Принцип наименьшего ограничения Гаусса

Карл Фридрих Гаусс

Генрих Герц

Гаусс и Герц разработали вариационные принципы механики.

Принцип наименьшего ограничения — это одна из вариационных формулировок классической механики, сформулированная Карлом Фридрихом Гауссом в 1829 году, эквивалентная всем другим формулировкам аналитической механики . Интуитивно это говорит о том, что ускорение связанной физической системы будет максимально похоже на ускорение соответствующей неограниченной системы.

Заявление

Принцип наименьших ограничений — это принцип наименьших квадратов, утверждающий, что истинные ускорения механической системы $n$ массы – это минимум количества

$Z\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sum _{j=1}^{n}m_{j}\cdot \left|\,{\ddot {\mathbf {r} }}_{j}-{\frac {\mathbf {F} _{j}}{m_{j}}}\right|^{2}$

где j -я частица имеет массу $m_{j}$, вектор положения $\mathbf {r} _{j}$и приложенная несдерживающая сила $\mathbf {F} _{j}$ действует на массу.

Обозначения ${\dot {\mathbf {r} }}$ указывает производную по времени векторной функции $\mathbf {r} (t)$, то есть позиция. Соответствующие ускорения ${\ddot {\mathbf {r} }}_{j}$ удовлетворять наложенным ограничениям, что в целом зависит от текущего состояния системы, $\{\mathbf {r} _{j}(t),{\dot {\mathbf {r} }}_{j}(t)\}$.

Напомним, что в связи с активным $\mathbf {F} _{j}$ и реактивный (ограничение) $\mathbf {F_{c}} _{j}$ приложенные силы, в результате чего ${\textstyle \mathbf {R} =\sum _{j=1}^{n}\mathbf {F} _{j}+\mathbf {F_{c}} _{j}}$, система испытает ускорение ${\textstyle {\ddot {\mathbf {r} }}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\mathbf {F} _{j}}{m_{j}}}+{\frac {\mathbf {F_{c}} _{j}}{m_{j}}}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {a} _{j}+\mathbf {a_{c}} _{j}}$.

Связи с другими составами

Принцип Гаусса эквивалентен принципу Даламбера .

Принцип наименьшего ограничения качественно аналогичен принципу Гамильтона , который утверждает, что истинный путь, по которому движется механическая система, является экстремумом действия . Однако принцип Гаусса является истинным (локальным) минимальным принципом, тогда как другой принцип является экстремальным .

Принцип наименьшей кривизны Герца

Принцип наименьшей кривизны Герца является частным случаем принципа Гаусса, ограниченным тремя условиями: нет внешних сил, нет взаимодействий (которые обычно можно выразить как потенциальную энергию ) и все массы равны. Без ограничения общности массы можно положить равными единице. В этих условиях минимизированную величину Гаусса можно записать

$Z=\sum _{j=1}^{n}\left|{\ddot {\mathbf {r} }}_{j}\right|^{2}$

Кинетическая энергия $T$ также сохраняется в этих условиях

$T\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\left|{\dot {\mathbf {r} }}_{j}\right|^{2}$

Поскольку элемент линии $ds^{2}$ в $3N$определено -мерное пространство координат

$ds^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j=1}^{n}\left|d\mathbf {r} _{j}\right|^{2}$

сохранение энергии также можно записать

$\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}=2T$

Разделение $Z$ к $2T$ дает еще одно минимальное количество

$K\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j=1}^{n}\left|{\frac {d^{2}\mathbf {r} _{j}}{ds^{2}}}\right|^{2}$

С ${\sqrt {K}}$ – локальная кривизна траектории в $3n$-мерное пространство координат, минимизация $K$ эквивалентно поиску траектории наименьшей кривизны ( геодезической ), соответствующей ограничениям.

Принцип Герца также является частным случаем Якоби формулировки принципа наименьшего действия .

Философия

Герц разработал принцип, исключающий концепцию силы и динамики, чтобы физика состояла исключительно из кинематики, из материальных точек, находящихся в ограниченном движении. Он критиковал «логическую неясность», окружающую идею силы.

Я бы упомянул тот опыт, что чрезвычайно трудно излагать вдумчивому слушателю это самое введение в механику, не испытывая порой смущения, не испытывая искушения время от времени извиняться, не желая как можно скорее освоить азы и перейти к примерам. которые говорят сами за себя. Я думаю, что сам Ньютон должен был чувствовать это смущение...

Чтобы заменить концепцию силы, он предложил, чтобы ускорение видимых масс объяснялось не силой, а геометрическими ограничениями на видимые массы и их геометрическими связями с невидимыми массами. В этом он считал себя продолжателем традиции картезианской механической философии , такой как Больцманом тепла движением атомов и объяснение электромагнетизма Максвеллом движением эфира объяснение . Хотя и атомы, и эфир можно было наблюдать только через их эффекты, им удалось механически объяснить явно немеханические явления. Пытаясь объяснить «механическую силу», Герц «механизировал классическую механику».

См. также

• Уравнение движения Аппелла

Литература

• Гаусс, CF (1829). «О новом общем основном законе механики» . Журнал Крелля . 1829 (4): 232–235. дои : 10.1515/crll.1829.4.232 . S2CID   199545985 .
• Гаусс, Карл Фридрих. Верке [ Собрание сочинений ]. Том. 5. с. 23–28.
• Герц, Генрих (1896). Принципы механики . Разные бумаги. Том. III. Макмиллан.
• Ланцос, Корнелиус (1986). «IV §8 Принцип наименьшего ограничения Гаусса». Вариационные принципы механики (Переиздание Университета Торонто, 1970 г., 4-е изд.). Курьер Дувр. стр. 106–110. ISBN  978-0-486-65067-8 .
• Папаставридис, Джон Г. (2014). «6.6 Принцип Гаусса (расширенное рассмотрение)». Аналитическая механика: всеобъемлющий трактат по динамике систем со связями (переиздание). Сингапур, Хакенсак, штат Нью-Джерси, Лондон: World Scientific Publishing Co. Pte. ООО, стр. 911–930. ISBN  978-981-4338-71-4 .

Внешние ссылки

• [1] Современное обсуждение и доказательство принципа Гаусса .
• Принцип Гаусса в Математической энциклопедии
• Принцип Герца в математической энциклопедии