Интегральное уравнение Фредгольма

В математике интегральное уравнение Фредгольма — интегральное уравнение , решение которого приводит к теории Фредгольма — изучению ядер Фредгольма и операторов Фредгольма . Интегральное уравнение изучал Ивар Фредхольм . Полезный метод решения таких уравнений, метод разложения Адомиана , принадлежит Джорджу Адомиану .

Уравнение первого рода

Уравнение Фредгольма — это интегральное уравнение, в котором член, содержащий функцию ядра (определенную ниже), имеет константы в качестве пределов интегрирования. Близкой формой является интегральное уравнение Вольтерра , имеющее переменные интегральные пределы.

Неоднородное уравнение Фредгольма первого рода записывается как

g(t)=\int _{a}^{b}K(t,s)f(s)\,\mathrm {d} s~,

и проблема в том, что, учитывая непрерывную ядра функцию $K$ и функция $g$ , чтобы найти функцию $f$ .

Важным случаем уравнений такого типа является случай, когда ядро является функцией только разности своих аргументов, а именно $K(t,s)=K(t-s)$ , а пределы интегрирования равны ±∞, то правую часть уравнения можно переписать в виде свертки функций $K$ и $f$ и поэтому формально решение имеет вид

f(s)={\mathcal {F}}_{\omega }^{-1}\left[{{\mathcal {F}}_{t}[g(t)](\omega ) \over {\mathcal {F}}_{t}[K(t)](\omega )}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }{{\mathcal {F}}_{t}[g(t)](\omega ) \over {\mathcal {F}}_{t}[K(t)](\omega )}e^{2\pi i\omega s}\mathrm {d} \omega

где ${\mathcal {F}}_{t}$ и ${\mathcal {F}}_{\omega }^{-1}$ – прямое и обратное преобразования Фурье соответственно. Этот случай обычно не включается под эгидой интегральных уравнений Фредгольма - название, которое обычно зарезервировано для случаев, когда интегральный оператор определяет компактный оператор (операторы свертки в некомпактных группах некомпактны, поскольку, вообще говоря, спектр оператора свертки с $K$ содержит диапазон ${\mathcal {F}}{K}$ , которое обычно является несчетным множеством, тогда как компактные операторы имеют дискретный счетный спектр).

Уравнение второго рода

Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода имеет вид

$\varphi (t)=f(t)+\lambda \int _{a}^{b}K(t,s)\varphi (s)\,\mathrm {d} s.$

Учитывая ядро $K(t,s)$ , и функция $f(t)$ , проблема обычно состоит в том, чтобы найти функцию $\varphi (t)$ .

Стандартный подход к решению этой проблемы — использовать итерацию, что соответствует резольвентному формализму ; записанное в виде ряда, решение известно как ряд Лиувилля – Неймана .

Общая теория

Общая теория, лежащая в основе уравнений Фредгольма, известна как теория Фредгольма . Один из основных результатов состоит в том, что ядро $К$ дает компактный оператор . Компактность можно показать, ссылаясь на равнонепрерывность . Как оператор он имеет спектральную теорию , которую можно понимать как дискретный спектр собственных значений , стремящихся к 0.

Приложения

Уравнения Фредгольма естественным образом возникают в теории обработки сигналов , например, как знаменитая проблема спектральной концентрации, популяризированная Дэвидом Слепианом . Используемые операторы такие же, как и в линейных фильтрах . Они также часто возникают при линейном прямом моделировании и обратных задачах . В физике решение таких интегральных уравнений позволяет связать экспериментальные спектры с различными основными распределениями, например, с массовым распределением полимеров в полимерном расплаве. ^[1] или распределение времен релаксации в системе. ^[2] Кроме того, интегральные уравнения Фредгольма также возникают в задачах механики жидкости конечного размера , включающих гидродинамические взаимодействия вблизи упругих границ . ^[3]^[4]

Конкретным применением уравнения Фредгольма является создание фотореалистичных изображений в компьютерной графике, в котором уравнение Фредгольма используется для моделирования переноса света от виртуальных источников света в плоскость изображения. В этом контексте уравнение Фредгольма часто называют уравнением рендеринга .

См. также

Ссылки

^ Хонеркамп, Дж.; Виз, Дж. (1990). «Метод регуляризации Тихонова для некорректных задач». Механика сплошной среды и термодинамика . 2 (1): 17–30. Бибкод : 1990CMT.....2...17H . дои : 10.1007/BF01170953 .
^ Шефер, Х.; Стернин Э.; Станнариус, Р.; Арндт, М.; Кремер, Ф. (18 марта 1996 г.). «Новый подход к анализу широкополосных диэлектрических спектров». Письма о физических отзывах . 76 (12): 2177–2180. Бибкод : 1996PhRvL..76.2177S . doi : 10.1103/PhysRevLett.76.2177 . ПМИД 10060625 .
^ Дадди-Мусса-Идер, А.; Кауи, Б.; Лёвен, Х. (9 апреля 2019 г.). «Осесимметричное течение вследствие стокслета вблизи эластичной мембраны конечного размера». Журнал Физического общества Японии . 88 (5): 054401. arXiv : 1901.04485 . дои : 10.7566/JPSJ.88.054401 .
^ Дадди-Мусса-Идер, А. (25 ноября 2020 г.). «Асимметричное стоксово течение, вызванное поперечной точечной силой, действующей вблизи упругой мембраны конечного размера». Журнал Физического общества Японии . 89 : 124401. arXiv : 2006.14375 . дои : 10.7566/JPSJ.89.124401 .

Дальнейшее чтение

Интегральные уравнения в EqWorld: мир математических уравнений.
А.Д. Полянин и А.В. Манжиров, Справочник по интегральным уравнениям , CRC Press, Бока-Ратон, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
Хведелидзе, Б.В.; Литвинов, Г.Л. (2001) [1994], «Ядро Фредгольма» , Энциклопедия математики , EMS Press
Саймонс, Ф.Дж.; Вечорек, Массачусетс; Дален, ФА (2006). «Пространственно-спектральная концентрация на сфере». Обзор СИАМ . 48 (3): 504–536. arXiv : math/0408424 . Бибкод : 2006SIAMR..48..504S . дои : 10.1137/S0036144504445765 .
Слепян, Д. (1983). «Некоторые комментарии по анализу Фурье, неопределенности и моделированию». Обзор СИАМ . 25 (3): 379–393. дои : 10.1137/1025078 .
Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, BP (2007). «Раздел 19.1. Уравнения Фредгольма второго рода» . Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88068-8 . Архивировано из оригинала 11 августа 2011 г. Проверено 17 августа 2011 г.
Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970), Математические методы физики (2-е изд.), Нью-Йорк: WA Benjamin, ISBN 0-8053-7002-1

Внешние ссылки

IntEQ: пакет Python для численного решения интегральных уравнений Фредгольма.

[1] Хонеркамп, Дж.; Виз, Дж. (1990). «Метод регуляризации Тихонова для некорректных задач». Механика сплошной среды и термодинамика . 2 (1): 17–30. Бибкод : 1990CMT.....2...17H . дои : 10.1007/BF01170953 .

[2] Шефер, Х.; Стернин Э.; Станнариус, Р.; Арндт, М.; Кремер, Ф. (18 марта 1996 г.). «Новый подход к анализу широкополосных диэлектрических спектров». Письма о физических отзывах . 76 (12): 2177–2180. Бибкод : 1996PhRvL..76.2177S . doi : 10.1103/PhysRevLett.76.2177 . ПМИД 10060625 .

[3] Дадди-Мусса-Идер, А.; Кауи, Б.; Лёвен, Х. (9 апреля 2019 г.). «Осесимметричное течение вследствие стокслета вблизи эластичной мембраны конечного размера». Журнал Физического общества Японии . 88 (5): 054401. arXiv : 1901.04485 . дои : 10.7566/JPSJ.88.054401 .

[4] Дадди-Мусса-Идер, А. (25 ноября 2020 г.). «Асимметричное стоксово течение, вызванное поперечной точечной силой, действующей вблизи упругой мембраны конечного размера». Журнал Физического общества Японии . 89 : 124401. arXiv : 2006.14375 . дои : 10.7566/JPSJ.89.124401 .

[1]

[2]

[3]

[4]