ромб Френеля

Рис. 1 падения   ) вертикальной на оси в : Поперечное сечение ромба Френеля (синий) с графиками, показывающими компонент вибрации p (параллельный плоскости сравнении с компонентом s ( квадратным к плоскости падения и параллельным плоскости падения). поверхность . ) по горизонтальной оси Если падающий свет линейно поляризован, два компонента находятся в фазе (верхний график). После одного отражения под соответствующим углом компонент p сдвигается на 1/8 цикла относительно компонента s (средний график). После двух таких отражений разность фаз составляет 1/4 цикла (нижний график), так что поляризация становится эллиптической с осями в направлениях s и p . Если бы компоненты s и p изначально имели одинаковую величину, начальная поляризация (верхний график) находилась бы под углом 45 ° к плоскости падения, а конечная поляризация (нижний график) была бы круговой .

Ромб Френеля — это оптическая призма , которая создает разность фаз 90° между двумя перпендикулярными компонентами поляризации посредством двух полных внутренних отражений . Если падающий луч линейно поляризован под углом 45° к плоскости падения и отражения, возникающий луч поляризован по кругу , и наоборот. Если падающий луч линейно поляризован под каким-либо другим наклоном, возникающий луч поляризован эллиптически с одной главной осью в плоскости отражения, и наоборот.

Ромб обычно принимает форму прямого параллелепипеда , или, другими словами, твердого тела с 6 гранями-параллелограммами (квадрат относится к кубу, как параллелограмм к параллелепипеду). Если падающий луч перпендикулярен одной из меньших прямоугольных граней, углы падения и отражения на обеих более длинных гранях равны острому углу параллелограмма. Этот угол выбирается таким образом, чтобы каждое отражение создавало разность фаз 45° между компонентами, поляризованными параллельно и перпендикулярно плоскости отражения. Для данного достаточно высокого показателя преломления этому критерию соответствуют два угла; например, индекс 1,5 требует угла 50,2° или 53,3°.

И наоборот, если углы падения и отражения фиксированы, разность фаз, вносимая ромбом, зависит только от его показателя преломления, который обычно незначительно меняется в видимом спектре. Таким образом, ромб функционирует так, как если бы он был широкополосной четвертьволновой пластинкой – в отличие от обычной двулучепреломляющей (двупреломляющей) четвертьволновой пластинки, разность фаз которой более чувствительна к частоте (цвету) света. Материал, из которого сделан ромб – обычно стекло – не обладает двойным лучепреломлением.

Ромб Френеля назван в честь его изобретателя, французского физика Огюстена-Жана Френеля , который поэтапно разрабатывал это устройство в период с 1817 года. и 1823. За это время он применил его в важнейших экспериментах, связанных с поляризацией, двойным лучепреломлением и оптическим вращением . все это способствовало окончательному принятию его на поперечных волнах теории света, основанной .

Операция

Падающие электромагнитные волны (например, световые) состоят из поперечных колебаний в электрическом и магнитном полях; они пропорциональны и расположены под прямым углом друг к другу и поэтому могут быть представлены, скажем, только электрическим полем. При ударе о границу раздела колебания электрического поля можно разделить на две перпендикулярные компоненты, известные как компоненты s и p , которые параллельны поверхности и плоскости падения соответственно; другими словами, компоненты s и p соответственно квадратны и параллельны плоскости падения.

Свет, проходящий через ромб Френеля, претерпевает два полных внутренних отражения под одним и тем же тщательно выбранным углом падения. После одного такого отражения компонент p сдвигается на 1/8 цикла (45°; π/4 радиан ) относительно компонента s . При двух таких отражениях получается относительный сдвиг фазы на 1/4 цикла (90°; π/2). Слово «относительный» имеет решающее значение: поскольку длина волны очень мала по сравнению с размерами типичного устройства, отдельные сдвиги фазы, которым подвергаются s- и p- компоненты, нелегко наблюдать, но разницу между ними легко наблюдать по ее влиянию на состояние. поляризации возникающего света.

Если падающий свет линейно поляризован (плоскополяризован), компоненты s и p изначально находятся в фазе ; следовательно, после двух отражений « р- компонента опережает фазу на 90 °», так что поляризация выходящего света имеет эллиптическую форму с главными осями в направлениях s и p (рис. 1). Аналогично, если падающий свет эллиптически поляризован с осями в направлениях s и p , выходящий свет поляризован линейно.

В особом случае, когда входящие компоненты s и p не только находятся в фазе, но и имеют равные величины, начальная линейная поляризация находится под углом 45 ° к плоскости падения и отражения, а конечная эллиптическая поляризация является круговой . Если свет с круговой поляризацией просматривается через анализатор (второй поляризатор), он кажется полностью «деполяризованным», поскольку его наблюдаемая яркость не зависит от ориентации анализатора. Но если этот свет обрабатывается вторым ромбом, он реполяризуется под углом 45° к плоскости отражения в этом ромбе – свойство, которым не обладают обычные лучи. (неполяризованный) свет.

Связанные устройства

Для общей входной поляризации общий эффект ромба идентичен эффекту двулучепреломляющей (двупреломляющей) четвертьволновой пластины , за исключением того, что простая двулучепреломляющая пластина обеспечивает желаемое разделение на 90° на одной частоте, а не (даже приблизительно) на самых разных частотах, тогда как фазовое разделение, заданное ромбом, зависит от его показателя преломления , который лишь незначительно меняется в широком диапазоне частот (см. Дисперсия ). Два ромба Френеля можно использовать последовательно (обычно склеивая, чтобы избежать отражений на границе раздела), чтобы добиться функции полуволновой пластинки . Тандемное расположение, в отличие от одиночного ромба Френеля, имеет дополнительную особенность: выходящий луч может быть коллинеарен исходному падающему лучу.

Теория

Дополнительная информация: уравнения Френеля и полное внутреннее отражение.

Чтобы задать сдвиг фазы при отражении, мы должны выбрать знак для коэффициента отражения , который представляет собой отношение отраженной амплитуды к падающей амплитуде. В случае s - компонент, для которых падающая и отраженная вибрации нормальны ( перпендикулярны) плоскости падения, очевидным выбором будет сказать, что положительный коэффициент отражения, соответствующий нулевому фазовому сдвигу, является таким, для которого Падающее и отраженное поля имеют одинаковое направление (нет инверсии, нет «инверсии»). В случае p- компонентов в этой статье принято соглашение, согласно которому положительный коэффициент отражения — это коэффициент, при котором падающее и отраженное поля наклонены к одной и той же среде. Тогда мы можем охватить оба случая, сказав, что положительный коэффициент отражения — это коэффициент, для которого направление вектора поля, нормального к плоскости падения (электрический вектор для s -поляризации или магнитный вектор для p- поляризации), не изменяется при отражение. (Однако следует предупредить читателя, что некоторые авторы используют другое соглашение для p- компоненты, в результате чего заявленный фазовый сдвиг отличается на 180° от приведенного здесь значения.)

При выбранном соглашении о знаках наступление фазы при полном внутреннем отражении для компонентов s и p определяется соответственно выражением

$\delta _{s}=\,2\arctan {\frac {\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}{n\cos \theta _{\text{i}}}}$ ( 1 )

и

$\delta _{p}=\,2\arctan {\frac {\,n{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}{\cos \theta _{\text{i}}}}\,,$ ( 2 )

где θi _— угол падения, а n — показатель преломления внутренней (оптически более плотной) среды относительно внешней (оптически более разреженной) среды. (Некоторые авторы, однако, используют обратный показатель преломления, так что их выражения для фазовых сдвигов выглядят иначе, чем приведенные выше.)

Рис. 2 :   Сдвиг фазы при «внутренних» отражениях для показателей преломления 1,55, 1,5 и 1,45 («внутренний» относительно «внешнего»). За пределами критического угла поляризации p (красная) и s (синяя) претерпевают неравные фазовые сдвиги при полном внутреннем отражении; макроскопически наблюдаемая разница между этими сдвигами показана черным цветом.

Тогда фазовый сдвиг компонента p относительно компонента s определяется выражением

$\delta =\delta _{p\!}-\delta _{s}\,$.

На рис. 2 это показано черным цветом для углов падения, превышающих критический угол, для трех значений показателя преломления. Видно, что показателя преломления 1,45 недостаточно для получения разности фаз 45°, тогда как показателя преломления 1,5 достаточно (с небольшим запасом), чтобы дать разность фаз 45° при двух углах падения: около 50,2. ° и 53,3°.

Для θ _i, превышающего критический угол, фазовые сдвиги при полном отражении выводятся из комплексных значений коэффициентов отражения. Для полноты картины на рис. 2 также показаны фазовые сдвиги при частичном отражении для меньше _θi критического угла. В последнем случае коэффициенты отражения для s и p компонентов действительны и удобно выражаются синусоидальным законом Френеля.  

$r_{s}=-{\frac {\sin(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\sin(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}}\,,$ ( 3 )

и касательный закон Френеля  

$r_{p}={\frac {\tan(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\tan(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}}\,,$ ( 4 )

где θi _θt — угол падения, а — _угол преломления (с индексом t для передаваемого ), а знак последнего результата является функцией соглашения, описанного выше.   (Теперь мы можем видеть недостаток этого соглашения, а именно, что два коэффициента имеют противоположные знаки по мере приближения к нормальному уровню заболеваемости; соответствующее преимущество состоит в том, что они имеют одинаковые знаки при скользящем уровне заболеваемости.)

Согласно синусоидальному закону Френеля, r _s положителен для всех углов падения прошедшего луча (поскольку ‍ θ _t > θ _i ‍ для падения от плотного к редкому), что дает фазовый сдвиг δ _s, равный нулю. Но согласно его закону тангенса, r _p отрицательен для малых углов (т. е. при почти нормальном падении) и меняет знак при угле Брюстера , где θ _i и θ _t дополняют друг друга. Таким образом, фазовый сдвиг δp _{составляет 180 °} для малых θi _,   но переключается на 0° под углом Брюстера. Сочетание дополнительности с законом Снелла дает ‍ θ _i = arctan (1/ n ) ‍ как угол Брюстера для падения от плотного к редкому.

Это завершает информацию, необходимую для построения графиков δ _s и δ _p для всех углов падения на рис. 2. в котором δ _p выделен красным, а δ _s синим. На шкале углов падения (горизонтальная ось) угол Брюстера — это место, где δ _p (красный) падает со 180 ° до 0 °, а критический угол — это место, где оба δ _p и δ _s (красный и синий) начинают расти. снова. Слева от критического угла находится область частичного отражения; здесь оба коэффициента отражения действительны (фаза 0° или 180°) с величинами меньше 1. Справа от критического угла находится область полного отражения; там оба коэффициента отражения комплексные с величинами, равными 1.

На рис. 2 разность фаз δ вычисляется путем окончательного вычитания; но есть и другие способы выразить это. Сам Френель в 1823 г. дал формулу для cos   δ .   Борн и Вольф (1970, стр. 50) выводят выражение для ‍ tan ( δ /2) и аналитически находят его максимум.

(Для вывода уравнений ( 1 )–( 4 ) выше см . Полное внутреннее отражение , особенно ‍ § Вывод затухающей волны ‍ и ‍ § Фазовые сдвиги .)

История

Фон

Огюстен-Жан Френель пришел к изучению полного внутреннего отражения благодаря своим исследованиям поляризации. В 1811 году Франсуа Араго обнаружил, что поляризованный свет, по-видимому, «деполяризуется» зависимым от ориентации и цвета образом, когда проходит через кусочек двулучепреломляющего кристалла: возникающий свет демонстрирует цвета, если смотреть через анализатор (второй поляризатор). Хроматическая поляризация , как стали называть это явление, была более тщательно исследована в 1812 году Жаном -Батистом Био . В 1813 году Био установил, что один случай, изученный Араго, а именно кварц, ограненный перпендикулярно его оптической оси , на самом деле представлял собой постепенное вращение плоскости поляризации с расстоянием. Далее он обнаружил, что некоторые жидкости, в том числе скипидар ( теребентин ), обладают этим свойством (см. Оптическое вращение ).

В 1816 году Френель предложил свою первую попытку создать волновую теорию хроматической поляризации. Без (пока) явного обращения к поперечным волнам эта теория рассматривала свет как состоящий из двух перпендикулярно поляризованных компонентов.

Этап 1: Спаренные призмы (1817 г.)

В 1817 году Френель заметил, что плоскополяризованный свет, по-видимому, частично деполяризуется за счет полного внутреннего отражения, если изначально поляризован под острым углом к ​​плоскости падения. Включив полное внутреннее отражение в эксперимент по хроматической поляризации, он обнаружил, что явно деполяризованный свет представляет собой смесь компонентов, поляризованных параллельно и перпендикулярно плоскости падения, и что полное отражение создает разность фаз между ними. Выбор подходящего угла падения (точно еще не уточненный) дал разность фаз 1/8 цикла. Два таких отражения от «параллельных граней» «двух связанных призм » дали разность фаз 1/4 периода. В этом случае, если свет изначально был поляризован под углом 45° к плоскости падения и отражения, он оказался полностью после двух отражений деполяризованным. Об этих результатах сообщалось в мемуарах, представленных и прочитанных Французской академии наук в ноябре 1817 года.

В «приложении» от января 1818 г. Френель сообщил, что оптическое вращение можно имитировать, пропуская поляризованный свет через пару «связанных призм», после чего следует обычная двулучепреломляющая пластинка, разрезанная параллельно ее оси, с осью под углом 45 ° к плоскости отражения призм, а затем второй парой призм под углом 90° к первой. Это было первое экспериментальное свидетельство математической связи между оптическим вращением и двойным лучепреломлением.

Этап 2: Параллелепипед (1818 г.)

Воспоминания ноября 1817 г. на полях имеется недатированная пометка: «С тех пор я заменил эти две соединенные призмы стеклянным параллелепипедом». Датированная ссылка на форму параллелепипеда – форму, которую мы сейчас признали бы ромбом Френеля – можно найти в мемуарах , которые Френель читал Академии 30 марта 1818 года и которые впоследствии были утеряны до 1846 года. В этих мемуарах Френель сообщил, что если поляризованный свет был полностью «деполяризован» ромбом, его свойства не были дополнительно изменены при последующем прохождении через оптически вращающуюся среду, независимо от того, была ли эта среда кристаллом, жидкостью или даже его собственным эмулятором; например, свет сохранил способность реполяризоваться вторым ромбом.

Интерлюдия (1818–22)

Дополнительная информация: Огюстен-Жан Френель.

Огюстен-Жан Френель (1788–1827).

Будучи инженером мостов и дорог, а также сторонником волновой теории света, Френель все еще оставался аутсайдером среди физического истеблишмента, когда представил свой параллелепипед в марте 1818 года. Но его становилось все труднее игнорировать. В апреле 1818 года он заявил о приоритете интегралов Френеля . В июле он представил великие мемуары о дифракции , которые увековечили его имя в учебниках элементарной физики. В 1819 году было объявлено о присуждении премии за мемуары о дифракции, опубликованы законы Френеля-Араго и представлено предложение Френеля установить в маяках «ступенчатые линзы».

В 1821 году Френель вывел формулы, эквивалентные его законам синуса и тангенса ( уравнения ( 3 ) и ( 4 ) выше ),   моделируя световые волны как поперечные упругие волны с колебаниями, перпендикулярными тому, что ранее называлось плоскостью поляризации . Используя старые экспериментальные данные, он быстро подтвердил, что уравнения правильно предсказывают направление поляризации отраженного луча, когда падающий луч был поляризован под углом 45 ° к плоскости падения для света, падающего из воздуха на стекло или воду. Об экспериментальном подтверждении было сообщено в «постскриптуме» к работе, в которой Френель изложил свою зрелую теорию хроматической поляризации, введя поперечные волны. Подробности вывода были изложены позже, в мемуарах, прочитанных академии в январе 1823 года. Этот вывод сочетал сохранение энергии с непрерывностью тангенциальной вибрации на границе раздела, но не учитывал какие-либо условия для нормальной составляющей вибрации. (Первый вывод из принципов электромагнетизма был сделан Хендриком Лоренцем в 1875 году. )

Тем временем к апрелю 1822 года Френель учел направления и поляризации преломленных лучей в двулучепреломляющих кристаллах двухосного класса – подвиг, вызвавший восхищение Пьера-Симона Лапласа .

Использование в экспериментах (1822–23).

В мемуарах о двойном лучепреломлении, вызванном напряжением (теперь называемом фотоупругостью ), прочитанных в сентябре 1822 года, Френель сообщил об эксперименте с использованием ряда стеклянных призм с углами преломления в разных направлениях и с двумя полупризмами на концах, что делало всю сборку прямоугольной. Когда призмы, обращенные в одну сторону, были сжаты в тисках, объекты, просматриваемые по всей длине сборки, казались двойными. В конце своих мемуаров он предложил вариант эксперимента с использованием ромба Френеля с целью проверки того, что оптическое вращение является формой двойного лучепреломления: он предсказал, что если сжатые стеклянные призмы заменить (ненапряженными) монокристаллическими кварцевыми призмами при одинаковом направлении оптического вращения и при совмещении их оптических осей вдоль ряда объект, видимый, если смотреть вдоль общей оптической оси, даст два изображения, которые кажутся неполяризованными, если смотреть только через анализатор; но если смотреть через ромб Френеля, они будут поляризованы под углом ± 45 ° к плоскости отражения.

О подтверждении этого предсказания сообщалось в мемуарах, прочитанных в декабре 1822 года. в котором Френель ввел термины линейная поляризация , круговая поляризация и эллиптическая поляризация . В ходе эксперимента ромб Френеля показал, что два изображения были циркулярно поляризованы в противоположных направлениях, а разделение изображений показало, что разные (круговые) поляризации распространяются с разными скоростями. Чтобы получить видимое разделение, Френелю потребовалась всего одна призма 14–152–14° и две полупризмы. Однако он обнаружил, что разделение улучшилось, если стеклянные полупризмы были заменены кварцевыми полупризмами, направление оптического вращения которых было противоположно направлению оптического вращения призмы 14–152–14°.

Таким образом, хотя сейчас мы думаем о ромбе Френеля прежде всего как об устройстве для преобразования линейной и круговой поляризации, только в мемуарах от декабря 1822 года сам Френель смог описать его в таких терминах.

В тех же мемуарах Френель объяснил оптическое вращение, отметив, что линейно поляризованный свет можно разделить на два компонента с круговой поляризацией, вращающихся в противоположных направлениях. Если бы эти компоненты распространялись с несколько разными скоростями (как он продемонстрировал на примере кварца), то разность фаз между ними – и, следовательно, ориентация их линейно поляризованной результирующей – постоянно менялась бы с расстоянием.

Этап 3: Расчет углов (1823 г.)

Концепция круговой поляризации была полезна в мемуарах от января 1823 года: содержащий подробный вывод законов синуса и тангенса: в тех же мемуарах Френель обнаружил, что для углов падения, превышающих критический угол, результирующие коэффициенты отражения были комплексными с единичной величиной. Отметив, что величина, как обычно, представляет собой соотношение амплитуд, он предположил, что аргумент представляет собой фазовый сдвиг, и подтвердил гипотезу экспериментально. Проверка включала

• расчет угла падения, при котором общая разность фаз между компонентами s и p составит 90 ° , для различного количества полных внутренних отражений под этим углом (обычно было два решения),
• подвергание света такому количеству полных внутренних отражений под этим углом падения с начальной линейной поляризацией под углом 45° к плоскости падения, и
• проверяя, была ли конечная поляризация круговой .

Эта процедура была необходима, потому что с помощью технологий того времени нельзя было напрямую измерить фазовые сдвиги s и p , а также нельзя было измерить произвольную степень эллиптичности поляризации, например, которая могла быть вызвана разницей между фазами. сдвиги. Но можно было убедиться, что поляризация была круговой , поскольку яркость света тогда была нечувствительна к ориентации анализатора.

Для стекла с показателем преломления 1,51 Френель подсчитал, что разность фаз между двумя коэффициентами отражения в 45 ° (следовательно, разница в 90 ° после двух отражений) требует угла падения 48 ° 37 'или 54 ° 37'. Он разрезал ромб до последнего угла и обнаружил, что он работает так, как ожидалось. Таким образом, определение ромба Френеля было завершено.

Точно так же Френель рассчитал и проверил угол падения, который дал бы разность фаз 90 ° после трех отражений под одним и тем же углом и четырех отражений под одним и тем же углом. В каждом случае было два решения, и в каждом случае он сообщил, что больший угол падения дает точную круговую поляризацию (для начальной линейной поляризации под углом 45 ° к плоскости отражения). Для случая трех отражений он также проверил меньший угол, но обнаружил, что он дает некоторую окраску из-за близости критического угла и его небольшой зависимости от длины волны. (Сравните рис. 2 выше, который показывает, что разность фаз δ более чувствительна к показателю преломления при меньших углах падения.)

Для большей уверенности Френель предсказал и подтвердил, что четыре полных внутренних отражения под углом 68°27' дадут точную круговую поляризацию, если в двух отражениях в качестве внешней среды используется вода, а в двух других — воздух, но не в том случае, если все отражающие поверхности были бы мокрые или все сухие.

Значение

Подводя итог, можно сказать, что изобретение ромба было не единственным событием в карьере Френеля, а процессом, охватывающим большую ее часть. Можно утверждать, что вычисление фазового сдвига при полном внутреннем отражении ознаменовало не только завершение его теории ромба, но и существенное завершение его реконструкции физической оптики на основе гипотезы поперечных волн (см. Огюстен-Жан Френель ).

Вычисление фазового сдвига также стало важной вехой в применении комплексных чисел. Леонард Эйлер был пионером в использовании комплексных показателей степени в решениях обыкновенных дифференциальных уравнений , понимая, что действительная часть решения является соответствующей частью. Но трактовка Френелем полного внутреннего отражения, кажется, была первым случаем, когда аргументу комплексного числа был придан физический смысл. По словам Саломона Бохнера ,

Мы думаем, что это был первый случай, когда комплексные числа или любые другие математические объекты, которые являются «ничем иным, как символами», были помещены в центр интерпретативного контекста «реальности». первая в своем роде, так хорошо выдержала экспериментальную проверку и последующую «максвеллизацию» всей теории. В очень общих чертах можно сказать, что это был первый случай, когда «природа» была абстрагирована от «чистой» математики, то есть от математики, которая ранее не абстрагировалась от самой природы.

См. также

• Угол Брюстера
• Круговая поляризация
• Эллиптическая поляризация
• Уравнения Френеля
• Линейная поляризация
• Оптическое вращение
• Поляризация (волны)
• Поляризационный ротатор
• Полное внутреннее отражение
• Френцаль Ромб
• Волновые пластины

Библиография

• С. Бохнер (июнь 1963 г.), «Значение некоторых основных математических концепций для физики», Isis , vol. 54, нет. 2 , стр. 179–205; jstor.org/stable/228537 .
• М. Борн и Э. Вольф, 1970, Принципы оптики , 4-е изд., Оксфорд: Pergamon Press.
• Дж. З. Бухвальд, 1989, Возникновение волновой теории света: оптическая теория и эксперимент в начале девятнадцатого века , University of Chicago Press, ISBN   0-226-07886-8 .
• О. Дарригол, 2012, История оптики: от греческой древности до девятнадцатого века , Оксфорд, ISBN   978-0-19-964437-7 .
• А. Френель, 1866 (изд.   Х. де Сенармон, Э. Верде и Л. Френель), Полное собрание сочинений Огюстена Френеля , Париж: Imprimerie Ipériale (3 тома, 1866–70 ), том. 1 (1866 г.) .
• Э. Хехт, 2002, Оптика , 4-е изд., Аддисон Уэсли, ISBN   0-321-18878-0 .
• Ф.А. Дженкинс и Х.Э. Уайт, 1976, Основы оптики , 4-е изд., Нью-Йорк: McGraw-Hill, ISBN   0-07-032330-5 .
• Н. Кипнис, 1991, История принципа интерференции света , Базель: Биркхойзер, ISBN   978-3-0348-9717-4 .
• Х. Ллойд, 1834 г., «Отчет о прогрессе и современном состоянии физической оптики» , Отчет четвертого собрания Британской ассоциации содействия развитию науки (состоявшегося в Эдинбурге в 1834 г.), Лондон: Дж. Мюррей, 1835, стр. 295–413.
• Дж. А. Стрэттон, 1941, Электромагнитная теория , Нью-Йорк: McGraw-Hill.
• У. Уэвелл, 1857, История индуктивных наук: от древнейших времен до наших дней , 3-е изд., Лондон: JW Parker & Son, vol. 2 .
• Э. Т. Уиттакер , 1910, История теорий эфира и электричества: от эпохи Декарта до конца девятнадцатого века , Лондон: Longmans, Green, & Co.

Внешние ссылки

• Некоторые фотографии (античных) ромбов Френеля см. в статье Т. Б. Гринслейда-младшего, «Ромб Френеля» , «Инструменты для натуральной философии» , Кеньон-колледж (Гамбье, Огайо), по состоянию на 4 марта 2018 г.; Архивировано 28 августа 2017 года. ( Ошибка , подтвержденная автором: слова «под углом Брюстера» следует удалить.)