История вариационных принципов в физике

В физике вариационный принцип — это альтернативный метод определения состояния или динамики физической системы путем идентификации ее как экстремума (минимума, максимума или седловой точки) функции или функционала. Вариационные методы используются во многих современных программах для моделирования материи и света.

С момента развития аналитической механики в 18 веке фундаментальные уравнения физики обычно формулировались с точки зрения принципов действия , где вариационный принцип применяется к действию системы с целью восстановления фундаментального уравнения движения.

В данной статье описывается историческое развитие таких принципов действия и других вариационных методов, применяемых в физике. См . «История физики» для обзора и «Очерк истории физики» для связанных с ней историй.

Античность

Вариационные принципы встречаются среди более ранних идей в геодезии и оптике . Носилки натягивали веревки между двумя точками, чтобы измерить путь , древнего Египта который минимизировал расстояние разделения, и Клавдий Птолемей в своей «Географии» (Кн. 1, гл. 2) подчеркивал, что необходимо делать поправку на «отклонения от прямого курса». "; в древней Греции Евклид утверждает в своей «Катоптрике» , что для пути света, отражающегося от зеркала, угол падения равен углу отражения ; и Герой Александрийский позже показал, что этот путь был самой короткой длины и наименьшего времени.

Первые вариационные принципы

Принцип виртуальной работы

В статическом анализе объектов, находящихся под действием сил, но находящихся в механическом равновесии , принцип виртуальной работы предполагает крошечные математические отклонения от равновесия. Каждое изменение действительно работает — энергия теряется или приобретается — против сил, но сумма всех этих битов виртуальной работы должна быть равна нулю. Этот принцип был развит Иоганном Бернулли в письме Пьеру Вариньону в 1715 году, но никогда отдельно не публиковался. Корнелиус Ланцос использует несколько иное определение как единственный постулат для всей аналитической механики, показывая тем самым власть вариационных принципов, основанных на энергии, над ньютоновской механикой.

Принцип Даламбера

В 1743 году Жан ле Рон Даламбер обобщил концепцию, которую мы теперь называем виртуальной работой , на динамические системы с жесткими ограничениями, такими как стержни или натянутая струна, форма, которая стала известна как принцип Даламбера . В случае статических (находящихся в равновесии) твердых тел без трения принцип виртуальной работы говорит о чистой работе всех приложенных сил ( $F_{i}^{(a)}$) при изменении положений ( $r_{i}$) равно нулю:

$\Sigma _{i}F_{i}^{(a)}\cdot \delta r_{i}=0$

Аналогичное условие, но справедливое для динамики (движущихся систем), вводит для каждой силы изменение импульса ${\dot {p}}_{i}$:

$\Sigma _{i}(F_{i}-{\dot {p}}_{i})\cdot \delta r_{i}=0$

что является принципом Даламбера.

Принцип наименьшего времени

Более ранние геометрические идеи в оптике были обобщены Пьером Ферма , который в 17 веке уточнил принцип, согласно которому «свет распространяется между двумя заданными точками по пути кратчайшего времени »; теперь известен как принцип наименьшего времени или принцип Ферма . Ферма показал, что этот принцип предсказывает наблюдаемый закон преломления . Его подход был метафизическим: он утверждал, что Природа действует просто и экономно.

Проблема брахистохроны

Проблема брахистохроны. Путь наименьшего времени показан красным.

Методы, основанные на небольших изменениях траектории движения, выросли из анализа проблемы брахистохроны.

В 1696 году Иоганн Бернулли поставил перед европейскими математиками задачу: вывести кривую движения шарика без трения, падающего между высшей и нижней точкой за минимально возможное время. Он назвал кривую « брахистохроной » (от brachystos — «самый короткий» и chronos — «время»). Исаак Ньютон , Готфрид Вильгельм Лейбниц и другие внесли решения, а в 1718 году Иоганн Бернулли опубликовал анализ, основанный на решении, созданном его братом Джеймсом Бернулли . Все эти работы, особенно подход Бернулли, включали рассуждения о небольших отклонениях в траектории падающей бусины. Таким образом, это стало первым применением вариационной техники, хотя и как частный случай, а не как общий принцип.

Принцип наименьшего действия

Основная статья: принцип Мопертюи

В 1744 году и 1746 г., Пьер Луи Мопертюи обобщил концепцию Ферма на механику. в форме принципа наименьшего действия . Мопертюи рассуждал метафизически, он чувствовал, что «природа бережлива во всех своих действиях», и широко применял этот принцип:

Законы движения и покоя, выведенные из этого принципа, в точности такие же, как те, которые наблюдаются в природе, и мы можем восхищаться применением его ко всем явлениям. Передвижение животных, вегетативный рост растений... являются лишь ее последствиями; и зрелище вселенной становится тем величественнее, тем прекраснее, тем достойнее своего Создателя, когда знаешь, что для всех движений достаточно небольшого числа законов, наиболее мудро установленных.

—Пьер Луи Мопертюи

Это понятие Мопертюи, хотя и несколько детерминированное сегодня, все же отражает большую часть сути вариационной механики.

Применительно к физике Мопертюи предположил, что величина, которую следует минимизировать, представляет собой произведение продолжительности (времени) движения внутри системы на действие ; его определения действий менялись в зависимости от проблем, которые он обсуждал. Одна из форм, которую он использовал, называлась « vis viva ».

Принцип Мопертюи

$\delta \int 2T(t)dt=0$

которая представляет собой интеграл удвоенной суммы, которую мы сейчас называем кинетической энергией T системы.

Уточнение Эйлера

Леонард Эйлер переписывался с Мопертюи с 1740 по 1744 год; в 1744 году Эйлер предложил уточненную формулировку принципа наименьшего действия. Он пишет

«Пусть масса снаряда будет М , и пусть его квадрат скорости, полученный из его высоты, будет $v$ при перемещении на расстояние ds . Тело получит импульс $M{\sqrt {v}}$ это, умноженное на расстояние ds , даст $Mds{\sqrt {v}}$, импульс тела, проинтегрированный по расстоянию ds . Теперь я утверждаю, что кривая, описываемая телом, является кривой (из всех других кривых, соединяющих одни и те же конечные точки), которая минимизирует $\int Mds{\sqrt {v}}$ или, при условии, что M постоянно, $\int ds{\sqrt {v}}$."

Как утверждает Эйлер, $\int Mds{\sqrt {v}}$ – интеграл от импульса по пройденному пути (заметим, что здесь $v$ в отличие от обычных обозначений обозначает квадрат скорости), который в современных обозначениях равен сокращенному действию :

Принцип Эйлера

$\delta \int p\,dq=0$

В довольно общих выражениях он писал: «Поскольку ткань Вселенной наиболее совершенна и является произведением мудрейшего Создателя, во Вселенной не происходит ничего, в чем не проявлялось бы какое-то соотношение максимума и минимума».

Эйлер продолжал писать на эту тему; в своих «Размышлениях о природе» (1748 г.) он назвал величину «усилием». Его выражение соответствует тому, что мы сейчас называем потенциальной энергией , так что его утверждение о наименьшем действии в статике эквивалентно принципу, согласно которому система тел в покое примет конфигурацию, которая минимизирует полную потенциальную энергию.

Лагранжева механика

Впервые термин «метод вариаций» был использован в 1755 году благодаря работе молодого Жозефа Луи Лагранжа ; в 1756 году подход Лагранжа Эйлер представил Берлинской академии как « вариационное исчисление ». В отличие от Эйлера, подход Лагранжа был чисто аналитическим, а не геометрическим. Лагранж ввел идею изменения целых кривых или путей между конечными точками, а не отдельных координат. Для этого он ввел новую форму дифференциала, записанную $\delta$, который действует на интегралы, а не на $d$ действуя по координатам. Его обозначения продолжают использоваться и сегодня.

Механика Гамильтона-Якоби

Основная статья: принцип Гамильтона

См. Также: уравнение Гамильтона – Якоби.

Вариационный принцип не использовался для вывода уравнений движения почти 75 лет спустя, когда Уильям Роуэн Гамильтон в 1834 и 1835 годах применил вариационный принцип к функции Лагранжа $L=T-V$ (где T — кинетическая энергия, а V — потенциальная энергия объекта), чтобы получить то, что сейчас называется уравнениями Эйлера-Лагранжа . Гамильтон считал, что его результаты ограничены законом сохранения энергии, который он называл сохранением жизненной силы.

Хотя в то время немногие немецкие ученые читали английские статьи, в 1836 году немецкий математик Карл Густав Якоби прочитал о работе Гамильтона и сразу же начал новую математическую работу, опубликовав в следующем году новаторскую работу по вариационному принципу. Среди результатов Якоби было распространение метода Гамильтона на зависящие от времени потенциалы (или «силовые функции», как они были известны в то время).

Расширения Гаусса и Герца

Были сформулированы и другие экстремальные принципы классической механики , такие как Карла Фридриха Гаусса 1829 года принцип наименьшего ограничения и его следствие — Генриха Герца 1896 года принцип наименьшей кривизны .

Названия принципов действия

Принципы действия разрабатывались методом проб и ошибок на протяжении трех столетий; названия принципов не говорят сами за себя. Ричард Фейнман в своей докторской диссертации а позже, переосмыслив курс физики для студентов, вдохнул новую жизнь в область вариационных принципов в физике. При этом он перевернул терминологию. Фейнман назвал главную функцию Гамильтона просто «действием», а принцип Гамильтона он назвал «принципом наименьшего действия». В таблице ниже обобщена ключевая терминология, встречающаяся в современной физической литературе.

Терминология принципа действия

действие			принцип
определение	историческое название	современное имя	определение	общее имя	Альтернативное название
$S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\ dt$	Основная функция Гамильтона	действие	$(\delta S)_{T}=0$	Принцип Гамильтона	Минимум действий, Стационарное действие
$W=\int _{x_{1}}^{x_{2}}mv\ ds$	действие	сокращенный или Мопертюи действие	$(\delta W)_{E}=0$	Принцип Мопертюи	Наименьшее действие

Обозначения $(\delta S)_{T}=0$ означает вариации на $S$ с $T=t_{2}-t_{1}$ зафиксированный; $(\delta W)_{E}$ означает изменение с постоянной энергией. Сокращенное действие иногда обозначается как $S_{0}$. Некоторые авторы используют термины «стационарное действие» или «наименьшее действие» для обозначения любого вариационного принципа, включающего действие.

Современные принципы действия

В теории относительности

Основная статья: Вариационные методы в общей теории относительности

В 1915 году Дэвид Гильберт применил вариационные принципы для вывода уравнений гравитационного поля общей теории относительности в соответствии с Альберта Эйнштейна . выводами (Эйнштейн и Гильберт обсуждали работу Эйнштейна по общей теории относительности лично и в письмах на протяжении 1915 года. ) Подход Гильберта требовал принятия вариационного принципа как «аксиоматического», широко признанного сегодня требования, но сомнительного для физиков 1915 года. Вариации Гильберта были основаны на том, что стало известно как действие Эйнштейна-Гильберта , определяемое формулой

${\mathcal {S}}[g]={\frac {1}{2\kappa }}\int R{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x$,

где κ — гравитационная постоянная Эйнштейна , $g=\det(g_{\alpha \beta })$ является определителем метрики Лоренца пространства-времени и $R$ скалярная кривизна .

В квантовой механике

Смотрите также: История квантовой механики.

Вариационные принципы сыграли решающую роль в критические моменты развития квантовой механики.

Атом Зоммерфельда

Основная статья: модель Бора – Зоммерфельда

Следуя Макса Планка предложению о том, что квантовые излучатели объясняют спектр излучения черного тела , и гипотезе Альберта Эйнштейна о квантовом излучении для объяснения фотоэлектрического эффекта , Нильс Бор предложил квантованные уровни энергии для орбит в своей модели атома, тем самым объяснив ряд Бальмера для поглощения. излучения атомов. Однако эта гипотеза не включала никакой механической модели. Затем Арнольд Зоммерфельд показал, что квантование действия орбит водорода предсказало ряд Бальмера с релятивистскими поправками, ведущими к тонкой структуре спектральных линий. Однако этот подход нельзя было распространить на атомы с большим количеством электронов, и, что более важно, сама квантовая гипотеза не имела объяснения со стороны этого решения классической механики.

Уравнение Шредингера

Объединив результаты теории относительности Эйнштейна и фотоэлектрического эффекта, Де Бройль предположил, что квантованное действие Зоммерфельда может быть связано с квантованными волновыми эффектами; Эрвин Шрёдингер подхватил эту идею, применив оптико-механическую аналогию Гамильтона , чтобы связать квантованное действие с уравнениями Гамильтона-Якоби для этого действия. Связь Гамильтона между световыми лучами и световыми волнами теперь стала связью между траекториями материи и волнами материи де Бройля . Полученное уравнение Шрёдингера стало первой успешной квантовой механикой.

Квантовое действие Дирака

Работа, основанная на уравнении Шредингера, опиралась на аналогии с гамильтоновой механикой .В 1933 году Поль Дирак опубликовал статью, в которой искал альтернативную формулировку, основанную на лагранжевой механике . Его мотивировала сила принципа действия и релятивистская инвариантность самого действия. Дирак смог показать, что амплитуда вероятности волновой функции при $x_{1},t_{2}$ было связано с амплитудой при $x_{2},t_{2}$ через сложную показательную функцию действия.

Механика наименьшего действия Фейнмана

Основная статья: Формулировка интеграла по траектории

В 1942 году, почти через десять лет после работы Дирака, Ричард Фейнман построил новую формулировку квантовой механики, основанную на принципе действия. Фейнман интерпретировал формулу Дирака как физический рецепт вклада амплитуды вероятности от каждого возможного пути между $x_{1},t_{2}$ и $x_{2},t_{2}$. Эти возможности мешают ; конструктивная интерференция дает пути с наибольшей амплитудой. В классическом пределе с большими значениями действия по сравнению с $h$, в результате получается единственный классический путь, заданный принципом действия.

Квантовый принцип действия Швингера

Основная статья: квантовый принцип действия Швингера

В 1950 году Джулиан Швингер вновь обратился к лагранжевой статье Дирака, чтобы развить принцип действия в другом направлении. В отличие от внимания Фейнмана к путям, подход Швингера был «дифференциальным» или локальным.

В физике элементарных частиц

Стандартная модель определяется в терминах лагранжевой плотности , которая включает все известные элементарные частицы , поле Хиггса и три фундаментальных взаимодействия ( электромагнетизм , слабое взаимодействие и сильное взаимодействие , не включая гравитационное взаимодействие). Ее формулировка началась в 1970-х годах и успешно объяснила почти все экспериментальные результаты, связанные с микроскопической физикой.

Принципы телеологии в действии

Широта физических явлений, подлежащих изучению с помощью принципов действия, побуждала ученых всех веков рассматривать эти концепции как особенно фундаментальные; Соединение двух точек путями заставляет некоторых предполагать «цель» выбора одного конкретного пути. Эта телеологическая точка зрения простирается от самых ранних физиков через Ферма, Мопертюи и вплоть до Макса Планка , не имея, однако, какой-либо научной поддержки. Использование красочного языка продолжается и в современную эпоху с такими фразами, как «Приказ природы исследовать все пути! » или «Дело не в том, что частица идет по пути наименьшего действия, а в том, что она чует все пути поблизости...».

Вариационные методы

Работа Ритца по упругости и волнам

Лорд Рэлей 1877 года широко адаптировал вариационные принципы для поиска собственных значений и собственных векторов для изучения упругости и классических волн был первым, кто в своей «Теории звука» . Метод Рэлея позволяет аппроксимировать основные частоты без полного знания состава материала и без необходимости вычислительной мощности. С 1903 по 1908 год Вальтер Ритц представил серию улучшенных методов решения задач статики и свободной вибрации, основанных на оптимизации анзац- или пробной функции. Ритц продемонстрировал свое использование в теории пучков Эйлера-Бернулли и определении фигур Хладни .

В течение многих лет работы Ритца плохо цитировались в Западной Европе и стали популярными только после смерти Ритца в 1909 году. В России такие физики, как Иван Бубнов (в 1913 году) и Борис Галеркин (в 1915 году), заново открыли и популяризировали некоторые методы Ритца 1908 года. В 1940 году Георгий Петров улучшил эти приближения. Сейчас эти методы известны под разными названиями, в том числе Бубнова–Галеркина, Петрова–Галеркина и Ритца–Галеркина. методы

В 1911 году Рэлей дополнил Ритца за его метод решения проблемы Хладни, но пожаловался на отсутствие цитирования его более ранней работы. Однако сходство методов Рэлея и Ритца иногда подвергается сомнению. Методы Ритца иногда называют методом Рэлея-Ритца или просто методом Ритца , в зависимости от процедуры. Метод Ритца привел к развитию метода конечных элементов для численного решения уравнений в частных производных в физике.

Для квантовых систем

Вариационный метод Ритца нашел свое применение в квантовой механике с развитием теоремы Хеллмана-Фейнмана . Теорема была впервые обсуждена Шредингером в 1926 году, первое доказательство было дано Паулем Гюттингером в 1932 году, а затем независимо переоткрыто Вольфгангом Паули и Гансом Хеллманном в 1933 году и Фейнманом в 1939 году.

В квантовой химии и конденсированного состояния физике были разработаны вариационные методы для изучения атомов, молекул, ядер и твердых тел в рамках квантовой механики. Некоторые из них включают использование методов Ритца для определения спектров атома гелия , метода Хартри-Фока 1930 года , теории функционала плотности 1964 года и вариационного Монте-Карло и группы перенормировки матрицы плотности 1992 года (DMRG).

Квантовые алгоритмы

В 2014 году вариационные принципы были частью гибридной стратегии, получившей название «шумные квантовые вычисления промежуточного масштаба» (NISQ), призванной объединить мощные, но несовершенные квантовые компьютеры в сочетании с классическими компьютерами. Первые предложения включали вариационный квантовый собственный решатель использовать квантовые явления для моделирования атомов и малых молекул с использованием вариационных методов и алгоритма приближенной оптимизации.