Экспоненциальная карта (теория Ли)

Чтобы узнать об экспоненциальном отображении подмножества касательного пространства риманова многообразия в многообразие, см. Экспоненциальное отображение (риманова геометрия) .

В теории групп Ли экспоненциальное отображение — это отображение алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}$ группы Ли $G$ к группе, что позволяет восстановить структуру локальной группы из алгебры Ли. Существование экспоненциального отображения является одной из основных причин того, что алгебры Ли являются полезным инструментом для изучения групп Ли.

Обычная показательная функция математического анализа представляет собой частный случай показательного отображения, когда $G$ — мультипликативная группа положительных действительных чисел (алгебра Ли которой является аддитивной группой всех действительных чисел). Экспоненциальное отображение группы Ли обладает многими свойствами, аналогичными свойствам обычной показательной функции, однако оно также отличается во многих важных отношениях.

Определения

Позволять $G$ быть группой Ли и ${\mathfrak {g}}$ быть ее алгеброй Ли (представляемой как касательное пространство к единичному элементу $G$). Экспоненциальная карта – это карта

$\exp \colon {\mathfrak {g}}\to G$

который может быть определен несколькими различными способами. Типичное современное определение таково:

Определение : Экспонента $X\in {\mathfrak {g}}$ дается $\exp(X)=\gamma (1)$ где

$\gamma \colon \mathbb {R} \to G$

является уникальной однопараметрической подгруппой $G$ которого касательный вектор в единице равен $X$.

легко следует, Из цепного правила что $\exp(tX)=\gamma (t)$. Карта $\gamma$ может быть построена как интегральная кривая право- или левоинвариантного векторного поля, связанного с $X$. То, что интегральная кривая существует для всех действительных параметров, следует из перевода решения вправо или влево около нуля.

Более конкретное определение имеется в случае матричной группы Ли . Экспоненциальное отображение совпадает с матричной экспонентой и определяется разложением в обычный ряд:

$\exp(X)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {X^{k}}{k!}}=I+X+{\frac {1}{2}}X^{2}+{\frac {1}{6}}X^{3}+\cdots$,

где $I$ является единичной матрицей . Таким образом, в случае матричных групп Ли экспоненциальное отображение представляет собой ограничение матричной экспоненты на алгебру Ли. ${\mathfrak {g}}$ из $G$.

Сравнение с римановой экспоненциальной картой

Если G компактна, имеет риманову метрику, инвариантную относительно левого и правого сдвигов, то теоретико-лиевое экспоненциальное отображение для G совпадает с экспоненциальным отображением этой римановой метрики .

Для общего G не существует римановой метрики, инвариантной как при левом, так и при правом сдвиге. Хотя всегда существует риманова метрика, инвариантная, скажем, относительно левых сдвигов, экспоненциальное отображение в смысле римановой геометрии для левоинвариантной метрики в общем случае не будет согласовываться с экспоненциальным отображением в смысле группы Ли. То есть, если G — группа Ли, снабженная левоинвариантной, но не правоинвариантной метрикой, геодезические через тождество не будут однопараметрическими подгруппами группы G. .

Другие определения

Другие эквивалентные определения экспоненты группы Ли следующие:

• Это экспоненциальное отображение канонической левоинвариантной аффинной связности на G , такой, что параллельная транспортировка задается левым сдвигом. То есть, $\exp(X)=\gamma (1)$ где $\gamma$ - это уникальная геодезическая с начальной точкой в ​​единичном элементе и начальной скоростью X (которая рассматривается как касательный вектор).
• Это экспоненциальное отображение канонической правоинвариантной аффинной связности на G . Обычно это отличается от канонического левоинвариантного соединения, но оба соединения имеют одинаковые геодезические (орбиты однопараметрических подгрупп, действующих путем левого или правого умножения), поэтому дают одно и то же экспоненциальное отображение.
• Соответствие группа Ли–алгебра Ли также дает определение: для X в ${\mathfrak {g}}$, $t\mapsto \exp(tX)$ — единственный гомоморфизм группы Ли, соответствующий гомоморфизму алгебры Ли $t\mapsto tX.$ (примечание: $\operatorname {Lie} (\mathbb {R} )=\mathbb {R}$.)

Примеры

• Единичная окружность с центром в точке 0 в комплексной плоскости представляет собой группу Ли (называемую группой окружности ), касательное пространство которой в точке 1 можно отождествить с воображаемой линией в комплексной плоскости, $\{it:t\in \mathbb {R} \}.$ Экспоненциальное отображение для этой группы Ли имеет вид

$it\mapsto \exp(it)=e^{it}=\cos(t)+i\sin(t),\,$

то есть та же формула, что и обычная комплексная экспонента .

• В более общем смысле для комплексного тора ^{стр. 8} $X=\mathbb {C} ^{n}/\Lambda$ для некоторой целой решетки $\Lambda$ ранга $n$ (настолько изоморфен $\mathbb {Z} ^{n}$) тор снабжен универсальным накрывающим отображением

$\pi :\mathbb {C} ^{n}\to X$

из фактора по решетке. С $X$ локально изоморфен $\mathbb {C} ^{n}$ как комплексное многообразие , мы можем отождествить его с касательным пространством $T_{0}X$и карта

$\pi :T_{0}X\to X$

соответствует экспоненциальному отображению комплексной группы Ли $X$.

• В кватернионах $\mathbb {H}$, набор кватернионов единичной длины образует группу Ли (изоморфную специальной унитарной группе SU (2) ), касательное пространство которой в точке 1 можно отождествить с пространством чисто мнимых кватернионов, $\{it+ju+kv:t,u,v\in \mathbb {R} \}.$ Экспоненциальное отображение для этой группы Ли имеет вид

$\mathbf {w} :=(it+ju+kv)\mapsto \exp(it+ju+kv)=\cos(|\mathbf {w} |)1+\sin(|\mathbf {w} |){\frac {\mathbf {w} }{|\mathbf {w} |}}.\,$

Эта карта переносит 2-сферу радиуса R внутри чисто мнимых кватернионов в $\{s\in S^{3}\subset \mathbf {H} :\operatorname {Re} (s)=\cos(R)\}$, 2-сфера радиуса $\sin(R)$ (см. Экспоненту вектора Паули ). Сравните это с первым примером выше.

• Пусть V — конечномерное вещественное векторное пространство и рассматриваем его как группу Ли при операции сложения векторов. Затем $\operatorname {Lie} (V)=V$ посредством отождествления V с его касательным пространством в точке 0 и экспоненциального отображения

$\operatorname {exp} :\operatorname {Lie} (V)=V\to V$

это карта идентичности, то есть $\exp(v)=v$.

• В расщепленных комплексных чисел плоскости $z=x+y\jmath ,\quad \jmath ^{2}=+1,$ воображаемая линия $\lbrace \jmath t:t\in \mathbb {R} \rbrace$ образует алгебру Ли единичных гипербол группы $\lbrace \cosh t+\jmath \ \sinh t:t\in \mathbb {R} \rbrace$ поскольку экспоненциальное отображение определяется выражением

$\jmath t\mapsto \exp(\jmath t)=\cosh t+\jmath \ \sinh t.$

Характеристики

Элементарные свойства экспоненты

Для всех $X\in {\mathfrak {g}}$, карта $\gamma (t)=\exp(tX)$ является уникальной однопараметрической подгруппой $G$ которого касательный вектор в единице равен $X$. Отсюда следует, что:

• $\exp((t+s)X)=\exp(tX)\exp(sX)\,$
• $\exp(-X)=\exp(X)^{-1}.\,$

В более общем плане:

• $\exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y),\quad {\text{if }}[X,Y]=0$.

Предыдущее тождество вообще не выполняется; предположение, что $X$ и $Y$ ездить на работу важно.

Образ экспоненциального отображения всегда лежит в единичной составляющей $G$.

Экспонента вблизи тождества

Экспоненциальная карта $\exp \colon {\mathfrak {g}}\to G$ это гладкая карта . Его дифференциал в нуле, $\exp _{*}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$, — карта тождеств (с обычными отождествлениями).

Из теоремы об обратной функции следует, что экспоненциальное отображение, следовательно, ограничивается диффеоморфизмом из некоторой окрестности 0 в ${\mathfrak {g}}$ в окрестности 1 дюйма $G$.

Тогда нетрудно показать, что если G связна, то каждый элемент g из G является произведением экспонент элементов из G. ${\mathfrak {g}}$: $g=\exp(X_{1})\exp(X_{2})\cdots \exp(X_{n}),\quad X_{j}\in {\mathfrak {g}}$.

В глобальном масштабе экспоненциальная карта не обязательно сюръективна. Более того, экспоненциальное отображение не может быть локальным диффеоморфизмом во всех точках. Например, экспоненциальная карта из ${\mathfrak {so}}$(3) к SO(3) не является локальным диффеоморфизмом; см. также вырезание локуса об этой неудаче. См. производную экспоненциальной карты для получения дополнительной информации.

Сюръективность экспоненты

Известно, что в этих важных особых случаях экспоненциальное отображение всегда сюръективно:

• G связен и компактен,
• G связен и нильпотентен (например, G связен и абелев), или
• $G=GL_{n}(\mathbb {C} )$.

Для групп, не удовлетворяющих ни одному из вышеперечисленных условий, экспоненциальное отображение может быть или не быть сюръективным.

Образ экспоненциального отображения связной, но некомпактной группы SL ₂ ( R ) не является всей группой. Ее образ состоит из C -диагонализуемых матриц с собственными значениями либо положительными, либо с модулем 1, а также недиагонализуемых матриц с повторяющимся собственным значением 1 и матрицы $-I$. (Таким образом, из изображения исключаются матрицы с действительными отрицательными собственными значениями, отличными от $-I$.)

Экспоненциальное отображение и гомоморфизмы

Позволять $\phi \colon G\to H$ — гомоморфизм группы Ли и пусть $\phi _{*}$ быть его производной в единице. следующая диаграмма Тогда коммутирует :

В частности, применительно к присоединенному действию группы Ли $G$, с $\operatorname {Ad} _{*}=\operatorname {ad}$, мы имеем полезное тождество:

$\mathrm {Ad} _{\exp X}(Y)=\exp(\mathrm {ad} _{X})(Y)=Y+[X,Y]+{\frac {1}{2!}}[X,[X,Y]]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots$.

Логарифмические координаты

Учитывая группу Ли $G$ с алгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$, каждый выбор базиса $X_{1},\dots ,X_{n}$ из ${\mathfrak {g}}$ определяет систему координат вблизи единичного элемента e для G следующим образом. По теореме об обратной функции экспоненциальное отображение $\operatorname {exp} :N{\overset {\sim }{\to }}U$ является диффеоморфизмом из некоторой окрестности $N\subset {\mathfrak {g}}\simeq \mathbb {R} ^{n}$ происхождения в окрестности $U$ из $e\in G$. Его обратное:

$\log :U{\overset {\sim }{\to }}N\subset \mathbb {R} ^{n}$

тогда является системой координат на U . Его называют разными именами, такими как логарифмические координаты, экспоненциальные координаты или нормальные координаты. См. теорему о замкнутой подгруппе для примера того, как они используются в приложениях.

Примечание : открытая крышка $\{Ug|g\in G\}$ структуру вещественно-аналитического многообразия такую дает G , что групповая операция $(g,h)\mapsto gh^{-1}$ является реально-аналитическим.

См. также

• Список экспоненциальных тем
• Производная экспоненциальной карты
• Матричная экспонента

Цитируемые работы

• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-3319134666 .
• Хельгасон, Сигурдур (2001), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Аспирантура по математике , том. 34, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-2848-9 , МР   1834454 .
• Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии , том. 1 (Новое издание), Wiley-Interscience, ISBN  0-471-15733-3 .
• «Экспоненциальное отображение» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]