Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа

В математике формула Бейкера -Кэмпбелла-Хаусдорфа дает значение $Z$ это решает уравнение $$e^{X}e^{Y}=e^{Z}$$для возможно некоммутативных X и Y в алгебре Ли группы Ли . Существуют различные способы записи формулы, но все они в конечном итоге дают выражение для $Z$ в алгебраических терминах Ли, то есть как формальный ряд (не обязательно сходящийся) в $X$ и $Y$ и их итерированные коммутаторы. Первые несколько членов этой серии: $$Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots \,,$$где " $\cdots$" указывает на термины, включающие высшие коммутаторы $X$ и $Y$. Если $X$ и $Y$ являются достаточно малыми элементами алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ группы Ли $G$, ряд сходится. При этом каждый элемент $g$ достаточно близко к тождеству в $G$ может быть выражено как $g=e^{X}$ для маленького $X$ в ${\mathfrak {g}}$. Таким образом, можно сказать, что вблизи единицы групповое умножение в $G$— написано как $e^{X}e^{Y}=e^{Z}$— можно выразить в чисто алгебраических терминах Ли. Формула Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа может быть использована для сравнительно простых доказательств глубоких результатов в соответствии группы Ли и алгебры Ли .

Если $X$ и $Y$ достаточно малы $n\times n$ матрицы, тогда $Z$ можно вычислить как логарифм $e^{X}e^{Y}$, где экспоненты и логарифмы могут быть вычислены как степенные ряды . Суть формулы Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа заключается в весьма неочевидном утверждении о том, что $Z:=\log \left(e^{X}e^{Y}\right)$ можно выразить в виде ряда по повторяющимся коммутаторам $X$ и $Y$.

Современное изложение формулы можно найти, среди прочего, в книгах Россмана. и Холл.

История

Формула названа в честь Генри Фредерика Бейкера , Джона Эдварда Кэмпбелла и Феликса Хаусдорфа , которые установили ее качественную форму, т.е. что только коммутаторы для выражения решения необходимы и коммутаторы коммутаторов, до бесконечности. Более раннее определение формы было кратко сформулировано Фридрихом Шуром в 1890 году. где дан сходящийся степенной ряд с рекурсивно определенными членами. Эта качественная форма используется в наиболее важных приложениях, таких как относительно доступные доказательства соответствия Ли и в квантовой теории поля . Вслед за Шуром это было отмечено в печати Кэмпбеллом. (1897 г.); разработан Анри Пуанкаре (1899 г.) и Бейкер (1902 г.); систематизировано геометрически и связано с тождеством Якоби Хаусдорфом (1906). Первая настоящая явная формула со всеми числовыми коэффициентами принадлежит Евгению Дынкину (1947). История формулы подробно описана в статье Ахилла и Бонфильоли. и в книге Бонфильоли и Фульчи.

Явные формы

Для многих целей необходимо только знать, что расширение для $Z$ в терминах итерированных коммутаторов $X$ и $Y$ существует; точные коэффициенты часто не имеют значения. (См., например, обсуждение связи между группой Ли и гомоморфизмами алгебры Ли в разделе 5.2 книги Холла: где точные коэффициенты не играют никакой роли в рассуждениях.) Удивительно прямое доказательство существования было дано Мартином Эйхлером : см. также раздел «Результаты существования» ниже.

В других случаях может потребоваться подробная информация о $Z$ поэтому желательно вычислить $Z$ как можно более явно. Существует множество формул; в этом разделе мы опишем две из основных из них (формулу Дынкина и интегральную формулу Пуанкаре).

Формула Дынкина

Пусть G — группа Ли с алгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$. Позволять $$\exp :{\mathfrak {g}}\to G$$быть экспоненциальной картой .Следующая общая комбинаторная формула была введена Евгением Дынкиным (1947): $$\log(\exp X\exp Y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\sum _{\begin{smallmatrix}r_{1}+s_{1}>0\\\vdots \\r_{n}+s_{n}>0\end{smallmatrix}}{\frac {[X^{r_{1}}Y^{s_{1}}X^{r_{2}}Y^{s_{2}}\dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]}{\left(\sum _{j=1}^{n}(r_{j}+s_{j})\right)\cdot \prod _{i=1}^{n}r_{i}!s_{i}!}},$$где суммирование выполняется по всем неотрицательным значениям $s_{i}$ и $r_{i}$, и были использованы следующие обозначения: $$[X^{r_{1}}Y^{s_{1}}\dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]=[\underbrace {X,[X,\dotsm [X} _{r_{1}},[\underbrace {Y,[Y,\dotsm [Y} _{s_{1}},\,\dotsm \,[\underbrace {X,[X,\dotsm [X} _{r_{n}},[\underbrace {Y,[Y,\dotsm Y} _{s_{n}}]]\dotsm ]]$$с пониманием того, что [ X ] := X .

Ряд вообще не сходится; оно сходится (и сформулированная формула справедлива) для всех достаточно малых $X$ и $Y$.Поскольку [ A , A ] = 0 , член равен нулю, если $s_{n}>1$ или если $s_{n}=0$ и $r_{n}>1$.

Первые несколько терминов хорошо известны, причем все члены более высокого порядка включают [ X , Y ] и их коммутаторные вложения (таким образом, в алгебре Ли ):

${\begin{aligned}Z(X,Y)&=\log(\exp X\exp Y)\\&{}=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}\left([X,[X,Y]]+[Y,[Y,X]]\right)\\&{}\quad -{\frac {1}{24}}[Y,[X,[X,Y]]]\\&{}\quad -{\frac {1}{720}}\left([Y,[Y,[Y,[Y,X]]]]+[X,[X,[X,[X,Y]]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{360}}\left([X,[Y,[Y,[Y,X]]]]+[Y,[X,[X,[X,Y]]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{120}}\left([Y,[X,[Y,[X,Y]]]]+[X,[Y,[X,[Y,X]]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{240}}\left([X,[Y,[X,[Y,[X,Y]]]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{720}}\left([X,[Y,[X,[X,[X,Y]]]]]-[X,[X,[Y,[Y,[X,Y]]]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{1440}}\left([X,[Y,[Y,[Y,[X,Y]]]]]-[X,[X,[Y,[X,[X,Y]]]]]\right)+\cdots \end{aligned}}$

Выше перечислены все слагаемые порядка 6 или ниже (т.е. те, которые содержат 6 или меньше X и Y ). X (анти-) / ↔ Y симметрия в чередующихся порядках разложения следует из Z ( Y , X ) = − Z (- X , − Y ) . Полное элементарное доказательство этой формулы можно найти в статье о производной экспоненциального отображения .

Интегральная формула

Существует множество других выражений для $Z$, многие из которых используются в физической литературе. Популярная интегральная формула: $$\log \left(e^{X}e^{Y}\right)=X+\left(\int _{0}^{1}\psi \left(e^{\operatorname {ad} _{X}}~e^{t\operatorname {ad} _{Y}}\right)dt\right)Y,$$с участием производящей функции для чисел Бернулли , $$\psi (x)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\frac {x\log x}{x-1}}=1-\sum _{n=1}^{\infty }{(1-x)^{n} \over n(n+1)}~,$$использовали Пуанкаре и Хаусдорф.

Иллюстрация группы Матрицы Лжи

Для матричной группы Ли $G\subset {\mbox{GL}}(n,\mathbb {R} )$ алгебра Ли — это касательное пространство тождества I , а коммутатор — это просто [ X , Y ] = XY − YX ; экспоненциальное отображение — это стандартное экспоненциальное отображение матриц , $$\exp X=e^{X}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {X^{n}}{n!}}.$$

Когда кто-то решает для Z в $$e^{Z}=e^{X}e^{Y},$$используя разложение в ряд для exp и log, можно получить более простую формулу: $$Z=\sum _{n>0}{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\sum _{\stackrel {r_{i}+s_{i}>0}{1\leq i\leq n}}{\frac {X^{r_{1}}Y^{s_{1}}\cdots X^{r_{n}}Y^{s_{n}}}{r_{1}!s_{1}!\cdots r_{n}!s_{n}!}},\quad \|X\|+\|Y\|<\log 2,\|Z\|<\log 2.$$Члены первого, второго, третьего и четвертого порядка:

• $$z_{1}=X+Y$$
• $$z_{2}={\frac {1}{2}}(XY-YX)$$
• $$z_{3}={\frac {1}{12}}\left(X^{2}Y+XY^{2}-2XYX+Y^{2}X+YX^{2}-2YXY\right)$$
• $$z_{4}={\frac {1}{24}}\left(X^{2}Y^{2}-2XYXY-Y^{2}X^{2}+2YXYX\right).$$

Формулы для различных $z_{j}$Это не формула Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа. Скорее, формула Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа представляет собой одно из различных выражений для $z_{j}$ коммутаторов с точки зрения повторных $X$ и $Y$. Дело в том, что далеко не очевидно, что можно выразить каждую $z_{j}$ в плане коммутаторов. (Читателю предлагается, например, проверить прямым вычислением, что $z_{3}$ выражается как линейная комбинация двух нетривиальных коммутаторов третьего порядка $X$ и $Y$, а именно $[X,[X,Y]]$ и $[Y,[X,Y]]$.) Общий результат, что каждый $z_{j}$ выражается как комбинация коммутаторов, что было элегантно и рекурсивно показано Эйхлером.

Следствием формулы Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа является следующий результат о следе : $$\operatorname {tr} \log \left(e^{X}e^{Y}\right)=\operatorname {tr} X+\operatorname {tr} Y.$$То есть, поскольку каждый $z_{j}$ с $j\geq 2$ выражается в виде линейной комбинации коммутаторов, след каждого такого слагаемого равен нулю.

Вопросы конвергенции

Предполагать $X$ и $Y$ являются следующие матрицы в алгебре Ли ${\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )$ (пространство $2\times 2$ матрицы с нулевым следом): $$X={\begin{pmatrix}0&i\pi \\i\pi &0\end{pmatrix}};\quad Y={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.$$Затем $$e^{X}e^{Y}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&-1\\0&-1\end{pmatrix}}.$$тогда нетрудно показать что не существует матрицы $Z$ в $\operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )$ с $e^{X}e^{Y}=e^{Z}$. (Аналогичные примеры можно найти в статье Вэй. )

Этот простой пример показывает, что различные версии формулы Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа, которые дают выражения для Z в терминах повторяющихся скобок Ли для X и Y , описывают формальные степенные ряды, сходимость которых не гарантируется. Таким образом, если кто-то хочет, чтобы Z был реальным элементом алгебры Ли, содержащим X и Y (в отличие от формального степенного ряда), нужно предположить, что X и Y малы. Таким образом, вывод о том, что операция произведения на группе Ли определяется алгеброй Ли, является лишь локальным утверждением. Действительно, результат не может быть глобальным, поскольку глобально могут существовать неизоморфные группы Ли с изоморфными алгебрами Ли.

Конкретно, если работать с матричной алгеброй Ли и $\|\cdot \|$ — заданная субмультипликативная матричная норма , сходимость гарантирована если $$\|X\|+\|Y\|<{\frac {\ln 2}{2}}.$$

Особые случаи

Если $X$ и $Y$ ездить на работу, то есть $[X,Y]=0$, формула Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа сводится к $e^{X}e^{Y}=e^{X+Y}$.

Другой случай предполагает, что $[X,Y]$ ездит с обоими $X$ и $Y$, что касается нильпотентной группы Гейзенберга . Тогда формула сводится к первым трем слагаемым .

Теорема : Если $X$ и $Y$ ездить на работу со своим коммутатором, $[X,[X,Y]]=[Y,[X,Y]]=0$, затем $e^{X}e^{Y}=e^{X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]}$.

Это вырожденный случай, обычно используемый в квантовой механике , как показано ниже, и иногда известный как теорема о распутывании . В этом случае ограничений на малость нет. $X$ и $Y$. Этот результат лежит в основе «возведенных в степень коммутационных соотношений», которые входят в теорему Стоуна – фон Неймана . Простое доказательство этого тождества приведено ниже.

Другая полезная форма общей формулы подчеркивает разложение по Y и использует обозначение сопряженного отображения. $\operatorname {ad} _{X}(Y)=[X,Y]$: $$\log(\exp X\exp Y)=X+{\frac {\operatorname {ad} _{X}}{1-e^{-\operatorname {ad} _{X}}}}~Y+O\left(Y^{2}\right)=X+\operatorname {ad} _{X/2}(1+\coth \operatorname {ad} _{X/2})~Y+O\left(Y^{2}\right),$$что видно из приведенной выше интегральной формулы. (Коэффициенты вложенных коммутаторов с одним $Y$ являются нормализованными числами Бернулли.)

Теперь предположим, что коммутатор кратен $Y$, так что $[X,Y]=sY$. Тогда все итерированные коммутаторы будут кратны $Y$, и никаких квадратичных или более высоких членов в $Y$ появляться. Таким образом, $O\left(Y^{2}\right)$ приведенный выше член исчезает, и мы получаем:

Теорема : Если $[X,Y]=sY$, где $s$ это комплексное число с $s\neq 2\pi in$ для всех целых чисел $n$, тогда мы имеем $$e^{X}e^{Y}=\exp \left(X+{\frac {s}{1-e^{-s}}}Y\right).$$

Опять же, в этом случае нет ограничений на малость $X$ и $Y$. Ограничение на $s$ гарантирует, что выражение в правой части имеет смысл. (Когда $s=0$ мы можем интерпретировать ${\textstyle \lim _{s\to 0}s/(1-e^{-s})=1}$.) Также получаем простое «тождество переплетения»: $$e^{X}e^{Y}=e^{\exp(s)Y}e^{X},$$которое можно записать как присоединенное расширение: $$e^{X}e^{Y}e^{-X}=e^{\exp(s)\,Y}.$$

Результаты существования

Если $X$ и $Y$ являются матрицами, можно вычислить $Z:=\log \left(e^{X}e^{Y}\right)$ используя степенной ряд для экспоненты и логарифма, со сходимостью ряда, если $X$ и $Y$ достаточно малы. Естественно собрать воедино все термины, в которых общая степень $X$ и $Y$ равно фиксированному числу $k$, придавая выражение $z_{k}$. (Формулы для первых нескольких см. в разделе «Иллюстрация матричной группы Ли» выше. $z_{k}$'s.) Удивительно прямое и краткое рекурсивное доказательство того, что каждый $z_{k}$ выражается через повторяющиеся коммутаторы $X$ и $Y$ было дано Мартином Эйхлером .

В качестве альтернативы мы можем привести аргумент существования следующим образом. Из формулы Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа следует, что если X и Y принадлежат некоторой алгебре Ли ${\mathfrak {g}},$ определенное над любым полем характеристики 0, например $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$, затем $$Z=\log(\exp(X)\exp(Y)),$$формально можно записать как бесконечную сумму элементов ${\mathfrak {g}}$. [Эта бесконечная серия может сходиться, а может и не сходиться, поэтому ей не обязательно определять реальный элемент Z в ${\mathfrak {g}}$.] Для многих приложений достаточно простой уверенности в существовании этого формального выражения, и явное выражение для этой бесконечной суммы не требуется. Это, например, имеет место в лоренцевом построение представления группы Ли из представления алгебры Ли. Существование можно рассматривать следующим образом.

Рассматриваем кольцо $S=\mathbb {R} [[X,Y]]$ всех некоммутирующих формальных степенных рядов с действительными коэффициентами от некоммутирующих переменных X и Y . Существует гомоморфизм из S в тензорное произведение S R с S над кольцевой , $$\Delta \colon S\to S\otimes S,$$называется копроизведением , такое, что $$\Delta (X)=X\otimes 1+1\otimes X$$ и $$\Delta (Y)=Y\otimes 1+1\otimes Y.$$(Определение Δ распространяется на другие элементы S , требуя R -линейности, мультипликативности и бесконечной аддитивности.)

Затем можно проверить следующие свойства:

• Отображение exp , определенное его стандартным рядом Тейлора , является биекцией между набором элементов S с постоянным членом 0 и набором элементов S с постоянным членом 1; обратная величина exp равна log
• $r=\exp(s)$ является групповым (это означает $\Delta (r)=r\otimes r$) тогда и только тогда, когда ( это s примитивно означает $\Delta (s)=s\otimes 1+1\otimes s$).
• Группообразные элементы образуют группу при умножении.
• Примитивные элементы — это в точности формальные бесконечные суммы элементов алгебры Ли, порожденные X и Y , где скобка Ли задается коммутатором $[U,V]=UV-VU$. ( Фридрихса теорема )

Существование формулы Кэмпбелла-Бейкера-Хаусдорфа теперь можно представить следующим образом: Элементы X и Y примитивны, поэтому $\exp(X)$ и $\exp(Y)$ групповые; так что их продукт $\exp(X)\exp(Y)$ также является групповым; так что это логарифм $\log(\exp(X)\exp(Y))$ является примитивным; и, следовательно, может быть записано как бесконечная сумма элементов алгебры Ли, порожденной X и Y .

Универсальная обертывающая алгебра свободной алгебры Ли, порожденная X и Y, изоморфна алгебре всех некоммутирующих многочленов из X и Y . Как и все универсальные обертывающие алгебры, она имеет естественную структуру алгебры Хопфа с копроизведением Δ . Используемое выше кольцо S является всего лишь завершением этой алгебры Хопфа.

Формула Цассенхауза

Соответствующее комбинаторное расширение, полезное в двойственных приложения $$e^{t(X+Y)}=e^{tX}~e^{tY}~e^{-{\frac {t^{2}}{2}}[X,Y]}~e^{{\frac {t^{3}}{6}}(2[Y,[X,Y]]+[X,[X,Y]])}~e^{{\frac {-t^{4}}{24}}([[[X,Y],X],X]+3[[[X,Y],X],Y]+3[[[X,Y],Y],Y])}\cdots$$где показатели высшего порядка по t также являются вложенными коммутаторами, т. е. однородными полиномами Ли. Эти показатели C _n в exp(− tX ) exp( t ( X+Y )) = Π _n exp( t ^н C _n ) , следуйте рекурсивно с применением приведенного выше расширения BCH.

Как следствие этого, разложение Сузуки – Троттера следует .

Важная лемма и ее применение к частному случаю формулы Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа.

Личность (Кэмпбелл, 1897 г.)

Пусть G — матричная группа Ли, а g — соответствующая ей алгебра Ли. Пусть ad _X — линейный оператор на g , определенный формулой ad _X Y = [ X , Y ] = XY − YX для некоторого фиксированного X ∈ g . ( Присоединенный эндоморфизм , встреченный выше.) Обозначим через Ad _A при фиксированном A ∈ G линейное преобразование g , заданное формулой Ad _A Y = AYA ⁻¹ .

Стандартная комбинаторная лемма, которая используется при создании приведенных выше явных разложений определяется выражением $$\operatorname {Ad} _{e^{X}}=e^{\operatorname {ad} _{X}},$$так, явно, $$\operatorname {Ad} _{e^{X}}Y=e^{X}Ye^{-X}=e^{\operatorname {ad} _{X}}Y=Y+\left[X,Y\right]+{\frac {1}{2!}}[X,[X,Y]]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots .$$Это особенно полезная формула, которая обычно используется для проведения унитарных преобразований в квантовой механике . Определив итерированный коммутатор, $$[(X)^{n},Y]\equiv \underbrace {[X,\dotsb [X,[X} _{n{\text{ times }}},Y]]\dotsb ],\quad [(X)^{0},Y]\equiv Y,$$мы можем записать эту формулу более компактно: $$e^{X}Ye^{-X}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(X)^{n},Y]}{n!}}.$$

Эту формулу можно доказать путем вычисления производной по s функции f ( s ) Y ≡ e ^sX Да е ^{− sX} , решение полученного дифференциального уравнения и оценка при s = 1 , $${\frac {d}{ds}}f(s)Y={\frac {d}{ds}}\left(e^{sX}Ye^{-sX}\right)=Xe^{sX}Ye^{-sX}-e^{sX}Ye^{-sX}X=\operatorname {ad} _{X}(e^{sX}Ye^{-sX})$$или $$f'(s)=\operatorname {ad} _{X}f(s),\qquad f(0)=1\qquad \Longrightarrow \qquad f(s)=e^{s\operatorname {ad} _{X}}.$$

Заявка на удостоверение личности

Для [ X , Y ] центрального, т. е. коммутирующего как с X , так и с Y , $$e^{sX}Ye^{-sX}=Y+s[X,Y]~.$$Следовательно, при g ( s ) ≡ e ^sX и ^сЙ , отсюда следует, что $${\frac {dg}{ds}}={\Bigl (}X+e^{sX}Ye^{-sX}{\Bigr )}g(s)=(X+Y+s[X,Y])~g(s)~,$$чье решение $$g(s)=e^{s(X+Y)+{\frac {s^{2}}{2}}[X,Y]}~.$$принимая $s=1$ дает один из частных случаев описанной выше формулы Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа: $$e^{X}e^{Y}=e^{X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]}~.$$

В более общем смысле, для нецентральных [ X , Y ] легко следует следующее тождество переплетения: $$e^{X}e^{Y}=e^{(Y+\left[X,Y\right]+{\frac {1}{2!}}[X,[X,Y]]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots )}~e^{X}.$$

Бесконечно малый случай

Основная статья: Производная экспоненциальной карты

Особенно полезным вариантом вышеизложенного является бесконечно малая форма. Обычно это пишут как $$e^{-X}de^{X}=dX-{\frac {1}{2!}}\left[X,dX\right]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,dX]]-{\frac {1}{4!}}[X,[X,[X,dX]]]+\cdots$$Этот вариант обычно используется для записи координат и вильбейнов как откатов метрики в группе Ли.

Например, написание $X=X^{i}e_{i}$ для некоторых функций $X^{i}$ и основа $e_{i}$ для алгебры Ли легко вычислить, что $$e^{-X}de^{X}=dX^{i}e_{i}-{\frac {1}{2!}}X^{i}dX^{j}{f_{ij}}^{k}e_{k}+{\frac {1}{3!}}X^{i}X^{j}dX^{k}{f_{jk}}^{l}{f_{il}}^{m}e_{m}-\cdots ,$$для $[e_{i},e_{j}]={f_{ij}}^{k}e_{k}$ структурные константы алгебры Ли.

Серию можно записать более компактно (см. основную статью) так: $$e^{-X}de^{X}=e_{i}{W^{i}}_{j}dX^{j},$$с бесконечной серией $$W=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}M^{n}}{(n+1)!}}=(I-e^{-M})M^{-1}.$$Здесь M — матрица, матричными элементами которой являются ${M_{j}}^{k}=X^{i}{f_{ij}}^{k}$.

Полезность этого выражения связана с тем, что матрица M является матрицей. Таким образом, учитывая некоторую карту $N\to G$ из некоторого многообразия N в некоторое многообразие G метрический тензор на многообразии N можно записать как обратный образ метрического тензора $B_{mn}$ на группе Ли G , $$g_{ij}={W_{i}}^{m}{W_{j}}^{n}B_{mn}.$$Метрический тензор $B_{mn}$ на группе Ли — метрика Картана, форма Киллинга . Для N (псевдо) риманова многообразия метрика является (псевдо) римановой метрикой .

Применение в квантовой механике

Частный случай формулы Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа полезен в квантовой механике и особенно в квантовой оптике , где X и Y — операторы гильбертова пространства , порождающие алгебру Ли Гейзенберга . В частности, операторы положения и импульса в квантовой механике, обычно обозначаемые $X$ и $P$, удовлетворяют каноническому коммутационному соотношению : $$[X,P]=i\hbar I$$где $I$ является идентификационным оператором. Отсюда следует, что $X$ и $P$ добираться со своим коммутатором. Таким образом, если мы формально применили частный случай формулы Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа (хотя $X$ и $P$ являются неограниченными операторами, а не матрицами), мы могли бы заключить, что $$e^{iaX}e^{ibP}=e^{i\left(aX+bP-{\frac {ab\hbar }{2}}\right)}.$$Это «возведенное в степень коммутационное соотношение» действительно выполняется и составляет основу теоремы Стоуна – фон Неймана . Дальше, $e^{i(aX+bP)}=e^{iaX/2}e^{ibP}e^{iaX/2}.$

Связанное применение — и создания операторы уничтожения â и â. ^† . Их коммутатор [ â ^† , â ] = − I является центральным , то есть коммутирует как с â , так и с â. ^† . Как указано выше, тогда разложение схлопывается до полутривиальной вырожденной формы: $$e^{v{\hat {a}}^{\dagger }-v^{*}{\hat {a}}}=e^{v{\hat {a}}^{\dagger }}e^{-v^{*}{\hat {a}}}e^{-|v|^{2}/2},$$где v — просто комплексное число.

пример иллюстрирует разрешение оператора смещения vâ exp( Этот ^† − v ^* â ) , в экспоненты операторов уничтожения и рождения и скаляров.

Эта вырожденная формула Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа затем отображает произведение двух операторов смещения как еще один оператор смещения (с точностью до фазового коэффициента), с результирующим смещением, равным сумме двух смещений: $$e^{v{\hat {a}}^{\dagger }-v^{*}{\hat {a}}}e^{u{\hat {a}}^{\dagger }-u^{*}{\hat {a}}}=e^{(v+u){\hat {a}}^{\dagger }-(v^{*}+u^{*}){\hat {a}}}e^{(vu^{*}-uv^{*})/2},$$поскольку группа Гейзенберга , которую они представляют, нильпотентна . Вырожденная формула Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа часто используется в квантовой теории поля . также

См. также

• Матричная экспонента
• Логарифм матрицы
• Формула произведения Лия (формула произведения Троттера)
• Соответствие группа Ли–алгебра Ли
• Производная экспоненциальной карты
• Расширение Магнуса
• Теорема Стоуна – фон Неймана
• Неравенство Голдена – Томпсона

Библиография

• Ахилл, Рюдигер; Бонфильоли, Андреа (май 2012 г.). «Ранние доказательства теоремы Кэмпбелла, Бейкера, Хаусдорфа и Дынкина». Архив истории точных наук . 66 (3): 295–358. дои : 10.1007/s00407-012-0095-8 . S2CID   120032172 .
• Ю.А. Бахтурин (2001) [1994], «Формула Кэмпбелла – Хаусдорфа» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Бонфильоли, Андреа; Фульчи, Роберта (2012). Темы некоммутативной алгебры: теорема Кэмпбелла, Бейкера, Хаусдорфа и Дынкина . Спрингер. ISBN  978-3-642-22597-0 .
• Л. Корвин и Ф.П. Гринлиф, Представление нильпотентных групп Ли и их приложения, Часть 1: Основная теория и примеры , Cambridge University Press , Нью-Йорк, 1990, ISBN   0-521-36034-X .
• Грейнер, В .; Рейнхардт, Дж. (1996), Квантование поля , Springer Publishing , ISBN  978-3-540-59179-5
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления. Элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-3-319-13466-6
• Россманн, Вульф (2002), Группы Ли – введение через линейные группы , Оксфордские тексты для выпускников по математике, Oxford Science Publications, ISBN  978-0-19-859683-7
• Серр, Жан-Пьер (1965). Алгебры Ли и группы Ли . Бенджамин.
• Шмид, Вильфрид (1982). «Группы Пуанкаре и Ли» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 6 (2): 175–186. дои : 10.1090/s0273-0979-1982-14972-2 .
• Шломо Штернберг (2004) Алгебры лжи , Orange Grove Books, ISBN   978-1616100520 бесплатно, онлайн
• Вельтман М. , Т Хоофт Г. и де Вит Б. (2007). «Группы Ли в физике», онлайн-лекции .

Внешние ссылки

• CK Zachos , Заметки о расширениях CBH дои : 10.13140/2.1.3090.2409
• Страница MathWorld