Теорема Майерса

Теорема Майерса , также известная как теорема Бонне-Майерса , является знаменитой фундаментальной теоремой в математической области римановой геометрии . Он был открыт Самнером Байроном Майерсом в 1941 году. Он утверждает следующее:

Позволять

(M,g)

— полное и связное риманово многообразие размерности

n

которого кривизна Риччи удовлетворяет для некоторого фиксированного положительного действительного числа

r

неравенство

\operatorname {Ric} _{p}(v)\geq (n-1){\frac {1}{r^{2}}}

для каждого

p\in M

и

v\in T_{p}M

единичной длины. Тогда любые две точки из M можно соединить геодезическим отрезком длины не более

\pi r

.

В частном случае поверхностей этот результат был доказан Оссианом Бонне в 1855 году. Для поверхности кривизна Гаусса, секционная кривизна и кривизна Риччи одинаковы, но доказательство Бонне легко обобщается на более высокие измерения, если предположить положительную нижнюю границу секционная кривизна . Таким образом, ключевой вклад Майерса заключался в том, чтобы показать, что нижняя граница Риччи — это все, что необходимо для достижения того же вывода.

Следствия

Заключение теоремы гласит, в частности, что диаметр $(M,g)$ конечно. Поэтому $M$ должен быть компактным, поскольку замкнутый (и, следовательно, компактный) шар конечного радиуса в любом касательном пространстве переносится на все $M$ по экспоненциальной карте.

В качестве очень частного случая это показывает, что любое полное и некомпактное гладкое риманово многообразие , являющееся Эйнштейном, должно иметь неположительную константу Эйнштейна.

С $M$ связно, существует гладкое универсальное накрывающее отображение $\pi :N\to M.$ Можно рассмотреть метрику возврата $π * давай$ $N.$ С $\pi$ является локальной изометрией, теорема Майерса применима к риманову многообразию $(N,π * г)$ и, следовательно, $N$ компактно и отображение покрытия конечно. Это означает, что фундаментальная группа $M$ конечно.

Теорема Ченга о жесткости диаметра

Вывод теоремы Майерса гласит, что для любого $p,q\in M,$ d $грамм k (п, q \leq π / \sqrt .$ ) В 1975 году Шиу-Юэнь Чэн доказал:

Позволять $(M,g)$ — полное и гладкое риманово многообразие размерности $n$ . Если $k$ — положительное число с $Ric г \geq (n -1) k$ существуют $p$ и $q$ , и если в $M$ такие, что $d g (p, q) = π / \sqrt k$ , то $(M, g)$ односвязно и имеет постоянную секционную кривизну $k$ .

См. также

Теорема Громова о компактности (геометрия) - когда набор компактных римановых многообразий заданной размерности относительно компактен.

Ссылки

Амброуз, В. Теорема Майерса. Герцог Мат. Дж. 24 (1957), 345–348.
Ченг, Шиу Юэнь (1975), «Теоремы сравнения собственных значений и их геометрические приложения», Mathematische Zeitschrift , 143 (3): 289–297, doi : 10.1007/BF01214381 , ISSN 0025-5874 , MR 0378001
ду Карму, член парламента (1992), Риманова геометрия , Бостон, Массачусетс: Биркхойзер, ISBN 0-8176-3490-8
Майерс, С.Б. (1941), «Римановы многообразия с положительной средней кривизной», Duke Mathematical Journal , 8 (2): 401–404, doi : 10.1215/S0012-7094-41-00832-3