Бесплатная алгебра

В математике , особенно в области абстрактной алгебры , известной как теория кольца , свободная алгебра является некоммутативным аналогом полиномиального кольца, поскольку его элементы могут быть описаны как «полиномы» с не совместимыми переменными. Аналогичным образом, полиномиальное кольцо может рассматриваться как свободная коммутативная алгебра .

Определение

Для коммутативного кольца слов бесплатная ( ассоциативная , однозначная ) алгебра на n in -onteterminates { x ₁ , ..., x _n } -это свободный r -модуль с основой, состоящим из всех над алфавитом { x ₁ , .. ., X _n } (включая пустое слово, которое является единицей свободной алгебры). Этот r -модуль становится r -альгеброй путем определения умножения следующим образом: произведение двух базисных элементов -это объединение соответствующих слов:

\left(X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}\right)\cdot \left(X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}}\right)=X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}},

и продукт двух произвольных элементов R -модуля, таким образом, определяется уникально (потому что умножение в R -Algebra должно быть R -билинеарным). Эта r -Algebra обозначена r ⟨x 1 _. , ... x _n⟩ , Эта конструкция может быть легко обобщена до произвольного набора x неопределенных.

Короче говоря, для произвольного набора $X=\{X_{i}\,;\;i\in I\}$ , ( ассоциативная , единая ) r - алгебра на x бесплатная

R\langle X\rangle :=\bigoplus _{w\in X^{\ast }}Rw

С R -билинеарным умножением, которое является объединением на словах, где x * обозначает свободный моноид на x (то есть слова на буквах x _i ), $\oplus$ обозначает внешнюю прямую сумму , а RW обозначает свободный r -модуль на 1 элементе, слово w .

Например, в , x 3 _4⟩ , x _{R ⟨x 1, x 2} , для _{скаляров} α , _β , γ, Δ ∈ R , конкретный пример продукта двух элементов - это

$(\alpha X_{1}X_{2}^{2}+\beta X_{2}X_{3})\cdot (\gamma X_{2}X_{1}+\delta X_{1}^{4}X_{4})=\alpha \gamma X_{1}X_{2}^{3}X_{1}+\alpha \delta X_{1}X_{2}^{2}X_{1}^{4}X_{4}+\beta \gamma X_{2}X_{3}X_{2}X_{1}+\beta \delta X_{2}X_{3}X_{1}^{4}X_{4}$ .

Некоммутативное полиномиальное кольцо может быть идентифицировано с моноидным кольцом над R свободного моноида всех конечных слов в X _i .

Контраст с полиномами

Поскольку слова над алфавитом { x ₁ , ..., n _} образуют основу r ⟨x 1 _r , ..., x _n⟩ ясно, что любой элемент ⟨x 1 , _x ..., X _n⟩ может быть записан в форме:

\sum \limits _{k=0}^{\infty }\,\,\,\sum \limits _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}\in \left\lbrace 1,2,\cdots ,n\right\rbrace }a_{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}},

где $a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$ элементы R и все, кроме конечно, многие из этих элементов равны нулю. Это объясняет, почему элементы r ⟨x 1 _, , ..., x _n⟩ часто обозначаются как «некоммутативные полиномы» в «переменных» (или «неопределенных») ... _{x 1} , x _n ; Элементы $a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$ Говорят, что это «коэффициенты» этих полиномов, а , ... , x n⟩ _{r -Algebra r ⟨x 1} называется « _{некоммутативная} полиномиальная алгебра над r в n indeterminates». Обратите внимание, что в отличие от фактического полинома , переменные не ездят . Например, x ₁ x ₂ не равно x ₂ x ₁ .

целом, можно построить бесплатную алгебру ⟨e⟩ на R любом наборе генераторов В . кольца можно рассматривать как z -альгебры, бесплатное кольцо на E может быть определена как свободная алгебра Z ⟨e⟩ Поскольку .

На поле свободную алгебру на n nuceterminates может быть построена в виде тензорной алгебры на n -мерном векторном пространстве . Для более общего коэффициента коэффициента, те же строительные работы, если мы возьмем бесплатный модуль на n генераторах .

Строительство свободной алгебры на E носит функциональный характер и удовлетворяет соответствующей универсальной собственности . Бесплатный фанктор алгебры остается подходящим к забывчивому функциониру от категории R -Algebras до категории наборов .

Бесплатные алгебры над кольцами дивизии являются бесплатными идеальными кольцами .

Смотрите также

Ссылки

Берстел, Джин; Reutenauer, Christophe (2011). Некоммутативные рациональные серии с приложениями . Энциклопедия математики и ее применения. Тол. 137. Кембридж: издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-19022-0 Полем ZBL 1250.68007 .
La Bokut '(2001) [1994], «Свободная ассоциативная алгебра» , Энциклопедия математики , Ems Press