Jump to content

Фундаментальная групповая схема

В математике фундаментальная групповая схема — это групповая схема, канонически присоединенная к схеме над схемой Дедекинда (например, спектр поля или спектр кольца дискретного нормирования ). Это обобщение этальной фундаментальной группы . Хотя его существование было высказано Александром Гротендиком , первое доказательство его существования для схем, определенных над полями, принадлежит Мадхаву Нори . [1] [2] [3] Доказательство его существования для схем, определенных над схемами Дедекинда, принадлежит Марко Антею , Мишелю Эмсалему и Карло Гасбарри. [4] [5]

История [ править ]

(Топологическая) фундаментальная группа, связанная с топологическим пространством , — это группа классов эквивалентности при гомотопии петель, содержащихся в пространстве. Хотя фундаментальная группа все еще изучается для классификации алгебраических многообразий даже в алгебраической геометрии , для многих приложений фундаментальная группа оказалась недостаточной для классификации объектов, таких как схемы , которые представляют собой нечто большее, чем просто топологические пространства. Одно и то же топологическое пространство действительно может иметь несколько различных схемных структур, но его топологическая фундаментальная группа всегда будет одной и той же. Поэтому возникла необходимость создания нового объекта, который учитывал бы существование структурного пучка вместе с топологическим пространством. Это привело к созданию этальной фундаментальной группы — проективного предела всех конечных групп, действующих на этальных накрытиях данной схемы. . Тем не менее, по положительной характеристике последняя имеет очевидные ограничения, поскольку не учитывает существование групповых схем, не являющихся этальными (например, когда характеристика ) и которые действуют на торсоры над , естественное обобщение накрытий. Именно исходя из этой идеи Гротендик надеялся на создание новой истинно фундаментальной группы ( un vrai groupe Fondamental , по-французски), о существовании которой он предположил еще в начале 1960-х годов в своей знаменитой SGA 1, Chapitre X. Прошло более десяти лет, прежде чем были получены первые результаты о существовании фундаментальной групповой схемы. Как упоминалось во введении, этот результат был достигнут благодаря Мадхаву Нори, который в 1976 году опубликовал свою первую конструкцию этого нового объекта. для схем, определенных над полями. Что касается названия, то он решил отказаться от истинного названия фундаментальной группы и назвал ее, как мы ее знаем сегодня, схемой фундаментальной группы . [1] Его также часто обозначают как , где обозначает Нори, чтобы отличить ее от предыдущих фундаментальных групп и от ее современных обобщений. Демонстрация существования определенных на обычных схемах размерности 1, пришлось ждать еще около сорока лет. Существуют различные обобщения, например, -фундаментальная групповая схема [6] и квазиконечная фундаментальная групповая схема . [4]

Определение и конструкция [ править ]

Оригинальное определение и первая конструкция были предложены Нори для схем. над полями. Затем они были адаптированы к более широкому кругу схем. До сих пор существуют единственные полные теории для схем, определенных над схемами размерности 0 ( спектры полей) или размерности 1 (схемы Дедекинда), поэтому именно это будет обсуждаться далее:

Определение [ править ]

Позволять быть схемой Дедекинда (которая может быть спектром поля) и точно плоский морфизм локально конечного типа. Предполагать есть раздел . Мы говорим, что имеет фундаментальную групповую схему если существуют проконечные и плоские - торсор , с разделом такой, что для любого конечного -торсор с разделом существует единственный морфизм торсоров отправка к . [2] [4]

Над полем [ править ]

В настоящее время существует несколько результатов существования фундаментальной групповой схемы схемы. определено над полем . Нори предлагает первую теорему существования, когда идеален и является собственным морфизмом схем с уменьшенная и связная схема. Предполагая наличие раздела , то фундаментальная групповая схема из в строится как аффинная групповая схема, естественно связанная с нейтральной таннаковой категорией (по ) существенно конечных векторных расслоений над . [1] Нори также доказывает, что фундаментальная групповая схема существует, когда любое поле и — любая приведенная и связная схема конечного типа над . Однако в этой ситуации не задействованы таннакианские категории. [2] С тех пор было добавлено несколько других результатов существования, включая некоторые нередуцированные схемы.

О схеме Дедекинда [ править ]

Позволять — схема Дедекинда размерности 1, любая связная схема и строго плоский морфизм локально конечного типа. Предположим, что существует раздел . Тогда существование фундаментальной групповой схемы как групповая схема закончилась было доказано Марко Антеем , Мишелем Эмсалемом и Карло Гасбарри в следующих ситуациях: [4]

  • когда для каждого волокна сокращаются
  • когда для каждого местное кольцо является интегрально замкнутым (например, когда это нормально ).

Однако в отношении схемы Дедекинда нет необходимости рассматривать только конечные групповые схемы: действительно, квазиконечные групповые схемы также являются очень естественным обобщением конечных групповых схем над полями. [7] Вот почему Антей, Эмсалем и Гасбарри также определили схему квазиконечной фундаментальной группы. следующее:позволять быть схемой Дедекинда и точно плоский морфизм локально конечного типа. Предполагать есть раздел . Мы говорим, что имеет квазиконечную фундаментальную групповую схему если существуют проквазиконечные и плоские - торсор , с разделом такая, что для любого квазиконечного -торсор с разделом существует единственный морфизм торсоров отправка к . [4] Они доказали существование когда для каждого волокна являются целостными и нормальными.

Свойства [ править ]

Связи с фундаментальной группой etal [ править ]

Можно рассмотреть наибольший проэтальный коэффициент . Когда базовая схема — спектр алгебраически замкнутого поля тогда она совпадает с этальной фундаментальной группой . Точнее группа точек изоморфен . [8]

Формула продукта [ править ]

Для и любые две гладкие проективные схемы над алгебраически замкнутым полем формула произведения имеет место, т.е. . [9] Этот результат был предположен Нори [1] и доказали Викрам Мехта и Субраманиан.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

  1. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д Нори, Мадхав В. (1976). «О представлениях фундаментальной группы» (PDF) . Математическая композиция . 33 (1): 29–42. МР   0417179 . Збл   0337.14016 .
  2. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Нори, Мадхав В. (1982). «Фундаментальная групповая схема». Труды математических наук . 91 (2): 73–122. дои : 10.1007/BF02967978 . S2CID   121156750 .
  3. ^ Самуэли, Тамаш (2009). Группы Галуа и фундаментальные группы . дои : 10.1017/CBO9780511627064 . ISBN  9780521888509 .
  4. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и Антей, Марко; Эмсалем, Майкл; Гасбарри, Карло (2020). «О существовании фундаментальной групповой схемы». Эпижурнал алгебраической геометрии . arXiv : 1504.05082 . дои : 10.46298/epiga.2020.volume4.5436 . S2CID   227029191 .
  5. ^ Антей, Марко; Эмсалем, Мишель; Гасбарри, Карло (2020). «Ошибка в статье «Высоты векторных расслоений и фундаментальная групповая схема кривой» ». Математический журнал Дьюка . 169 (16). дои : 10.1215/00127094-2020-0065 . S2CID   225148904 .
  6. ^ Лангер, Адриан (2011). «На -фундаментальная групповая схема». Annales de l'Institut Fourier . 61 (5): 2077–2119. arXiv : 0905.4600 . doi : 10.5802/aif.2667 . S2CID   53506862 .
  7. ^ Босх, Зигфрид; Люткебомерт, Вернер; Рейно, Майкл (1990). Модели Нерона . дои : 10.1007/978-3-642-51438-8 . ISBN  978-3-642-08073-9 .
  8. ^ Делинь, П.; Милн, Дж. С. (1982). Циклы Ходжа, мотивы и разновидности Шимуры . Конспект лекций по математике. Том. 900. дои : 10.1007/978-3-540-38955-2 . ISBN  978-3-540-11174-0 .
  9. ^ Мехта, В.Б.; Субраманиан, С. (2002). «О фундаментальной групповой схеме». Математические открытия . 148 (1): 143–150. Бибкод : 2002InMat.148..143M . дои : 10.1007/s002220100191 . S2CID   121329868 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: c45e2f7e6624a4057a0b470167fa11f5__1717842180
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/c4/f5/c45e2f7e6624a4057a0b470167fa11f5.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Fundamental group scheme - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)