Групповой функтор

В математике групповой функтор — это групповой функтор в категории коммутативных колец. Хотя его обычно рассматривают как обобщение групповой схемы , само это понятие не включает в себя теорию схем . Из-за этой особенности некоторые авторы, особенно Уотерхаус и Милн (следовавшие за Уотерхаусом), ^[1] разработать теорию групповых схем, основанную на понятии группового функтора вместо теории схем.

Формальная группа обычно определяется как особый вид группового функтора.

Групповой функтор как обобщение групповой схемы

Схему можно рассматривать как контравариантный функтор из категории ${\mathsf {Sch}}_{S}$ - S схем к категории множеств, удовлетворяющих аксиоме склейки ; перспектива, известная как функтор точек . С этой точки зрения групповая схема представляет собой контравариантный функтор из ${\mathsf {Sch}}_{S}$ к категории групп, являющейся пучком Зариского (т. е. удовлетворяющей аксиоме склейки топологии Зарисского).

Например, если Γ — конечная группа, то рассмотрим функтор, который переводит Spec( R ) в множество локально постоянных функций на ней. ^{[ нужны разъяснения ]} Например, групповая схема

SL_{2}=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {Z} [a,b,c,d]}{(ad-bc-1)}}\right)

можно описать как функтор

\operatorname {Hom} _{\textbf {CRing}}\left({\frac {\mathbb {Z} [a,b,c,d]}{(ad-bc-1)}},-\right)

Если мы возьмем кольцо, например, $\mathbb {C}$ , затем

{\begin{aligned}SL_{2}(\mathbb {C} )&=\operatorname {Hom} _{\textbf {CRing}}\left({\frac {\mathbb {Z} [a,b,c,d]}{(ad-bc-1)}},\mathbb {C} \right)\\&\cong \left\{{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\in M_{2}(\mathbb {C} ):ad-bc=1\right\}\end{aligned}}

Групповая связка

Полезно рассмотреть групповой функтор, который учитывает топологию (если таковая имеется) базовой категории; а именно, тот, который является пучком, и групповой функтор, который является пучком, называется групповым пучком. Это понятие появляется, в частности, при обсуждении торсора ( где важным вопросом является выбор топологии).

Например, p -делимая группа является примером группового пучка fppf (группового пучка относительно топологии fppf). ^[2]

См. также

Функтор группы автоморфизмов

Примечания

^ «Курсовые заметки - Дж. С. Милн» .
^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 20 октября 2016 г. Проверено 26 марта 2018 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )

Ссылки

Уотерхаус, Уильям (1979), Введение в схемы аффинных групп , Тексты для аспирантов по математике, том. 66, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-6217-6 , ISBN. 978-0-387-90421-4 , МР 0547117

[1] «Курсовые заметки - Дж. С. Милн» .

[2] «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 20 октября 2016 г. Проверено 26 марта 2018 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )

[1]

[2]