Когерентный пучок

В математике, особенно в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий , когерентные пучки — это класс пучков, тесно связанных с геометрическими свойствами основного пространства. Определение когерентных пучков производится со ссылкой на пучок колец , который кодифицирует эту геометрическую информацию.

Когерентные пучки можно рассматривать как обобщение векторных расслоений . В отличие от векторных расслоений, они образуют абелеву категорию и поэтому замкнуты при таких операциях, как взятие ядер , изображений и коядер . Квазикогерентные пучки являются обобщением когерентных пучков и включают локально свободные пучки бесконечного ранга.

Когомологии когерентных пучков — мощный метод, в частности, для изучения сечений данного когерентного пучка.

Определения

Квазикогерентный пучок в кольцевом пространстве $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ это сноп ${\mathcal {F}}$ из ${\mathcal {O}}_{X}$- модули , имеющие локальное представление, то есть каждая точка в $X$ имеет открытое окружение $U$ в котором существует точная последовательность

${\mathcal {O}}_{X}^{\oplus I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus J}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0$

для некоторых (возможно, бесконечных) множеств $I$ и $J$.

Связный пучок на кольцевом пространстве $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ это сноп ${\mathcal {F}}$ из ${\mathcal {O}}_{X}$- модули, удовлетворяющие следующим двум свойствам:

1. ${\mathcal {F}}$ имеет конечный тип над ${\mathcal {O}}_{X}$, то есть каждая точка в $X$ имеет открытое окружение $U$ в $X$ такой, что существует сюръективный морфизм ${\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}$ для некоторого натурального числа $n$;
2. для любого открытого набора $U\subseteq X$, любое натуральное число $n$и любой морфизм $\varphi :{\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}$ из ${\mathcal {O}}_{X}$-модули, ядро $\varphi$ имеет конечный тип.

Морфизмы между (квази)когерентными пучками такие же, как морфизмы пучков ${\mathcal {O}}_{X}$-модули.

Дело о схемах

Когда $X$ является схемой, общие определения, приведенные выше, эквивалентны более явным. Сноп ${\mathcal {F}}$ из ${\mathcal {O}}_{X}$-модуль квазикогерентен тогда и только тогда, когда над каждой открытой аффинной подсхемой $U=\operatorname {Spec} A$ ограничение ${\mathcal {F}}|_{U}$ изоморфен пучку ${\tilde {M}}$ связанный с модулем $M=\Gamma (U,{\mathcal {F}})$ над $A$. Когда $X$ является локально нетеровой схемой, ${\mathcal {F}}$ когерентна тогда и только тогда , когда она квазикогерентна и модули $M$ выше можно считать конечно порожденным .

По аффинной схеме $U=\operatorname {Spec} A$, имеется эквивалентность категорий из $A$-модулей в квазикогерентные пучки, беря модуль $M$ к соответствующему пучку ${\tilde {M}}$. Обратная эквивалентность принимает квазикогерентный пучок ${\mathcal {F}}$ на $U$ к $A$-модуль ${\mathcal {F}}(U)$ глобальных разделов ${\mathcal {F}}$.

Вот несколько дальнейших характеристик квазикогерентных пучков на схеме.

Теорема — Пусть $X$ быть схемой и ${\mathcal {F}}$ а ${\mathcal {O}}_{X}$-модуль на нем. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

• ${\mathcal {F}}$ оно квазикогерентно.
• Для каждой открытой аффинной подсхемы $U$ из $X$, ${\mathcal {F}}|_{U}$ изоморфен как ${\mathcal {O}}_{U}$-модуль к связке ${\tilde {M}}$ связанный с каким-то ${\mathcal {O}}(U)$-модуль $M$.
• Имеется открытое аффинное покрытие $\{U_{\alpha }\}$ из $X$ такой, что для каждого $U_{\alpha }$ обложки, ${\mathcal {F}}|_{U_{\alpha }}$ изоморфен пучку, ассоциированному с некоторым ${\mathcal {O}}(U_{\alpha })$-модуль.
• Для каждой пары открытых аффинных подсхем $V\subseteq U$ из $X$, естественный гомоморфизм

  ${\mathcal {O}}(V)\otimes _{{\mathcal {O}}(U)}{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),\,f\otimes s\mapsto f\cdot s|_{V}$

является изоморфизмом.

• Для каждой открытой аффинной подсхемы $U=\operatorname {Spec} A$ из $X$ и каждый $f\in A$, письмо $U_{f}$ для открытой подсхемы $U$ где $f$ не равен нулю, естественный гомоморфизм

  ${\mathcal {F}}(U){\bigg [}{\frac {1}{f}}{\bigg ]}\to {\mathcal {F}}(U_{f})$

является изоморфизмом. Гомоморфизм вытекает из универсального свойства локализации .

Характеристики

В произвольном окольцованном пространстве квазикогерентные пучки не обязательно образуют абелеву категорию. С другой стороны, квазикогерентные пучки на любой схеме образуют абелеву категорию, и они чрезвычайно полезны в этом контексте.

На любом окольцованном пространстве $X$когерентные пучки образуют абелеву категорию, полную подкатегорию категории ${\mathcal {O}}_{X}$-модули. (Аналогично категория когерентных модулей над любым кольцом $A$ является полной абелевой подкатегорией категории всех $A$-модулей.) Таким образом, ядро, образ и коядро любого отображения когерентных пучков когерентны. двух Прямая сумма когерентных пучков когерентна; в более общем смысле, ${\mathcal {O}}_{X}$-модуль, являющийся расширением двух связных пучков, является когерентным.

Подмодуль когерентного пучка называется когерентным, если он имеет конечный тип. Когерентный пучок всегда ${\mathcal {O}}_{X}$-модуль конечного представления , означающий, что каждая точка $x$ в $X$ имеет открытое окружение $U$ такое, что ограничение ${\mathcal {F}}|_{U}$ из ${\mathcal {F}}$ к $U$ изоморфно коядру морфизма ${\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{m}|_{U}$ для некоторых натуральных чисел $n$ и $m$. Если ${\mathcal {O}}_{X}$ когерентен, то, наоборот, каждый пучок конечного представления над ${\mathcal {O}}_{X}$ является последовательным.

Сноп колец ${\mathcal {O}}_{X}$ называется когерентным, если оно когерентно, рассматриваемое как пучок модулей над собой. В частности, теорема Оки о когерентности утверждает, что пучок голоморфных функций в комплексном аналитическом пространстве $X$ представляет собой связный пучок колец. Основную часть доказательства составляет случай $X=\mathbf {C} ^{n}$. Аналогично по локально нетеровской схеме $X$, пучок структур ${\mathcal {O}}_{X}$ представляет собой связный пучок колец.

Основные конструкции связных пучков

• Ан ${\mathcal {O}}_{X}$-модуль ${\mathcal {F}}$ на кольцеобразном пространстве $X$ называется локально свободным конечного ранга или векторным расслоением , если каждая точка из $X$ имеет открытое окружение $U$ такое, что ограничение ${\mathcal {F}}|_{U}$ изоморфна конечной прямой сумме копий ${\mathcal {O}}_{X}|_{U}$. Если ${\mathcal {F}}$ свободен того же ранга $n$ возле каждой точки $X$, то векторное расслоение ${\mathcal {F}}$ говорят, что он имеет ранг $n$.

Векторные расслоения в этом теоретико-пучковом смысле над схемой $X$ эквивалентны векторным расслоениям, определенным более геометрическим способом, как схема $E$ с морфизмом $\pi :E\to X$ и с покрытием $X$ по открытым наборам $U_{\alpha }$ с заданными изоморфизмами $\pi ^{-1}(U_{\alpha })\cong \mathbb {A} ^{n}\times U_{\alpha }$ над $U_{\alpha }$ такие, что два изоморфизма над пересечением $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ отличаются линейным автоморфизмом. (Аналогичная эквивалентность справедлива и для комплексных аналитических пространств.) Например, для векторного расслоения $E$ в этом геометрическом смысле соответствующий пучок ${\mathcal {F}}$ определяется: по открытому множеству $U$ из $X$, ${\mathcal {O}}(U)$-модуль ${\mathcal {F}}(U)$ – множество сечений морфизма $\pi ^{-1}(U)\to U$. Преимущество теоретико-пучковой интерпретации векторных расслоений состоит в том, что векторные расслоения (по локально нетеровой схеме) включаются в абелеву категорию когерентных пучков.

• Локально свободные шкивы оснащены стандартным ${\mathcal {O}}_{X}$-модульные операции, но они возвращают локально свободные пучки.

• Позволять $X=\operatorname {Spec} (R)$, $R$ Нётерово кольцо. Тогда векторные расслоения на $X$ являются в точности пучками, связанными с конечно порожденными проективными модулями над $R$, или (что эквивалентно) конечно порожденным плоским модулям над $R$.
• Позволять $X=\operatorname {Proj} (R)$, $R$ нетеровец $\mathbb {N}$-градуированное кольцо — проективная схема над нетеровым кольцом. $R_{0}$. Затем каждый $\mathbb {Z}$-оцененный $R$-модуль $M$ определяет квазикогерентный пучок ${\mathcal {F}}$ на $X$ такой, что ${\mathcal {F}}|_{\{f\neq 0\}}$ пучок, связанный с $R[f^{-1}]_{0}$-модуль $M[f^{-1}]_{0}$, где $f$ представляет собой однородный элемент $R$ положительной степени и $\{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} R[f^{-1}]_{0}$ это место, где $f$ не исчезает.
• Например, для каждого целого числа $n$, позволять $R(n)$ обозначают градуированные $R$-модуль, заданный $R(n)_{l}=R_{n+l}$. Затем каждый $R(n)$ определяет квазикогерентный пучок ${\mathcal {O}}_{X}(n)$ на $X$. Если $R$ генерируется как $R_{0}$-алгебра по $R_{1}$, затем ${\mathcal {O}}_{X}(n)$ является линейным расслоением (обратимым пучком) на $X$ и ${\mathcal {O}}_{X}(n)$ это $n$-я тензорная степень ${\mathcal {O}}_{X}(1)$. В частности, ${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)$ называется тавтологическим расслоением на проективном $n$-космос.
• Простой пример когерентного пучка на $\mathbb {P} ^{2}$ которое не является векторным расслоением, задается коядром в следующей последовательности

${\mathcal {O}}(1){\xrightarrow {\cdot (x^{2}-yz,y^{3}+xy^{2}-xyz)}}{\mathcal {O}}(3)\oplus {\mathcal {O}}(4)\to {\mathcal {E}}\to 0$

это потому что ${\mathcal {E}}$ ограниченное геометрическим местом схода двух многочленов, имеет двумерные слои и одномерные слои в других местах.

• Идеальные пучки : Если $Z$ является замкнутой подсхемой локально нетеровой схемы $X$, сноп ${\mathcal {I}}_{Z/X}$ всех регулярных функций, исчезающих на $Z$ является последовательным. Аналогично, если $Z$ — замкнутое аналитическое подпространство комплексного аналитического пространства $X$, идеальный пучок ${\mathcal {I}}_{Z/X}$ является последовательным.
• Структурный пучок ${\mathcal {O}}_{Z}$ закрытой подсхемы $Z$ локально нётеровской схемы $X$ можно рассматривать как связный пучок $X$. Если быть точным, то это прямой пучок изображений $i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}$, где $i:Z\to X$ это включение. Аналогично и для замкнутого аналитического подпространства комплексного аналитического пространства. Сноп $i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}$ имеет слой (определенный ниже) нулевой размерности в точках открытого множества $X-Z$, и слой размерности 1 в точках $Z$. Существует короткая точная последовательность когерентных пучков на $X$:

$0\to {\mathcal {I}}_{Z/X}\to {\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}\to 0.$

• Большинство операций линейной алгебры сохраняют когерентные пучки. В частности, для когерентных пучков ${\mathcal {F}}$ и ${\mathcal {G}}$ на кольцеобразном пространстве $X$, тензорных произведений пучок ${\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {G}}$ и пучок гомоморфизмов ${\mathcal {H}}om_{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})$ являются последовательными.
• Простой непример квазикогерентного пучка дается расширением нулевым функтором. Например, рассмотрим $i_{!}{\mathcal {O}}_{X}$ для

$X=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,x^{-1}]){\xrightarrow {i}}\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x])=Y$

Поскольку этот пучок имеет нетривиальные стебли, но не имеет глобальных сечений, он не может быть квазикогерентным пучком. Это связано с тем, что квазикогерентные пучки в аффинной схеме эквивалентны категории модулей над основным кольцом, а присоединение происходит за счет взятия глобальных сечений.

Функциональность

Позволять $f:X\to Y$ — морфизм окольцованных пространств (например, морфизм схем ). Если ${\mathcal {F}}$ представляет собой квазикогерентный пучок на $Y$, то прообраз ${\mathcal {O}}_{X}$-модуль (или откат ) $f^{*}{\mathcal {F}}$ является квазикогерентным на $X$. Для морфизма схем $f:X\to Y$ и связный пучок ${\mathcal {F}}$ на $Y$, откат $f^{*}{\mathcal {F}}$ не является когерентным в полной общности (например, $f^{*}{\mathcal {O}}_{Y}={\mathcal {O}}_{X}$, который может быть некогерентным), но обратные связи когерентных пучков когерентны, если $X$ локально нетерова. Важным частным случаем является возврат векторного расслоения, которое является векторным расслоением.

Если $f:X\to Y$ является квазикомпактным квазиразделённым морфизмом схем и ${\mathcal {F}}$ представляет собой квазикогерентный пучок на $X$, затем прямая связка изображений (или pushforward ) $f_{*}{\mathcal {F}}$ является квазикогерентным на $Y$.

Прямой образ связного связки часто не связен. Например, для поля $k$, позволять $X$ быть аффинной линией над $k$и рассмотрим морфизм $f:X\to \operatorname {Spec} (k)$; тогда прямое изображение $f_{*}{\mathcal {O}}_{X}$ находится ли сноп на $\operatorname {Spec} (k)$ связанный с кольцом полиномов $k[x]$, что не является когерентным, поскольку $k[x]$ имеет бесконечное измерение как $k$-векторное пространство. С другой стороны, прямой образ когерентного пучка при правильном морфизме когерентен по результатам Грауэрта и Гротендика .

Локальное поведение когерентных пучков

Важная особенность когерентных пучков. ${\mathcal {F}}$ заключается в том, что свойства ${\mathcal {F}}$ в какой-то момент $x$ контролировать поведение ${\mathcal {F}}$ в районе $x$, больше, чем было бы верно для произвольного пучка. Например, лемма Накаямы гласит (на языке геометрии), что если ${\mathcal {F}}$ представляет собой связный пучок на схеме $X$, то волокно ${\mathcal {F}}_{x}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,x}}k(x)$ из $F$ в какой-то момент $x$ (векторное пространство над полем вычетов $k(x)$) равен нулю тогда и только тогда, когда пучок ${\mathcal {F}}$ равен нулю в некоторой открытой окрестности $x$. Связанный с этим факт состоит в том, что размерность волокон когерентного пучка полунепрерывна сверху . Таким образом, когерентный пучок имеет постоянный ранг на открытом множестве, в то время как ранг может резко повышаться на замкнутом подмножестве меньшей размерности.

В том же духе: связный пучок ${\mathcal {F}}$ по схеме $X$ является векторным расслоением тогда и только тогда, когда его стебель ${\mathcal {F}}_{x}$ является свободным модулем над локальным кольцом ${\mathcal {O}}_{X,x}$ за каждую точку $x$ в $X$.

В общей схеме невозможно определить, является ли когерентный пучок векторным расслоением только по его слоям (а не по стеблям). Однако в приведенной локально нетеровой схеме когерентный пучок является векторным расслоением тогда и только тогда, когда его ранг локально постоянен.

Примеры векторных расслоений

Для морфизма схем $X\to Y$, позволять $\Delta :X\to X\times _{Y}X$ — диагональный морфизм , который является замкнутым погружением , если $X$ разделен ​ на $Y$. Позволять ${\mathcal {I}}$ быть идеальным снопом $X$ в $X\times _{Y}X$. Тогда пучок дифференциалов $\Omega _{X/Y}^{1}$ можно определить как откат $\Delta ^{*}{\mathcal {I}}$ из ${\mathcal {I}}$ к $X$. Сечения этого пучка называются 1-формами на $X$ над $Y$, и их можно записать локально на $X$ как конечные суммы $\textstyle \sum f_{j}\,dg_{j}$ для обычных функций $f_{j}$ и $g_{j}$. Если $X$ локально имеет конечный тип над полем $k$, затем $\Omega _{X/k}^{1}$ представляет собой когерентный пучок на $X$.

Если $X$ все гладко ​ $k$, затем $\Omega ^{1}$ (значение $\Omega _{X/k}^{1}$) — векторное расслоение над $X$, называемое расслоения котангенсом $X$. Тогда касательное расслоение $TX$ определяется как двойственное расслоение $(\Omega ^{1})^{*}$. Для $X$ сгладить $k$ размера $n$ везде касательное расслоение имеет ранг $n$.

Если $Y$ — гладкая замкнутая подсхема гладкой схемы $X$ над $k$, то существует короткая точная последовательность векторных расслоений на $Y$:

$0\to TY\to TX|_{Y}\to N_{Y/X}\to 0,$

которое можно использовать как определение нормального расслоения $N_{Y/X}$ к $Y$ в $X$.

Для плавной схемы $X$ над полем $k$ и натуральное число $i$, векторное расслоение $\Omega ^{i}$ -формы i ​ на $X$ определяется как $i$-я внешняя степень коткасательного расслоения, $\Omega ^{i}=\Lambda ^{i}\Omega ^{1}$. Для гладкого разнообразия $X$ размера $n$ над $k$, канонический расслоение $K_{X}$ означает линейный пучок $\Omega ^{n}$. Таким образом, сечения канонического расслоения являются алгебро-геометрическими аналогами объемных форм на $X$. Например, сечение канонического расслоения аффинного пространства $\mathbb {A} ^{n}$ над $k$можно записать как

$f(x_{1},\ldots ,x_{n})\;dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n},$

где $f$ представляет собой многочлен с коэффициентами $k$.

Позволять $R$ быть коммутативным кольцом и $n$ натуральное число. Для каждого целого числа $j$, есть важный пример линейного расслоения в проективном пространстве $\mathbb {P} ^{n}$ над $R$, называется ${\mathcal {O}}(j)$. Чтобы определить это, рассмотрим морфизм $R$-схемы

$\pi :\mathbb {A} ^{n+1}-0\to \mathbb {P} ^{n}$

задано в координатах $(x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto [x_{0},\ldots ,x_{n}]$. (То есть, думая о проективном пространстве как о пространстве одномерных линейных подпространств аффинного пространства, отправьте ненулевую точку в аффинном пространстве на линию, которую оно охватывает.) Затем раздел ${\mathcal {O}}(j)$ над открытым подмножеством $U$ из $\mathbb {P} ^{n}$ определяется как регулярная функция $f$ на $\pi ^{-1}(U)$ однородный по степени $j$, это означает, что

$f(ax)=a^{j}f(x)$

как регулярные функции на ( $\mathbb {A} ^{1}-0)\times \pi ^{-1}(U)$. Для всех целых чисел $i$ и $j$, существует изоморфизм ${\mathcal {O}}(i)\otimes {\mathcal {O}}(j)\cong {\mathcal {O}}(i+j)$ линейных связок на $\mathbb {P} ^{n}$.

В частности, каждый однородный полином из $x_{0},\ldots ,x_{n}$ степени $j$ над $R$ можно рассматривать как глобальный раздел ${\mathcal {O}}(j)$ над $\mathbb {P} ^{n}$. Обратите внимание, что каждую замкнутую подсхему проективного пространства можно определить как нулевое множество некоторого набора однородных многочленов, следовательно, как нулевое множество некоторых сечений линейных расслоений. ${\mathcal {O}}(j)$. Это контрастирует с более простым случаем аффинного пространства, где замкнутая подсхема — это просто нулевое множество некоторого набора регулярных функций. Регулярные функции в проективном пространстве $\mathbb {P} ^{n}$ над $R$ являются просто «константами» (кольцо $R$), поэтому важно работать с линейными расслоениями ${\mathcal {O}}(j)$.

Серр дал алгебраическое описание всех когерентных пучков в проективном пространстве, более тонкое, чем то, что происходит в аффинном пространстве. А именно, пусть $R$ — нётерово кольцо (например, поле) и рассмотрим кольцо многочленов $S=R[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ как градуированное кольцо с каждым $x_{i}$ имеющую степень 1. Тогда каждое конечно порожденное градуированное $S$-модуль $M$ имеет связанный связный пучок ${\tilde {M}}$ на $\mathbb {P} ^{n}$ над $R$. Каждый связный пучок на $\mathbb {P} ^{n}$ возникает таким образом из конечно порожденного градуированного $S$-модуль $M$. (Например, линейный пучок ${\mathcal {O}}(j)$ пучок, связанный с $S$-модуль $S$ с понижением его оценки на $j$.) Но $S$-модуль $M$ что дает заданный когерентный пучок на $\mathbb {P} ^{n}$ не является уникальным; он уникален только до изменения $M$ градуированными модулями, отличными от нуля лишь в конечном числе степеней. Точнее, абелева категория когерентных пучков на $\mathbb {P} ^{n}$ является фактором категории конечно порожденных градуированных $S$-модули по подкатегории Серра модулей, отличных от нуля лишь в конечном числе степеней.

Касательное расслоение проективного пространства $\mathbb {P} ^{n}$ над полем $k$ можно описать с помощью линейного расслоения ${\mathcal {O}}(1)$. А именно, существует короткая точная последовательность, последовательность Эйлера :

$0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(1)^{\oplus \;n+1}\to T\mathbb {P} ^{n}\to 0.$

Отсюда следует, что каноническое расслоение $K_{\mathbb {P} ^{n}}$ (двойственное расслоению детерминанта касательного расслоения) изоморфно ${\mathcal {O}}(-n-1)$. Это фундаментальный расчет алгебраической геометрии. Например, тот факт, что каноническое расслоение является отрицательным кратным обильного линейного расслоения ${\mathcal {O}}(1)$ означает, что проективное пространство является многообразием Фано . Для комплексных чисел это означает, что проективное пространство имеет метрику Кэлера с положительной кривизной Риччи .

Векторные расслоения на гиперповерхности

Рассмотрим гладкую степень $d$ гиперповерхность $X\subseteq \mathbb {P} ^{n}$ определяется однородным полиномом $f$ степени $d$. Тогда существует точная последовательность

$0\to {\mathcal {O}}_{X}(-d)\to i^{*}\Omega _{\mathbb {P} ^{n}}\to \Omega _{X}\to 0$

где вторая карта — это возврат дифференциальных форм, а первая карта отправляет

$\phi \mapsto d(f\cdot \phi )$

Обратите внимание, что эта последовательность говорит нам, что ${\mathcal {O}}(-d)$ является конормальным пучком $X$ в $\mathbb {P} ^{n}$. Дуализация этого дает точную последовательность

$0\to T_{X}\to i^{*}T_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(d)\to 0$

следовательно ${\mathcal {O}}(d)$ это обычный комплект $X$ в $\mathbb {P} ^{n}$. Если мы воспользуемся тем фактом, что для данной точной последовательности

$0\to {\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{2}\to {\mathcal {E}}_{3}\to 0$

векторных расслоений с рангами $r_{1}$, $r_{2}$, $r_{3}$, существует изоморфизм

$\Lambda ^{r_{2}}{\mathcal {E}}_{2}\cong \Lambda ^{r_{1}}{\mathcal {E}}_{1}\otimes \Lambda ^{r_{3}}{\mathcal {E}}_{3}$

линейных расслоений, то мы видим, что существует изоморфизм

$i^{*}\omega _{\mathbb {P} ^{n}}\cong \omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(-d)$

показывая это

$\omega _{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}(d-n-1)$

Конструкция Серра и векторные расслоения

Одним из полезных методов построения векторных расслоений ранга 2 является конструкция Серра. ^{стр. 3} которое устанавливает соответствие между векторными расслоениями ранга 2 ${\mathcal {E}}$ на гладком проективном многообразии $X$ и подмногообразия коразмерности 2 $Y$ используя определенный ${\text{Ext}}^{1}$-группа рассчитана на $X$. Это задается когомологическим условием на линейном расслоении $\wedge ^{2}{\mathcal {E}}$ (см. ниже).

Соответствие в одну сторону задается следующим образом: для раздела $s\in \Gamma (X,{\mathcal {E}})$ мы можем связать исчезающий локус $V(s)\subseteq X$. Если $V(s)$ является подмногообразием коразмерности 2, то

1. Это локальное полное пересечение, то есть если мы возьмем аффинную диаграмму $U_{i}\subseteq X$ затем $s|_{U_{i}}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {E}})$ можно представить как функцию $s_{i}:U_{i}\to \mathbb {A} ^{2}$, где $s_{i}(p)=(s_{i}^{1}(p),s_{i}^{2}(p))$ и $V(s)\cap U_{i}=V(s_{i}^{1},s_{i}^{2})$
2. Линейный пакет $\omega _{X}\otimes \wedge ^{2}{\mathcal {E}}|_{V(s)}$ изоморфно каноническому расслоению $\omega _{V(s)}$ на $V(s)$

В другом направлении, для подмногообразия коразмерности 2 $Y\subseteq X$ и линейный пучок ${\mathcal {L}}\to X$ такой, что

1. $H^{1}(X,{\mathcal {L}})=H^{2}(X,{\mathcal {L}})=0$
2. $\omega _{Y}\cong (\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y}$

существует канонический изоморфизм

${\text{Hom}}((\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y},\omega _{Y})\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {I}}_{Y}\otimes {\mathcal {L}},{\mathcal {O}}_{X})$,

который является функториальным относительно включения коразмерности $2$ подразновидности. Более того, любой изоморфизм, заданный слева, соответствует локально свободному пучку в середине расширения справа. То есть для $s\in {\text{Hom}}((\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y},\omega _{Y})$ то есть изоморфизм, существует соответствующий локально свободный пучок ${\mathcal {E}}$ ранга 2, который укладывается в короткую точную последовательность

$0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}_{Y}\otimes {\mathcal {L}}\to 0$

Затем это векторное расслоение можно дополнительно изучить с использованием когомологических инвариантов, чтобы определить, стабильно оно или нет. Это составляет основу для изучения модулей стабильных векторных расслоений во многих конкретных случаях, например, на принципиально поляризованных абелевых многообразиях. и поверхности К3 .

Классы Чженя и алгебраическая K -теория

Векторный расслоение $E$ на гладком сорте $X$ над полем имеет классы Чженя в Чоу кольце $X$, $c_{i}(E)$ в $CH^{i}(X)$ для $i\geq 0$. Они удовлетворяют тем же формальным свойствам, что и классы Чженя в топологии. Например, для любой короткой точной последовательности

$0\to A\to B\to C\to 0$

векторных расслоений на $X$, классы Черна $B$ даны

$c_{i}(B)=c_{i}(A)+c_{1}(A)c_{i-1}(C)+\cdots +c_{i-1}(A)c_{1}(C)+c_{i}(C).$

Отсюда следует, что классы Чженя векторного расслоения $E$ зависят только от класса $E$ в группе Гротендика $K_{0}(X)$. По определению для схемы $X$, $K_{0}(X)$ — фактор свободной абелевой группы на множестве классов изоморфизма векторных расслоений на $X$ по отношению, что $[B]=[A]+[C]$ для любой короткой точной последовательности, как указано выше. Хотя $K_{0}(X)$ вообще сложно вычислить, алгебраическая K-теория предоставляет множество инструментов для его изучения, включая последовательность связанных групп $K_{i}(X)$ для целых чисел $i>0$.

Вариант — группа $G_{0}(X)$ (или $K_{0}'(X)$), Гротендика на группа когерентных пучков $X$. (В топологических терминах G -теория обладает формальными свойствами теории гомологий Бореля–Мура для схем, а K -теория является соответствующей теорией когомологий .) Естественный гомоморфизм $K_{0}(X)\to G_{0}(X)$ является изоморфизмом, если $X$ представляет собой регулярную разделенную нётерову схему, в которой каждый когерентный пучок в этом случае имеет конечное разрешение векторными расслоениями. Например, это дает определение классов Чженя когерентного пучка на гладком многообразии над полем.

В более общем смысле, нётерова схема. $X$ Говорят, что он обладает свойством разрешения, если каждый когерентный пучок на $X$ имеет сюръекцию из некоторого векторного расслоения на $X$. Например, каждая квазипроективная схема над нетеровым кольцом обладает свойством резольвенты.

Применение свойства разрешения

Поскольку свойство разрешения гласит, что когерентный пучок ${\mathcal {E}}$ на нётеровой схеме квазиизоморфен в производной категории комплексу векторных расслоений: ${\mathcal {E}}_{k}\to \cdots \to {\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{0}$мы можем вычислить полный класс Чженя ${\mathcal {E}}$ с

$c({\mathcal {E}})=c({\mathcal {E}}_{0})c({\mathcal {E}}_{1})^{-1}\cdots c({\mathcal {E}}_{k})^{(-1)^{k}}$

Например, эта формула полезна для нахождения классов Чженя пучка, представляющего подсхему $X$. Если взять проективную схему $Z$ связанный с идеалом $(xy,xz)\subseteq \mathbb {C} [x,y,z,w]$, затем

$c({\mathcal {O}}_{Z})={\frac {c({\mathcal {O}})c({\mathcal {O}}(-3))}{c({\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2))}}$

так как есть разрешение

$0\to {\mathcal {O}}(-3)\to {\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2)\to {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}\to 0$

над $\mathbb {CP} ^{3}$.

Гомоморфизм расслоения против гомоморфизма пучка

Когда векторные расслоения и локально свободные пучки конечного постоянного ранга используются взаимозаменяемо,необходимо проявлять осторожность, чтобы различать гомоморфизмы расслоений и гомоморфизмы пучков. В частности, данные векторные расслоения $p:E\to X,\,q:F\to X$, по определению, гомоморфизм расслоения $\varphi :E\to F$ является схемным морфизмом над $X$ (т.е. $p=q\circ \varphi$) такой, что для каждой геометрической точки $x$ в $X$, $\varphi _{x}:p^{-1}(x)\to q^{-1}(x)$ является линейным отображением ранга, не зависящего от $x$. Таким образом, он индуцирует пучковый гомоморфизм ${\widetilde {\varphi }}:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {F}}$ постоянного ранга между соответствующими локально свободными ${\mathcal {O}}_{X}$-модули (связки сдвоенных секций). Но может быть ${\mathcal {O}}_{X}$-модульный гомоморфизм, не возникающий таким образом; а именно те, которые не имеют постоянного ранга.

В частности, подгруппа $E\subseteq F$ является подпучком (т. е. ${\mathcal {E}}$ является подпучком ${\mathcal {F}}$). Но обратное может потерпеть неудачу; например, для эффективного делителя Картье $D$ на $X$, ${\mathcal {O}}_{X}(-D)\subseteq {\mathcal {O}}_{X}$ является подпучком, но обычно не является подпучком (поскольку любой линейный пучок имеет только два подпучка).

Категория квазикогерентных пучков

Квазикогерентные пучки на любой фиксированной схеме образуют абелеву категорию. Габбер показал, что на самом деле квазикогерентные пучки на любой схеме образуют абелеву категорию с особенно хорошим поведением — категорию Гротендика . Квазикомпактная квазиразделенная схема. $X$ (например, алгебраическое многообразие над полем) определяется с точностью до изоморфизма абелевой категорией квазикогерентных пучков на $X$, Розенбергом, обобщающим результат Габриэля .

Когерентные когомологии

Основная статья: Когерентные когомологии пучков

Фундаментальным техническим инструментом алгебраической геометрии является теория когомологий когерентных пучков. Хотя он был введен только в 1950-х годах, многие более ранние методы алгебраической геометрии поясняются языком пучковых когомологий, применяемым к когерентным пучкам. В общих чертах, когомологии когерентных пучков можно рассматривать как инструмент для создания функций с заданными свойствами; сечения линейных расслоений или более общих пучков можно рассматривать как обобщенные функции. В сложной аналитической геометрии когерентные когомологии пучков также играют основополагающую роль.

Среди основных результатов когомологий когерентных пучков - результаты о конечномерности когомологий, результаты об исчезновении когомологий в различных случаях, теоремы двойственности, такие как двойственность Серра , отношения между топологией и алгебраической геометрией, такие как теория Ходжа , и формулы для эйлеровых характеристик. когерентных пучков, таких как теорема Римана-Роха .

См. также

• Группа Пикарда
• Дивизор (алгебраическая геометрия)
• Рефлекторная связка
• Схема котировок
• Витой сноп
• Существенно конечное векторное расслоение
• Комплект основных частей
• Теорема реконструкции Габриэля – Розенберга
• Псевдокогерентный пучок
• Квазикогерентный пучок на алгебраическом стеке

Ссылки

• Антио, Бенджамин (2016), «Теорема о реконструкции абелевых категорий скрученных пучков», Журнал чистой и прикладной математики , 712 : 175–188, arXiv : 1305.2541 , doi : 10.1515/crell-2013-0119 , MR   3466552
• Данилов, В.И. (2001) [1994], «Связный алгебраический пучок» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Грауэрт, Ганс ; Реммерт, Рейнхольд (1984), Когерентные аналитические пучки , Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-69582-7 , ISBN  3-540-13178-7 , МР   0755331
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра с взглядом на алгебраическую геометрию , Тексты для аспирантов по математике , том. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-5350-1 , ISBN.  978-0-387-94268-1 , МР   1322960
• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечения , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-1700-8 , ISBN  978-0-387-98549-7 , МР   1644323
• Разделы 0.5.3 и 0.5.4 Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык диаграмм» . Публикации IHÉS по математике . 4 . дои : 10.1007/bf02684778 . МР   0217083 .
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-90244-9 , МР   0463157
• Мамфорд, Дэвид (1999). Красная книга разновидностей и схем: включает Мичиганские лекции (1974 г.) о кривых и их якобианах (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . дои : 10.1007/b62130 . ISBN  354063293X . МР   1748380 .
• Онищик, А. Л. (2001) [1994], «Связная аналитическая связка» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Онищик, А.Л. (2001) [1994], «Связный пучок» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Серр, Жан-Пьер (1955), «Когерентные алгебраические пучки», Annals of Mathematics , 61 : 197–278, doi : 10.2307/1969915 , MR   0068874

Внешние ссылки

• Авторы проекта Stacks, The Stacks Project
• Часть V Вакиль, Рави , Восходящее море