Существенно конечное векторное расслоение

В математике по существу конечное векторное расслоение — это особый тип векторного расслоения, определенный Мадхавом В. Нори , как основной инструмент построения фундаментальной групповой схемы . Даже если определение не интуитивно понятно, существует хорошая характеристика, которая делает по существу конечные векторные расслоения вполне естественными объектами для изучения в алгебраической геометрии . Следующее понятие конечного векторного расслоения принадлежит Андре Вейлю и понадобится для определения существенно конечных векторных расслоений:

Конечные векторные расслоения

Позволять $X$ быть схемой и $V$ векторное расслоение на $X$. Для $f=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}[x]$ целочисленный многочлен с неотрицательными коэффициентами определяет

$f(V):={\mathcal {O}}_{X}^{\oplus a_{0}}\oplus V^{\oplus a_{1}}\oplus \left(V^{\otimes 2}\right)^{\oplus a_{2}}\oplus \ldots \oplus \left(V^{\otimes n}\right)^{\oplus a_{n}}$

Затем $V$ называется конечным, если существуют два различных многочлена $f,g\in \mathbb {Z} _{\geq 0}[x]$ для чего $f(V)$ изоморфен $g(V)$.

Определение

Следующие два определения совпадают всякий раз, когда $X$ является приведенной, связной и собственной схемой над идеальным полем.

По Борне и Вистоли

Векторное расслоение существенно конечно, если оно является ядром морфизма $u:F_{1}\to F_{2}$ где $F_{1},F_{2}$ являются конечными векторными расслоениями.

Исходное определение Нори

Векторное расслоение существенно конечно, если оно является подфактором конечного векторного расслоения из категории Нори-полустабильных векторных расслоений.

Характеристики

• Позволять $X$ быть приведенной и связной схемой над идеальным полем $k$ снабженный разделом $x\in X(k)$. Тогда векторное расслоение $V$ над $X$ существенно конечен тогда и только тогда, когда существует конечный $k$- групповая схема $G$ и $G$- торсор $p:P\to X$ такой, что $V$ становится тривиальным $P$ (т.е. $p^{*}(V)\cong O_{P}^{\oplus r}$, где $r=rk(V)$).

• Когда $X$ является приведенной связной и собственной схемой над совершенным полем с точкой $x\in X(k)$ затем категория $EF(X)$ существенно конечных векторных расслоений, снабженных обычным тензорным произведением $\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}$, тривиальный объект ${\mathcal {O}}_{X}$ и функтор волокна $x^{*}$ является таннакской категорией .

• The $k$-аффинная групповая схема $\pi _{1}(X,x)$ естественно связан с категорией Таннака $EF(X)$ называется фундаментальной групповой схемой .