2},\\Q&=-2\mathrm {Re} (E_{a}^{*}E_{b}),\\U&=|E_{a}|^{2}-|E_{b}|^{2},\\V&=2\mathrm {Im} (E_{a}^{*}E_{b}).\\\end{aligned}}$

и для $({\hat {l}},{\hat {r}})$, они есть

${\begin{aligned}I&=|E_{l}|^{2}+|E_{r}|^{2},\\Q&=2\mathrm {Re} (E_{l}^{*}E_{r}),\\U&=-2\mathrm {Im} (E_{l}^{*}E_{r}),\\V&=|E_{r}|^{2}-|E_{l}|^{2}.\\\end{aligned}}$

Характеристики

Для чисто монохроматического когерентного излучения из приведенных выше уравнений следует, что

$Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I^{2},$

тогда как для излучения всего (некогерентного) пучка параметры Стокса определяются как усредненные величины, и предыдущее уравнение становится неравенством:

$Q^{2}+U^{2}+V^{2}\leq I^{2}.$

Однако мы можем определить полную интенсивность поляризации $I_{p}$, так что

$Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I_{p}^{2},$

где $I_{p}/I$ – полная доля поляризации.

Определим комплексную интенсивность линейной поляризации как

${\begin{aligned}L&\equiv |L|e^{i2\theta }\\&\equiv Q+iU.\\\end{aligned}}$

В ротации $\theta \rightarrow \theta +\theta '$ эллипса поляризации можно показать, что $I$ и $V$ инвариантны, но

${\begin{aligned}L&\rightarrow e^{i2\theta '}L,\\Q&\rightarrow {\mbox{Re}}\left(e^{i2\theta '}L\right),\\U&\rightarrow {\mbox{Im}}\left(e^{i2\theta '}L\right).\\\end{aligned}}$

Благодаря этим свойствам параметры Стокса можно рассматривать как составляющие три обобщенные интенсивности:

${\begin{aligned}I&\geq 0,\\V&\in \mathbb {R} ,\\L&\in \mathbb {C} ,\\\end{aligned}}$

где $I$ - общая интенсивность, $|V|$ – интенсивность круговой поляризации, а $|L|$ – интенсивность линейной поляризации. Полная интенсивность поляризации равна $I_{p}={\sqrt {|L|^{2}+|V|^{2}}}$, а ориентация и направление вращения определяются выражением

${\begin{aligned}\theta &={\frac {1}{2}}\arg(L),\\h&=\operatorname {sgn}(V).\\\end{aligned}}$

С $Q={\mbox{Re}}(L)$ и $U={\mbox{Im}}(L)$, у нас есть

${\begin{aligned}|L|&={\sqrt {Q^{2}+U^{2}}},\\\theta &={\frac {1}{2}}\tan ^{-1}(U/Q).\\\end{aligned}}$

Связь с эллипсом поляризации

С точки зрения параметров эллипса поляризации параметры Стокса равны

${\begin{aligned}I_{p}&=A^{2}+B^{2},\\Q&=(A^{2}-B^{2})\cos(2\theta ),\\U&=(A^{2}-B^{2})\sin(2\theta ),\\V&=2ABh.\\\end{aligned}}$

Обращение предыдущего уравнения дает

${\begin{aligned}A&={\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}+|L|)}}\\B&={\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}-|L|)}}\\\theta &={\frac {1}{2}}\arg(L)\\h&=\operatorname {sgn}(V).\\\end{aligned}}$

Измерение

Параметры Стокса (и, следовательно, поляризация некоторых электромагнитных излучений) можно определить непосредственно из наблюдений. Используя линейный поляризатор и четвертьволновую пластинку , можно получить следующую систему уравнений, связывающую параметры Стокса с измеренной интенсивностью: $${\begin{aligned}I_{l}(0)&={\frac {1}{2}}(I+Q)\\I_{l}({\frac {\pi }{4}})&={\frac {1}{2}}(I+U)\\I_{l}({\frac {\pi }{2}})&={\frac {1}{2}}(I-Q)\\I_{q}({\frac {\pi }{4}})&={\frac {1}{2}}(I+V),\\\end{aligned}}$$где $I_{l}(\theta )$ — интенсивность излучения в точке, когда линейный поляризатор повернут на угол $\theta$и аналогично $I_{q}(\theta )$ — облученность в точке, когда четвертьволновая пластинка повернута на угол $\theta$. Систему можно реализовать, используя для измерения параметров сразу обе пластины под разными углами. Это может дать более точную оценку относительных величин параметров (что часто является основным желаемым результатом), поскольку на все параметры влияют одни и те же потери.

Связь с эрмитовыми операторами и квантовыми смешанными состояниями

С геометрической и алгебраической точки зрения параметры Стокса находятся во взаимно однозначном соответствии с замкнутым выпуклым 4-мерным конусом неотрицательных эрмитовых операторов в гильбертовом пространстве C. ² . Параметр I служит следом оператора, тогда как элементы матрицы оператора являются простыми линейными функциями четырех параметров I , Q , U , V , служащих коэффициентами в линейной комбинации операторов Стокса . Собственные значения и собственные векторы оператора можно вычислить по параметрам эллипса поляризации I , p , ψ , χ .

Параметры Стокса с I, установленным равным 1 (т.е. операторы следа 1), находятся во взаимно однозначном соответствии с замкнутым единичным трехмерным шаром смешанных состояний (или операторами плотности ) квантового пространства C ² , границей которого является сфера Блоха . Векторы Джонса соответствуют базовому пространству C ² , то есть (ненормированные) чистые состояния той же системы. Обратите внимание, что общая фаза (т.е. общий фазовый коэффициент между двумя компонентами волн на двух перпендикулярных осях поляризации) теряется при переходе из чистого состояния |φ⟩ в соответствующее смешанное состояние |φ⟩⟨φ|, так же, как и теряется при переходе от вектора Джонса к соответствующему вектору Стокса.

В основе состояния горизонтальной поляризации $|H\rangle$ и состояние вертикальной поляризации $|V\rangle$, состояние линейной поляризации +45° равно $|+\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle +|V\rangle )$, состояние линейной поляризации -45° равно $|-\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle -|V\rangle )$, состояние левой круговой поляризации равно $|L\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle +i|V\rangle )$, а правое состояние круговой поляризации равно $|R\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle -i|V\rangle )$. Легко видеть, что эти состояния являются собственными векторами матриц Паули , и что нормированные параметры Стокса ( U/I , V/I , Q/I ) соответствуют координатам вектора Блоха ( $a_{x}$, $a_{y}$, $a_{z}$). Эквивалентно, мы имеем $U/I=tr\left(\rho \sigma _{x}\right)$, $V/I=tr\left(\rho \sigma _{y}\right)$, $Q/I=tr\left(\rho \sigma _{z}\right)$, где $\rho$ – матрица плотности смешанного состояния.

Обычно линейная поляризация под углом θ имеет чистое квантовое состояние. $|\theta \rangle =\cos {\theta }|H\rangle +\sin {\theta }|V\rangle$; следовательно, коэффициент пропускания линейного поляризатора /анализатора под углом θ для источника света смешанного состояния с матрицей плотности $\rho ={\frac {1}{2}}\left(I+a_{x}\sigma _{x}+a_{y}\sigma _{y}+a_{z}\sigma _{z}\right)$ является $tr(\rho |\theta \rangle \langle \theta |)={\frac {1}{2}}\left(1+a_{x}\sin {2\theta }+a_{z}\cos {2\theta }\right)$, с максимальным коэффициентом пропускания ${\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {a_{x}^{2}+a_{z}^{2}}})$ в $\theta _{0}={\frac {1}{2}}\arctan {(a_{x}/a_{z})}$ если $a_{z}>0$или в $\theta _{0}={\frac {1}{2}}\arctan {(a_{x}/a_{z})}+{\frac {\pi }{2}}$ если $a_{z}<0$; минимальный коэффициент пропускания ${\frac {1}{2}}(1-{\sqrt {a_{x}^{2}+a_{z}^{2}}})$ достигается в перпендикуляре к направлению максимального пропускания. Здесь отношение максимального пропускания к минимальному пропусканию определяется как коэффициент затухания. $ER=(1+DOLP)/(1-DOLP)$, где степень линейной поляризации равна $DOLP={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{z}^{2}}}$. Эквивалентно, формулу для коэффициента пропускания можно переписать как $A\cos ^{2}{(\theta -\theta _{0})}+B$, что является расширенной формой закона Малуса ; здесь, $A,B$ оба неотрицательны и связаны с коэффициентом вымирания соотношением $ER=(A+B)/B$. Два нормализованных параметра Стокса также можно рассчитать по формуле $a_{x}=DOLP\sin {2\theta _{0}},\,a_{z}=DOLP\cos {2\theta _{0}},\,DOLP=(ER-1)/(ER+1)$.

Также стоит отметить, что поворот оси поляризации на угол θ соответствует оператору вращения сферы Блоха $R_{y}(2\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}$. Например, состояние горизонтальной поляризации $|H\rangle$ будет вращаться в $|\theta \rangle =\cos {\theta }|H\rangle +\sin {\theta }|V\rangle$. Эффект четвертьволновой пластинки, ориентированной по горизонтальной оси, описывается выражением $R_{z}(\pi /2)={\begin{bmatrix}e^{-i\pi /4}&0\\0&e^{+i\pi /4}\end{bmatrix}}$или, что эквивалентно, Фазовый вентиль S , и результирующий вектор Блоха становится $(-a_{y},a_{x},a_{z})$. При такой конфигурации, если мы воспользуемся методом вращающегося анализатора для измерения коэффициента затухания, мы сможем вычислить $a_{y}$ а также проверить $a_{z}$. Чтобы этот метод работал, быстрая ось и медленная ось волновой пластинки должны быть выровнены по опорным направлениям базисных состояний.

Эффект четвертьволновой пластинки, повернутой на угол θ, можно определить по формуле вращения Родригеса как $R_{n}(\pi /2)={\frac {1}{\sqrt {2}}}I-i{\frac {1}{\sqrt {2}}}({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})$, с ${\hat {n}}={\hat {z}}\cos {2\theta }+{\hat {x}}\sin {2\theta }$. Коэффициент пропускания результирующего света через линейный поляризатор (пластину анализатора) вдоль горизонтальной оси можно рассчитать, используя ту же формулу вращения Родригеса и ориентируясь на ее составляющие на $I$ и $\sigma _{z}$:

${\begin{aligned}T&=tr[R_{n}(\pi /2)\rho R_{n}(-\pi /2)|H\rangle \langle H|]\\&={\frac {1}{2}}\left[1+a_{y}\sin {2\theta }+({\hat {n}}\cdot {\vec {a}})\cos {2\theta }\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[1+a_{y}\sin {2\theta }+(a_{x}\sin {2\theta }+a_{z}\cos {2\theta })\cos {2\theta }\right]\\&={\frac {1}{2}}\left(1+a_{y}\sin {2\theta }+DOLP\times {\frac {\cos {(4\theta -2\theta _{0})}+\cos {(2\theta _{0})}}{2}}\right)\end{aligned}}$

Вышеприведенное выражение лежит в основе теории многих поляриметров. Для неполяризованного света T=1/2 является константой. Для чисто циркулярно поляризованного света T имеет синусоидальную зависимость от угла θ с периодом 180 градусов и может достигать абсолютного угасания, когда T = 0. Для чисто линейно поляризованного света T имеет синусоидальную зависимость от угла θ с периодом 90 градусов, и абсолютное затухание достижимо только тогда, когда поляризация исходного света составляет 90 градусов от поляризатора (т. е. $a_{z}=-1$). В этой конфигурации $\theta _{0}={\frac {\pi }{2}}$ и $T={\frac {1-\cos {(4\theta )}}{4}}$, с максимумом 1/2 при θ=45° и точкой угасания при θ=0°. Этот результат можно использовать для точного определения быстрой или медленной оси четвертьволновой пластинки, например, используя поляризационный светоделитель для получения линейно поляризованного света, ориентированного на пластину анализатора, и вращая четвертьволновую пластину между ними.

Аналогично, эффект полуволновой пластинки, повернутой на угол θ, описывается выражением $R_{n}(\pi )=-i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})$, который преобразует матрицу плотности в:

${\begin{aligned}R_{n}(\pi )\rho R_{n}(-\pi )&={\frac {1}{2}}\left(I+{\vec {a}}\cdot [-{\vec {\sigma }}+2{\hat {n}}({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})]\right)\\&={\frac {1}{2}}\left[I-{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}+2({\hat {n}}\cdot {\vec {a}})({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\right]\end{aligned}}$

Вышеприведенное выражение показывает, что если исходный свет имеет чисто линейную поляризацию (т. е. $a_{y}=0$), результирующий свет после полуволновой пластинки все еще имеет чисто линейную поляризацию (т.е. без $\sigma _{y}$ компонент) с повернутой главной осью. Такое вращение линейной поляризации имеет синусоидальную зависимость от угла θ с периодом 90 градусов.

См. также

• Исчисление Мюллера
• Исчисление Джонса
• Поляризация (волны)
• Модель Рэлея Скай
• Операторы Стокса
• Поляризационное смешивание

Ссылки

• Джексон, доктор медицинских наук, Классическая электродинамика , John Wiley & Sons, 1999. ISBN   9780471309321
• Стоун, Дж. М., Радиация и оптика , McGraw-Hill, 1963.
• Коллетт, Э., Полевое руководство по поляризации , SPIE Field Guides vol. ФГ05 , SPIE, 2005. ISBN   0-8194-5868-6 .
• Э. Хехт, Оптика , 2-е изд., Аддисон-Уэсли (1987). ISBN   0-201-11609-X .
• Уильям Х. Макмастер (1954). «Поляризация и параметры Стокса». Являюсь. Дж. Физ . 22 (6): 351. Бибкод : 1954AmJPh..22..351M . дои : 10.1119/1.1933744 .
• Уильям Х. Макмастер (1961). «Матричное представление поляризации». Преподобный Мод. Физ . 33 (1): 8. Бибкод : 1961РвМП...33....8М . дои : 10.1103/RevModPhys.33.8 .