Принцип Мопертюи

В классической механике принцип Мопертюи (названный в честь Пьера Луи Мопертюи , 1698–1759) гласит, что путь, по которому следует физическая система, является путем наименьшей длины (с подходящей интерпретацией пути и длины ). ^{[ 1 ]} Это частный случай более общего принципа наименьшего действия . Использование вариационного исчисления приводит к интегральных уравнений формулировке уравнений движения системы.

Математическая формулировка

Принцип Мопертюи гласит, что истинный путь системы, описываемой $N$ обобщенные координаты $\mathbf {q} =\left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N}\right)$ между двумя указанными состояниями $\mathbf {q} _{1}$ и $\mathbf {q} _{2}$ это минимум или седловая точка ^{[ 2 ]} сокращенного функционала действия ,

${\mathcal {S}}_{0}[\mathbf {q} (t)]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} ,$ где $\mathbf {p} =\left(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N}\right)$ – сопряженные импульсы обобщенных координат, определяемые уравнением $p_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}},$ где $L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)$ – Лагранжа функция системы. Другими словами, любое первого порядка возмущение пути приводит к (максимум) изменениям второго порядка в ${\mathcal {S}}_{0}$ . Обратите внимание, что сокращенное действие ${\mathcal {S}}_{0}$ является функционалом (т.е. функцией из векторного пространства в лежащее в его основе скалярное поле), который в этом случае принимает на вход функцию (т.е. пути между двумя заданными состояниями).

Формулировка Якоби

Для многих систем кинетическая энергия $T$ квадратичен по обобщенным скоростям ${\dot {\mathbf {q} }}$ $T={\frac {1}{2}}{\dot {\mathbf {q} }}\ \mathbf {M} \ {\dot {\mathbf {q} }}^{\intercal }$ хотя тензор массы $\mathbf {M}$ может быть сложной функцией обобщенных координат $\mathbf {q}$ . Для таких систем простое соотношение связывает кинетическую энергию, обобщенные импульсы и обобщенные скорости. $2T=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}$ при условии, что потенциальная энергия $V(\mathbf {q} )$ не включает обобщенные скорости. Определив нормализованное расстояние или метрику $ds$ в пространстве обобщенных координат $ds^{2}=d\mathbf {q} \ \mathbf {M} \ d\mathbf {q^{\intercal }}$ тензор массы можно сразу признать метрическим тензором . Кинетическая энергия может быть записана в безмассовой форме $T={\frac {1}{2}}\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}$ или, $2Tdt={\sqrt {2T}}\ ds.$

Поэтому сокращенно действие можно записать ${\mathcal {S}}_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} =\int ds\,{\sqrt {2}}{\sqrt {E_{\text{tot}}-V(\mathbf {q} )}}$ поскольку кинетическая энергия $T=E_{\text{tot}}-V(\mathbf {q} )$ равна (постоянной) полной энергии $E_{\text{tot}}$ минус потенциальная энергия $V(\mathbf {q} )$ . В частности, если потенциальная энергия постоянна, то принцип Якоби сводится к минимизации длины пути ${\textstyle s=\int ds}$ в пространстве обобщенных координат, что эквивалентно принципу наименьшей кривизны Герца .

Сравнение с принципом Гамильтона

Принцип Гамильтона и принцип Мопертюи иногда путают друг с другом, и оба они называются принципом наименьшего действия . Они отличаются друг от друга по трем важным признакам:

их определение действия ...
Принцип Гамильтона использует ${\mathcal {S}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int L\,dt$ , интеграл лагранжиана по времени , изменялся между двумя фиксированными моментами окончания $t_{1}$ , $t_{2}$ и конечные точки $q_{1}$ , $q_{2}$ . Напротив, принцип Мопертюи использует сокращенный интеграл действия по обобщенным координатам , варьируемый вдоль всех путей с постоянной энергией, заканчивающихся в $\mathbf {q} _{1}$ и $\mathbf {q} _{2}$ .
решение, которое они определяют...
Принцип Гамильтона определяет траекторию $\mathbf {q} (t)$ как функция времени, тогда как принцип Мопертюи определяет лишь форму траектории в обобщенных координатах. Например, принцип Мопертюи определяет форму эллипса, по которому движется частица под действием центральной силы, обратно пропорциональной квадрату, такой как гравитация , но не описывает как таковую, как частица движется по этой траектории. (Однако эта временная параметризация может быть определена из самой траектории в последующих расчетах с использованием закона сохранения энергии.) Напротив, принцип Гамильтона напрямую определяет движение по эллипсу как функцию времени.
...и ограничения на вариации.
Принцип Мопертюи требует, чтобы два состояния конечной точки $q_{1}$ и $q_{2}$ быть задана и эта энергия сохраняется на каждой траектории. Напротив, принцип Гамильтона не требует сохранения энергии, но требует, чтобы время в конечной точке $t_{1}$ и $t_{2}$ быть указаны, а также состояния конечной точки $q_{1}$ и $q_{2}$ .

История

Мопертюи был первым, кто опубликовал принцип наименьшего действия как способ адаптации принципа Ферма для волн к корпускулярной (частичной) теории света. ^{[ 3 ]}^: 96 Пьер де Ферма объяснил закон Снелла о преломлении света , предположив, что свет следует по пути кратчайшего времени , а не по расстоянию. Это беспокоило Мопертюи, поскольку он чувствовал, что время и расстояние должны быть на равных: «почему свет должен предпочитать путь кратчайшего времени пути расстояния?» Мопертюи определил свое действие как ${\textstyle \int v\,ds}$ , который нужно было минимизировать по всем путям, соединяющим две указанные точки. Здесь $v$ — скорость света в корпускулярной теории. Ферма минимизировал ${\textstyle \int \,ds/v}$ где $v$ – скорость волны; две скорости обратны, поэтому две формы эквивалентны.

Претензия Кенига

В 1751 году приоритет Мопертюи в отношении принципа наименьшего действия был оспорен в печати ( Nova Acta Eruditorum из Лейпцига ) старым знакомым Иоганном Самуэлем Кенигом , который процитировал письмо 1707 года якобы от Готфрида Вильгельма Лейбница Якобу Герману , в котором описывались результаты, аналогичные тем, которые выведен Леонардом Эйлером в 1744 году.

Мопертюи и другие потребовали, чтобы Кениг предъявил оригинал письма, чтобы подтвердить, что оно было написано Лейбницем. Лейбниц умер в 1716 году, а Герман — в 1733 году, так что ни один из них не мог поручиться за Кенига. Кениг утверждал, что письмо скопировано с оригинала, принадлежавшего Самуэлю Хензи , и не имел ни малейшего представления о местонахождении оригинала, поскольку Хензи был казнен в 1749 году за организацию заговора Хензи с целью свержения аристократического правительства Берна . ^{[ 4 ]} Впоследствии Берлинская академия под руководством Эйлера объявила письмо подделкой. ^{[ 5 ]} и что Мопертюи мог продолжать претендовать на приоритет как изобретатель этого принципа. Любопытно, что Вольтер вмешался в ссору, сочинив «Диатрибу доктора Акакии» («Диатриба доктора Акакии»), чтобы высмеивать научные теории Мопертюи (не ограничиваясь принципом наименьшего действия). Хотя эта работа нанесла ущерб репутации Мопертюи, его право на приоритет наименьших действий остается в силе. ^{[ 4 ]}

См. также

Аналитическая механика
Принцип Гамильтона
Принцип наименьшего ограничения Гаусса (также описывает принцип наименьшей кривизны Герца )
Уравнение Гамильтона – Якоби

Ссылки

^ Янке, Ханс Нильс (2003). История анализа . История математики. Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое общество. п. 139. ИСБН 978-0-8218-2623-2 .
^ Грей, компьютерная графика; Тейлор, Эдвин Ф. (май 2007 г.). «Когда действие не имеет значения» . Американский журнал физики . 75 (5): 434–458. дои : 10.1119/1.2710480 . ISSN 0002-9505 .
^ Уиттакер, Эдмунд Т. (1989). История теорий эфира и электричества. 2: Современные теории, 1900–1926 гг. (Ред.). Нью-Йорк: Dover Publ. ISBN 978-0-486-26126-3 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Плата, Джером (1942). «Мопертюи и принцип наименьшего действия» . Американский учёный . 30 (2): 149–158. ISSN 0003-0996 .
^ Эйлер, Леонард (1752). Расследование письма, якобы написанного Лейбницем .

Пьер Луи Мопертюи , Согласие различных законов природы, которые до сих пор казались несовместимыми (оригинальный французский текст 1744 года) ; Соглашение между различными законами природы, которые казались несовместимыми (перевод на английский)
Леонард Эйлер , Метод открытия/Дополнение II (оригинальный латинский текст 1744 года) ; Метод поиска/Приложение 2 (перевод на английский язык)
Пьер Луи Мопертюи , Законы движения и покоя, выведенные из метафизического принципа (оригинальный французский текст 1746 года) ; Вывод законов движения и равновесия из метафизического принципа (английский перевод)
Леонард Эйлер , Презентация об экспертизе письма М. де Лейбница (оригинальный французский текст 1752 года) ; Расследование письма Лейбница (английский перевод)
Кениг Дж. С. «Об универсальном принципе равновесия и движения», New Journal of Scholars , 1751 , 125–135, 162–176.
Дж. Дж. О'Коннор и Э. Ф. Робертсон, « Берлинская академия и подделка », (2003), в архиве MacTutor History of Mathematics .
К. И. Герхардт, (1898) «О четырех письмах Лейбница, опубликованных Самуэлем Кёнигом в Appel au public, Leide MDCCLIII», Proceedings of the Royal Prussian Academy of Sciences , I , 419–427.
В. Кабиц, (1913) «О найденной в Готе копии письма Лейбница, опубликованного С. Кёнигом в его споре с Мопертюи и Академией и признанного в то время недостоверным», труды Королевской прусской академии наук , II , 632–638.
Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, (1976) Механика , 3-е. изд., Pergamon Press, стр. 140–143. ISBN 0-08-021022-8 (твердый переплет) и ISBN 0-08-029141-4 (мягкая обложка)
GCJ Якоби, лекции по динамике, прочитанные в Кенигсбергском университете в зимнем семестре 1842–1843 гг . А. Клебш (редактор) (1866); Реймер; Берлин. 290 страниц, доступны в Интернете. Œuvres завершает том 8 в Gallica-Math из Национальной библиотеки Галлики Франции .
Х. Герц, (1896) Принципы механики , в разных статьях , вып. III, Макмиллан.
В.В. Румянцев (2001) [1994], «Принцип наименьшей кривизны Герца» , Энциклопедия Математики , EMS Press

[1] Янке, Ханс Нильс (2003). История анализа . История математики. Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое общество. п. 139. ИСБН 978-0-8218-2623-2 .

[2] Грей, компьютерная графика; Тейлор, Эдвин Ф. (май 2007 г.). «Когда действие не имеет значения» . Американский журнал физики . 75 (5): 434–458. дои : 10.1119/1.2710480 . ISSN 0002-9505 .

[3] Уиттакер, Эдмунд Т. (1989). История теорий эфира и электричества. 2: Современные теории, 1900–1926 гг. (Ред.). Нью-Йорк: Dover Publ. ISBN 978-0-486-26126-3 .

[Fee1942-4] Перейти обратно: ^а ^б Плата, Джером (1942). «Мопертюи и принцип наименьшего действия» . Американский учёный . 30 (2): 149–158. ISSN 0003-0996 .

[5] Эйлер, Леонард (1752). Расследование письма, якобы написанного Лейбницем .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]