Фундаментальная групповая схема

В математике фундаментальная групповая схема — это групповая схема, канонически присоединенная к схеме над схемой Дедекинда (например, спектр поля или спектр кольца дискретного нормирования ). Это обобщение этальной фундаментальной группы . Хотя его существование было высказано Александром Гротендиком , первое доказательство его существования для схем, определенных над полями, принадлежит Мадхаву Нори . Доказательство его существования для схем, определенных над схемами Дедекинда, принадлежит Марко Антею , Мишелю Эмсалему и Карло Гасбарри.

История

(Топологическая) фундаментальная группа , связанная с топологическим пространством, — это группа классов эквивалентности при гомотопии петель, содержащихся в пространстве. Хотя фундаментальная группа все еще изучается для классификации алгебраических многообразий даже в алгебраической геометрии , для многих приложений фундаментальная группа оказалась недостаточной для классификации объектов, таких как схемы , которые представляют собой нечто большее, чем просто топологические пространства. Одно и то же топологическое пространство действительно может иметь несколько различных схемных структур, но его топологическая фундаментальная группа всегда будет одной и той же. Поэтому возникла необходимость создания нового объекта, который бы учитывал существование структурного пучка вместе с топологическим пространством. Это привело к созданию этальной фундаментальной группы — проективного предела всех конечных групп, действующих на этальных накрытиях данной схемы. $X$. Тем не менее, по положительной характеристике последняя имеет очевидные ограничения, поскольку не учитывает существование групповых схем , не являющихся этальными (например, $\alpha _{p}$ когда характеристика $p>0$) и которые действуют на торсоры над $X$, естественное обобщение накрытий. Именно исходя из этой идеи Гротендик надеялся на создание новой истинно фундаментальной группы ( un vrai groupe Fondamental , по-французски), о существовании которой он предположил еще в начале 1960-х годов в своей знаменитой SGA 1, Chapitre X. Прошло более десяти лет, прежде чем были получены первые результаты о существовании фундаментальной групповой схемы. Как упоминалось во введении, этот результат был достигнут благодаря Мадхаву Нори, который в 1976 году опубликовал свою первую конструкцию этого нового объекта. $\pi _{1}(X,x)$для схем, определенных над полями. Что касается названия, то он решил отказаться от истинного названия фундаментальной группы и назвал ее, как мы ее знаем сегодня, схемой фундаментальной группы . Его также часто обозначают как $\pi ^{N}(X,x)$, где $N$обозначает Нори, чтобы отличить ее от предыдущих фундаментальных групп и от ее современных обобщений. Демонстрация существования $\pi _{1}(X,x)$определенных на обычных схемах размерности 1, пришлось ждать еще около сорока лет. Существуют различные обобщения, например, $S$-фундаментальная групповая схема $\pi ^{S}(X,x)$ и квазиконечная фундаментальная групповая схема $\pi ^{\text{qf}}(X,x)$.

Определение и конструкция

Оригинальное определение и первая конструкция были предложены Нори для схем. $X$над полями. Затем они были адаптированы к более широкому кругу схем. До сих пор существуют единственные полные теории для схем, определенных над схемами размерности 0 ( спектры полей) или размерности 1 (схемы Дедекинда), поэтому именно это будет обсуждаться далее:

Определение

Позволять $S$ быть схемой Дедекинда (которая может быть спектром поля) и $f:X\to S$точно плоский морфизм локально конечного типа. Предполагать $f$ есть раздел $x\in X(S)$. Мы говорим, что $X$ имеет фундаментальную групповую схему $\pi _{1}(X,x)$ если существуют проконечные и плоские $\pi _{1}(X,x)$- торсор ${\hat {X}}\to X$, с разделом ${\hat {x}}\in {\hat {X}}_{x}(S)$ такой, что для любого конечного $G$-торсор $Y\to X$ с разделом $y\in Y_{x}(S)$ существует единственный морфизм торсоров ${\hat {X}}\to Y$ отправка ${\hat {x}}$ к $y$.

Над полем

В настоящее время существует несколько результатов существования фундаментальной групповой схемы схемы. $X$ определено над полем $k$. Нори предлагает первую теорему существования, когда $k$ идеален и $X\to {\text{Spec}}(k)$ является собственным морфизмом схем с $X$уменьшенная и связная схема. Предполагая наличие раздела $x:{\text{Spec}}(k)\to X$, то фундаментальная групповая схема $\pi _{1}(X,x)$ из $X$ в $x$ строится как аффинная групповая схема, естественно связанная с нейтральной таннаковой категорией (по $k$) существенно конечных векторных расслоений над $X$. Нори также доказывает, что фундаментальная групповая схема существует, когда $k$ любое поле и $X$ — любая приведенная и связная схема конечного типа над $k$. Однако в этой ситуации не задействованы таннакианские категории. С тех пор было добавлено несколько других результатов существования, включая некоторые нередуцированные схемы.

О схеме Дедекинда

Позволять $S$ — схема Дедекинда размерности 1, $X$ любая связная схема и $X\to S$строго плоский морфизм локально конечного типа. Предположим, что существует раздел $x:S\to X$. Тогда существование фундаментальной групповой схемы $\pi _{1}(X,x)$ как групповая схема закончилась $S$ было доказано Марко Антеем , Мишелем Эмсалемом и Карло Гасбарри в следующих ситуациях:

• когда для каждого $s\in S$ волокна $X_{s}$ сокращаются
• когда для каждого $x\in X\setminus X_{\eta }$ местное кольцо ${\mathcal {O}}_{x}$ является интегрально замкнутым (например, когда $X$ нормально ) .

Однако в отношении схемы Дедекинда нет необходимости рассматривать только конечные групповые схемы: действительно, квазиконечные групповые схемы также являются очень естественным обобщением конечных групповых схем над полями. Вот почему Антей, Эмсалем и Гасбарри также определили схему квазиконечной фундаментальной группы. $\pi ^{\text{qf}}(X,x)$следующее: позволять $S$ быть схемой Дедекинда и $f:X\to S$точно плоский морфизм локально конечного типа. Предполагать $f$ есть раздел $x\in X(S)$. Мы говорим, что $X$ имеет квазиконечную фундаментальную групповую схему $\pi ^{\text{qf}}(X,x)$ если существуют проквазиконечные и плоские $\pi ^{\text{qf}}(X,x)$- торсор ${\hat {X}}\to X$, с разделом ${\hat {x}}\in {\hat {X}}_{x}(S)$ такая, что для любого квазиконечного $G$-торсор $Y\to X$ с разделом $y\in Y_{x}(S)$ существует единственный морфизм торсоров ${\hat {X}}\to Y$ отправка ${\hat {x}}$ к $y$. Они доказали существование $\pi ^{\text{qf}}(X,x)$ когда для каждого $s\in S$ волокна $X_{s}$ являются целостными и нормальными.

Свойства

Связи с фундаментальной группой etal

Можно рассмотреть наибольший проэтальный коэффициент $\pi _{1}(X,x)$. Когда базовая схема $S$ — спектр алгебраически замкнутого поля $k$ тогда она совпадает с этальной фундаментальной группой $\pi ^{\text{ét}}(X,x)$. Точнее группа точек $\pi _{1}(X,x)(k)$ изоморфен $\pi ^{\text{ét}}(X,x)$.

Формула продукта

Для $X$ и $Y$ любые две гладкие проективные схемы над алгебраически замкнутым полем $k$ формула произведения имеет место, т.е. $\pi _{1}(X,x)\times _{k}\pi _{1}(Y,y)\simeq \pi _{1}(X\times _{k}Y,x\times _{k}y)$. Этот результат был предположен Нори и доказали Викрам Мехта и Субраманиан.

См. также

• Этальная фундаментальная группа
• Фундаментальная группа