Формула сложения скоростей

Специальная теория относительности, сформулированная в 1905 году Альбертом Эйнштейном , предполагает, что сложение скоростей не ведет себя в соответствии с простым сложением векторов .

В релятивистской физике формула сложения скоростей представляет собой уравнение, которое определяет, как объединить скорости объектов таким образом, чтобы это соответствовало требованию, чтобы ни один объект не превышал скорость света . Такие формулы применимы к последовательным преобразованиям Лоренца , поэтому они также связывают разные системы отсчета. Сопутствующее добавление скорости представляет собой кинематический эффект, известный как прецессия Томаса , при котором последовательные неколлинеарные повышения Лоренца становятся эквивалентными составу вращения системы координат и повышения.

Стандартные применения формул сложения скоростей включают доплеровский сдвиг , доплеровскую навигацию , аберрацию света и увлечение света в движущейся воде, наблюдаемое в эксперименте Физо 1851 года .

В обозначениях используется u как скорость тела в системе Лоренца S , v как скорость во второй системе отсчета S ′ , измеренная в S , и u ′ как преобразованная скорость тела во второй системе отсчета.

История

Скорость света в жидкости медленнее, чем скорость света в вакууме, и она меняется, если жидкость движется вместе со светом. В 1851 году Физо измерил скорость света в жидкости, движущейся параллельно свету, с помощью интерферометра . Результаты Физо не соответствовали преобладавшим в то время теориям. Физо экспериментально правильно определил нулевой член разложения релятивистски правильного закона сложения через V ⁄ c, как описано ниже. Результат Физо заставил физиков признать эмпирическую обоснованность довольно неудовлетворительной теории Френеля о том, что жидкость, движущаяся относительно неподвижного эфира, частично увлекает за собой свет, т.е. скорость равна c ⁄ n + (1 − 1 ⁄ n ² ) V вместо c ⁄ n + V , где c — скорость света в эфире, n — показатель преломления жидкости, а V — скорость жидкости относительно эфира.

Аберрация света , самым простым объяснением которой является релятивистская формула сложения скоростей, вместе с результатом Физо спровоцировала развитие таких теорий, как Лоренца эфирная теория электромагнетизма в 1892 году. В 1905 году Альберт Эйнштейн , с появлением специальной теории относительности , вывел стандартная формула конфигурации ( V в x направлении ) для сложения релятивистских скоростей. Вопросы, связанные с эфиром, постепенно, с годами, были решены в пользу специальной теории относительности.

теория относительности Галилея

заметил Еще Галилей , что человек, находящийся на равномерно движущемся корабле, производит впечатление покоящегося и видит тяжелое тело, падающее вертикально вниз. Это наблюдение сейчас считается первым четким утверждением принципа механической относительности. Галилей видел, что с точки зрения человека, стоящего на берегу, движение корабля вниз будет сочетаться с движением корабля вперед или добавляться к нему. Говоря о скоростях, можно сказать, что скорость падающего тела относительно берега равна скорости этого тела относительно корабля плюс скорость корабля относительно берега.

В общем случае для трех объектов A (например, Галилей на берегу), B (например, корабль), C (например, падающее тело на корабль) вектор скорости $\mathbf {u}$ C относительно A (скорость падающего объекта, как его видит Галилей) является суммой скорости $\mathbf {u'}$ C относительно B (скорость падающего объекта относительно корабля) плюс скорость v B относительно A (скорость корабля от берега). Сложение здесь представляет собой векторное сложение векторной алгебры и результирующую скорость обычно представляют в виде

$$\mathbf {u} =\mathbf {v} +\mathbf {u'} .$$

Космос Галилея состоит из абсолютного пространства и времени и сложение скоростей соответствует композиции преобразований Галилея . Принцип относительности называется относительностью Галилея . Ему подчиняется механика Ньютона .

Специальная теория относительности

Согласно специальной теории относительности , система координат корабля имеет другую тактовую частоту и меру расстояния, а также меняется понятие одновременности в направлении движения, поэтому изменяется закон сложения скоростей. Это изменение незаметно при низких скоростях, но по мере увеличения скорости до скорости света оно становится важным. Закон сложения еще называют законом композиции скоростей . При коллинеарных движениях скорость объекта $u'$, например, пушечное ядро, выпущенное горизонтально в море, если измерять его с корабля, движущегося со скоростью $v$, можно было бы измерить, если бы кто-то стоял на берегу и наблюдал за всей сценой в телескоп, как $$u={v+u' \over 1+(vu'/c^{2})}.$$Формула состава может принимать алгебраически эквивалентную форму, которую легко вывести, используя только принцип постоянства скорости света: $${c-u \over c+u}=\left({c-u' \over c+u'}\right)\left({c-v \over c+v}\right).$$Космос специальной теории относительности состоит из пространства-времени Минковского , и сложение скоростей соответствует композиции преобразований Лоренца . В специальной теории относительности ньютоновская механика видоизменяется в релятивистскую механику .

Стандартная конфигурация

Формулы для повышения в стандартной конфигурации наиболее прямо следуют из расчета дифференциалов обратного повышения Лоренца в стандартной конфигурации. Если грунтованная рама движется со скоростью $v$ с фактором Лоренца ${\textstyle \gamma _{_{v}}=1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ в положительном x направлении относительно системы без штриха, то дифференциалы равны

$$dx=\gamma _{_{v}}(dx'+vdt'),\quad dy=dy',\quad dz=dz',\quad dt=\gamma _{_{v}}\left(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx'\right).$$

Разделим первые три уравнения на четвертое,

$${\frac {dx}{dt}}={\frac {\gamma _{_{v}}(dx'+vdt')}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},\quad {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy'}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},\quad {\frac {dz}{dt}}={\frac {dz'}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},$$

или

$$u_{x}={\frac {dx}{dt}}={\frac {{\frac {dx'}{dt'}}+v}{(1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},\quad u_{y}={\frac {dy}{dt}}={\frac {\frac {dy'}{dt'}}{\gamma _{_{v}}\ (1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},\quad u_{z}={\frac {dz}{dt}}={\frac {\frac {dz'}{dt'}}{\gamma _{_{v}}\ (1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},$$

который

Преобразование скорости ( декартовы компоненты )

$$u_{x}={\frac {u_{x}'+v}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{x}'={\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},$$$$u_{y}={\frac {u_{y}'{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{y}'={\frac {u_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},$$$$u_{z}={\frac {u_{z}'{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{z}'={\frac {u_{z}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},$$

в котором выражения для штрихованных скоростей были получены по стандартному рецепту путем замены v на – v и замены штрихованных и нештрихованных координат местами. Если координаты выбраны так, что все скорости лежат в (общей) плоскости x – y , то скорости можно выразить как $$u_{x}=u\cos \theta ,u_{y}=u\sin \theta ,\quad u_{x}'=u'\cos \theta ',\quad u_{y}'=u'\sin \theta ',$$(см. полярные координаты ), и можно найти

Преобразование скорости ( плоские полярные компоненты )

$$u={\frac {\sqrt {u'^{2}+v^{2}+2vu'\cos \theta '-\left({\frac {vu'\sin \theta '}{c}}\right)^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u'\cos \theta '}},$$$\tan \theta ={\frac {u_{y}}{u_{x}}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}u_{y}'}{u_{x}'+v}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}u'\sin \theta '}{u'\cos \theta '+v}}.$

показывать

Подробности для тебя

$${\begin{aligned}u&={\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}}={\frac {\sqrt {(u_{x}'+v)^{2}+(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})u_{y}'^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}}={\frac {\sqrt {u_{x}'^{2}+v^{2}+2u_{x}'v+(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})u_{y}'^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}}\\&={\frac {\sqrt {u'^{2}\cos ^{2}\theta '+v^{2}+2vu'\cos \theta '+u'^{2}\sin ^{2}\theta '-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}u'^{2}\sin ^{2}\theta '}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}}\\&={\frac {\sqrt {u'^{2}+v^{2}+2vu'\cos \theta '-({\frac {vu'\sin \theta '}{c}})^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u'\cos \theta '}}\end{aligned}}$$

---

Приведенное доказательство весьма формально. Есть и другие, более сложные доказательства, которые могут быть более информативными, например, приведенное ниже.

Доказательство с использованием 4 -векторов и матриц преобразования Лоренца.

Поскольку релятивистское преобразование вращает пространство и время друг в друге так же, как геометрические вращения в плоскости вращают оси x и y , удобно использовать одни и те же единицы для пространства и времени, в противном случае во всех релятивистских формулах появляется коэффициент преобразования единиц: являющаяся скоростью света . В системе, где длина и время измеряются в одних и тех же единицах, скорость света безразмерна и равна 1 . Тогда скорость выражается как доля скорости света.

Чтобы найти закон релятивистского преобразования, полезно ввести четырехскорости V = ( V ₀ , V ₁ , 0, 0) , которые представляют собой движение корабля от берега, измеренное от берега, и U ′ = ( U′ ₀ , U′ ₁ , U′ ₂ , U′ ₃ ) , что представляет собой движение мухи от корабля, измеренное от корабля. Четырехскоростная скорость определяется как четырехвектор с релятивистской длиной, равной 1 , направленный в будущее и касающийся мировой линии объекта в пространстве-времени. Здесь V ₀ соответствует временной составляющей, а V ₁ — x- компоненте скорости корабля, если смотреть с берега. удобно принять За ось x направление движения корабля от берега, а за ось y — так, чтобы плоскость x – y представляла собой плоскость, охватываемую движением корабля и мухи. Это приводит к тому, что некоторые компоненты скоростей становятся равными нулю: В ₂ = В ₃ = U′ ₃ = 0

Обычная скорость представляет собой отношение скорости увеличения пространственных координат к скорости увеличения временной координаты:

$${\begin{aligned}\mathbf {v} &=(v_{1},v_{2},v_{3})=(V_{1}/V_{0},0,0),\\\mathbf {u} '&=(u'_{1},u'_{2},u'_{3})=(U'_{1}/U'_{0},U'_{2}/U'_{0},0)\end{aligned}}$$

Поскольку релятивистская длина V равна 1 , $$V_{0}^{2}-V_{1}^{2}=1,$$так $$V_{0}=1/{\sqrt {1-v_{1}^{2}}}\ =\gamma ,\quad V_{1}=v_{1}/{\sqrt {1-v_{1}^{2}}}=v_{1}\gamma .$$

Матрица преобразования Лоренца, которая преобразует скорости, измеренные в системе координат корабля, в систему координат берега, является обратной преобразованию, описанному на странице преобразования Лоренца , поэтому знаки минус, которые там появляются, должны быть инвертированы здесь:

$${\begin{pmatrix}\gamma &v_{1}\gamma &0&0\\v_{1}\gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$$

Эта матрица вращает чистый вектор оси времени (1, 0, 0, 0) в ( V ₀ , V ₁ , 0, 0) , и все ее столбцы релятивистски ортогональны друг другу, поэтому она определяет преобразование Лоренца.

Если муха движется с четырехскоростностью U' в системе координат корабля, и ее скорость увеличивается за счет умножения на приведенную выше матрицу, новая четырехскоростная скорость в системе береговой системы равна U = ( U ₀ , U ₁ , U ₂ , U ₃ ) , $${\begin{aligned}U_{0}&=V_{0}U'_{0}+V_{1}U'_{1},\\U_{1}&=V_{1}U'_{0}+V_{0}U'_{1},\\U_{2}&=U'_{2},\\U_{3}&=U'_{3}.\end{aligned}}$$

Деление на временную составляющую U ₀ и замена компонентов четырехвекторов U' и V на компоненты трехвекторов u' и v дает релятивистский закон композиции как

$${\begin{aligned}u_{1}&={v_{1}+u'_{1} \over 1+v_{1}u'_{1}},\\u_{2}&={u'_{2} \over (1+v_{1}u'_{1})}{1 \over V_{0}}={u'_{2} \over 1+v_{1}u'_{1}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}}},\\u_{3}&=0\end{aligned}}$$

Форму закона релятивистской композиции можно понимать как эффект нарушения одновременности на расстоянии. Для параллельного компонента замедление времени уменьшает скорость, сокращение длины увеличивает ее, и оба эффекта компенсируются. Нарушение одновременности означает, что муха меняет кусочки одновременности как проекцию u' на v . Поскольку этот эффект полностью обусловлен разделением времени, тот же коэффициент умножает перпендикулярную составляющую, но для перпендикулярной составляющей нет сокращения длины, поэтому замедление времени умножается на коэффициент 1 ⁄ V ₀ знак равно √ (1 - v ₁ ² ) .

Общая конфигурация

Разложение 3-скорости u на параллельные и перпендикулярные компоненты и их вычисление. Процедура для u . идентична

Начиная с выражения в координатах для v, параллельного x оси , выражения для перпендикулярных и параллельных компонентов можно преобразовать в векторную форму следующим образом: трюк, который также работает для преобразований Лоренца других трехмерных физических величин, изначально установленных в стандартной конфигурации. . Введите вектор скорости u в системе без штриха и u ′ в системе со штрихом и разделите их на компоненты, параллельные (∥) и перпендикулярные (⊥) вектору относительной скорости v (см. скрытый блок ниже), таким образом $$\mathbf {u} =\mathbf {u} _{\parallel }+\mathbf {u} _{\perp },\quad \mathbf {u} '=\mathbf {u} '_{\parallel }+\mathbf {u} '_{\perp },$$затем с помощью обычных стандартных базисных векторов ex _{декартовых} , e _y , e _z установите скорость в системе без штриха как $$\mathbf {u} _{\parallel }=u_{x}\mathbf {e} _{x},\quad \mathbf {u} _{\perp }=u_{y}\mathbf {e} _{y}+u_{z}\mathbf {e} _{z},\quad \mathbf {v} =v\mathbf {e} _{x},$$что дает, используя результаты для стандартной конфигурации, $$\mathbf {u} _{\parallel }={\frac {\mathbf {u} _{\parallel }'+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}},\quad \mathbf {u} _{\perp }={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\mathbf {u} _{\perp }'}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}}.$$где · – скалярное произведение . Поскольку это векторные уравнения, они по-прежнему имеют одинаковую форму для v в любом направлении. Единственное отличие от координатных выражений состоит в том, что приведенные выше выражения относятся к векторам , а не к компонентам.

Получается

$$\mathbf {u} =\mathbf {u} _{\parallel }+\mathbf {u} _{\perp }={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1-\alpha _{v}){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v} \right]\equiv \mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ',$$

где α _v = 1/ γ _v — величина, обратная фактору Лоренца . Порядок операндов в определении выбран так, чтобы он совпадал со стандартной конфигурацией, на основе которой получена формула.

показывать

Алгебра

$${\begin{aligned}{\frac {\mathbf {u} '_{\parallel }+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}+{\frac {\alpha _{v}\mathbf {u} '_{\perp }}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}&={\frac {\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}+{\frac {\alpha _{v}\mathbf {u} '-\alpha _{v}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\\&={\frac {1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}(1-\alpha _{v})}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '\\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}/c^{2}}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{(1-\alpha _{v})(1+\alpha _{v})}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1-\alpha _{v}){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v} \right].\end{aligned}}$$

---

показывать

Разложение на параллельные и перпендикулярные составляющие по V

Either the parallel or the perpendicular component for each vector needs to be found, since the other component will be eliminated by substitution of the full vectors.

The parallel component of u′ can be found by projecting the full vector into the direction of the relative motion$$\mathbf {u} '_{\parallel }={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} ,$$and the perpendicular component of u'′ can be found by the geometric properties of the cross product (see figure above right),$$\mathbf {u} '_{\perp }=-{\frac {\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')}{v^{2}}}.$$

In each case, v/v is a unit vector in the direction of relative motion.

The expressions for u_|| and u_⊥ can be found in the same way. Substituting the parallel component into$$\mathbf {u} ={\frac {\mathbf {u} _{\parallel }'+\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}}+{\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}(\mathbf {u} -\mathbf {u} _{\parallel }')}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}},$$

results in the above equation.

---

Использование личности в $\alpha _{v}$ и $\gamma _{v}$,

$${\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '\equiv \mathbf {u} &={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {u} '}{\gamma _{v}}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')\right],\end{aligned}}$$и в прямом (v положительном, S → S') направлении. $${\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \equiv \mathbf {u} '&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {u} }{\gamma _{v}}}-\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\\&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {u} -\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} )\right]\end{aligned}}$$

где последнее выражение получено по стандартной формуле векторного анализа v × ( v × u ) знак равно ( v ⋅ ты ) v - ( v ⋅ v ) ты . Первое выражение распространяется на любое количество пространственных измерений, но векторное произведение определяется только в трех измерениях. Объекты A , B , C, где B имеет скорость v относительно A , а C имеет скорость u относительно A, могут быть чем угодно. В частности, это могут быть три кадра, а могут быть лаборатория, распадающаяся частица и один из продуктов распада распадающейся частицы.

Характеристики

Релятивистское сложение 3-скоростей нелинейно , поэтому в общем случае $$(\lambda \mathbf {v} )\oplus (\lambda \mathbf {u} )\neq \lambda (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ),$$для вещественного числа λ , хотя верно, что $$(-\mathbf {v} )\oplus (-\mathbf {u} )=-(\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ),$$

Кроме того, ввиду последних членов, вообще говоря, не является ни коммутативным $$\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \neq \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ,$$ни ассоциативный $$\mathbf {v} \oplus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {w} )\neq (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )\oplus \mathbf {w} .$$

Заслуживает особого упоминания, что если u и v′ относятся к скоростям попарно параллельных систем отсчета (штрихованный параллельно нештрихованному и дважды штрихованный параллельно штрихованному), то, согласно принципу взаимности скоростей Эйнштейна, незаштрихованная система движется со скоростью − u относительно системы координат. кадр со штрихом, а кадр со штрихом движется со скоростью - v' относительно кадра со штрихом дважды, следовательно (- v' ⊕ - u ) - это скорость кадра без штриха относительно кадра со штрихом дважды, и можно ожидать, что u ⊕ v′ = −(− v′ ⊕ − u ) путем наивного применения принципа взаимности. Это неверно, хотя величины равны. Рамки без штриха и с двойным штрихом не параллельны, а связаны поворотом. Это связано с явлением прецессии Томаса и далее здесь не рассматривается.

Нормы даны $$|\mathbf {u} |^{2}\equiv |\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '|^{2}={\frac {1}{\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {v} +\mathbf {u} '\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} '\right)^{2}\right]=|\mathbf {u} '\oplus \mathbf {v} |^{2}.$$и $$|\mathbf {u} '|^{2}\equiv |\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} |^{2}={\frac {1}{\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {u} -\mathbf {v} \right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} \right)^{2}\right]=|\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} |^{2}.$$

Доказательство

$${\begin{aligned}&\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}|\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '|^{2}\\&=\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')\right]^{2}\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {1}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )^{2}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {v^{2}}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(1-\alpha _{v})(1+\alpha _{v})}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(\gamma _{v}-1)}{c^{2}(\gamma _{v}+1)}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(1-\gamma _{v})}{c^{2}(\gamma _{v}+1)}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}+1}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}|\mathbf {v} \times \mathbf {u} '|^{2}\end{aligned}}$$Обратная формула находится с помощью стандартной процедуры замены v на -v и u на u′ .

Понятно, что некоммутативность проявляется в дополнительном повороте системы координат при использовании двух бустов, поскольку квадрат нормы одинаков для обоих порядков бустов.

Гамма-факторы для комбинированных скоростей вычисляются как $$\gamma _{u}=\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '}=\left[1-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\left((\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})\right)\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\gamma _{v}\gamma _{u}'\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right),\quad \quad \gamma _{u}'=\gamma _{v}\gamma _{u}\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)$$

Подробное доказательство

$${\begin{aligned}\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '}&=\left[{\frac {c^{3}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}-(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^{2}(1+2{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}})-v^{2}-u'^{2}-2(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')+{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {1+2{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2}{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')+{\frac {1}{c^{4}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {1+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}+{\frac {1}{c^{4}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}\right)}{\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\left[{\frac {1}{\gamma _{v}^{2}\gamma _{u}'^{2}\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\gamma _{v}\gamma _{u}'\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}$$

Обратная формула находится с помощью стандартной процедуры замены v на − v и u на u′ .

Соглашения об обозначениях

Обозначения и соглашения о добавлении скорости варьируются от автора к автору. Для операции или для задействованных скоростей могут использоваться разные символы, и операнды могут переключаться для одного и того же выражения, или символы могут переключаться для одной и той же скорости. Для преобразованной скорости также может использоваться совершенно отдельный символ, а не простое число, используемое здесь. Поскольку сложение скоростей некоммутативно, невозможно переключать операнды или символы без изменения результата.

Примеры альтернативных обозначений включают:

Нет конкретного операнда

Ландау и Лифшиц (2002) (с использованием единиц, где c = 1) $$|\mathbf {v_{rel}} |^{2}={\frac {1}{(1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} )^{2}}}\left[(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}\right]$$

Порядок операндов слева направо

Мокану (1992) $$\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]$$

Унгар (1988) $$\mathbf {u} *\mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]$$

Порядок операндов справа налево

Сексл и Урбантке (2001) $$\mathbf {w} \circ \mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {w} }{\gamma _{\mathbf {v} }}}+\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}(\mathbf {w} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]$$

Приложения

Некоторые классические применения формул сложения скоростей, доплеровского сдвига, аберрации света и увлечения света в движущейся воде, дающие релятивистски обоснованные выражения для этих явлений, подробно описаны ниже. Можно также использовать формулу сложения скоростей, предполагая сохранение импульса (путем обращения к обычной вращательной инвариантности), правильную форму 3 -векторной части 4-вектора импульса , не прибегая к электромагнетизму, или априори неизвестную. быть действительными релятивистскими версиями лагранжева формализма . Это предполагает, что экспериментаторы отскакивают релятивистские бильярдные шары друг от друга. Здесь это не подробно описано, но см. для справки Льюиса и Толмана (1909) версию Wikisource (основной источник) и Сард (1970 , раздел 3.2).

Эксперимент Физо

Ипполит Физо (1819–1896), французский физик, в 1851 году первым измерил скорость света в текущей воде.

Основная статья: Эксперимент Физо

Когда свет распространяется в среде, его скорость в остальной системе отсчета среды уменьшается до c _m = c ⁄ n _m , где n _m — показатель преломления среды m . Скорость света в среде, равномерно движущейся со скоростью V в положительном направлении x, измеренная в лабораторной системе отсчета, определяется непосредственно формулами сложения скоростей. Для прямого направления (стандартная конфигурация, индекс падения m на n ) получаем: $${\begin{aligned}c_{m}&={\frac {V+c_{m}'}{1+{\frac {Vc_{m}'}{c^{2}}}}}={\frac {V+{\frac {c}{n}}}{1+{\frac {Vc}{nc^{2}}}}}={\frac {c}{n}}{\frac {1+{\frac {nV}{c}}}{1+{\frac {V}{nc}}}}\\&={\frac {c}{n}}\left(1+{\frac {nV}{c}}\right){\frac {1}{1+{\frac {V}{nc}}}}=\left({\frac {c}{n}}+V\right)\left(1-{\frac {V}{nc}}+\left({\frac {V}{nc}}\right)^{2}-\cdots \right).\end{aligned}}$$

Явно собирая крупнейшие взносы, $$c_{m}={\frac {c}{n}}+V\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {V}{nc}}+\cdots \right).$$Физо нашел первые три члена. Классический результат — первые два члена.

Аберрация света

Основная статья: Аберрация света

Другое базовое применение — рассмотрение отклонения света, то есть изменения его направления, при преобразовании в новую систему отсчета с параллельными осями, называемое аберрацией света . В этом случае v ′ = v = c , и подстановка в формулу для tan θ дает $$\tan \theta ={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}c\sin \theta '}{c\cos \theta '+V}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\cos \theta '+{\frac {V}{c}}}}.$$

В этом случае можно также вычислить sin θ и cos θ по стандартным формулам: $$\sin \theta ={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},$$

показывать

Тригонометрия

$${\begin{aligned}{\frac {v_{y}}{v}}&={\frac {\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}v_{y}'}{1+{\frac {V}{c^{2}}}v_{x}'}}{\frac {\sqrt {v'^{2}+V^{2}+2Vv'\cos \theta '-({\frac {Vv'\sin \theta '}{c}})^{2}}}{1+{\frac {V}{c^{2}}}v'\cos \theta '}}}\\&={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+V^{2}+2Vc\cos \theta '-V^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+V^{2}+2Vc\cos \theta '-V^{2}(1-\cos ^{2}\theta ')}}}={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+2Vc\cos \theta '+V^{2}\cos ^{2}\theta '}}}\\&={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},\end{aligned}}$$

---

$$\cos \theta ={\frac {{\frac {V}{c}}+\cos \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},$$

Джеймс Брэдли (1693–1762) из ​​ФРС дал объяснение аберрации света, правильное на классическом уровне. в противоречии с более поздними теориями, преобладавшими в девятнадцатом веке, основанными на существовании эфира .

тригонометрические манипуляции по существу идентичны в случае cos манипуляциям в случае sin . Рассмотрим разницу,

$${\begin{aligned}\sin \theta -\sin \theta '&=\sin \theta '\left({\frac {\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}}-1\right)\\&\approx \sin \theta '\left(1-{\frac {V}{c}}\cos \theta '-1\right)=-{\frac {V}{c}}\sin \theta '\cos \theta ',\end{aligned}}$$правильно заказать v ⁄ c . Чтобы выполнить аппроксимацию малых углов, используйте тригонометрическую формулу: $$\sin \theta '-\sin \theta =2\sin {\frac {1}{2}}(\theta '-\theta )\cos {\frac {1}{2}}(\theta +\theta ')\approx (\theta '-\theta )\cos \theta ',$$где потому что ⁠ 1 / 2 ⁠ ( θ + θ ′) ≈ потому что θ ′, грех ⁠ 1 / 2 ⁠ ( θ - θ ′) ≈ ⁠ 1/2 − были ⁠ ( θ . θ ′) использованы

Таким образом, количество $$\Delta \theta \equiv \theta '-\theta ={\frac {V}{c}}\sin \theta ',$$классический угол аберрации , получается в пределе V ⁄ c → 0 .

Релятивистский доплеровский сдвиг

Кристиан Допплер (1803–1853) был австрийским математиком и физиком, который обнаружил, что наблюдаемая частота волны зависит от относительной скорости источника и наблюдателя.

Основная статья: Релятивистский эффект Доплера

Здесь компоненты скорости будут использоваться вместо скорости для большей общности и для того, чтобы избежать, возможно, специального введения знаков минус. Встречающиеся здесь знаки минус вместо этого будут служить для освещения объектов, когда рассматриваются скорости, меньшие скорости света.

Для световых волн в вакууме замедления времени вместе с простым геометрическим наблюдением достаточно, чтобы вычислить доплеровский сдвиг в стандартной конфигурации (коллинеарная относительная скорость излучателя и наблюдателя, а также наблюдаемой световой волны).

Все скорости в дальнейшем параллельны общему положительному x направлению , поэтому индексы у компонентов скорости опускаются. В системе наблюдателей введите геометрическое наблюдение

$$\lambda =-sT+VT=(-s+V)T$$

как пространственное расстояние или длина волны между двумя импульсами (гребнями волн), где T — время, прошедшее между испусканием двух импульсов. Время, прошедшее между прохождением двух импульсов в одной и той же точке пространства, представляет собой период времени τ , а его обратная величина ν = 1 ⁄ τ — наблюдаемая (временная) частота . Соответствующие величины в системе эмиттеров обозначаются штрихами.

Для легких волн $$s=s'=-c,$$и наблюдаемая частота $$\nu ={-s \over \lambda }={-s \over (V-s)T}={c \over (V+c)\gamma _{_{V}}T'}=\nu '{\frac {c{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}{c+V}}=\nu '{\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,.$$где T = γ _V T ′ — стандартная формула замедления времени .

Вместо этого предположим, что волна состоит не из световых волн со скоростью c , а вместо этого, для удобства визуализации, из пуль, выпущенных из релятивистского пулемета, со скоростью s ′ в системе координат излучателя. Тогда, в общем, геометрическое наблюдение точно такое же . Но теперь s ′ ≠ s , а s определяется сложением скоростей: $$s={\frac {s'+V}{1+{s'V \over c^{2}}}}.$$

В этом случае расчет по существу тот же, за исключением того, что здесь его легче проводить в перевернутом виде с τ = 1 ⁄ ν вместо ν . Можно найти

$\tau ={1 \over \gamma _{_{V}}\nu '}\left({\frac {1}{1+{V \over s'}}}\right),\quad \nu =\gamma _{_{V}}\nu '\left(1+{V \over s'}\right)$

показывать

Подробности в выводе

$${\begin{aligned}{L \over -s}&={\frac {\left({\frac {-s'-V}{1+{s'V \over c^{2}}}}+V\right)T}{\frac {-s'-V}{1+{s'V \over c^{2}}}}}\\&={\gamma _{_{V}} \over \nu '}{\frac {-s'-V+V(1+{s'V \over c^{2}})}{-s'-V}}\\&={\gamma _{_{V}} \over \nu '}\left({\frac {s'\left(1-{V^{2} \over c^{2}}\right)}{s'+V}}\right)\\&={\gamma _{_{V}} \over \nu '}\left({\frac {s'\gamma ^{-2}}{s'+V}}\right)\\&={1 \over \gamma _{_{V}}\nu '}\left({\frac {1}{1+{V \over s'}}}\right).\\\end{aligned}}$$

---

Обратите внимание, что в типичном случае s ′ входящее отрицательное . Однако формула имеет общую применимость. Когда s ′ = − c , формула сводится к формуле, рассчитанной непосредственно для световых волн выше:

$$\nu =\nu '\gamma _{_{V}}(1-\beta )=\nu '{\frac {1-\beta }{{\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}}=\nu '{\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,.$$

Если излучатель не стреляет пулями в пустое пространство, а излучает волны в среде, то формула по-прежнему применима , но теперь может потребоваться сначала вычислить s ′ по скорости излучателя относительно среды.

Возвращаясь к случаю излучателя света, в случае, когда наблюдатель и излучатель не лежат на одной прямой, результат мало изменится: $$\nu =\gamma _{_{V}}\nu '\left(1+{\frac {V}{s'}}\cos \theta \right),$$где θ — угол между излучателем света и наблюдателем. Это сводится к предыдущему результату для коллинеарного движения, когда θ = 0 , но для поперечного движения, соответствующего θ = π /2 , частота смещается на коэффициент Лоренца . Этого не происходит при классическом оптическом эффекте Доплера.

Гиперболическая геометрия

Функции sinh , cosh и tanh . Функция tanh связывает быстроту −∞ < ς < +∞ с релятивистской скоростью −1 < β < +1 .

Связано с релятивистской скоростью ${\boldsymbol {\beta }}$ предмета – это количество ${\boldsymbol {\zeta }}$ норма которого называется быстротой . Они связаны через $${\mathfrak {so}}(3,1)\supset \mathrm {span} \{K_{1},K_{2},K_{3}\}\approx \mathbb {R} ^{3}\ni {\boldsymbol {\zeta }}={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {B} ^{3},$$где вектор ${\boldsymbol {\zeta }}$ считается декартовыми координатами в трехмерном подпространстве алгебры Ли. ${\mathfrak {so}}(3,1)$ группы Лоренца, охватываемой бустерными генераторами $K_{1},K_{2},K_{3}$. Это пространство, назовем его быстроты , изоморфно ℝ пространством ³ как векторное пространство и отображается в открытый единичный шар, $\mathbb {B} ^{3}$, пространство скоростей через приведенное выше соотношение. Закон сложения по коллинеарной форме совпадает с законом сложения гиперболических тангенсов. $$\tanh(\zeta _{v}+\zeta _{u'})={\tanh \zeta _{v}+\tanh \zeta _{u'} \over 1+\tanh \zeta _{v}\tanh \zeta _{u'}}$$с $${\frac {v}{c}}=\tanh \zeta _{v}\ ,\quad {\frac {u'}{c}}=\tanh \zeta _{u'}\ ,\quad \,{\frac {u}{c}}=\tanh(\zeta _{v}+\zeta _{u'}).$$

Линейный элемент в пространстве скоростей $\mathbb {B} ^{3}$ следует из выражения для релятивистской относительной скорости в любой системе отсчёта: $$v_{r}={\frac {\sqrt {(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}}}{1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} }},$$где скорость света равна единице, так что $v_{i}$ и $\beta _{i}$ соглашаться. Это выражение, $\mathbf {v} _{1}$ и $\mathbf {v} _{2}$ — скорости двух объектов в любой данной системе отсчета. Количество $v_{r}$ — это скорость одного или другого объекта относительно другого объекта, видимого в данном кадре . Выражение является лоренц-инвариантным, т.е. не зависит от того, в каком кадре находится данный кадр, но вычисляемая величина не равна . Например, если данный кадр является остаточным кадром первого объекта, то $v_{r}=v_{2}$.

Линейный элемент можно найти, поместив $\mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}+d\mathbf {v}$ или эквивалентно ${\boldsymbol {\beta }}_{2}={\boldsymbol {\beta }}_{1}+d{\boldsymbol {\beta }}$,

$$dl_{\boldsymbol {\beta }}^{2}={\frac {d{\boldsymbol {\beta }}^{2}-({\boldsymbol {\beta }}\times d{\boldsymbol {\beta }})^{2}}{(1-\beta ^{2})^{2}}}={\frac {d\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2})^{2}}}+{\frac {\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}),$$

с θ и φ — обычные сферические угловые координаты для ${\boldsymbol {\beta }}$ взято в направлении z . Теперь введем ζ через

$$\zeta =|{\boldsymbol {\zeta }}|=\tanh ^{-1}\beta ,$$

и линейный элемент в пространстве быстрот $\mathbb {R} ^{3}$ становится

$$dl_{\boldsymbol {\zeta }}^{2}=d\zeta ^{2}+\sinh ^{2}\zeta (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}).$$

Столкновения релятивистских частиц

В экспериментах по рассеянию основной целью является измерение инвариантного сечения рассеяния . Это входит в формулу рассеяния двух типов частиц в конечное состояние. $f$ предполагается, что он имеет две или более частицы,

$$dN_{f}=R_{f}\,dV\,dt=\sigma F\,dV\,dt$$

или, в большинстве учебников,

$$dN_{f}=\sigma n_{1}n_{2}v_{r}\,dV\,dt$$

где

• $dVdt$ - объем пространства-времени. Это инвариант относительно преобразований Лоренца.
• $dN_{f}$ - общее количество реакций, приводящих к конечному состоянию $f$ в объёме пространства-времени $dVdt$. Будучи числом, оно инвариантно при одного и того же объема пространства-времени. рассмотрении
• $R_{f}=F\sigma$ количество реакций, приводящих к конечному состоянию $f$ на единицу пространства-времени или скорость реакции . Это инвариант.
• $F=n_{1}n_{2}v_{r}$ называется падающим потоком . Это должно быть инвариантным, но не в самых общих условиях.
• $\sigma$ – сечение рассеяния. Требуется быть инвариантным.
• $n_{1},n_{2}$ – плотности частиц в падающих пучках. Они не инвариантны, что ясно из-за сокращения длины .
• $v_{r}=|\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}|$ - относительная скорость двух падающих лучей. Это не может быть инвариантным, поскольку $F=n_{1}n_{2}v_{r}$ обязательно должно быть так.

Цель состоит в том, чтобы найти правильное выражение для релятивистской относительной скорости. $v_{rel}$ и инвариантное выражение для падающего потока.

С нерелятивистской точки зрения, для относительной скорости $v_{r}=|\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}|$. Если система, в которой измеряются скорости, является системой покоя типа частицы $1$, требуется, чтобы $v_{rel}=v_{r}=|\mathbf {v} _{2}|.$ Установка скорости света $c=1$, выражение для $v_{rel}$ Из формулы нормы (вторая формула) в общей конфигурации непосредственно следует как

$$v_{\text{rel}}={\frac {\sqrt {(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}}}{1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} }}.$$

В классическом пределе формула сводится к $v_{r}=|\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}|$ как надо, и дает правильный результат в остальных кадрах частиц. Относительная скорость неверно указана в большинстве, а возможно, и во всех книгах по физике элементарных частиц и квантовой теории поля. По большей части это безобидно, поскольку если либо один тип частиц неподвижен, либо относительное движение коллинеарно, то правильный результат получается из неправильных формул. Формула инвариантна, но это не очевидно. Его можно переписать в терминах четырех скоростей как

$$v_{\text{rel}}={\frac {\sqrt {(u_{1}\cdot u_{2})^{2}-1}}{u_{1}\cdot u_{2}}}.$$

Правильное выражение для потока, опубликованное Кристианом Мёллером. в 1945 году дает

$$F=n_{1}n_{2}{\sqrt {(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})^{2}-(\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2})^{2}}}\equiv n_{1}n_{2}{\bar {v}}.$$

Отметим, что для коллинеарных скоростей $F=n_{1}n_{2}|\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}|=n_{1}n_{2}v_{r}$. Чтобы получить явно лоренц-инвариантное выражение, пишут $J_{i}=(n_{i},n_{i}\mathbf {v} _{i})$ с $n_{i}=\gamma _{i}n_{i}^{0}$, где $n_{i}^{0}$- плотность в системе покоя для потоков отдельных частиц, которая достигает

$$F=(J_{1}\cdot J_{2})v_{\text{rel}}.$$

В литературе количество ${\bar {v}}$ а также $v_{r}$ оба называются относительной скоростью. В некоторых случаях (статистическая физика и литература по темной материи) ${\bar {v}}$ называется скоростью Мёллера , и в этом случае $v_{r}$ означает относительную скорость. Истинная относительная скорость во всяком случае $v_{rel}$. Расхождение между $v_{rel}$ и $v_{r}$ актуально, хотя в большинстве случаев скорости коллинеарны. На БАКе угол пересечения невелик, около 300 мкрад , но настарое Пересекающееся накопитель в ЦЕРН , было около 18 ^◦ .

См. также

• Гиперболический закон косинусов
• Бикватернион
• Относительная скорость

Ссылки

• Каннони, Мирко (2017). «Лоренц-инвариантная относительная скорость и релятивистские двойные столкновения». Международный журнал современной физики А. 32 (2n03): 1730002.arXiv : 1605.00569 . Бибкод : 2017IJMPA..3230002C . дои : 10.1142/S0217751X17300022 . S2CID   119223742 – через World Scientific .
• Эйнштейн, А. (1905). «К электродинамике движущихся тел » (PDF) . Анналы физики . 10 (322): 891–921. Бибкод : 1905АнП...322..891Е . дои : 10.1002/andp.19053221004 .
• Фок, Вирджиния (1964). Теория пространства, времени и гравитации (2-е изд.). Elsevier Наука и технологии. ISBN  978-0-08-010061-6 – через ScienceDirect .
• Французский, AP (1968). Специальная теория относительности . Вводная серия по физике Массачусетского технологического института. WW Нортон и компания . ISBN  978-0-393-09793-1 .
• Фридман, Яаков; Скарр, Цви (2005). Физические применения однородных шариков . Биркхойзер. стр. 1–21. ISBN  978-0-8176-3339-4 .
• Джексон, JD (1999) [1962]. «Глава 11». Классическая электродинамика (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN  978-0-471-30932-1 . (выпускной уровень)
• Клеппнер, Д .; Коленков, Р.Дж. (1978) [1973]. Введение в механику . Лондон: МакГроу-Хилл . ISBN  978-0-07-035048-9 . (начальный уровень)
• Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (2002) [1939]. Классическая теория полей . Курс теоретической физики. Том. 2 (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . ISBN  0-7506-2768-9 . (выпускной уровень)
• Лернер, Р.Г. ; Тригг, Г.Л. (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издательство VHC, Springer. ISBN  978-0-07-025734-4 .
• Мермин, Северная Дакота (2005). Пришло время: понимание теории относительности Эйнштейна . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-12201-4 .
• Мокану, CI (1992). «О парадоксе релятивистского скоростного состава и вращении Томаса». Найденный. Физ. Летт . 5 (5): 443–456. Бибкод : 1992FoPhL...5..443M . дои : 10.1007/BF00690425 . ISSN   0894-9875 . S2CID   122472788 .
• Мёллер, К. (1945). «Общие свойства характеристической матрицы в теории элементарных частиц I» (PDF) . Д. КГЛ Данске Виденск. Сельск. Мат.-физ. Медд . 23 (1).
• Паркер, СП (1993). Энциклопедия физики МакГроу Хилла (2-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN  978-0-07-051400-3 .
• Сард, Р.Д. (1970). Релятивистская механика – Специальная теория относительности и классическая динамика частиц . Нью-Йорк: WA Бенджамин. ISBN  978-0-8053-8491-8 .
• Сексл, RU; Урбантке, Гонконг (2001) [1992]. Теория относительности, Группы частиц. Специальная теория относительности и релятивистская симметрия в физике поля и элементарных частиц . Спрингер. стр. 38–43. ISBN  978-3-211-83443-5 .
• Типлер, П.; Моска, Г. (2008). Физика для ученых и инженеров (6-е изд.). Фриман. стр. 1328–1329. ISBN  978-1-4292-0265-7 .
• Унгар, А.А. (1988). «Вращение Томаса и параметризация группы Лоренца». Основы физики письма . 1 (1): 57–81. Бибкод : 1988FoPhL...1...57U . дои : 10.1007/BF00661317 . ISSN   0894-9875 . S2CID   121240925 .

Исторический

• Брэдли, Джеймс (1727–1728). «Письмо преподобного г-на Джеймса Брэдли Савилиана, профессора астрономии в Оксфорде и FRS, доктору Эдмонду Галлею, астроному. Рег. и т. д., содержащее отчет о новом обнаруженном движении неподвижных звезд» . Фил. Пер. Р. Сок. (PDF). 35 (399–406): 637–661. Бибкод : 1727RSPT...35..637B . дои : 10.1098/rstl.1727.0064 .
• Допплер, К. (1903) [1842], двойных звезд и некоторых других звезд неба ( О цветном свете на немецком языке), т. 1, с. 2, Прага: Королевские трактаты. Бём. Общество наук, стр. 465–482.
• Физо, Х. (1851F). «Гипотезы о светящемся эфире» . Comptes Rendus (на французском языке). 33 : 349–355.
• Физо, Х. (1851E). «Гипотезы о светящемся эфире» . Философский журнал . 2 : 568–573.
• Физо, Х. (1859). «Гипотезы о светящемся эфире» . Энн. хим. Физ. (на французском языке). 57 : 385–404.
• Физо, Х. (1860). «О влиянии движения тела на скорость, с которой по нему движется свет» . Философский журнал . 19 : 245–260.
• Галилей, Г. (2001) [1632]. о двух главных мировых Диалог системах . Стиллман Дрейк (редактор, переводчик), Стивен Джей Гулд (редактор), Дж. Л. Хейлброн (Введение), Альберт Эйнштейн (Предисловие). Современная библиотека. ISBN  978-0-375-75766-2 .
• Галилей, Г. (1954) [1638]. Диалоги о двух новых науках [ Беседы и математические доказательства вокруг двух новых наук ]. Генри Крю, Альфонсо де Сальвио (переводчики). Digiread.com. ISBN  978-1-4209-3815-9 .
• Льюис, Дж.Н .; Толман, Р.К. (1909). «Принцип относительности и неньютоновская механика» . Фил. Маг . 6. 18 (106): 510–523. дои : 10.1080/14786441008636725 . Версия вики-ресурса

Внешние ссылки

• Зоммерфельд, А. (1909). «О составе скоростей в теории относительности». Брак немецкий Физ. Гес . 21 :577-582.