Диагональный морфизм

Конкретный пример понятия в алгебраической геометрии см. в разделе «Диагональное вложение» .

В теории категорий , разделе математики , для каждого объекта $a$ в каждой категории ${\mathcal {C}}$ где товар $a\times a$ существует, существует диагональный морфизм

$\delta _{a}:a\rightarrow a\times a$

удовлетворяющий

$\pi _{k}\circ \delta _{a}=\operatorname {id} _{a}$ для $k\in \{1,2\},$

где $\pi _{k}$ является каноническим морфизмом проекции на $k$-й компонент. Существование этого морфизма является следствием универсального свойства , характеризующего произведение ( с точностью до изоморфизма ). Ограничение на бинарные произведения здесь сделано для простоты обозначения; диагональные морфизмы существуют аналогично для произвольных произведений. Образ именно диагонального морфизма в категории множеств , как подмножества декартова произведения , есть отношение на области , а равенство .

Для конкретных категорий диагональный морфизм можно просто описать его действием на элементы. $x$ объекта $a$. А именно, $\delta _{a}(x)=\langle x,x\rangle$, упорядоченная пара образовалась из $x$. Причина названия в том, что образ такого диагонального морфизма является диагональным (всякий раз, когда это имеет смысл), например, образ диагонального морфизма. $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ на действительной линии задается линией, которая является графиком уравнения $y=x$. Диагональный морфизм в бесконечное произведение $X^{\infty }$ может обеспечить инъекцию в пространство последовательностей, оцененных в $X$; каждый элемент сопоставляется с постоянной последовательностью этого элемента. Однако большинство понятий пространств последовательностей имеют ограничения сходимости , которым не может удовлетворить образ диагональной карты.

Двойственное понятие диагонального морфизма — это кодиагональный морфизм . Для каждого объекта $b$ в категории ${\mathcal {C}}$ где побочные продукты $b\sqcup b$ существует, кодиагональ — канонический морфизм

$\delta _{b}\colon b\sqcup b{\stackrel {[Id,Id]}{\to }}b$

удовлетворяющий

$\delta _{b}\circ \tau _{l}=\operatorname {id} _{b}$ для $l\in \{1,2\}.$

где $\tau _{l}$ является морфизмом вложения в $l$-й компонент.

Позволять $f:X\to Y$ быть морфизмом в категории ${\mathcal {C}}$ с выталкиванием является эпиморфизмом тогда и только тогда, когда кодиагональ является изоморфизмом.

См. также

• Диагональный функтор
• Диагональное встраивание
• wikibooks:Теория категорий/(Ко-)конусы и (ко-)пределы

Библиография

• Аводи, с. (1996). «Структура в математике и логике: категориальная перспектива». Философия Математика . 4 (3): 209–237. дои : 10.1093/филмат/4.3.209 .
• Баэз, Джон К. (2004). «Квантовые загадки: теоретико-категориальная перспектива». Структурные основы квантовой гравитации . стр. 240–265. arXiv : Quant-ph/0404040 . Бибкод : 2004quant.ph..4040B . doi : 10.1093/acprof:oso/9780199269693.003.0008 . ISBN  978-0-19-926969-3 .
• Картер, Дж. Скотт; Кран, Алисса; Эльхамдади, Мохамед; Сайто, Масахико (2008). «Когомологии категориальной самораспределенности» (PDF) . Журнал гомотопии и родственных структур . 3 (1): 13–63. arXiv : math/0607417 . Бибкод : 2006math......7417C .
• Вера, Карл (1973). «Продукт и сопутствующий продукт». Алгебра . стр. 83–109. дои : 10.1007/978-3-642-80634-6_4 . ISBN  978-3-642-80636-0 .
• Кашивара, Мсакиа; Шапира, Пьер (2006). «Пределы». Категории и пучки . Основные принципы математических наук. Том 332. С. 35–69. дои : 10.1007/3-540-27950-4_3 . ISBN  978-3-540-27949-5 .
• Митчелл, Барри (1965). Теория категорий . Академическая пресса. ISBN  978-0-12-499250-4 .
• Муро, Фернандо (2016). «Гомотопические единицы в алгебрах A-бесконечности». Пер. амер. Математика. Соц . 368 : 2145–2184. arXiv : 1111.2723 . дои : 10.1090/tran/6545 .
• Масакацу, Удзава (1972). «Некоторые категориальные свойства комплексных пространств. Часть II» (PDF) . Вестник педагогического факультета Университета Тиба . 21 : 83–93. ISSN   0577-6856 .
• Попеску, Николае; Попеску, Лилиана (1979). «Категории и функторы». Теория категорий . стр. 1–148. дои : 10.1007/978-94-009-9550-5_1 . ISBN  978-94-009-9552-9 .
• Пупье, Р. (1964). «Краткий справочник по категориям» . Публикации факультета математики (Лион) (на французском языке). 1 (1): 1–18.

Внешние ссылки

• Обер, Клеман (2019). «Категории для меня и тебя?» . arXiv : 1910.05172 .
• Херскович, Эстанислао (2020). «Лекции по основам гомологической алгебры» (PDF) .
• Лоран, Оливье (2013). «Категории для меня [примечание]» (PDF) . person.ens-lyon.fr .
• «кодиагональ» . ncatlab.org .
• «диагональный морфизм» . ncatlab.org .