Гармонические координаты

В римановой геометрии , разделе математики , гармонические координаты представляют собой определенный вид координатной карты на гладком многообразии , определяемой римановой метрикой на многообразии. Они полезны во многих задачах геометрического анализа благодаря своим свойствам регулярности.

В двух измерениях определенные гармонические координаты, известные как изотермические координаты, изучаются с начала 1800-х годов. Гармонические координаты в более высоких измерениях были первоначально разработаны в контексте лоренцевой геометрии и общей теории относительности Альбертом Эйнштейном и Корнелиусом Ланцосом (см. Условие гармонических координат ). ^[1] После работы Денниса ДеТурка и Джерри Каздана в 1981 году они начали играть значительную роль в литературе по геометрическому анализу , хотя Иджад Сабитов и С.З. Шефель сделали то же открытие пятью годами ранее. ^[2]

Определение

Пусть $(M, g)$ — риманово многообразие размерности $n$ . Говорят, что координатная карта $(x 1, ..., х н)$ , определенное на открытом подмножестве $U$ множества $M$ , является гармоническим, если каждая отдельная координатная функция $x я$ является гармонической функцией на $U$ . ^[3] То есть требуется, чтобы

\Delta ^{g}x^{i}=0.\,

где $∆ г$ – оператор Лапласа–Бельтрами . Тривиально, система координат гармонична тогда и только тогда, когда в качестве отображения $U \to ℝ н$ координаты представляют собой гармоническую карту . Непосредственное вычисление с локальным определением оператора Лапласа-Бельтрами показывает, что $(x 1, ..., х н)$ является гармонической координатной картой тогда и только тогда, когда

\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g^{ij}\Gamma _{ij}^{k}=0{\text{ for all }}k=1,\ldots ,n,

в котором $Γ к ij$ — символы Кристоффеля данной карты. ^[4] Относительно фиксированной «фоновой» координатной карты $(V, y)$ можно просмотреть $(x 1, ..., х н)$ как набор функций $x \circ y -1$ на открытом подмножестве евклидова пространства. Метрический тензор относительно $x$ получается из метрического тензора относительно $y$ путем локального расчета, связанного с первыми производными $x \circ y. -1$ , и, следовательно, символы Кристоффеля относительно $x$ вычисляются из вторых производных $x \circ y -1$ . Таким образом, оба определения гармонических координат, данные выше, имеют качественный характер и связаны с уравнениями в частных производных второго порядка для координатных функций.

Используя определение символов Кристоффеля, приведенная выше формула эквивалентна

2\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{i}}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}.

Существование и основная теория

Гармонические координаты всегда существуют (локально), и этот результат легко следует из стандартных результатов о существовании и регулярности решений эллиптических уравнений в частных производных . ^[5] В частности, уравнение $∆ г в дж = 0$ имеет решение в некотором открытом множестве вокруг любой заданной точки $p$ , такое, что $u (p)$ и $du p$ оба предписаны.

Основная теорема о регулярности метрики в гармонических координатах состоит в том, что если компоненты метрики находятся в пространстве Гёльдера $C к, а$ если она выражена в некоторой координатной карте, независимо от гладкости самой карты, то функция перехода от этой координатной карты к любой гармонической координатной карте будет находиться в пространстве Гёльдера $C к + 1, а$ . ^[6] В частности, это означает, что метрика также будет находиться в $C к, а$ относительно гармонических координатных карт. ^[7]

Как было впервые обнаружено Корнелиусом Ланцосом в 1922 году, относительно гармонической координатной карты кривизна Риччи определяется выражением

R_{ij}=-{\frac {1}{2}}\sum _{a,b=1}^{n}g^{ab}{\frac {\partial ^{2}g_{ij}}{\partial x^{a}\partial x^{b}}}+\partial g\ast \partial g\ast g^{-1}\ast g^{-1}.

Фундаментальный аспект этой формулы заключается в том, что для любых фиксированных $i$ и $j$ первый член в правой части представляет собой эллиптический оператор, применяемый к локально определенной функции $g ij$ . автоматически следует Таким образом, из эллиптической регулярности и, в частности, из оценок Шаудера , что если $g$ есть $C 2$ и $Ric(g)$ — это $C к, а$ относительно гармонических координатных карт, то $g$ есть $C к + 2, а$ относительно того же графика. ^[8] В более общем смысле, если $g$ представляет собой $C к, а$ (с $k$ больше единицы), а $Ric(g)$ — это $C л, а$ относительно некоторых координатных карт, то функция перехода к гармонической координатной карте будет $C к + 1, а$ , и поэтому $Ric(g)$ будет $C min(l, k), α$ в гармонических координатных картах. Итак, согласно предыдущему результату, $g$ будет $C min(l, k) + 2, α$ в гармонических координатных картах. ^[9]

В качестве дальнейшего применения формулы Ланцоша следует, что Эйнштейна аналитична метрика в гармонических координатах. ^[10] В частности, это показывает, что любая метрика Эйнштейна на гладком многообразии автоматически определяет аналитическую структуру на многообразии, заданную набором гармонических координатных карт.

Благодаря приведенному выше анализу при обсуждении гармонических координат принято рассматривать римановы метрики, которые по крайней мере дважды непрерывно дифференцируемы. Однако с использованием более экзотических функциональных пространств приведенные выше результаты о существовании и регулярности гармонических координат можно распространить на ситуации, когда метрика имеет очень слабую регулярность. ^[11]

Гармонические координаты в асимптотически плоских пространствах

Гармонические координаты были использованы Робертом Бартником для понимания геометрических свойств асимптотически плоских римановых многообразий . ^[12] Предположим, что имеется полное риманово многообразие $(M, g)$ и что существует компактное подмножество $K$ в $M$ вместе с диффеоморфизмом $Φ$ из $M ∖ K$ в $ℝ н ∖ B R (0)$ такой, что $Φ * g$ относительно стандартной евклидовой метрики $δ$ на $ℝ н ∖ B R (0)$ имеет собственные значения, равномерно ограниченные сверху и снизу положительными числами, и такие, что $(Φ * g)(x)$ сходится в некотором точном смысле к $δ$ , когда $x$ стремится к бесконечности. Такой диффеоморфизм известен как структура на бесконечности или как асимптотически плоские координаты для $(M, g)$ . ^[13]

Основной результат Бартника состоит в том, что набор асимптотически плоских координат (если он непустой) имеет простую асимптотическую структуру, в которой функция перехода между любыми двумя асимптотически плоскими координатами аппроксимируется вблизи бесконечности аффинным преобразованием . ^[14] Это важно для установления того, что энергия АДМ асимптотически плоского риманова многообразия является геометрическим инвариантом, не зависящим от выбора асимптотически плоских координат. ^[15]

Ключевым инструментом установления этого факта является аппроксимация произвольных асимптотически плоских координат для $(M, g)$ асимптотически плоскими координатами, которые являются гармоническими. Ключевая техническая работа заключается в создании теории Фредгольма для оператора Лапласа-Бельтрами, действующего между определенными банаховыми пространствами функций на $M$ , которые распадаются на бесконечности. ^[16] Тогда для любых асимптотически плоских координат $Φ$ из того, что

\Delta ^{g}\Phi ^{k}=-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g^{ij}\Gamma _{ij}^{k},

которая затухает на бесконечности, из теории Фредгольма следует, что существуют функции $z к$ которые распадаются на бесконечности такие, что $∆ г Ф к = Д г С к$ , и, следовательно, $Φ к - г к$ гармоничны. Это обеспечивает желаемые асимптотически плоские гармонические координаты. Основной результат Бартника тогда следует из того факта, что векторное пространство асимптотически затухающих гармонических функций на $M$ имеет размерность $n + 1$ , что приводит к тому, что любые две асимптотически плоские гармонические координаты на $M$ связаны аффинным преобразованием. ^[17]

Работа Бартника основана на существовании асимптотически плоских координат. Опираясь на свои методы, Сигэтоси Бандо, Ацуши Касуэ и Хираку Накадзима показали, что затухание кривизны по мере удаления от точки вместе с полиномиальным ростом объема больших геодезических шаров и простой связностью их дополнений подразумевает существование асимптотически плоских координат. ^[18] Существенным моментом является то, что их геометрические предположения, посредством некоторых из обсуждаемых ниже результатов о гармоническом радиусе, дают хороший контроль над гармоническими координатами в областях, близких к бесконечности. Используя раздел единства , эти гармонические координаты можно соединить вместе, чтобы сформировать единую координатную диаграмму, что и является основной целью. ^[19]

Гармонический радиус

Основополагающий результат Майкла Андерсона состоит в том, что для гладкого риманова многообразия, любого положительного числа $α$ между 0 и 1 и любого положительного числа $Q$ существует число $r$ , которое зависит от $α$ , от $Q$ , от верхних и нижних границ кривизны Риччи, размерности и положительной нижней границы радиуса инъективности, так что любой геодезический шар радиуса меньше $r$ является областью гармонических координат, относительно которой $C 1, а$ размер $g$ и равномерная близость $g$ к евклидовой метрике контролируются $Q$ . ^[20] Это также можно переформулировать в терминах «норм» заостренных римановых многообразий, где $C 1, а$ -норма в масштабе $r$ соответствует оптимальному значению $Q$ для гармонических координат, областью определения которых являются геодезические шары радиуса $r$ . ^[21] Различные авторы находили версии таких оценок «гармонического радиуса» как до, так и после работы Андерсона. ^[22] Существенным аспектом доказательства является анализ с помощью стандартных методов эллиптических уравнений в частных производных формулы Ланцоша для кривизны Риччи в гармонической координатной карте. ^[23]

Итак, грубо говоря, использование гармонических координат показывает, что римановы многообразия могут быть покрыты координатными картами, в которых локальные представления римановой метрики контролируются только качественным геометрическим поведением самого риманова многообразия. Следуя идеям, изложенным Джеффом Чигером в 1970 году, можно затем рассмотреть последовательности римановых многообразий, которые равномерно геометрически контролируются, и, используя координаты, можно собрать «предельное» риманово многообразие. ^[24] Из природы такой «римановой сходимости» следует, например, что с точностью до диффеоморфизма существует только конечное число гладких многообразий заданной размерности, которые допускают римановы метрики с фиксированной границей кривизны и диаметра Риччи, с фиксированным положительным нижняя граница радиуса инъективности. ^[25]

Такие оценки гармонического радиуса также используются для построения геометрически управляемых обрезающих функций и, следовательно, разбиений единицы . Например, чтобы управлять второй ковариантной производной функции с помощью локально определенной второй частной производной, необходимо контролировать первую производную локального представления метрики. Подобные конструкции являются фундаментальными при изучении основных аспектов пространств Соболева на некомпактных римановых многообразиях. ^[26]

Ссылки

Сноски

^ Эйнштейн 1916 ; Ланцош 1922 год .
^ ДеТурк и Каздан 1981 ; Сабитов и Шефель 1976 .
^ Бесс 2008 , с. 143; Хебей 1999 , с. 13; Петерсен 2016 , с. 409; Сакаи 1996 , с. 313.
^ ДеТурк и Каздан 1981 , Лемма 1.1.
^ Бесс 2008 , с. 143; Петерсен 2016 , Лемма 11.2.5.
^ ДеТурк и Каздан 1981 , Лемма 1.2; Бесс 2008 , Предложение 5.19.
^ ДеТурк и Каздан 1981 , Теорема 2.1.
^ DeTurck & Kazdan 1981 , Теорема 4.5 (b); Бесс 2008 , Теорема 5.20b.
^ DeTurck & Kazdan 1981 , Теорема 4.5(c).
^ ДеТурк и Каздан 1981 , Теорема 5.2; Бесс 2008 , Теорема 5.26.
^ Тейлор 2000 , разделы 3.9 и 3.10.
^ Бартник 1986 .
^ Бартник 1986 , Определение 2.1; Ли и Паркер 1987 , стр. 75-76.
^ Бартник 1986 , следствие 3.22; Ли и Паркер 1987 , Теорема 9.5.
^ Бартник 1986 , Теорема 4.2; Ли и Паркер 1987 , Теорема 9.6.
^ Бартник 1986 , разделы 1 и 2; Ли и Паркер 1987 , Теорема 9.2.
^ Бартник 1986 , стр. 678; Ли и Паркер 1987 , стр. 78.
^ Бандо, Касуэ и Накадзима, 1989 , Теорема 1.1 и замечание 1.8 (2).
^ Бандо, Касуэ и Накадзима 1989 , стр. 324–325.
^ Андерсон 1990 , Лемма 2.2; Hebey 1999 , Определение 1.1 и Теорема 1.2.
^ Петерсен 2016 , разделы 11.3.1 и 11.3.4.
^ Hebey 1999 , Теорема 1.2; Петерсен 2016 , Теорема 11.4.15; Сакаи 1996 , Теорема A6.10.
^ Андерсон 1990 , стр. 434–435; Петерсен 2016 , стр. 427, 429.
^ Андерсон 1990 , Лемма 2.1; Петерсен 2016 , Теорема 11.3.6 и следствия 11.3.7 и 11.3.8; Сакаи 1996 , с. 313.
^ Андерсон 1990 , Теорема 1.1; Петерсен 2016 , следствие 11.4.4; Сакаи 1996 , Замечание A6.12.
^ Hebey 1999 , Предложение 3.2, Предложение 3.3, Теорема 3.4, Теорема 3.5.

Учебники

Бесс, Артур Л. (1987). Многообразия Эйнштейна . Результаты математики и ее пограничные области (3). Том 10. Перепечатано в 2008 г. Берлин: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-540-74311-8 . ISBN 3-540-15279-2 . МР 0867684 . Збл 0613.53001 .
Хебей, Эммануэль (1999). Нелинейный анализ на многообразиях: пространства и неравенства Соболева . Курант Конспект лекций по математике. Том. 5. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . дои : 10.1090/cln/005 . ISBN 0-9658703-4-0 . МР 1688256 . Збл 0981.58006 .
Петерсен, Питер (2016). Риманова геометрия . Тексты для аспирантов по математике . Том. 171 (Третье издание оригинальной редакции 1998 г.). Спрингер, Чам . дои : 10.1007/978-3-319-26654-1 . ISBN 978-3-319-26652-7 . МР 3469435 . Збл 1417.53001 .
Сакаи, Такаши (1996). Риманова геометрия . Переводы математических монографий. Том. 149. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . дои : 10.1090/ммоно/149 . ISBN 0-8218-0284-4 . МР 1390760 . Збл 0886.53002 .
Тейлор, Майкл Э. (2000). Инструменты для PDE. Псевдодифференциальные операторы, парадифференциальные операторы и потенциалы слоев . Математические обзоры и монографии . Том. 81. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . дои : 10.1090/surv/081 . ISBN 0-8218-2633-6 . МР 1766415 . Збл 0963.35211 .

Статьи

Андерсон, Майкл Т. (1990). «Сходимость и жесткость многообразий при границах кривизны Риччи» . Математические изобретения . 102 (2): 429–445. Бибкод : 1990InMat.102..429A . дои : 10.1007/bf01233434 . МР 1074481 . S2CID 121062092 . Збл 0711.53038 .
Бандо, Сигетоши; Касуэ, Ацуши; Накадзима, Хираку (1989). «О построении координат на бесконечности на многообразиях с быстрым затуханием кривизны и максимальным ростом объема» . Математические изобретения . 97 (2): 313–349. Бибкод : 1989InMat..97..313B . дои : 10.1007/BF01389045 . МР 1001844 . S2CID 122863673 . Збл 0682.53045 .
Бартник, Роберт (1986). «Масса асимптотически плоского многообразия». Сообщения по чистой и прикладной математике . 39 (5): 661–693. CiteSeerX 10.1.1.625.6978 . дои : 10.1002/cpa.3160390505 . ISSN 0010-3640 . МР 0849427 . Збл 0598.53045 .
— (2021). «Масса асимптотически плоского многообразия». В Хрусцеле, Петр Т.; Айзенберг, Джеймс А .; Яу, Шинг-Тунг (ред.). Избранные произведения Роберта А. Бартника . Сомервилл, Массачусетс: Международная пресса. стр. 661–693. ISBN 978-1-57146-397-5 . МР 4362675 . Збл 1464.53042 .
ДеТурк, Деннис М .; Каздан, Джерри Л. (1981). «Некоторые теоремы регулярности в римановой геометрии» . Научные анналы Высшей нормальной школы . Четвертая серия. 14 (3): 249–260. дои : 10.24033/asens.1405 . МР 0644518 . Збл 0486.53014 .
Эйнштейн, А. (1916). «Приближенное интегрирование уравнений гравитационного поля» (PDF) . Труды Королевской прусской академии наук : 688–696. дои : 10.1002/3527608958.ch7 . ISBN 9783527406098 . JFM 46.1293.02 .
— (1997). «Приближенное интегрирование полевых уравнений гравитации» . Собрание статей Альберта Эйнштейна. Том. 6. Берлинские годы: сочинения, 1914–1917 . Перевод Энгеля, Альфреда. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . стр. 201–210. ISBN 0-691-01734-4 . МР 1492181 . Збл 0979.01031 .
Ланчош, Корнель (1922). «Упрощающая система координат для уравнений гравитации Эйнштейна» . Физический журнал . 23 :537-539. ЯФМ 48.1023.01 .
Ли, Джон М .; Паркер, Томас Х. (1987). «Проблема Ямабе» . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 17 (1): 37–91. дои : 10.1090/s0273-0979-1987-15514-5 . МР 0888880 . Збл 0633.53062 .
Сабитов И.Х.; Шефель, СЗ (1976). «Связь между порядком гладкости поверхности и ее метрикой». Сибирский математический журнал . 17 (4): 916–925. дои : 10.1007/bf00971679 . МР 0425855 . S2CID 120917151 . Збл 0386.53014 .

[FOOTNOTEEinstein1916Lanczos1922-1] Эйнштейн 1916 ; Ланцош 1922 год .

[FOOTNOTEDeTurckKazdan1981SabitovŠefel1976-2] ДеТурк и Каздан 1981 ; Сабитов и Шефель 1976 .

[FOOTNOTEBesse2008143Hebey199913Petersen2016409Sakai1996313-3] Бесс 2008 , с. 143; Хебей 1999 , с. 13; Петерсен 2016 , с. 409; Сакаи 1996 , с. 313.

[FOOTNOTEDeTurckKazdan1981Lemma_1.1-4] ДеТурк и Каздан 1981 , Лемма 1.1.

[FOOTNOTEBesse2008143Petersen2016Lemma_11.2.5-5] Бесс 2008 , с. 143; Петерсен 2016 , Лемма 11.2.5.

[FOOTNOTEDeTurckKazdan1981Lemma_1.2Besse2008Proposition_5.19-6] ДеТурк и Каздан 1981 , Лемма 1.2; Бесс 2008 , Предложение 5.19.

[FOOTNOTEDeTurckKazdan1981Theorem_2.1-7] ДеТурк и Каздан 1981 , Теорема 2.1.

[FOOTNOTEDeTurckKazdan1981Theorem_4.5(b)Besse2008Theorem_5.20b-8] DeTurck & Kazdan 1981 , Теорема 4.5 (b); Бесс 2008 , Теорема 5.20b.

[FOOTNOTEDeTurckKazdan1981Theorem_4.5(c)-9] DeTurck & Kazdan 1981 , Теорема 4.5(c).

[FOOTNOTEDeTurckKazdan1981Theorem_5.2Besse2008Theorem_5.26-10] ДеТурк и Каздан 1981 , Теорема 5.2; Бесс 2008 , Теорема 5.26.

[FOOTNOTETaylor2000Sections_3.9_&_3.10-11] Тейлор 2000 , разделы 3.9 и 3.10.

[FOOTNOTEBartnik1986-12] Бартник 1986 .

[FOOTNOTEBartnik1986Definition_2.1LeeParker198775-76-13] Бартник 1986 , Определение 2.1; Ли и Паркер 1987 , стр. 75-76.

[FOOTNOTEBartnik1986Corollary_3.22LeeParker1987Theorem_9.5-14] Бартник 1986 , следствие 3.22; Ли и Паркер 1987 , Теорема 9.5.

[FOOTNOTEBartnik1986Theorem_4.2LeeParker1987Theorem_9.6-15] Бартник 1986 , Теорема 4.2; Ли и Паркер 1987 , Теорема 9.6.

[FOOTNOTEBartnik1986Sections_1_&_2LeeParker1987Theorem_9.2-16] Бартник 1986 , разделы 1 и 2; Ли и Паркер 1987 , Теорема 9.2.

[FOOTNOTEBartnik1986678LeeParker198778-17] Бартник 1986 , стр. 678; Ли и Паркер 1987 , стр. 78.

[FOOTNOTEBandoKasueNakajima1989Theorem_1.1_&_Remark_1.8(2)-18] Бандо, Касуэ и Накадзима, 1989 , Теорема 1.1 и замечание 1.8 (2).

[FOOTNOTEBandoKasueNakajima1989324–325-19] Бандо, Касуэ и Накадзима 1989 , стр. 324–325.

[FOOTNOTEAnderson1990Lemma_2.2Hebey1999Definition_1.1_&_Theorem_1.2-20] Андерсон 1990 , Лемма 2.2; Hebey 1999 , Определение 1.1 и Теорема 1.2.

[FOOTNOTEPetersen2016Sections_11.3.1_&_11.3.4-21] Петерсен 2016 , разделы 11.3.1 и 11.3.4.

[FOOTNOTEHebey1999Theorem_1.2Petersen2016Theorem_11.4.15Sakai1996Theorem_A6.10-22] Hebey 1999 , Теорема 1.2; Петерсен 2016 , Теорема 11.4.15; Сакаи 1996 , Теорема A6.10.

[FOOTNOTEAnderson1990434–435Petersen2016427,_429-23] Андерсон 1990 , стр. 434–435; Петерсен 2016 , стр. 427, 429.

[FOOTNOTEAnderson1990Lemma_2.1Petersen2016Theorem_11.3.6_and_Corollaries_11.3.7_&_11.3.8Sakai1996313-24] Андерсон 1990 , Лемма 2.1; Петерсен 2016 , Теорема 11.3.6 и следствия 11.3.7 и 11.3.8; Сакаи 1996 , с. 313.

[FOOTNOTEAnderson1990Theorem_1.1Petersen2016Corollary_11.4.4Sakai1996Remark_A6.12-25] Андерсон 1990 , Теорема 1.1; Петерсен 2016 , следствие 11.4.4; Сакаи 1996 , Замечание A6.12.

[FOOTNOTEHebey1999Proposition_3.2,_Proposition_3.3,_Theorem_3.4,_Theorem_3.5-26] Hebey 1999 , Предложение 3.2, Предложение 3.3, Теорема 3.4, Теорема 3.5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]