Теория Фредгольма

В математике теоремы Фредгольма представляют собой набор знаменитых результатов Ивара Фредгольма в теории Фредгольма интегральных уравнений . Есть несколько тесно связанных теорем, которые можно сформулировать в терминах интегральных уравнений, в терминах линейной алгебры или в терминах оператора Фредгольма в банаховых пространствах .

Альтернатива Фредгольма — одна из теорем Фредгольма.

Линейная алгебра

Теорема Фредгольма в линейной алгебре заключается в следующем: если M — матрица , то дополнение к пространству строк M — это нулевое пространство M ортогональное :

(\operatorname {row} M)^{\bot }=\ker M.

Аналогично, ортогональное дополнение к пространству-столбцу M является нулевым пространством сопряженного:

(\operatorname {col} M)^{\bot }=\ker M^{*}.

Интегральные уравнения

Теорема Фредгольма для интегральных уравнений выражается следующим образом. Позволять $K(x,y)$ — целое ядро и рассмотрим однородные уравнения

\int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=\lambda \phi (x)

и его комплексный сопряженный

\int _{a}^{b}\psi (x){\overline {K(x,y)}}\,dx={\overline {\lambda }}\psi (y).

Здесь, ${\overline {\lambda }}$ обозначает комплексно-сопряженное комплексное число $\lambda$ , и аналогично для ${\overline {K(x,y)}}$ . Тогда теорема Фредгольма состоит в том, что для любого фиксированного значения $\lambda$ , эти уравнения имеют либо тривиальное решение $\psi (x)=\phi (x)=0$ или иметь одинаковое количество линейно независимых решений $\phi _{1}(x),\cdots ,\phi _{n}(x)$ , $\psi _{1}(y),\cdots ,\psi _{n}(y)$ .

Достаточным условием справедливости этой теоремы является $K(x,y)$ быть интегрируемым с квадратом на прямоугольнике $[a,b]\times [a,b]$ (где a и/или b могут быть минус или плюс бесконечность).

Здесь интеграл выражается в виде одномерного интеграла на прямой вещественной оси. В теории Фредгольма этот результат обобщается на интегральные операторы на многомерных пространствах, включая, например, римановы многообразия .

Наличие решений

Одна из теорем Фредгольма, тесно связанная с альтернативой Фредгольма , касается существования решений неоднородного уравнения Фредгольма

\lambda \phi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=f(x).

Решения этого уравнения существуют тогда и только тогда, когда функция $f(x)$ ортогонален решений полному набору $\{\psi _{n}(x)\}$ соответствующего однородного сопряженного уравнения: