Оптико-механическая аналогия Гамильтона.

Оптико-механическая аналогия Гамильтона — это концептуальная параллель между траекториями в классической механике и волновыми фронтами в оптике , введенная Уильямом Роуэном Гамильтоном около 1831 года. ^{[ 1 ]} Его можно рассматривать как соединение Гюйгенса принципа оптики Мопертюи . с принципом механики ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

Хотя Гамильтон обнаружил эту аналогию в 1831 году, она не применялась на практике до тех пор, пока Ганс Буш не использовал ее для объяснения фокусировки электронного луча в 1925 году. ^{[ 7 ]} По словам Корнелиуса Ланцоша , аналогия сыграла важную роль в развитии идей квантовой физики. ^{[ 3 ]} Эрвин Шредингер приводит аналогию в самом первом предложении своей статьи, представляя свою волновую механику . ^{[ 8 ]} Далее в основной части своей статьи он говорит:

К сожалению, эта мощная и важная концепция Гамильтона в большинстве современных репродукций лишена своего красивого одеяния как ненужного аксессуара в пользу более бесцветного изображения аналитического соответствия. ^{[ 9 ]}

Количественный и формальный анализ, основанный на аналогии, использует уравнение Гамильтона – Якоби ; и наоборот, аналогия обеспечивает альтернативный и более доступный путь введения в механику подхода, основанного на уравнениях Гамильтона – Якоби. Ортогональность механических траекторий, характерных для геометрической оптики, оптическим волновым фронтам, характерным для полного волнового уравнения, вытекающая из вариационного принципа, приводит к соответствующим дифференциальным уравнениям. ^{[ 10 ]}

Аналогия Гамильтона

Распространение света можно рассматривать с точки зрения лучей и волновых фронтов в обычном физическом трехмерном пространстве. Волновые фронты представляют собой двумерные изогнутые поверхности; лучи представляют собой одномерные изогнутые линии. ^{[ 11 ]} Аналогия Гамильтона сводится к двум интерпретациям фигуры, подобной показанной здесь. В оптической интерпретации зеленые волновые фронты представляют собой линии постоянной фазы , а ортогональные красные линии — лучи геометрической оптики . В механической интерпретации зеленые линии обозначают постоянные значения действия, полученные путем применения принципа Гамильтона к механическому движению, а красные линии представляют собой ортогональные траектории объекта . ^{[ 11 ]}

Ортогональность волновых фронтов лучам (или поверхностей равного действия траекториям) означает, что мы можем вычислить один набор из другого набора. ^{[ 10 ]} Это объясняет, как формула дифракции Кирхгофа предсказывает волновое явление – дифракцию – используя только геометрическую трассировку лучей. ^{[ 7 ]}^: 745 Лучи, проходящие от источника к апертуре, образуют волновой фронт, который становится источником лучей, достигающих дифракционной картины, где они суммируются с использованием комплексных фаз ортогональных волновых фронтов.

Волновые фронты и лучи или поверхности и траектории равнодействия представляют собой двойственные объекты, связанные ортогональностью. ^{[ 10 ]} С одной стороны, луч можно рассматривать как орбиту частицы света. Он последовательно прокалывает волновые поверхности. Последовательные проколы можно рассматривать как определение траектории частицы. С другой стороны, волновой фронт можно рассматривать как поверхность уровня смещения некоторой величины, такой как напряженность электрического поля, гидростатическое давление, плотность числа частиц, фаза колебаний или амплитуда вероятности. Тогда физический смысл лучей менее очевиден. ^{[ 12 ]}

принцип Гюйгена; Принцип Ферма

Оптико-механическая аналогия Гамильтона тесно связана с принципом Ферма и, следовательно, с принципом Гюйгенса-Френеля . ^{[ 10 ]} Принцип Ферма гласит, что лучи между волновыми фронтами пройдут путь за наименьшее время; концепция последовательных волновых фронтов вытекает из принципа Гюйгенса.

Расширенный принцип Гюйгенса

Выйдя за пределы обычного трехмерного физического пространства, можно представить более многомерную абстрактную конфигурацию «пространство» с размерностью, кратной 3. В этом пространстве можно снова представить лучи как одномерные изогнутые линии. Теперь волновые фронты представляют собой гиперповерхности размерности на единицу меньше размерности пространства. ^{[ 6 ]} Такое многомерное пространство может служить конфигурационным пространством для многочастичной системы.

Классический предел уравнения Шрёдингера

Альберт Мессия рассматривает классический предел уравнения Шрёдингера. Он находит в этом оптическую аналогию. Траектории его частиц ортогональны равнофазным поверхностям. Он пишет: «На языке оптики последние представляют собой волновые фронты, а траектории частиц — это лучи. Следовательно, классическое приближение эквивалентно приближению геометрической оптики: мы снова находим, как следствие уравнения Шредингера , основной постулат теории волн материи». ^{[ 13 ]}

История

Оптико-механическая аналогия Гамильтона сыграла решающую роль. ^{[ 14 ]}^{[ 11 ]} по мнению Шредингера , одного из создателей квантовой механики. Первый раздел его статьи, опубликованной в декабре 1926 года, называется «Гамильтонова аналогия между механикой и оптикой». ^{[ 15 ]} Раздел 1 первой из четырех его лекций по волновой механике, прочитанных в 1928 году, называется «Вывод основной идеи волновой механики из аналогии Гамильтона между обычной механикой и геометрической оптикой». ^{[ 16 ]}

В краткой статье 1923 года де Бройль писал: «Динамика должна претерпеть ту же эволюцию, которую претерпела оптика, когда волнистость заменила чисто геометрическую оптику». ^{[ 17 ]} В своей диссертации 1924 года, хотя Луи де Бройль не назвал оптико-механическую аналогию, он написал во введении: ^{[ 18 ]}

... единый принцип, принцип Мопертюи, а затем в другой форме, как принцип наименьшего действия Гамильтона ... принцип Ферма ..., который в настоящее время обычно называют принципом наименьшего действия. ...Гюйгенс выдвинул волнообразную теорию света, а Ньютон, приведя аналогию с созданной им динамикой материальных точек, разработал корпускулярную теорию, так называемую «теорию излучения», которая позволила ему даже объяснить, хотя и с это надуманная гипотеза, эффекты, которые в настоящее время считаются волновыми эффектами (т.е. кольца Ньютона).

По мнению Леона Розенфельда , близкого коллеги Нильса Бора , «... Шредингер [был] вдохновлен прекрасным сравнением Гамильтоном классической механики и геометрической оптики...» ^{[ 19 ]}

Первый учебник на английском языке по волновой механике ^{[ 20 ]} вторую из двух своих глав посвящает «Волновой механике по отношению к обычной механике». В нем утверждается, что «... де Бройль и Шрёдингер превратили эту ложную аналогию в истинную, используя естественную единицу или меру действия, $h$ , .... ... Теперь мы должны более подробно остановиться на теории Гамильтона, поскольку когда же ее истинный смысл понятен, шаг к волновой механике становится лишь коротким — действительно, теперь, после события, кажется, что он почти напрашивается сам собой». ^{[ 21 ]}

Согласно одному учебнику: «Первая часть нашей задачи, а именно установление системы уравнений первого порядка, удовлетворяющей условию симметрии пространства-времени, может быть решена очень просто, с помощью аналогии между механикой и оптикой. , который послужил отправной точкой для развития волновой механики и который до сих пор может быть использован — с оговорками — как источник вдохновения». ^{[ 22 ]}

Недавно эта концепция была расширена до режима, зависящего от длины волны. ^{[ 23 ]}

Ссылки

^ Гамильтон, WR , (1834).
^ Кембл, ЕС (1937), стр. 7–10.
^ Jump up to: ^а ^б Ланцос, К. (1949/1970). Ланцош писал на стр. 136: « [Мопертюи] ... таким образом указал на ту замечательную аналогию между оптическими и механическими явлениями, которую гораздо раньше наблюдал Джон Бернулли и которая позже была полностью развита в гениальной оптико-механической теории Гамильтона. Эта аналогия сыграла фундаментальную роль в развитие современной волновой механики».
^ Synge, JL (1954). На стр. 2, Synge пишет: «... аналогия между ньютоновской механикой и геометрической оптикой завершается только тогда, когда мы дополняем первую, думая о волнах в связи с траекториями частиц. Это завершение действительно присутствовало в теории Гамильтона, поскольку он сделал это настолько широка, что включает в себя как корпускулярную, так и волновую теории света, и в первой интерпретации его поверхности постоянного действия представляют собой рассматриваемые волны. Таким образом, со времен Гамильтона мы фактически имели то, что можно было бы назвать «ньютоновской геометрической». механика, основанная на принципе Мопертюи, $δ \int v ds = 0$ , где $v$ определяется в терминах энергии выражением $mv 2 /2 = E - V$ ».
^ Мессия, А. (1961), стр. 53–55.
^ Jump up to: ^а ^б Arnold, V.I. (1974/1978), p. 252.
^ Jump up to: ^а ^б Борн, Макс; Вольф, Эмиль (1993). Основы оптики: электромагнитная теория распространения, интерференции и дифракции света (6-е изд., переиздание (с исправлениями) изд.). Оксфорд: Пергамон Пресс. ISBN 978-0-08-026481-3 .
^ Шрёдингер, Э. (1926/1928), стр. ix.
^ Шрёдингер, Э. (1926/1928), стр. 13
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Хоучмандзаде, Бахрам (май 2020 г.). «Уравнение Гамильтона – Якоби: альтернативный подход» . Американский журнал физики . 88 (5): 353–359. arXiv : 1910.09414 . Бибкод : 2020AmJPh..88..353H . дои : 10.1119/10.0000781 . ISSN 0002-9505 . S2CID 204800598 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Масоливер, Жауме; Рос, Ана (1 января 2010 г.). «От классической к квантовой механике через оптику». Европейский журнал физики . 31 (1): 171–192. arXiv : 0909.3258 . Бибкод : 2010EJPh...31..171M . дои : 10.1088/0143-0807/31/1/016 . ISSN 0143-0807 . S2CID 14765944 .
^ Arnold, V.I. (1974/1978), p. 250.
^ Мессия, А. (1961), стр. 224–225.
^ Иоас, Кристиан; Ленер, Кристоф (2009). «Классические корни волновой механики: преобразования Шредингера оптико-механической аналогии». Исследования по истории и философии науки. Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 40 (4). Эльзевир Б.В.: 338–351. Бибкод : 2009ШПМП..40..338J . дои : 10.1016/j.shpsb.2009.06.007 . ISSN 1355-2198 . S2CID 122826763 .
^ Шредингер, Э. (1926) с. 1049.
^ Шрёдингер, Э. (1928), с. 1.
^ де Бройль, Л. (1923).
^ де Бройль, Л. (1924).
^ Розенфельд, Л. (1971/1979), на стр. 286.
^ Джаммер, М. (1966), с. 366.
^ Биггс, HF (1927), стр. 50, 52.
^ Френкель, Дж. (1934), с. 260.
^ Хан, Самин Ахмед (февраль 2017 г.). «Оптико-механическая аналогия Гамильтона в режиме, зависящем от длины волны» . Оптик . 130 : 714–722. дои : 10.1016/j.ijleo.2016.10.112 .

Библиография цитируемых источников

Арнольд, VI (1974/1978). Математические методы классической механики , перевод К. Фогтмана, А. Вайнштейна, Шпрингер, Берлин, ISBN 978-1-4757-1695-5 .
Биггс, HF (1927). Волновая механика. Вводный набросок , Oxford University Press, Лондон.
де Бройль, Л. (1923). Волны и кванты, Природа 112 : 540.
де Бройль Л. , Исследования по квантовой теории , диссертация (Париж), 1924; де Бройль, Л., Энн. Физ. (Париж) 3 , 22 (1925). Английский перевод А.Ф. Краклауэра
Коэн Р.С., Стачел Дж.Дж., редакторы (1979). Избранные статьи Леона Розенфельда , издательства D. Reidel Publishing Company, Дордрехт, ISBN 978-90-277-0652-2 .
Джаммер, М. (1966). Концептуальное развитие квантовой механики , MGraw-Hill, Нью-Йорк.
Френкель, Дж. (1934). Волновая механика. Передовая общая теория , Издательство Оксфордского университета, Лондон.
Кембл, ЕС (1937). Фундаментальные принципы квантовой механики с элементарными приложениями , МакГроу-Хилл, Нью-Йорк.
Гамильтон, WR (1834 г.). О применении к динамике общего математического метода, ранее применявшегося в оптике, Отчет Британской ассоциации , стр. 513–518, перепечатанный в «Математических статьях сэра Уильяма Роуэна Гамильтона» (1940), изд. А. В. Конвей, А. Дж. МакКоннелл, том 2, издательство Кембриджского университета, Лондон.
Ланцос, К. (1949/1970). Вариационные принципы механики , 4-е издание, University of Toronto Press, Торонто, ISBN 0-8020-1743-6 .
Мессия, А. (1961). Квантовая механика , том 1, перевод Г. М. Теммера из французского Mécanique Quantique , Северная Голландия, Амстердам.
Розенфельд, Л. (1971). Люди и идеи в истории атомной теории, Арх. Хист. Точная наука. , 7 : 69–90. Перепечатано на стр. 266–296 Коэна Р.С., Стачела Дж. Дж. (1979).
Шрёдингер, Э. (1926). Волнистая теория механики атомов и молекул, Физ. Преподобный , вторая серия 28 (6): 1049–1070.
Шрёдингер, Э. (1926/1928). Сборник статей по волновой механике , переведенный Дж. Ф. Ширером и У. М. Динсом из второго немецкого издания Blackie & Son, Лондон.
Шрёдингер, Э. (1928). Четыре лекции по волновой механике. Доставлено в Королевский институт в Лондоне 5, 7, 12 и 14 марта 1928 года , Blackie & Son, Лондон.
Синг, Дж. Л. (1954). Геометрическая механика и волны де Бройля , Издательство Кембриджского университета, Кембридж, Великобритания.

[1] Гамильтон, WR , (1834).

[2] Кембл, ЕС (1937), стр. 7–10.

[Lanczos_136-3] Jump up to: ^а ^б Ланцос, К. (1949/1970). Ланцош писал на стр. 136: « [Мопертюи] ... таким образом указал на ту замечательную аналогию между оптическими и механическими явлениями, которую гораздо раньше наблюдал Джон Бернулли и которая позже была полностью развита в гениальной оптико-механической теории Гамильтона. Эта аналогия сыграла фундаментальную роль в развитие современной волновой механики».

[4] Synge, JL (1954). На стр. 2, Synge пишет: «... аналогия между ньютоновской механикой и геометрической оптикой завершается только тогда, когда мы дополняем первую, думая о волнах в связи с траекториями частиц. Это завершение действительно присутствовало в теории Гамильтона, поскольку он сделал это настолько широка, что включает в себя как корпускулярную, так и волновую теории света, и в первой интерпретации его поверхности постоянного действия представляют собой рассматриваемые волны. Таким образом, со времен Гамильтона мы фактически имели то, что можно было бы назвать «ньютоновской геометрической». механика, основанная на принципе Мопертюи, $δ \int v ds = 0$ , где $v$ определяется в терминах энергии выражением $mv 2 /2 = E - V$ ».

[5] Мессия, А. (1961), стр. 53–55.

[Arnold,_V.I_1978_p._252-6] Jump up to: ^а ^б Arnold, V.I. (1974/1978), p. 252.

[born_and_wolf_6th-7] Jump up to: ^а ^б Борн, Макс; Вольф, Эмиль (1993). Основы оптики: электромагнитная теория распространения, интерференции и дифракции света (6-е изд., переиздание (с исправлениями) изд.). Оксфорд: Пергамон Пресс. ISBN 978-0-08-026481-3 .

[8] Шрёдингер, Э. (1926/1928), стр. ix.

[9] Шрёдингер, Э. (1926/1928), стр. 13

[Houchmandzadeh-10] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Хоучмандзаде, Бахрам (май 2020 г.). «Уравнение Гамильтона – Якоби: альтернативный подход» . Американский журнал физики . 88 (5): 353–359. arXiv : 1910.09414 . Бибкод : 2020AmJPh..88..353H . дои : 10.1119/10.0000781 . ISSN 0002-9505 . S2CID 204800598 .

[Masoliver-11] Jump up to: ^а ^б ^с Масоливер, Жауме; Рос, Ана (1 января 2010 г.). «От классической к квантовой механике через оптику». Европейский журнал физики . 31 (1): 171–192. arXiv : 0909.3258 . Бибкод : 2010EJPh...31..171M . дои : 10.1088/0143-0807/31/1/016 . ISSN 0143-0807 . S2CID 14765944 .

[12] Arnold, V.I. (1974/1978), p. 250.

[13] Мессия, А. (1961), стр. 224–225.

[Joas_Lehner_2009_pp._338–351-14] Иоас, Кристиан; Ленер, Кристоф (2009). «Классические корни волновой механики: преобразования Шредингера оптико-механической аналогии». Исследования по истории и философии науки. Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 40 (4). Эльзевир Б.В.: 338–351. Бибкод : 2009ШПМП..40..338J . дои : 10.1016/j.shpsb.2009.06.007 . ISSN 1355-2198 . S2CID 122826763 .

[15] Шредингер, Э. (1926) с. 1049.

[16] Шрёдингер, Э. (1928), с. 1.

[17] де Бройль, Л. (1923).

[18] де Бройль, Л. (1924).

[19] Розенфельд, Л. (1971/1979), на стр. 286.

[20] Джаммер, М. (1966), с. 366.

[21] Биггс, HF (1927), стр. 50, 52.

[22] Френкель, Дж. (1934), с. 260.

[23] Хан, Самин Ахмед (февраль 2017 г.). «Оптико-механическая аналогия Гамильтона в режиме, зависящем от длины волны» . Оптик . 130 : 714–722. дои : 10.1016/j.ijleo.2016.10.112 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]