Гиперболический закон косинусов

В гиперболической геометрии «закон косинусов» — пара теорем, связывающих стороны и углы треугольников на гиперболической плоскости , аналогичный планарному закону косинусов из плоской тригонометрии или сферическому закону косинусов в сферической тригонометрии . Это также может быть связано с релятивистской формулой сложения скоростей .

История

Описывая соотношения гиперболической геометрии, Франц Таврин показал в 1826 г. что сферический закон косинусов может быть связан со сферами мнимого радиуса, таким образом, он пришел к гиперболическому закону косинусов в форме:

$$A=\operatorname {arccos} {\frac {\cos \left(\alpha {\sqrt {-1}}\right)-\cos \left(\beta {\sqrt {-1}}\right)\cos \left(\gamma {\sqrt {-1}}\right)}{\sin \left(\beta {\sqrt {-1}}\right)\sin \left(\gamma {\sqrt {-1}}\right)}}$$

что было показано и Николаем Лобачевским (1830 г.):

$$\cos A\sin b\sin c-\cos b\cos c=\cos a;\quad [a,\ b,\ c]\rightarrow \left[a{\sqrt {-1}},\ b{\sqrt {-1}},\ c{\sqrt {-1}}\right]$$

Фердинанд Миндинг дал это применительно к поверхностям постоянной отрицательной кривизны:

$$\cos a{\sqrt {k}}=\cos b{\sqrt {k}}\cdot \cos c{\sqrt {k}}+\sin b{\sqrt {k}}\cdot \sin c{\sqrt {k}}\cdot \cos A$$

как это сделал Дельфино Кодацци в 1857 году:

$$\cos \beta \,p\left({\frac {a}{r}}\right)p\left({\frac {s}{r}}\right)=q\left({\frac {a}{r}}\right)q\left({\frac {s}{r}}\right)-q\left({\frac {\lambda }{r}}\right),\quad \left[{\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}=p(t),\ {\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}=q(t)\right]$$

Связь с теорией относительности с использованием быстроты была показана Арнольдом Зоммерфельдом в 1909 году. и Владимир Варичак в 1910 году.

Гиперболические законы косинусов

Возьмем гиперболическую плоскость, гауссова кривизна которой равна ${\textstyle -{\frac {1}{k^{2}}}}$. Дан гиперболический треугольник $ABC$ с углами $\alpha ,\beta ,\gamma$ и длины сторон $BC=a$, $AC=b$, и $AB=c$, выполняются следующие два правила. Первый представляет собой аналог закона косинусов Евклида, выражающий длину одной стороны через две другие и угол между последними:

$\cosh {\frac {a}{k}}=\cosh {\frac {b}{k}}\cosh {\frac {c}{k}}-\sinh {\frac {b}{k}}\sinh {\frac {c}{k}}\cos \alpha ,$ ( 1 )

Второй закон не имеет евклидова аналога, поскольку выражает тот факт, что длины сторон гиперболического треугольника определяются внутренними углами:

$$\cos \alpha =-\cos \beta \cos \gamma +\sin \beta \sin \gamma \cosh {\frac {a}{k}}.$$

Хаузель указывает, что гиперболический закон косинусов подразумевает угол параллельности в случае идеального гиперболического треугольника:

Когда $\alpha =0,$ то есть, когда вершина A отклонена на бесконечность, а стороны BA и CA «параллельны», первый член равен 1; предположим дополнительно, что $\gamma =\pi /2$ так что $\cos \gamma =0$ и $\sin \gamma =1.$ Угол в точке B принимает значение β, определяемое формулой $1=\sin \beta \cosh(a/k);$ этот угол позже был назван «уголом параллельности» и Лобачевский отмечал его как « F ( a ) » или « Π( a )» .

Гиперболический закон Гаверсина

В случаях, когда $a/k$ мала, и при ее решении числовая точность стандартной формы гиперболического закона косинусов упадет из-за ошибок округления по той же причине, что и в сферическом законе косинусов . В этом случае может оказаться полезной гиперболическая версия закона гаверсинусов :

$$\sinh ^{2}{\frac {a}{2k}}=\sinh ^{2}{\frac {b-c}{2k}}+\sinh {\frac {b}{k}}\sinh {\frac {c}{k}}\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}},$$

Сложение релятивистской скорости посредством гиперболического закона косинусов

Параметр $\left[{\tfrac {a}{k}},\ {\tfrac {b}{k}},\ {\tfrac {c}{k}}\right]=\left[\xi ,\ \eta ,\ \zeta \right]$ в ( 1 ) и используя гиперболические тождества в терминах гиперболического тангенса , можно записать гиперболический закон косинусов:

${\begin{aligned}&&\cosh \xi &=\cosh \eta \cosh \zeta -\sinh \eta \sinh \zeta \cos \alpha \\&\Rightarrow &{\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\xi }}}&={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\eta }}}{\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\zeta }}}-{\frac {\tanh \eta }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\eta }}}{\frac {\tanh \zeta }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\zeta }}}\cos \alpha \\&\Rightarrow &\tanh \xi &={\frac {\sqrt {-\tanh ^{2}\zeta -\tanh ^{2}\eta +2\tanh \eta \tanh \zeta \cos \alpha +\left(\tanh \eta \tanh \zeta \sin \alpha \right)^{2}}}{1-\tanh \eta \tanh \zeta \cos \alpha }}\end{aligned}}$ ( 2 )

Для сравнения: формулы сложения скоростей для специальной теории относительности направлений x и y, а также под произвольным углом $\alpha$, где v — относительная скорость между двумя инерциальными системами отсчета , u — скорость другого объекта или системы отсчета, а c — скорость света , определяется выражением

$${\begin{aligned}&&\left[U_{x},\ U_{y}\right]&=\left[{\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},\ {\frac {u_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}}\right]\\&&U^{2}&=U_{x}^{2}+U_{y}^{2},\ u^{2}=u_{x}^{2}+u_{y}^{2},\ \tan \alpha ={\frac {u_{y}}{u_{x}}}\\&\Rightarrow &U&={\frac {\sqrt {-u^{2}-v^{2}+2vu\cos \alpha +\left({\frac {vu\sin \alpha }{c}}\right){}^{2}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u\cos \alpha }}\end{aligned}}$$

Оказывается, этот результат соответствует гиперболическому закону косинусов – путем отождествления $\left[\xi ,\ \eta ,\ \zeta \right]$ с релятивистскими быстротами ${\scriptstyle \left(\left[{\frac {U}{c}},\ {\frac {v}{c}},\ {\frac {u}{c}}\right]=\left[\tanh \xi ,\ \tanh \eta ,\ \tanh \zeta \right]\right)},$ уравнения в ( 2 ) принимают вид:

$${\begin{aligned}&&\cosh \xi &=\cosh \eta \cosh \zeta -\sinh \eta \sinh \zeta \cos \alpha \\&\Rightarrow &{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {U^{2}}{c^{2}}}}}}&={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}-{\frac {v/c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {u/c}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\cos \alpha \\&\Rightarrow &U&={\frac {\sqrt {-u^{2}-v^{2}+2vu\cos \alpha +\left({\frac {vu\sin \alpha }{c}}\right)^{2}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u\cos \alpha }}\end{aligned}}$$

См. также

• Гиперболический закон синусов
• Тригонометрия гиперболического треугольника
• История преобразований Лоренца

Ссылки

Библиография

• Андерсон, Джеймс В. (2005). Гиперболическая геометрия (2-е изд.). Лондон: Спрингер. ISBN  1-85233-934-9 .
• Барретт, Дж. Ф. (2019) [2006]. Гиперболическая теория относительности . arXiv : 1102.0462 .
• Бонола, Р. (1912). Неевклидова геометрия: критическое и историческое исследование ее развития . Чикаго: Открытый суд.
• Кодацци, Д. (1857). «О поверхностях, имеющих постоянное произведение двух радиусов кривизны» . Энн. Лыжный мат. Физ. (на итальянском языке). 8 : 351–354.
• Грей, Дж. (1979). «Неевклидова геометрия: новая интерпретация» . История Математики . 6 (3): 236–258. дои : 10.1016/0315-0860(79)90124-1 .
• Хаузель, Кристиан (1992). «Рождение неевклидовой геометрии». Ин Бой, Л.; Фламент, Д.; Саланскис, Дж. М. (ред.). 1830–1930: Век геометрии: эпистемология, история и математика . Конспект лекций по физике . Том. 402. Шпрингер-Верлаг . стр. 3–21. ISBN  3-540-55408-4 .
• Лобачевский, Н. (1898) [1830]. «О началах геометрии». В Энгеле, Ф.; Стекель, П. (ред.). Два геометрических трактата ( на немецком языке). Лейпциг: Тойбнер. стр. 21–65 .
• Миндинг, Ф. (1840). «Вклад в теорию кратчайших на криволинейных поверхностях» . Журнал чистой и прикладной математики . 20 :324.
• Паули, Вольфганг (1921). « Теория относительности». Энциклопедия математических наук (на немецком языке). 5 (2): 539–776.
• Паули, Вольфганг (1981) [1921]. «Теория относительности». Фундаментальные теории физики . 165 . Дуврские публикации. ISBN  0-486-64152-Х .
• Рид, Майлз ; Сендрой, Балаж (2005). Геометрия и топология . Издательство Кембриджского университета . §3.10 Гиперболические треугольники и триг. ISBN  0-521-61325-6 . МР   2194744 .
• Рейман, Иштван (1999). Геометрия и ее границы (на венгерском языке). это Kereskedőház Kft. Салай Кенивкиадо —  978-963-237-012-5 .
• Зоммерфельд, А. (1909). «О составе скоростей в теории относительности» [ О составе скоростей в теории относительности ]. Брак немецкий Физ. Гес (на немецком языке). 21 :577-582.
• Таурин, Франц Адольф (1826). Первые элементы геометрии. Он рассмотрел и добавил новые наблюдения [ Первые начала геометрии. Рассмотренные и новые добавленные наблюдения ] (на латыни). Кёльн: Бахем. п. 66.
• Варичак, Владимир (1912). «О неевклидовой интерпретации относительности теории » . Годовой отчет Немецкой ассоциации математиков (на немецком языке). 21 :103-127.

Внешние ссылки

• Неевклидова геометрия , Math Wiki в ТУ Берлина
• Скоростные композиции и быстрота на MathPages.