Фундаментальная групповая схема
В математике фундаментальная групповая схема — это групповая схема, канонически присоединенная к схеме над схемой Дедекинда (например, спектр поля или спектр кольца дискретного нормирования ). Это обобщение этальной фундаментальной группы . Хотя его существование было высказано Александром Гротендиком , первое доказательство его существования для схем, определенных над полями, принадлежит Мадхаву Нори . [1] [2] [3] Доказательство его существования для схем, определенных над схемами Дедекинда, принадлежит Марко Антею , Мишелю Эмсалему и Карло Гасбарри. [4] [5]
История [ править ]
(Топологическая) фундаментальная группа, связанная с топологическим пространством , — это группа классов эквивалентности при гомотопии петель, содержащихся в пространстве. Хотя фундаментальная группа все еще изучается для классификации алгебраических многообразий даже в алгебраической геометрии , для многих приложений фундаментальная группа оказалась недостаточной для классификации объектов, таких как схемы , которые представляют собой нечто большее, чем просто топологические пространства. Одно и то же топологическое пространство действительно может иметь несколько различных схемных структур, но его топологическая фундаментальная группа всегда будет одной и той же. Поэтому возникла необходимость создания нового объекта, который учитывал бы существование структурного пучка вместе с топологическим пространством. Это привело к созданию этальной фундаментальной группы — проективного предела всех конечных групп, действующих на этальных накрытиях данной схемы. . Тем не менее, по положительной характеристике последняя имеет очевидные ограничения, поскольку не учитывает существование групповых схем, не являющихся этальными (например, когда характеристика ) и которые действуют на торсоры над , естественное обобщение накрытий. Именно исходя из этой идеи Гротендик надеялся на создание новой истинно фундаментальной группы ( un vrai groupe Fondamental , по-французски), о существовании которой он предположил еще в начале 1960-х годов в своей знаменитой SGA 1, Chapitre X. Прошло более десяти лет, прежде чем были получены первые результаты о существовании фундаментальной групповой схемы. Как упоминалось во введении, этот результат был достигнут благодаря Мадхаву Нори, который в 1976 году опубликовал свою первую конструкцию этого нового объекта. для схем, определенных над полями. Что касается названия, то он решил отказаться от истинного названия фундаментальной группы и назвал ее, как мы ее знаем сегодня, схемой фундаментальной группы . [1] Его также часто обозначают как , где обозначает Нори, чтобы отличить ее от предыдущих фундаментальных групп и от ее современных обобщений. Демонстрация существования определенных на обычных схемах размерности 1, пришлось ждать еще около сорока лет. Существуют различные обобщения, например, -фундаментальная групповая схема [6] и квазиконечная фундаментальная групповая схема . [4]
Определение и конструкция [ править ]
Оригинальное определение и первая конструкция были предложены Нори для схем. над полями. Затем они были адаптированы к более широкому кругу схем. До сих пор существуют единственные полные теории для схем, определенных над схемами размерности 0 ( спектры полей) или размерности 1 (схемы Дедекинда), поэтому именно это будет обсуждаться далее:
Определение [ править ]
Позволять быть схемой Дедекинда (которая может быть спектром поля) и точно плоский морфизм локально конечного типа. Предполагать есть раздел . Мы говорим, что имеет фундаментальную групповую схему если существуют проконечные и плоские - торсор , с разделом такой, что для любого конечного -торсор с разделом существует единственный морфизм торсоров отправка к . [2] [4]
Над полем [ править ]
В настоящее время существует несколько результатов существования фундаментальной групповой схемы схемы. определено над полем . Нори предлагает первую теорему существования, когда идеален и является собственным морфизмом схем с уменьшенная и связная схема. Предполагая наличие раздела , то фундаментальная групповая схема из в строится как аффинная групповая схема, естественно связанная с нейтральной таннаковой категорией (по ) существенно конечных векторных расслоений над . [1] Нори также доказывает, что фундаментальная групповая схема существует, когда любое поле и — любая приведенная и связная схема конечного типа над . Однако в этой ситуации не задействованы таннакианские категории. [2] С тех пор было добавлено несколько других результатов существования, включая некоторые нередуцированные схемы.
О схеме Дедекинда [ править ]
Позволять — схема Дедекинда размерности 1, любая связная схема и строго плоский морфизм локально конечного типа. Предположим, что существует раздел . Тогда существование фундаментальной групповой схемы как групповая схема закончилась было доказано Марко Антеем , Мишелем Эмсалемом и Карло Гасбарри в следующих ситуациях: [4]
- когда для каждого волокна сокращаются
- когда для каждого местное кольцо является интегрально замкнутым (например, когда это нормально ).
Однако в отношении схемы Дедекинда нет необходимости рассматривать только конечные групповые схемы: действительно, квазиконечные групповые схемы также являются очень естественным обобщением конечных групповых схем над полями. [7] Вот почему Антей, Эмсалем и Гасбарри также определили схему квазиконечной фундаментальной группы. следующее:позволять быть схемой Дедекинда и точно плоский морфизм локально конечного типа. Предполагать есть раздел . Мы говорим, что имеет квазиконечную фундаментальную групповую схему если существуют проквазиконечные и плоские - торсор , с разделом такая, что для любого квазиконечного -торсор с разделом существует единственный морфизм торсоров отправка к . [4] Они доказали существование когда для каждого волокна являются целостными и нормальными.
Свойства [ править ]
Связи с фундаментальной группой etal [ править ]
Можно рассмотреть наибольший проэтальный коэффициент . Когда базовая схема — спектр алгебраически замкнутого поля тогда она совпадает с этальной фундаментальной группой . Точнее группа точек изоморфен . [8]
Формула продукта [ править ]
Для и любые две гладкие проективные схемы над алгебраически замкнутым полем формула произведения имеет место, т.е. . [9] Этот результат был предположен Нори [1] и доказали Викрам Мехта и Субраманиан.
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д Нори, Мадхав В. (1976). «О представлениях фундаментальной группы» (PDF) . Математическая композиция . 33 (1): 29–42. МР 0417179 . Збл 0337.14016 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Нори, Мадхав В. (1982). «Фундаментальная групповая схема». Труды математических наук . 91 (2): 73–122. дои : 10.1007/BF02967978 . S2CID 121156750 .
- ^ Самуэли, Тамаш (2009). Группы Галуа и фундаментальные группы . дои : 10.1017/CBO9780511627064 . ISBN 9780521888509 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и Антей, Марко; Эмсалем, Майкл; Гасбарри, Карло (2020). «О существовании фундаментальной групповой схемы». Эпижурнал алгебраической геометрии . arXiv : 1504.05082 . дои : 10.46298/epiga.2020.volume4.5436 . S2CID 227029191 .
- ^ Антей, Марко; Эмсалем, Мишель; Гасбарри, Карло (2020). «Ошибка в статье «Высоты векторных расслоений и фундаментальная групповая схема кривой» ». Математический журнал Дьюка . 169 (16). дои : 10.1215/00127094-2020-0065 . S2CID 225148904 .
- ^ Лангер, Адриан (2011). «На -фундаментальная групповая схема». Annales de l'Institut Fourier . 61 (5): 2077–2119. arXiv : 0905.4600 . doi : 10.5802/aif.2667 . S2CID 53506862 .
- ^ Босх, Зигфрид; Люткебомерт, Вернер; Рейно, Майкл (1990). Модели Нерона . дои : 10.1007/978-3-642-51438-8 . ISBN 978-3-642-08073-9 .
- ^ Делинь, П.; Милн, Дж. С. (1982). Циклы Ходжа, мотивы и разновидности Шимуры . Конспект лекций по математике. Том. 900. дои : 10.1007/978-3-540-38955-2 . ISBN 978-3-540-11174-0 .
- ^ Мехта, В.Б.; Субраманиан, С. (2002). «О фундаментальной групповой схеме». Математические открытия . 148 (1): 143–150. Бибкод : 2002InMat.148..143M . дои : 10.1007/s002220100191 . S2CID 121329868 .