Проконечное целое число

В математике бесконечное целое число — это элемент кольца ( иногда произносится как «зи-хэт» или «зед-хэт»).

${\widehat {\mathbb {Z} }}=\varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}$

где обратный предел

$\varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$

указывает на завершение бесконечное $\mathbb {Z}$, индекс $p$ пробегает все простые числа и $\mathbb {Z} _{p}$ — кольцо p -адических целых чисел . Эта группа важна из-за ее связи с теорией Галуа , этальной гомотопической теорией и кольцом аделей . Кроме того, он представляет собой простой и понятный пример проконечной группы .

Строительство

Проконечные целые числа ${\widehat {\mathbb {Z} }}$ можно построить как набор последовательностей $\upsilon$ остатков, представленных как $$\upsilon =(\upsilon _{1}{\bmod {1}},~\upsilon _{2}{\bmod {2}},~\upsilon _{3}{\bmod {3}},~\ldots )$$такой, что $m\ |\ n\implies \upsilon _{m}\equiv \upsilon _{n}{\bmod {m}}$.

Поточечное сложение и умножение делают его коммутативным кольцом.

Кольцо целых чисел вкладывается в кольцо бесконечных целых чисел посредством канонической инъекции: $$\eta :\mathbb {Z} \hookrightarrow {\widehat {\mathbb {Z} }}$$ где $n\mapsto (n{\bmod {1}},n{\bmod {2}},\dots ).$Она канонична, поскольку удовлетворяет универсальному свойству проконечных групп , согласно которому для любой проконечной группы $H$ и любой групповой гомоморфизм $f:\mathbb {Z} \rightarrow H$, существует единственный непрерывный групповой гомоморфизм $g:{\widehat {\mathbb {Z} }}\rightarrow H$ с $f=g\eta$.

Использование факториальной системы счисления

Каждое целое число $n\geq 0$ имеет уникальное представление в факториальной системе счисления как $$n=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}i!\qquad {\text{with }}c_{i}\in \mathbb {Z}$$где $0\leq c_{i}\leq i$ для каждого $i$и только конечное число $c_{1},c_{2},c_{3},\ldots$ ненулевые.

Его представление факториала можно записать как $(\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}$.

Точно так же бесконечное целое число может быть однозначно представлено в факториальной системе счисления как бесконечная строка. $(\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}$, где каждый $c_{i}$ является целым числом, удовлетворяющим $0\leq c_{i}\leq i$.

Цифры $c_{1},c_{2},c_{3},\ldots ,c_{k-1}$ определить значение модуля бесконечного целого числа $k!$. Более конкретно, существует кольцевой гомоморфизм ${\widehat {\mathbb {Z} }}\to \mathbb {Z} /k!\,\mathbb {Z}$ отправка $$(\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}\mapsto \sum _{i=1}^{k-1}c_{i}i!\mod k!$$Разница между бесконечным целым числом и целым числом состоит в том, что условие «конечного числа ненулевых цифр» опускается, что позволяет его представлению факториального числа иметь бесконечное количество ненулевых цифр.

Использование китайской теоремы об остатках

Другой способ понять конструкцию бесконечных целых чисел — использовать китайскую теорему об остатках . Напомним, что для целого числа $n$ с простой факторизацией $$n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}$$неповторяющихся простых чисел существует кольцевой изоморфизм $$\mathbb {Z} /n\cong \mathbb {Z} /p_{1}^{a_{1}}\times \cdots \times \mathbb {Z} /p_{k}^{a_{k}}$$из теоремы. Более того, любая сюръекция $$\mathbb {Z} /n\to \mathbb {Z} /m$$будет просто отображением основных разложений, где есть индуцированные сюръекции $$\mathbb {Z} /p_{i}^{a_{i}}\to \mathbb {Z} /p_{i}^{b_{i}}$$поскольку мы должны иметь $a_{i}\geq b_{i}$. Должно быть гораздо яснее, что при определении обратного предела проконечных целых чисел мы имеем изоморфизм $${\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}$$с прямым произведением p -адических целых чисел.

Явно изоморфизм $\phi :\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}\to {\widehat {\mathbb {Z} }}$ к $$\phi ((n_{2},n_{3},n_{5},\cdots ))(k)=\prod _{q}n_{q}\mod k$$где $q$ колеблется по всем коэффициентам простой мощности $p_{i}^{d_{i}}$ из $k$, то есть, $k=\prod _{i=1}^{l}p_{i}^{d_{i}}$ для некоторых разных простых чисел $p_{1},...,p_{l}$.

Отношения

Топологические свойства

Множество бесконечных целых чисел имеет индуцированную топологию, в которой оно представляет собой компактное хаусдорфово пространство , исходя из того факта, что его можно рассматривать как замкнутое подмножество бесконечного прямого произведения. $${\widehat {\mathbb {Z} }}\subset \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$$который компактен со своей топологией произведения по теореме Тихонова . Обратите внимание на топологию каждой конечной группы. $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ задается как дискретная топология .

Топология на ${\widehat {\mathbb {Z} }}$ можно определить с помощью метрики, $$d(x,y)={\frac {1}{\min\{k\in \mathbb {Z} _{>0}:x\not \equiv y{\bmod {(k+1)!}}\}}}$$

Поскольку сложение бесконечных целых чисел непрерывно, ${\widehat {\mathbb {Z} }}$ — компактная абелева группа по Хаусдорфу, и, следовательно, ее двойственная по Понтрягину группа должна быть дискретной абелевой группой.

Фактически, двойственный Понтрягину ${\widehat {\mathbb {Z} }}$ это абелева группа $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ оснащен дискретной топологией (обратите внимание, что это не топология подмножества, унаследованная от $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$, который не является дискретным). Двойственный Понтрягину явно строится по функции $$\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \times {\widehat {\mathbb {Z} }}\to U(1),\,(q,a)\mapsto \chi (qa)$$где $\chi$ это персонаж Адель (представлен ниже) $\mathbf {A} _{\mathbb {Q} ,f}$ вызванный $\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \to U(1),\,\alpha \mapsto e^{2\pi i\alpha }$.

Отношения с Адель

Тензорное произведение ${\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$ — кольцо конечных аделей $$\mathbf {A} _{\mathbb {Q} ,f}={\prod _{p}}'\mathbb {Q} _{p}$$из $\mathbb {Q}$ где символ $'$ означает ограниченный продукт . То есть элемент — это последовательность, которая является целой, за исключением конечного числа мест. Существует изоморфизм $$\mathbf {A} _{\mathbb {Q} }\cong \mathbb {R} \times ({\hat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )$$

Приложения в теории Галуа и теории гомотопий Этала

Для алгебраического замыкания ${\overline {\mathbf {F} }}_{q}$ конечного поля $\mathbf {F} _{q}$ порядка q группа Галуа может быть вычислена явно. Из того факта ${\text{Gal}}(\mathbf {F} _{q^{n}}/\mathbf {F} _{q})\cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ где автоморфизмы задаются эндоморфизмом Фробениуса , группой Галуа алгебраического замыкания $\mathbf {F} _{q}$ задается обратным пределом групп $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$, поэтому ее группа Галуа изоморфна группе бесконечных целых чисел $$\operatorname {Gal} ({\overline {\mathbf {F} }}_{q}/\mathbf {F} _{q})\cong {\widehat {\mathbb {Z} }}$$что дает вычисление абсолютной группы Галуа конечного поля.

Связь с этальными фундаментальными группами алгебраических торов

Эту конструкцию можно интерпретировать по-разному. Один из них взят из теории гомотопий Этала , которая определяет фундаментальную группу Этале. $\pi _{1}^{et}(X)$ как бесконечное пополнение автоморфизмов $$\pi _{1}^{et}(X)=\lim _{i\in I}{\text{Aut}}(X_{i}/X)$$где $X_{i}\to X$ это кавер-версия Etale . Тогда проконечные целые числа изоморфны группе $$\pi _{1}^{et}({\text{Spec}}(\mathbf {F} _{q}))\cong {\hat {\mathbb {Z} }}$$из более раннего вычисления проконечной группы Галуа. Кроме того, существует вложение конечных целых чисел внутрь фундаментальной группы Этала алгебраического тора. $${\hat {\mathbb {Z} }}\hookrightarrow \pi _{1}^{et}(\mathbb {G} _{m})$$поскольку накрывающие карты происходят из полиномиальных отображений $$(\cdot )^{n}:\mathbb {G} _{m}\to \mathbb {G} _{m}$$из карты коммутативных колец $$f:\mathbb {Z} [x,x^{-1}]\to \mathbb {Z} [x,x^{-1}]$$ отправка $x\mapsto x^{n}$с $\mathbb {G} _{m}={\text{Spec}}(\mathbb {Z} [x,x^{-1}])$. Если алгебраический тор рассматривается над полем $k$, то фундаментальная группа Этале $\pi _{1}^{et}(\mathbb {G} _{m}/{\text{Spec(k)}})$ содержит действие ${\text{Gal}}({\overline {k}}/k)$ а также из фундаментальной точной последовательности в этальной теории гомотопий.

Теория полей классов и бесконечные целые числа

Теория полей классов — это раздел теории алгебраических чисел, изучающий абелевы расширения поля. Учитывая глобальное поле $\mathbb {Q}$, абелианизация ее абсолютной группы Галуа $${\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )^{ab}$$тесно связано с соответствующим кольцом аделей $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }$ и группа бесконечных целых чисел. В частности, существует карта, называемая картой Артина. $$\Psi _{\mathbb {Q} }:\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times }\to {\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )^{ab}$$что является изоморфизмом. Этот коэффициент можно определить явно как

$${\begin{aligned}\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times }&\cong (\mathbb {R} \times {\hat {\mathbb {Z} }})/\mathbb {Z} \\&={\underset {\leftarrow }{\lim }}\mathbb {(} {\mathbb {R} }/m\mathbb {Z} )\\&={\underset {x\mapsto x^{m}}{\lim }}S^{1}\\&={\hat {\mathbb {Z} }}\end{aligned}}$$

давая желаемое отношение. Аналогичное утверждение существует и для локальной теории полей классов, поскольку каждое конечное абелево расширение поля $K/\mathbb {Q} _{p}$ индуцируется из конечного расширения поля $\mathbb {F} _{p^{n}}/\mathbb {F} _{p}$.

См. также

• p-адическое число
• Кольцо Адели
• Сверхъестественное число

Ссылки

• Конн, Ален; Консани, Катерина (2015). «Геометрия арифметического узла». arXiv : 1502.05580 [ math.AG ].
• Милн, Дж. С. (23 марта 2013 г.). «Теория полей классов» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 19 июня 2013 г. Проверено 7 июня 2020 г.

Внешние ссылки

• http://ncatlab.org/nlab/show/profinite+completion+of+the+integers
• https://web.archive.org/web/20150401092904/http://www.noncommutative.org/supernatural-numbers-and-adeles/
• https://euro-math-soc.eu/system/files/news/Hendrik%20Lenstra_Profinite%20number%20theory.pdf