Фигурные кривые

В дифференциальной геометрии тензор кривизны Риччи , названный в честь Грегорио Риччи-Курбастро , представляет собой геометрический объект, который определяется выбором римановой или псевдоримановой метрики на многообразии . В широком смысле его можно рассматривать как меру степени, в которой геометрия данного метрического тензора локально отличается от геометрии обычного евклидова пространства или псевдоевклидова пространства .

Тензор Риччи можно охарактеризовать измерением того, как форма деформируется при движении по геодезическим линиям в пространстве. В общей теории относительности , которая включает в себя псевдориманову настройку, это отражается наличием тензора Риччи в уравнении Райчаудхури . Частично по этой причине уравнения поля Эйнштейна предполагают, что пространство-время может быть описано псевдоримановой метрикой с поразительно простой связью между тензором Риччи и материальным содержанием Вселенной.

Как и метрический тензор, тензор Риччи присваивает каждому касательному пространству многообразия симметричную билинейную форму ( Бессе 1987 , стр. 43). В широком смысле можно было бы провести аналогию роли кривизны Риччи в римановой геометрии с ролью лапласиана в анализе функций; в этой аналогии тензор кривизны Римана , естественным побочным продуктом которого является кривизна Риччи, будет соответствовать полной матрице вторых производных функции. Однако есть и другие способы провести ту же аналогию.

В трехмерной топологии тензор Риччи содержит всю информацию, которая в более высоких измерениях кодируется более сложным тензором кривизны Римана . Частично эта простота позволяет применять множество геометрических и аналитических инструментов, что привело к решению гипотезы Пуанкаре благодаря работам Ричарда С. Гамильтона и Григория Перельмана .

В дифференциальной геометрии нижние оценки тензора Риччи на римановом многообразии позволяют извлечь глобальную геометрическую и топологическую информацию путем сравнения (ср. теорему сравнения ) с геометрией пространственной формы постоянной кривизны . Это связано с тем, что нижние границы тензора Риччи могут быть успешно использованы при изучении функционала длины в римановой геометрии, как впервые было показано в 1941 году с помощью теоремы Майерса .

Одним из распространенных источников тензора Риччи является то, что он возникает всякий раз, когда кто-то коммутирует ковариантную производную с тензорным лапласианом. Этим, например, объясняется его присутствие в формуле Бохнера , которая повсеместно используется в римановой геометрии. Например, эта формула объясняет, почему оценки градиента, полученные Шинг-Тунг Яу (и их развитие, такое как неравенства Ченг-Яу и Ли-Яу), почти всегда зависят от нижней границы кривизны Риччи.

В 2007 году Джон Лотт , Карл-Теодор Штурм и Седрик Виллани решительно продемонстрировали, что нижние границы кривизны Риччи можно полностью понять в терминах структуры метрического пространства риманова многообразия вместе с его формой объема. Это установило глубокую связь между кривизной Риччи и геометрией Вассерштейна и оптимальным транспортом , который в настоящее время является предметом большого количества исследований.

Определение

Предположим, что $\left(M,g\right)$ это $n$-мерный Риманово или псевдориманово многообразие , оснащенное с его связью Леви-Чивита $\nabla$. Риманова кривизна $M$ это карта, котораяпринимает гладкие векторные поля $X$, $Y$, и $Z$, и возвращает векторное поле

$$R(X,Y)Z:=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z$$

на векторных полях $X,Y,Z$. С $R$ является тензорным полем, поскольку каждая точка $p\in M$, это приводит к (полилинейному) отображению:

$$\operatorname {R} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\times T_{p}M\to T_{p}M.$$

Определите для каждой точки $p\in M$ карта $\operatorname {Ric} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R}$ к

$$\operatorname {Ric} _{p}(Y,Z):=\operatorname {tr} {\big (}X\mapsto \operatorname {R} _{p}(X,Y)Z{\big )}.$$

То есть, зафиксировав $Y$ и $Z$, то для любого ортонормированного базиса $v_{1},\ldots ,v_{n}$ векторного пространства $T_{p}M$, у одного есть

$$\operatorname {Ric} _{p}(Y,Z)=\sum _{i=1}\langle \operatorname {R} _{p}(v_{i},Y)Z,v_{i}\rangle .$$

Это стандартное упражнение (мульти)линейнойалгебры, чтобы убедиться, что это определение не зависит от выбора базиса $v_{1},\ldots ,v_{n}$.

В абстрактной индексной записи

$$\mathrm {Ric} _{ab}=\mathrm {R} ^{c}{}_{bca}=\mathrm {R} ^{c}{}_{acb}.$$

Подпишите соглашения. Обратите внимание, что некоторые источники определяют $R(X,Y)Z$ быть как бы здесь называться $-R(X,Y)Z;$ они бы тогда определили $\operatorname {Ric} _{p}$ как $-\operatorname {tr} (X\mapsto \operatorname {R} _{p}(X,Y)Z).$ Хотя соглашения о знаках различаются в отношении тензора Римана, они не различаются в отношении тензор Риччи.

Определение через локальные координаты на гладком многообразии

Позволять $\left(M,g\right)$ быть гладким риманианом или псевдориманов $n$-многообразие. Учитывая гладкий график $\left(U,\varphi \right)$ тогда у него есть функции $g_{ij}:\varphi (U)\rightarrow \mathbb {R}$ и $g^{ij}:\varphi (U)\rightarrow \mathbb {R}$ для каждого $i,j=1,\ldots ,n$ которые удовлетворяют

$$\sum _{k=1}^{n}g^{ik}(x)g_{kj}(x)=\delta _{j}^{i}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}}$$

для всех $x\in \varphi (U)$. Последнее показывает, что, выраженное какматрицы, $g^{ij}(x)=(g^{-1})_{ij}(x)$.Функции $g_{ij}$ определяются путем оценки $g$ на координатные векторные поля, а функции $g^{ij}$ определены такчто, будучи матричнозначной функцией, они обеспечивают обратную функцию матричнозначной функция $x\mapsto g_{ij}(x)$.

Теперь определим для каждого $a$, $b$, $c$, $i$, и $j$ между 1 и $n$, функции

$${\begin{aligned}\Gamma _{ab}^{c}&:={\frac {1}{2}}\sum _{d=1}^{n}\left({\frac {\partial g_{bd}}{\partial x^{a}}}+{\frac {\partial g_{ad}}{\partial x^{b}}}-{\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{d}}}\right)g^{cd}\\R_{ij}&:=\sum _{a=1}^{n}{\frac {\partial \Gamma _{ij}^{a}}{\partial x^{a}}}-\sum _{a=1}^{n}{\frac {\partial \Gamma _{ai}^{a}}{\partial x^{j}}}+\sum _{a=1}^{n}\sum _{b=1}^{n}\left(\Gamma _{ab}^{a}\Gamma _{ij}^{b}-\Gamma _{ib}^{a}\Gamma _{aj}^{b}\right)\end{aligned}}$$

как карты $\varphi :U\rightarrow \mathbb {R}$.

Теперь позвольте $\left(U,\varphi \right)$ и $\left(V,\psi \right)$ быть двумя гладкими диаграммами с $U\cap V\neq \emptyset$.Позволять $R_{ij}:\varphi (U)\rightarrow \mathbb {R}$ — это функции, вычисленные, как указано выше, с помощью диаграммы $\left(U,\varphi \right)$ и пусть $r_{ij}:\psi (V)\rightarrow \mathbb {R}$ — это функции, вычисленные, как указано выше, с помощью диаграммы $\left(V,\psi \right)$.Затем можно проверить расчетом с помощью правила цепочки и правила произведения, что

$$R_{ij}(x)=\sum _{k,l=1}^{n}r_{kl}\left(\psi \circ \varphi ^{-1}(x)\right)D_{i}{\Big |}_{x}\left(\psi \circ \varphi ^{-1}\right)^{k}D_{j}{\Big |}_{x}\left(\psi \circ \varphi ^{-1}\right)^{l}.$$

где $D_{i}$ является первой производной вдоль $i$е направлениеиз $\mathbb {R} ^{n}$.Это показывает, что следующее определение не зависит от выбора $\left(U,\varphi \right)$.Для любого $p\in U$, определим билинейное отображение $\operatorname {Ric} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\rightarrow \mathbb {R}$ к

$$(X,Y)\in T_{p}M\times T_{p}M\mapsto \operatorname {Ric} _{p}(X,Y)=\sum _{i,j=1}^{n}R_{ij}(\varphi (x))X^{i}(p)Y^{j}(p),$$

где $X^{1},\ldots ,X^{n}$ и $Y^{1},\ldots ,Y^{n}$ являются компоненты касательных векторов при $p$ в $X$ и $Y$ относительно координатные векторные поля $\left(U,\varphi \right)$.

Приведенное выше формальное представление принято сокращать следующим образом:

Позволять $M$ — гладкое многообразие, и пусть g — риманова или псевдориманова метрика. В локальных гладких координатах определите символы Кристоффеля

$${\begin{aligned}\Gamma _{ij}^{k}&:={\frac {1}{2}}g^{kl}\left(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij}\right)\\R_{jk}&:=\partial _{i}\Gamma _{jk}^{i}-\partial _{j}\Gamma _{ki}^{i}+\Gamma _{ip}^{i}\Gamma _{jk}^{p}-\Gamma _{jp}^{i}\Gamma _{ik}^{p}.\end{aligned}}$$

Это можно непосредственно проверить

$$R_{jk}={\widetilde {R}}_{ab}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{a}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{b}}{\partial x^{k}}},$$

так что $R_{ij}$ определить (0,2)-тензорное поле на $M$. В особенно, если $X$ и $Y$ векторные поля на $M$,тогда относительно любых гладких координат имеем

$${\begin{aligned}R_{jk}X^{j}Y^{k}&=\left({\widetilde {R}}_{ab}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{a}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{b}}{\partial x^{k}}}\right)\left({\widetilde {X}}^{c}{\frac {\partial x^{j}}{\partial {\widetilde {x}}^{c}}}\right)\left({\widetilde {Y}}^{d}{\frac {\partial x^{k}}{\partial {\widetilde {x}}^{d}}}\right)\\&={\widetilde {R}}_{ab}{\widetilde {X}}^{c}{\widetilde {Y}}^{d}\left({\frac {\partial {\widetilde {x}}^{a}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial x^{j}}{\partial {\widetilde {x}}^{c}}}\right)\left({\frac {\partial {\widetilde {x}}^{b}}{\partial x^{k}}}{\frac {\partial x^{k}}{\partial {\widetilde {x}}^{d}}}\right)\\&={\widetilde {R}}_{ab}{\widetilde {X}}^{c}{\widetilde {Y}}^{d}\delta _{c}^{a}\delta _{d}^{b}\\&={\widetilde {R}}_{ab}{\widetilde {X}}^{a}{\widetilde {Y}}^{b}.\end{aligned}}$$

Последняя строка включает демонстрацию того, что билинейное отображение Рика четко определено: что гораздо проще записать с помощью неформальной записи.

Сравнение определений

Два приведенных выше определения идентичны. Формулы, определяющие $\Gamma _{ij}^{k}$ и $R_{ij}$ в координатном подходе имеют точную параллель в формулах, определяющих связь Леви-Чивита и кривизну Римана через связь Леви-Чивита. Возможно, определения, непосредственно использующие локальные координаты, предпочтительнее, поскольку упомянутое выше «важнейшее свойство» тензора Римана требует $M$ быть Хаусдорфом, чтобы удержаться. Напротив, подход с локальными координатами требует только гладкого атласа. Несколько проще также связать философию «инвариантности», лежащую в основе локального подхода, с методами построения более экзотических геометрических объектов, например спинорных полей .

Сложная формула, определяющая $R_{ij}$ во вводном разделе такие же, как и в следующем разделе. Единственное отличие состоит в том, что термины сгруппированы таким образом, чтобы было легко увидеть, что $R_{ij}=R_{ji}.$

Свойства

Как видно из симметрий тензора кривизны Римана, тензор Риччи римановой многообразие симметрично в том смысле, что

$$\operatorname {Ric} (X,Y)=\operatorname {Ric} (Y,X)$$

для всех $X,Y\in T_{p}M.$

Отсюда линейно-алгебраически следует, что тензор Риччи полностью определен. зная количество $\operatorname {Ric} (X,X)$ для всех векторов $X$ единичной длины. Эта функция на множестве единичных касательных векторов часто также называют кривизной Риччи , поскольку знание ее эквивалентно зная тензор кривизны Риччи.

Кривизна Риччи определяется секционными кривизнами римановой многообразен, но обычно содержит меньше информации. Действительно, если $\xi$ это вектор единичной длины на риманиане $n$-многообразие, тогда $\operatorname {Ric} (\xi ,\xi )$ это именно $(n-1)$умноженное на среднее значение кривизны сечения, взятое по всем двум плоскостям содержащий $\xi$. Существует $(n-2)$трехмерное семейство таких 2-плоскостей, поэтому только в размерностях 2 и 3 тензор Риччи определяет тензор полной кривизны. Заметным исключением является случай, когда многообразию задано априори как гиперповерхность евклидова пространства . Вторая основная форма , которое определяет полную кривизну через уравнение Гаусса – Кодацци , само определяется тензором Риччи и главными направлениями гиперповерхности также являются собственными направлениями тензора Риччи. По этой причине тензор был введен Риччи.

Как видно из второго тождества Бьянки, имеется

$$\operatorname {div} \operatorname {Ric} ={\frac {1}{2}}dR,$$

где $R$ скалярная кривизна , определенная в местных координатах как $g^{ij}R_{ij}.$ Это часто называют сокращенной второй идентичностью Бьянки.

Прямой геометрический смысл

Рядом с любой точкой $p$ в римановом многообразии $\left(M,g\right)$,можно определить предпочтительные локальные координаты, называемые геодезическими нормальными координатами .Они адаптированы к метрике, так что геодезические через $p$ переписыватьсяк прямым линиям, проходящим через начало координат, таким образом, что геодезическое расстояниеот $p$ соответствует евклидову расстоянию от начала координат. В этих координатах метрический тензор хорошо аппроксимируется евклидовой метрика в том точном смысле, что

$$g_{ij}=\delta _{ij}+O\left(|x|^{2}\right).$$

Фактически, взяв разложение Тейлора метрики, примененной к полю Якоби вдоль радиальной геодезической в ​​нормальной системе координат, получим

$$g_{ij}=\delta _{ij}-{\frac {1}{3}}R_{ikjl}x^{k}x^{l}+O\left(|x|^{3}\right).$$

В этих координатах элемент метрического объема имеет следующее расширение в точке p :

$$d\mu _{g}=\left[1-{\frac {1}{6}}R_{jk}x^{j}x^{k}+O\left(|x|^{3}\right)\right]d\mu _{\text{Euclidean}},$$

что следует путем расширения квадратного корня определителя метрики.

Таким образом, если кривизна Риччи $\operatorname {Ric} (\xi ,\xi )$ положительныйв направлении вектора $\xi$, коническая область в $M$ выметается строго сфокусированным семейством геодезических отрезков длиной $\varepsilon$ исходящий из $p$, с начальной скоростью внутри небольшой конус около $\xi$, будет иметь меньший объем, чем соответствующийконическая область в евклидовом пространстве, по крайней мере, при условии, что $\varepsilon$ достаточно мал. Аналогично, если кривизна Риччи отрицательна в направление данного вектора $\xi$, такая коническая область в многообразии вместо этого будет иметь больший объем, чем в евклидовом пространстве.

Кривизна Риччи по сути представляет собой среднее значение кривизн в плоскостях, включая $\xi$. Таким образом, если исходящий конус изначально круглой (или сферической)поперечное сечение искажается в эллипс ( эллипсоид ), возможночтобы объемные искажения исчезли, если искажения вдоль главные оси противодействуют друг другу. Риччи кривизна тогда исчезла бы вдоль $\xi$. В физических приложениях наличие неисчезающей кривизны сечения не обязательно указывает наналичие каких-либо масс локально; если изначально круглое сечение конуса мировых линий позднее становится эллиптической, не меняя своего объема, затем это происходит из-за приливных эффектов массы в каком-то другом месте.

Приложения

Кривизна Риччи играет важную роль в общей теории относительности . ключевой член в уравнениях поля Эйнштейна .

Кривизна Риччи также появляется в уравнении потока Риччи , сначала введен Ричардом С. Гамильтоном в 1982 году, где некоторые однопараметрические семейства римановых метрик выделяются как решения геометрически определенное уравнение в частных производных. В гармонических локальных координатах тензор Риччи можно выразить как ( Чоу и Кнопф 2004 , лемма 3.32).

$$R_{ij}=-{\frac {1}{2}}\Delta \left(g_{ij}\right)+{\text{lower-order terms}},$$

где $g_{ij}$ являются компонентами метрического тензора и $\Delta$ – оператор Лапласа–Бельтрами .Этот факт мотивирует введение потока Риччи уравнения как естественное расширение уравнения теплопроводности для метрики.Поскольку тепло имеет тенденцию распространяться через твердого тела до тех пор, пока тело не достигнет состояния равновесия с постоянной температурой, если дано многообразие, можно надеяться, что поток Риччи создаст «равновесие» Риманова метрика Эйнштейна или постоянной кривизны. Однако столь четкой картины «сходимости» достичь невозможно, поскольку многие многообразия не может поддерживать такие метрики. Детальное изучение природы решений задачи Поток Риччи, созданный главным образом Гамильтоном и Григорием Перельманом , показывает, что типы «особенностей», возникающие вдоль потока Риччи, соответствующие отказ сходимости кодирует глубокую информацию о трехмерной топологии. Кульминацией этой работы стало доказательство гипотезы геометризации. впервые предложенный Уильямом Терстоном в 1970-х годах, который можно рассматривать как классификация компактных 3-многообразий.

На кэлеровом многообразии кривизна Риччи определяет первый класс Черна. многообразия (мод кручение). Однако кривизна Риччи не имеет аналогов. топологическая интерпретация на римановом многообразии общего положения.

Глобальная геометрия и топология

Вот краткий список глобальных результатов, касающихся многообразий с положительной кривизной Риччи; см. также классические теоремы римановой геометрии . Короче говоря, положительная кривизна Риччи риманова многообразия имеет сильные топологические последствия, в то время как (для размерности не менее 3) отрицательная кривизна Риччи не имеет топологических последствий. (Кривизна Риччи называется положительной, если функция кривизны Риччи $\operatorname {Ric} (\xi ,\xi )$ положителен на множестве ненулевых касательных векторов $\xi$.) Некоторые результаты известны и для псевдоримановых многообразий.

1. Теорема Майерса (1941) утверждает, что если кривизна Риччи ограничена снизу на полном римановом n -многообразии соотношением $(n-1)k>0$, то многообразие имеет диаметр $\leq \pi /{\sqrt {k}}$. Из аргумента о накрывающем пространстве следует, что любое компактное многообразие положительной кривизны Риччи должно иметь конечную фундаментальную группу . Ченг (1975) показал, что в этом случае равенство в неравенстве диаметров имеет место только в том случае, если многообразие изометрично сфере постоянной кривизны. $k$.
2. Неравенство Бишопа –Громова гласит, что если полное $n$-мерное риманово многообразие имеет неотрицательную кривизну Риччи, то объем геодезического шара меньше или равен объему геодезического шара того же радиуса в евклидовом $n$-космос. Более того, если $v_{p}(R)$ обозначает объем шара с центром $p$ и радиус $R$ в многообразии и $V(R)=c_{n}R^{n}$ обозначает объем шара радиуса $R$ в евклидовом $n$-пробел, затем функция $v_{p}(R)/V(R)$ не возрастает. Это можно обобщить на любую нижнюю оценку кривизны Риччи (а не только на неотрицательность), и это ключевой момент в доказательстве теоремы Громова о компактности .)
3. Чигера–Громолла Теорема о расщеплении утверждает, что если полное риманово многообразие $\left(M,g\right)$ с $\operatorname {Ric} \geq 0$ содержит линию , означающую геодезическую $\gamma :\mathbb {R} \to M$ такой, что $d(\gamma (u),\gamma (v))=\left|u-v\right|$ для всех $u,v\in \mathbb {R}$, то оно изометрично пространству произведений $\mathbb {R} \times L$. Следовательно, полное многообразие положительной кривизны Риччи может иметь не более одного топологического конца. Теорема верна и при некоторых дополнительных гипотезах для полных лоренцевых многообразий (метрической сигнатуры $\left(+--\ldots \right)$) с неотрицательным тензором Риччи ( Galloway 2000 ).
4. Гамильтона Первая теорема сходимости для потока Риччи, как следствие, гласит, что единственные компактные 3-многообразия, которые имеют римановы метрики положительной кривизны Риччи, - это факторы 3-сферы по дискретным подгруппам SO (4), которые действуют надлежащим образом разрывно. Позже он расширил это, чтобы учесть неотрицательную кривизну Риччи. В частности, единственной односвязной возможностью является сама 3-сфера.

Эти результаты, особенно результаты Майерса и Гамильтона, показывают, что положительная кривизна Риччи имеет серьезные топологические последствия. Напротив, теперь известно, что за исключением случаев поверхностей отрицательная кривизна Риччи не имеет топологических последствий; Локамп (1994) показал, что любое многообразие размерности больше двух допускает полную риманову метрику отрицательной кривизны Риччи. В случае двумерных многообразий отрицательность кривизны Риччи является синонимом отрицательности гауссовой кривизны, что имеет очень четкие топологические последствия . Существует очень мало двумерных многообразий, которые не допускают римановых метрик отрицательной гауссовой кривизны.

Поведение

Если метрика $g$ изменяется путем умножения его на конформный коэффициент $e^{2f}$, тензор Риччи новой, конформно связанной метрики ${\tilde {g}}=e^{2f}g$ дается ( Besse 1987 , стр. 59)

$${\widetilde {\operatorname {Ric} }}=\operatorname {Ric} +(2-n)\left[\nabla df-df\otimes df\right]+\left[\Delta f-(n-2)\|df\|^{2}\right]g,$$

где $\Delta =*d*d$ является лапласианом Ходжа (положительный спектр), т. е. противоположность . обычному следу гессиана

В частности, учитывая точку $p$ в римановом многообразии всегда можно найти метрики, конформные данной метрике $g$ для чего Тензор Риччи исчезает при $p$. Однако обратите внимание, что это только точечно. утверждение; обычно невозможно заставить кривизну Риччи исчезнуть тождественно на всем многообразии конформным перемасштабированием.

Для двумерных многообразий приведенная выше формула показывает, что если $f$ это гармоническая функция , то конформное масштабирование $g\mapsto e^{2f}g$ не меняет тензор Риччи (хотя по-прежнему меняет свой след по отношению к к метрике, если только $f=0$.

Бесследовый

В римановой геометрии и псевдоримановой геометрии бесследовый тензор Риччи (также называемый бесследовым тензором Риччи ) Риманов или псевдориманов $n$-многообразие $\left(M,g\right)$ тензор, определяемый формулой

$$Z=\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg,$$

где $\operatorname {Ric}$ и $R$ обозначим кривизну Риччи и скалярная кривизна $g$. Название этого объекта отражает тот факт, что его след автоматически исчезает: $\operatorname {tr} _{g}Z\equiv g^{ab}Z_{ab}=0.$ Однако это довольно важный тензор, поскольку он отражает «ортогональное разложение» тензора Риччи.

Ортогональное разложение тензора Риччи

Следующее, не столь тривиальное свойство:

$$\operatorname {Ric} =Z+{\frac {1}{n}}Rg.$$

Менее очевидно, что два члена в правой части ортогональны. друг другу:

$$\left\langle Z,{\frac {1}{n}}Rg\right\rangle _{g}\equiv g^{ab}\left(R_{ab}-{\frac {1}{n}}Rg_{ab}\right)=0.$$

Тождество, которое тесно связано с этим (но которое можно доказать непосредственно) это что

$$\left|\operatorname {Ric} \right|_{g}^{2}=|Z|_{g}^{2}+{\frac {1}{n}}R^{2}.$$

Бесследовый тензор Риччи

Взяв расхождение и используя сокращенное тождество Бьянки, можно увидеть, что $Z=0$ подразумевает ${\textstyle {\frac {1}{2}}dR-{\frac {1}{n}}dR=0}$. Итак, при условии, что n ≥ 3 и $M$ связано, исчезает из $Z$ означает, что скалярная кривизна постоянна. Тогда можно увидеть что следующие условия эквивалентны:

• $Z=0$
• $\operatorname {Ric} =\lambda g$ на какое-то число $\lambda$
• $\operatorname {Ric} ={\frac {1}{n}}Rg$

В римановой ситуации приведенное выше ортогональное разложение показывает, что $R^{2}=n|\operatorname {Ric} |^{2}$ также эквивалентно этим условиям. В псевдоримановой ситуации, напротив, условие $|Z|_{g}^{2}=0$ не обязательно подразумевает $Z=0,$ так что максимум, что можно сказать, это то, что эти условия подразумевают $R^{2}=n\left|\operatorname {Ric} \right|_{g}^{2}.$

В частности, исчезновение бесследового тензора Риччи характеризует Многообразия Эйнштейна , определенные условием $\operatorname {Ric} =\lambda g$ на номер $\lambda .$ В общей теории относительности это уравнение гласит: что $\left(M,g\right)$ является решением вакуумного поля Эйнштейна уравнения с космологической постоянной .

Многообразия Кэлера

На кэлеровом многообразии $X$, кривизна Риччи определяет форма кривизны канонического линейного расслоения ( Морояну 2007 , глава 12). Канонический линейный расслоение является верхним внешняя степень расслоения голоморфных келеровых дифференциалов :

$$\kappa ={\textstyle \bigwedge }^{n}~\Omega _{X}.$$

Связность Леви-Чивита, соответствующая метрике на $X$ дает подняться на связь на $\kappa$. Кривизна этого соединения 2-форма, определяемая

$$\rho (X,Y)\;{\stackrel {\text{def}}{=}}\;\operatorname {Ric} (JX,Y)$$

где $J$ представляет собой карту сложной структуры на касательное расслоение, определяемое структурой кэлерова многообразия. Риччи форма является закрытой 2-формой. Его класс когомологий : с точностью до действительного постоянного множителя, первого класса Черна канонического расслоения, и поэтому является топологическим инвариантом $X$ (для компактного $X$) в том смысле, что это зависит только от топологии $X$ и гомотопический класс комплексной структуры.

И наоборот, форма Риччи определяет тензор Риччи по формуле

$$\operatorname {Ric} (X,Y)=\rho (X,JY).$$

В локальных голоморфных координатах $z^{\alpha }$, форма Риччи имеет вид

$$\rho =-i\partial {\overline {\partial }}\log \det \left(g_{\alpha {\overline {\beta }}}\right)$$

где ∂ — оператор Дольбо и

$$g_{\alpha {\overline {\beta }}}=g\left({\frac {\partial }{\partial z^{\alpha }}},{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}^{\beta }}}\right).$$

Если тензор Риччи обращается в нуль, то каноническое расслоение плоское, поэтому Структурная группа может быть локально сведена к подгруппе специальная линейная группа $SL(n;\mathbb {C} )$. Однако кэлеровы многообразия уже обладают голономией в $U(n)$, и поэтому (ограниченное) голономия Риччи-плоского кэлерова многообразия содержится в $SU(n)$. И наоборот, если (ограниченная) голономия 2 $n$-мерный риманиан многообразие содержится в $SU(n)$, то многообразие является Риччи-плоским Келерово многообразие ( Кобаяши и Номидзу 1996 , IX, §4).

Обобщение на аффинные связи

Тензор Риччи также можно обобщить на произвольные аффинные связности : где это инвариант, играющий особенно важную роль при изучении проективная геометрия (геометрия, связанная с непараметризованная геодезическая) ( Номизу и Сасаки 1994 ). Если $\nabla$ обозначает аффинную связность, то тензор кривизны $R$ это (1,3)-тензор, определяемый формулой

$$R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z$$

для любых векторных полей $X,Y,Z$. Тензор Риччи определяется как след:

$$\operatorname {ric} (X,Y)=\operatorname {tr} {\big (}Z\mapsto R(Z,X)Y{\big )}.$$

В этой более общей ситуации тензор Риччи симметричен тогда и только тогда, когда существует локально существует форма параллельного тома для подключения.

Риччи

Понятия кривизны Риччи на дискретных многообразиях были определены на графах исети, где они количественно определяют свойства локальной дивергенции ребер. Оливье Кривизна Риччи определяется с использованием теории оптимального переноса. Другое (и более раннее) понятие, кривизна Риччи Формана, основано на топологические аргументы.

См. также

• Кривизна римановых многообразий
• Скалярная кривизна
• Фигурное исчисление
• Разложение Риччи
• Риччи-плоское многообразие
• Символы Кристофера
• Введение в математику общей теории относительности

Ссылки

• Бесс, AL (1987), Многообразия Эйнштейна , Springer, ISBN  978-3-540-15279-8 .
• Чоу, Беннет и Кнопф, Дэн (2004), Поток Риччи: введение , Американское математическое общество, ISBN  0-8218-3515-7 .
• Эйзенхарт, Л.П. (1949), Риманова геометрия , Принстонский университет. Нажимать .
• Форман (2003), «Метод Бохнера для клеточных комплексов и комбинаторной кривизны Риччи», Дискретная и вычислительная геометрия , 29 (3): 323–374. doi:10.1007/s00454-002-0743-x . ISSN 1432-0444
• Галлоуэй, Грегори (2000), «Принципы максимума для нулевых гиперповерхностей и теоремы о расщеплении нулей», Annales de l'Institut Henri Poincaré A , 1 (3): 543–567, arXiv : math/9909158 , Bibcode : 2000AnHP.... 1..543G , doi : 10.1007/s000230050006 , S2CID   9619157 .
• Кобаяши, С.; Номидзу, К. (1963), Основы дифференциальной геометрии, Том 1 , Interscience .
• Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, Том. 2 , Wiley-Interscience , ISBN  978-0-471-15732-8 .
• Локамп, Иоахим (1994), «Метрика отрицательной кривизны Риччи», Annals of Mathematics , Вторая серия, 140 (3), Annals of Mathematics: 655–683, doi : 10.2307/2118620 , ISSN   0003-486X , JSTOR   2118620 , MR   1307899 .
• Морояну, Андрей (2007), Лекции по кэлеровой геометрии , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 69, Издательство Кембриджского университета , arXiv : math/0402223 , doi : 10.1017/CBO9780511618666 , ISBN  978-0-521-68897-0 , МР   2325093 , S2CID   209824092
• Номидзу, Кацуми ; Сасаки, Такеши (1994), Аффинная дифференциальная геометрия , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-44177-3 .
• Оливье, Янн (2009), «Кривизна Риччи цепей Маркова в метрических пространствах», Journal of Functional Analysis 256 (3): 810–864. дои:10.1016/j.jfa.2008.11.001 . ISSN 0022-1236
• Риччи, Г. (1903–1904), «Направления и главные инварианты в любом многообразии», Atti R. Inst. Венето , 63 (2): 1233–1239 .
• Л. А. Сидоров (2001) [1994], «Тензор Риччи» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Л.А. Сидоров (2001) [1994], «Кривизна Риччи» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Наджман, Лоран и Ромон, Паскаль (2017): Современные подходы к дискретной кривизне, Спрингер (Чам), Конспекты лекций по математике

Внешние ссылки

• З. Шен, К. Сормани «Топология открытых многообразий с неотрицательной кривизной Риччи» (обзор)
• Г. Вэй, «Многообразия с нижней границей кривизны Риччи» (обзор)