Gromov's compactness theorem (geometry)
В математической области метрической геометрии Михаил Громов доказал фундаментальную теорему компактности последовательностей метрических пространств . В частном случае римановых многообразий ключевое предположение его теоремы о компактности автоматически выполняется при предположении о кривизне Риччи . Эти теоремы широко использовались в области геометрической теории групп и римановой геометрии .
Теорема метрической компактности
[ редактировать ]Расстояние Громова – Хаусдорфа определяет понятие расстояния между любыми двумя метрическими пространствами , тем самым создавая концепцию последовательности метрических пространств, которая сходится к другому метрическому пространству. Это известно как сходимость Громова–Хаусдорфа . Громов нашел условие на последовательность компактных метрических пространств, обеспечивающее сходимость подпоследовательности к некоторому метрическому пространству относительно расстояния Громова – Хаусдорфа: [ 1 ]
Пусть ( X i , d i ) — последовательность компактных метрических пространств с равномерно ограниченным диаметром. Предположим, что для каждого положительного числа ε существует натуральное число N и для каждого i множество X i можно покрыть N метрическими шарами радиуса ε . Тогда последовательность ( Xi , Хаусдорфа di . ) имеет подпоследовательность, сходящуюся относительно расстояния Громова–
Роль этой теоремы в теории сходимости Громова–Хаусдорфа можно рассматривать как аналогичную роли теоремы Арсела–Асколи в теории равномерной сходимости . [ 2 ] Громов впервые формально представил ее в 1981 году в своем разрешении гипотезы Милнора-Вольфа в области геометрической теории групп , где он применил ее для определения асимптотического конуса некоторых метрических пространств. [ 3 ] Позднее эти методы были расширены Громовым и другими с использованием теории ультрафильтров . [ 4 ]
Теорема о римановой компактности
[ редактировать ]Специализируясь на настройке геодезически полных римановых многообразий с фиксированной нижней границей кривизны Риччи , ключевое условие покрытия в метрической теореме Громова о компактности автоматически выполняется как следствие теоремы Бишопа-Громова о сравнении объемов . Таким образом, из этого следует, что: [ 5 ]
Рассмотрим последовательность замкнутых римановых многообразий с равномерной нижней границей кривизны Риччи и равномерной верхней границей диаметра. Тогда существует подпоследовательность, сходящаяся относительно расстояния Громова–Хаусдорфа.
Пределом сходящейся подпоследовательности может быть метрическое пространство без какой-либо гладкой или римановой структуры. [ 6 ] Этот частный случай метрической теоремы о компактности важен в области римановой геометрии , поскольку он изолирует чисто метрические следствия нижних границ кривизны Риччи.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Bridson & Haefliger 1999 , Теорема 5.41; Бураго, Бураго и Иванов 2001 , Теорема 7.4.15; Громов 1981 , Раздел 6; Громов 1999 , Предложение 5.2; Петерсен 2016 , Предложение 11.1.10.
- ^ Виллани 2009 , с. 754.
- ^ Gromov 1981 , Section 7; Gromov 1999 , Paragraph 5.7.
- ^ Bridson & Haefliger 1999 , Определение 5.50; Громов 1993 , Раздел 2.
- ^ Gromov 1999 , Theorem 5.3; Petersen 2016 , Corollary 11.1.13.
- ^ Gromov 1999 , Paragraph 5.5.
Источники.
- Бридсон, Мартин Р .; Хефлигер, Андре (1999). Метрические пространства неположительной кривизны . Основные принципы математических наук. Том 319. Берлин: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-662-12494-9 . ISBN 3-540-64324-9 . МР 1744486 . Збл 0988.53001 .
- Бураго, Дмитрий ; Бураго, Юрий ; Иванов, Сергей (2001). Курс метрической геометрии . Аспирантура по математике Том. 33. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . дои : 10.1090/gsm/033 . ISBN 0-8218-2129-6 . МР 1835418 . Збл 0981.51016 . (Ошибка: [1] )
- Громов, Михаил (1981). «Группы полиномиального роста и расширяющихся отображений» . Математические публикации Института перспективных научных исследований . 53 :53–73. дои : 10.1007/BF02698687 . МР 0623534 . S2CID 121512559 . Збл 0474.20018 .
- Громов, М. (1993). «Асимптотические инварианты бесконечных групп». В Нибло, Грэм А.; Роллер, Мартин А. (ред.). Геометрическая теория групп. Том. 2 . Симпозиум проходил в Университете Сассекса (Сассекс, июль 1991 г.). Серия лекций Лондонского математического общества. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 1–295. ISBN 0-521-44680-5 . МР 1253544 . Збл 0841.20039 .
- Громов, Миша (1999). Метрические структуры для римановых и неримановых пространств . Прогресс в математике. Том. 152. Перевод Бейтса, Шона Майкла. С приложениями М. Каца , П. Пансу и С. Семмеса . (На основе оригинального французского издания 1981 года). Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc. doi : 10.1007/978-0-8176-4583-0 . ISBN 0-8176-3898-9 . МР 1699320 . Збл 0953.53002 .
- Петерсен, Питер (2016). Риманова геометрия . Тексты для аспирантов по математике . Том. 171 (Третье издание оригинальной редакции 1998 г.). Спрингер, Чам . дои : 10.1007/978-3-319-26654-1 . ISBN 978-3-319-26652-7 . МР 3469435 . Збл 1417.53001 .
- Виллани, Седрик (2009). Оптимальный транспорт. Старое и новое . Основные принципы математических наук. Том 338. Берлин: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-540-71050-9 . ISBN 978-3-540-71049-3 . МР 2459454 . Збл 1156.53003 .