Карл Фридрих Гаусс

Карл Фридрих Гаусс
Карл Фридрих Гаусс
	Портрет Кристиана Альбрехта Йенсена , 1840 г. (копия с Готлиба Бирмана, 1887 г.)
Рожденный	Иоганн Карл Фридрих Гаусс ; 30 апреля 1777 г. ; Брауншвейг , Княжество Брауншвейг-Вольфенбюттель, Священная Римская империя
Умер	23 февраля 1855 г. ( 77 лет ; Геттинген , Королевство Ганновер, Германская Конфедерация
Альма-матер	Кэролайн Колледж ; Геттингенский университет ; Университет Хельмштедта (доктор философии) ;
Известный	Полный список
Супруги	; Йоханна Остхофф ( м. 1805; умер в 1809 г.) ; Минна Вальдек ( м. 1810; умер в 1831 г.)
Дети	6
Награды	Премия Лаланда (1809 г.) ; Медаль Копли (1838 г.) ;
	Научная карьера
Поля	Математика, Астрономия, Геодезия, Магнетизм
Учреждения	Геттингенский университет
Диссертация	Новая демонстрация... (1799)
Докторантура	Иоганн Фридрих Пфафф
Докторанты	показывать
Другие известные студенты	показывать
Подпись

Иоганн Карл Фридрих Гаусс (нем. Gauß [kaʁl ˈfʁiːdʁɪç ˈɡaʊs] ^ⓘ; ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Латынь : Карол Фридерикус Гаусс ; 30 апреля 1777 — 23 февраля 1855) — немецкий математик , астроном , геодезист и физик, внесший вклад во многие области математики и естественных наук. Он был директором Геттингенской обсерватории и профессором астрономии с 1807 года до своей смерти в 1855 году.

Во время учебы в Геттингенском университете он выдвинул несколько математических теорем . Гаусс завершил свои шедевры Disquisitiones Arithmeticae и Theoria motus corporum coelestium как частный ученый. Он дал второе и третье полные доказательства основной теоремы алгебры , внес вклад в теорию чисел и разработал теории бинарных и троичных квадратичных форм.

Гаусс сыграл важную роль в идентификации Цереры как карликовой планеты. Его работа по движению планетоидов, возмущенных большими планетами, привела к введению гравитационной постоянной Гаусса и метода наименьших квадратов , который он открыл до того, как Адриан-Мари Лежандр опубликовал его. Гаусс отвечал за обширные геодезические исследования Ганноверского королевства вместе с проектом измерения дуги с 1820 по 1844 год; он был одним из основоположников геофизики и сформулировал основные принципы магнетизма . Плодами его практической деятельности стали изобретения гелиотропа в 1821 году, магнитометра в 1833 году и – вместе с Вильгельмом Эдуардом Вебером – первого электромагнитного телеграфа в 1833 году.

Гаусс отказался публиковать неполные работы и оставил несколько работ на редактирование посмертно . Он считал, что наибольшее удовольствие доставляет сам процесс обучения, а не обладание знаниями. Гаусс признался, что не любит преподавать, но некоторые из его учеников стали влиятельными математиками.

Биография

Молодежь и образование

Иоганн Карл Фридрих Гаусс родился 30 апреля 1777 года в Брауншвейге (Брауншвейг) в герцогстве Брауншвейг-Вольфенбюттель (ныне часть федеральной земли Германии Нижняя Саксония ) в семье с более низким социальным статусом. ^{[ 4 ]} Его отец Гебхард Дитрих Гаусс работал на нескольких должностях: мясником, каменщиком, садовником и казначеем фонда пособий по случаю смерти. Гаусс охарактеризовал своего отца как благородного и уважаемого человека, но грубого и властного дома. Он имел опыт письма и вычислений, тогда как его вторая жена Доротея, мать Карла Фридриха, была почти неграмотной. ^{[ 5 ]} У него был старший брат от первого брака отца. ^{[ 6 ]}

Гаусс был вундеркиндом в математике. Когда учителя начальной школы заметили его интеллектуальные способности, они привлекли к нему внимание герцога Брауншвейгского , который отправил его в местный Коллегиум Каролинум . ^{[ а ]} который он посещал с 1792 по 1795 год вместе с Эберхардом Августом Вильгельмом фон Циммерманном в качестве одного из своих учителей. ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}^{[ 10 ]} После этого герцог предоставил ему ресурсы для изучения математики, естественных наук и классических языков в Геттингенском университете до 1798 года. ^{[ 11 ]} Его профессором по математике был Авраам Готхельф Кестнер , которого Гаусс называл «ведущим математиком среди поэтов и ведущим поэтом среди математиков» из-за его эпиграмм . ^{[ 12 ]}^{[ б ]} Астрономию преподавал Карл Феликс Зейффер , с которым Гаусс продолжал переписываться после окончания учебы; ^{[ 13 ]} Ольберс и Гаусс высмеивали его в своей переписке. ^{[ 14 ]} С другой стороны, он высоко ценил Георга Кристофа Лихтенберга , своего учителя физики, и Кристиана Готлоба Хейне , лекции которого по классике Гаусс посещал с удовольствием. ^{[ 13 ]} Сокурсниками этого времени были Иоганн Фридрих Бензенберг , Фаркас Боляи и Генрих Вильгельм Брандес . ^{[ 13 ]}

Вероятно, он был студентом-самоучкой по математике, поскольку самостоятельно заново открыл несколько теорем. ^{[ 10 ]} Он решил геометрическую задачу, которая занимала математиков со времен древних греков , когда в 1796 году он определил, какие правильные многоугольники можно построить с помощью циркуля и линейки . математики вместо филологии . Это открытие в конечном итоге привело Гаусса к выбору карьеры ^{[ 15 ]} Математический дневник Гаусса, представляющий собой сборник коротких заметок о его результатах с 1796 по 1814 год, показывает, что многие идеи его математического великого труда Disquisitiones Arithmeticae (1801) относятся к этому времени. ^{[ 16 ]}

Частный ученый

Гаусс получил степень доктора философии в 1799 году, а не в Геттингене, как иногда утверждают. ^{[ с ]}^{[ 17 ]} но по специальному запросу герцога Брауншвейгского из Университета Хельмштедта, единственного государственного университета герцогства. Иоганн Фридрих Пфафф защитил докторскую диссертацию, а Гаусс получил степень заочно, без дальнейшего устного экзамена. ^{[ 10 ]} Затем герцог предоставил ему возможность жить частным ученым в Брауншвейге. Впоследствии Гаусс отказался от звонков из Российской академии наук в Санкт-Петербурге и Ландсхутского университета . ^{[ 18 ]}^{[ 19 ]} Позже герцог пообещал ему основать обсерваторию в Брауншвейге в 1804 году. Архитектор Петер Йозеф Краэ разработал предварительные проекты, но одна из войн Наполеона отменила эти планы: ^{[ 20 ]} Герцог был убит в битве при Йене в 1806 году. В следующем году герцогство было упразднено, и финансовая поддержка Гаусса прекратилась.

Когда Гаусс рассчитывал орбиты астероидов в первые годы века, он установил контакт с астрономическим сообществом Бремена и Лилиенталя , особенно с Вильгельмом Ольберсом , Карлом Людвигом Гардингом и Фридрихом Вильгельмом Бесселем , как часть неформальной группы астрономов, известной как Небесная полиция . ^{[ 21 ]} Одной из их целей было открытие новых планет. Они собрали данные об астероидах и кометах, которые легли в основу исследований Гаусса их орбит, которые он позже опубликовал в своем астрономическом выдающемся труде Theoria motus corporum coelestium (1809 г.). ^{[ 22 ]}

Профессор в Геттингене

В ноябре 1807 года Гаусс был призван в Геттингенский университет , который тогда был учреждением недавно основанного Вестфальского королевства под руководством Жерома Бонапарта , в качестве профессора и директора астрономической обсерватории . ^{[ 23 ]} и занимал этот пост до своей смерти в 1855 году. Вскоре он столкнулся с требованием двух тысяч франков от вестфальского правительства в качестве военного вклада, который он не мог позволить себе выплатить. И Ольберс, и Лаплас хотели помочь ему с оплатой, но Гаусс отказался от их помощи. Наконец, анонимный человек из Франкфурта , позже оказавшийся принцем-приматом Дальбергом , ^{[ 24 ]} заплатил сумму. ^{[ 23 ]}

Гаусс взял на себя управление 60-летней обсерваторией, основанной в 1748 году курфюрстом Георгом II и построенной на переоборудованной крепостной башне, ^{[ 25 ]} с пригодными к использованию, но частично устаревшими инструментами. ^{[ 26 ]} Строительство новой обсерватории было принципиально одобрено курфюрстом Георгом III с 1802 года, и Вестфальское правительство продолжило планирование. ^{[ 27 ]} но Гаусс не мог переехать на новое место работы до сентября 1816 года. ^{[ 19 ]} Он получил новые современные инструменты, в том числе два меридианных круга от Repsold. ^{[ 28 ]} и Райхенбах , ^{[ 29 ]} и гелиометр Фраунгофера . ^{[ 30 ]}

Научную деятельность Гаусса, помимо чистой математики, можно условно разделить на три периода: в первые два десятилетия XIX века главным направлением была астрономия, в третьем десятилетии - геодезия, в четвертом десятилетии - физика, главным образом магнетизм. ^{[ 31 ]}

Гаусс не скрывал своего отвращения к академическим лекциям. ^{[ 18 ]}^{[ 19 ]} Но с самого начала своей академической карьеры в Геттингене он непрерывно читал лекции до 1854 года. ^{[ 32 ]} Он часто жаловался на бремя преподавания, считая, что это пустая трата его времени. С другой стороны, он иногда называл некоторых студентов талантливыми. ^{[ 18 ]} Большинство его лекций было посвящено астрономии, геодезии и прикладной математике . ^{[ 33 ]} и всего три лекции по предметам чистой математики. ^{[ 18 ]}^{[ д ]} Некоторые из учеников Гаусса впоследствии стали известными математиками, физиками и астрономами: Мориц Кантор , Дедекинд , Дирксен , Энке , Гульд , ^{[ и ]} Гейне , Клинкерфюс , Купфер , Листинг , Мёбиус , Николай , Риман , Риттер , Шеринг , Шерк , Шумахер , фон Штаудт , Штерн , Урсин ; как ученые-геологи Сарториус фон Вальтерсхаузен и Ваппеус . ^{[ 18 ]}

Гаусс не написал ни одного учебника и не любил популяризацию научных вопросов. Его единственными попытками популяризации были его работы, посвященные Пасхе (1800/1802) и эссе Erdmagnetismus und Magnetometer 1836 года. ^{[ 35 ]} Гаусс публиковал свои статьи и книги исключительно на латыни или немецком языке . ^{[ ж ]}^{[ г ]} Он писал на латыни в классическом стиле, но использовал некоторые общепринятые модификации, предложенные современными математиками. ^{[ 38 ]}

В своей вступительной лекции в Геттингенском университете в 1808 году Гаусс заявил, что надежные наблюдения и результаты, полученные только с помощью сильных вычислений, являются единственными задачами астрономии. ^{[ 33 ]} В университете его сопровождал штат других преподавателей его дисциплин, прошедших образовательную программу; в их число входили математик Тибо с его лекциями, ^{[ 40 ]} физик Майер , известный своими учебниками, ^{[ 41 ]} его преемник Вебер с 1831 года, и в обсерватории Гардинг , читавший основную часть лекций по практической астрономии. Когда обсерватория была завершена, Гаусс поселился в западном крыле новой обсерватории, а Хардинг — в восточном. ^{[ 19 ]} Когда-то они были в дружеских отношениях, но со временем отдалились друг от друга, возможно – как предполагают некоторые биографы – потому, что Гаусс желал, чтобы Хардинг того же ранга был не более чем его помощником или наблюдателем. ^{[ 19 ]}^{[ ч ]} Гаусс использовал почти исключительно новые меридианные круги и держал их подальше от Хардинга, за исключением некоторых очень редких совместных наблюдений. ^{[ 43 ]}

Брендель подразделяет астрономическую деятельность Гаусса в хронологическом порядке на семь периодов, из которых годы после 1820 года принимаются как «период низшей астрономической деятельности». ^{[ 44 ]} Новая, хорошо оборудованная обсерватория работала не так эффективно, как другие; Астрономические исследования Гаусса имели характер единоличного предприятия без длительной программы наблюдений, и место для ассистента в университете открылось только после смерти Гардинга в 1834 году. ^{[ 42 ]}^{[ 43 ]}^{[ я ]}

Тем не менее Гаусс дважды отказывался от возможности решить задачу, приняв предложения из Берлина в 1810 и 1825 годах стать полноправным членом Прусской академии, не обременяя лекторскими обязанностями, а также от Лейпцигского университета в 1810 году и от Венского университета в 1842 году, возможно, из-за тяжелого положения семьи. ^{[ 42 ]} Зарплата Гаусса была повышена с 1000 рейхсталеров в 1810 году до 2400 рейхсталеров в 1824 году. ^{[ 19 ]} а в последние годы своей жизни он был одним из самых высокооплачиваемых профессоров университета. ^{[ 45 ]}

Когда в 1810 году Гаусса попросил о помощи его коллега и друг Фридрих Вильгельм Бессель , у которого были проблемы в Кенигсбергском университете из-за отсутствия у него ученого звания, Гаусс в марте 1811 года предоставил доктора Бесселю степень почетного философского факультета Геттингена. . ^{[ Дж ]} еще одну рекомендацию на почетную степень, Гаусс дал Софи Жермен но незадолго до ее смерти, поэтому она ее так и не получила. ^{[ 48 ]} Он также оказал успешную поддержку математику Готхольду Эйзенштейну в Берлине. ^{[ 49 ]}

Гаусс был верен Ганноверскому дому . После смерти короля Вильгельма IV в 1837 году новый ганноверский король Эрнест Август аннулировал конституцию 1833 года. Против этого протестовали семь профессоров, позже известных как « Геттингенская семерка », в том числе его друг и соратник Вильгельм Вебер и зять Гаусса Генрих Эвальд. Все они были уволены, трое исключены, но Эвальд и Вебер могли остаться в Геттингене. Гаусс был глубоко потрясен этой ссорой, но не видел возможности им помочь. ^{[ 50 ]}

Гаусс принимал участие в академическом управлении: трижды избирался деканом философского факультета. ^{[ 51 ]} Будучи доверенным вдовьим пенсионным фондом университета, он занимался актуарной наукой и написал доклад о стратегии стабилизации пособий. Он был назначен директором Королевской академии наук в Геттингене на девять лет. ^{[ 51 ]}

Гаусс оставался умственно активным до самой старости, даже страдая от подагры и общего несчастья. 23 февраля 1855 года он умер от сердечного приступа в Геттингене; ^{[ 12 ]} и был похоронен там на кладбище Альбани . Генрих Эвальд , зять Гаусса, и Вольфганг Сарториус фон Вальтерсхаузен , близкий друг и биограф Гаусса, произнесли хвалебные речи на его похоронах. ^{[ 52 ]}

Гаусс был успешным инвестором и накопил значительное состояние с помощью акций и ценных бумаг, стоимость которого в конечном итоге превысила 150 тысяч талеров; после его смерти в его покоях было найдено спрятано около 18 тысяч талеров. ^{[ 53 ]}

Мозг Гаусса

На следующий день после смерти Гаусса его мозг был удален, сохранен и изучен Рудольфом Вагнером , который обнаружил, что его масса немного выше среднего — 1492 грамма (52,6 унции). ^{[ 54 ]}^{[ 55 ]} Сын Вагнера Герман , географ, в своей докторской диссертации оценил площадь мозга в 219 588 квадратных миллиметров (340,362 квадратных дюйма). ^{[ 56 ]} В 2013 году нейробиолог из Института биофизической химии Макса Планка в Геттингене обнаружил, что мозг Гаусса вскоре после первых исследований из-за неправильной маркировки был перепутан с мозгом врача Конрада Генриха Фукса , который умер в Геттингене через несколько месяцев после Гаусс. ^{[ 57 ]} Дальнейшее исследование не выявило каких-либо заметных аномалий в мозге обоих людей. Таким образом, все исследования мозга Гаусса до 1998 года, за исключением первых исследований Рудольфа и Германа Вагнера, фактически относятся к мозгу Фукса. ^{[ 58 ]}

Семья

Гаусс женился на Йоханне Остхофф 9 октября 1805 года в церкви Святой Екатерины в Брауншвейге. ^{[ 59 ]} У них было два сына и одна дочь: Джозеф (1806–1873), Вильгельмина (1808–1840) и Луи (1809–1810). Джоанна умерла 11 октября 1809 года, через месяц после рождения Людовика, который сам умер несколько месяцев спустя. ^{[ 60 ]} Гаусс выбрал имена своих детей в честь Джузеппе Пьяцци , Вильгельма Ольберса и Карла Людвига Гардинга, первооткрывателей первых астероидов. ^{[ 61 ]}

4 августа 1810 года вдовец женился на Вильгельмине (Минне) Вальдек, подруге своей первой жены, от которой у него родилось еще трое детей: Ойген (позже Юджин) (1811–1896), Вильгельм (позже Уильям) (1813–1879). и Тереза (1816–1864). Минна Гаусс умерла 12 сентября 1831 года после более чем десятилетней серьезной болезни. ^{[ 62 ]} Затем Тереза взяла на себя домашнее хозяйство и заботилась о Гауссе до конца его жизни; после смерти отца она вышла замуж за актера Константина Штауфенау. ^{[ 63 ]} Ее сестра Вильгельмина вышла замуж за востоковеда Генриха Эвальда . ^{[ 64 ]} Мать Гаусса Доротея жила в его доме с 1817 года до своей смерти в 1839 году. ^{[ 11 ]}

Старший сын Йозеф, еще школьником, помогал отцу в качестве помощника во время геодезической кампании летом 1821 года. После непродолжительного обучения в университете в 1824 году Йозеф вступил в ганноверскую армию и снова помогал в геодезических работах в 1829 году. В 1830-х годах он отвечал за расширение исследовательской сети на западные части королевства. Имея геодезическую квалификацию, он оставил службу и занялся строительством железнодорожной сети в должности директора Королевских Ганноверских государственных железных дорог . В 1836 году он несколько месяцев изучал железнодорожную систему США. ^{[ 45 ]}^{[ к ]}

Ойген покинул Геттинген в сентябре 1830 года и эмигрировал в США, где служил в армии на пять лет. Затем он работал в Американской меховой компании на Среднем Западе. Позже он переехал в Миссури и стал успешным бизнесменом. ^{[ 45 ]} Вильгельм женился на племяннице астронома Бесселя ; ^{[ 67 ]} Затем он переехал в Миссури, начал заниматься фермерством, а разбогател на обувном бизнесе в Сент-Луисе . в последующие годы ^{[ 68 ]} У Юджина и Уильяма множество потомков в Америке, но все потомки Гаусса, оставшиеся в Германии, происходят от Джозефа, поскольку у дочерей не было детей. ^{[ 45 ]}

Йозеф Гаусс
Софи Гаусс, урожденная Эритропель
жена Джозефа
Вильгельмина Гаусс
Генрих Эвальд
муж Вильгельмины
Ойген (Юджин) Гаусс
Генриетта Гаусс, урожденная Фосетт
Жена Евгения
Вильгельм (Чарльз Уильям) Гаусс
Луиза Алетта Гаусс, урожденная Фалленштейн
Жена Уильяма
Тереза Гаусс
Константин Штауфенау
муж Терезы

Личность

ученый

В первые два десятилетия XIX века Гаусс был единственным крупным математиком в Германии, сравнимым с ведущими французскими математиками; ^{[ 69 ]} его Disquisitiones Arithmeticae была первой математической книгой из Германии, переведенной на французский язык. ^{[ 70 ]}

Гаусс был «впереди новых разработок» благодаря документированным исследованиям с 1799 года, богатству новых идей и строгости их демонстрации. ^{[ 71 ]} В то время как предыдущие математики, такие как Леонард Эйлер, позволяли читателям участвовать в их рассуждениях о новых идеях, включая некоторые ошибочные отклонения от правильного пути, ^{[ 72 ]} Однако Гаусс ввел новый стиль прямого и полного объяснения, который не пытался показать читателю ход мыслей автора. ^{[ 73 ]}

Гаусс был первым, кто восстановил ту строгость доказательства, которой мы восхищаемся у древних и которая была неоправданно отодвинута на второй план исключительным интересом предшествующего периода к новым разработкам.
- Кляйн 1894 , с. 101

Но для себя он пропагандировал совершенно иной идеал, изложенный в письме Фаркашу Боляи следующим образом: ^{[ 74 ]}

Не знание, а сам процесс обучения, не обладание, а процесс достижения цели доставляет величайшее наслаждение. Когда я прояснил и исчерпал предмет, то я отворачиваюсь от него, чтобы снова уйти во тьму.
- Даннингтон 2004 , с. 416

Посмертные статьи, его научный дневник , ^{[ 75 ]} а краткие пояснения в его собственных учебниках показывают, что он работал в значительной степени эмпирическим путем. ^{[ 76 ]}^{[ 77 ]} Он всю жизнь был занятым и увлеченным калькулятором, который производил свои расчеты с необычайной быстротой, большей частью без точного контроля, но проверял результаты мастерской оценкой. Тем не менее его расчеты не всегда были свободны от ошибок. ^{[ 78 ]} Он справился с огромным объемом работы, используя умелые инструменты. ^{[ 79 ]} Гаусс использовал множество математических таблиц , исследовал их точность и построил новые таблицы по различным вопросам для личного пользования. ^{[ 80 ]} Он разработал новые инструменты для эффективных вычислений, например метод исключения Гаусса . ^{[ 81 ]} Любопытной особенностью его стиля работы было то, что он проводил расчеты с высокой степенью точности, гораздо большей, чем требовалось, и готовил таблицы с большим количеством десятичных знаков, чем когда-либо требовалось для практических целей. ^{[ 82 ]} Вероятно, этот метод дал ему большой материал, который он использовал при выводе теорем теории чисел. ^{[ 79 ]}^{[ 83 ]}

Гаусса Печать с его девизом *Pauca sed Matura*

Гаусс отказался публиковать работу, которую он не считал полной и выше критики. Этот перфекционизм соответствовал девизу его личной печати Pauca sed Matura («Мало, но спелые»). Многие коллеги поощряли его публиковать новые идеи и иногда упрекали его, если он, по их мнению, слишком долго колебался. Гаусс защищался, утверждая, что первоначальное открытие идей было легким, но подготовка презентабельной разработки была для него трудным делом либо из-за нехватки времени, либо из-за «спокойствия ума». ^{[ 35 ]} Тем не менее он опубликовал множество коротких сообщений актуального содержания в различных журналах, но оставил после себя и немалое литературное наследие. ^{[ 84 ]}^{[ 85 ]} Гаусс называл математику «царицей наук», а арифметику — «царицей математики». ^{[ 86 ]} и предположительно когда-то придерживался убеждения в необходимости немедленного понимания личности Эйлера как ориентира для того, чтобы стать первоклассным математиком. ^{[ 87 ]}

В некоторых случаях Гаусс утверждал, что идеи другого ученого уже были в его распоряжении ранее. Таким образом, его концепция приоритета как «первым открыть, а не первым опубликовать» отличалась от концепции его современников-ученых. ^{[ 88 ]} В отличие от его перфекционизма в изложении математических идей, его критиковали за небрежное цитирование. Он обосновывал себя совершенно особым взглядом на правильное цитирование: если и давал ссылки, то только вполне полно, по отношению к предыдущим важным авторам, которых никто не должен игнорировать; но для такого цитирования требовались знания истории науки и больше времени, чем он хотел потратить. ^{[ 35 ]}

Частный человек

Вскоре после смерти Гаусса его друг Сарториус опубликовал первую биографию (1856 г.), написанную в довольно восторженном стиле. Сарториус видел в нем спокойного, устремленного вперед человека с детской скромностью. ^{[ 89 ]} но и "железного характера" ^{[ 90 ]} с непоколебимой силой духа. ^{[ 91 ]} Помимо его ближайшего окружения, другие считали его сдержанным и неприступным, «подобным олимпийцу, восседающему на троне на вершине науки». ^{[ 92 ]} Близкие современники сходились во мнении, что Гаусс был человеком непростого характера. Он часто отказывался принимать комплименты. Его сварливое поведение иногда раздражало посетителей, но вскоре его настроение могло измениться, и он становился обаятельным и непредубежденным хозяином. ^{[ 35 ]} Гаусс ненавидел полемических натур; вместе со своим коллегой Хаусманном он выступил против назначения Юстуса Либиха на кафедру университета в Геттингене, «поскольку он всегда был вовлечен в какую-то полемику». ^{[ 93 ]}

Жизнь Гаусса была омрачена тяжелыми проблемами в семье. Когда его первая жена Джоанна внезапно умерла вскоре после рождения третьего ребенка, он поделился своим горем в последнем письме к своей умершей жене в стиле древнего плача , самого личного сохранившегося документа Гаусса. ^{[ 94 ]}^{[ 95 ]} Ситуация ухудшилась, когда туберкулез окончательно уничтожил здоровье его второй жены Минны за 13 лет; обе его дочери позже страдали от той же болезни. ^{[ 96 ]} Сам Гаусс лишь слегка намекнул на свое горе: в письме Бесселю от декабря 1831 года он назвал себя «жертвой самых страшных домашних страданий». ^{[ 35 ]}

Из-за болезни жены оба младших сына несколько лет получили образование в Целле , вдали от Геттингена. Военная карьера его старшего сына Иосифа завершилась спустя более чем два десятилетия в звании низкооплачиваемого старшего лейтенанта , хотя он и приобрел значительные познания в геодезии. Ему требовалась финансовая поддержка отца даже после того, как он женился. ^{[ 45 ]} Второй сын Ойген во многом разделял талант своего отца в области вычислений и языков, но имел жизнерадостный, а иногда и бунтарский характер. Он хотел изучать филологию, а Гаусс хотел, чтобы он стал юристом. Накопив долгов и устроив скандал на публике, ^{[ 97 ]} Ойген внезапно покинул Геттинген при драматических обстоятельствах в сентябре 1830 года и эмигрировал через Бремен в Соединенные Штаты. Он потратил впустую те небольшие деньги, которые взял на старт, после чего его отец отказался от дальнейшей финансовой поддержки. ^{[ 45 ]} Младший сын Вильгельм хотел получить право на управление сельским хозяйством, но столкнулся с трудностями в получении соответствующего образования и в конце концов тоже эмигрировал. Лишь младшая дочь Гаусса Тереза сопровождала его в последние годы жизни. ^{[ 63 ]}

Сбор числовых данных о самых разных вещах, полезных или бесполезных, вошёл в его поздние годы в привычку, например, о количестве путей от дома до определённых мест в Гёттингене или о числе дней жизни людей; в декабре 1851 года он поздравил Гумбольдта с тем, что на момент его смерти он достиг того же возраста, что и Исаак Ньютон , исчисляемый днями. ^{[ 98 ]}

Помимо превосходного знания латыни, он также был знаком с современными языками. В возрасте 62 лет он начал изучать русский язык , вероятно, понимал научные труды из России, в том числе работы Лобачевского по неевклидовой геометрии. ^{[ 99 ]} Гаусс читал как классическую, так и современную литературу, а также английские и французские произведения на языках оригинала. ^{[ 100 ]}^{[ м ]} Его любимым английским писателем был Вальтер Скотт , любимым немцем Жан-Поль . ^{[ 102 ]} Гаусс любил петь и ходил на концерты. ^{[ 103 ]} Он был занятым читателем газет; в последние годы своей жизни он каждый полдень посещал салон академической прессы университета. ^{[ 104 ]} Гаусса не особо интересовала философия, и он высмеивал «секретные волосы так называемых метафизиков», под которыми он имел в виду сторонников современной школы натурфилософии . ^{[ 105 ]}

Гаусс имел «аристократическую и насквозь консервативную натуру», мало уважая интеллект и мораль людей, следуя девизу « mundus vult decipi ». ^{[ 104 ]} Он не любил Наполеона и его систему, а всякого рода насилие и революции вызывали у него ужас. Таким образом, он осудил методы революций 1848 года , хотя и согласился с некоторыми их целями, такими как идея единой Германии. ^{[ 90 ]}^{[ н ]} Что касается политической системы, то он дал низкую оценку конституционному строю; он критиковал парламентариев своего времени за недостаток знаний и логические ошибки. ^{[ 104 ]}

Некоторые биографы Гаусса размышляли о его религиозных убеждениях. Иногда он говорил: «Бог арифметизирует». ^{[ 106 ]} и «Мне удалось – не благодаря моим упорным усилиям, а по милости Господа». ^{[ 107 ]} Гаусс был членом лютеранской церкви , как и большинство населения северной Германии. Похоже, он не верил всем догмам и не понимал Библию буквально. ^{[ 108 ]} Гаусса Сарториус упомянул религиозную терпимость и оценил его «ненасытную жажду истины» и его чувство справедливости как мотивированные религиозными убеждениями. ^{[ 109 ]}

Научная работа

Алгебра и теория чисел

Основная теорема алгебры

В своей докторской диссертации 1799 года Гаусс доказал фундаментальную теорему алгебры , которая гласит, что каждый непостоянный многочлен от одной переменной с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень . Математики, в том числе Жан ле Рон д'Аламбер, до него представили ложные доказательства, а диссертация Гаусса содержит критику работы Даламбера. Впоследствии он представил еще три доказательства, последнее из которых в 1849 году было в целом строгим. Его попытки значительно прояснили концепцию комплексных чисел. ^{[ 110 ]}

Арифметические исследования

В предисловии к «Рассуждениям » Гаусс датирует начало своей работы по теории чисел 1795 годом. Изучая работы предыдущих математиков, таких как Ферма, Эйлер, Лагранж и Лежандр, он понял, что эти ученые уже нашли многое из того, что он нашел. обнаружил сам. ^{[ 111 ]} Книга Disquisitiones Arithmeticae , написанная с 1798 года и опубликованная в 1801 году, объединила теорию чисел как дисциплину и охватила как элементарную, так и алгебраическую теорию чисел . Там он вводит символ тройной черты ( $\equiv$ ) для сравнения и использует его для наглядного представления модульной арифметики . ^{[ 112 ]} В нем рассматривается единственная теорема факторизации и примитивные корни по модулю n . В основных главах Гаусс представляет первые два доказательства закона квадратичной взаимности. ^{[ 113 ]} и развивает теории двоичных чисел ^{[ 114 ]} и троичные квадратичные формы . ^{[ 115 ]}

В Disquisitiones включен закон композиции Гаусса для бинарных квадратичных форм, а также перечисление количества представлений целого числа в виде суммы трех квадратов. В качестве почти непосредственного следствия своей теоремы о трёх квадратах он доказывает треугольный случай теоремы Ферма о многоугольных числах для n = 3. ^{[ 116 ]} Из нескольких аналитических результатов о числах классов , которые Гаусс дает без доказательства в конце пятой главы, ^{[ 117 ]} Похоже, что Гаусс уже знал формулу номера класса в 1801 году. ^{[ 118 ]}

В последней главе Гаусс дает доказательство возможности построения правильного семиугольника (17-гранного многоугольника) с линейкой и циркулем , сводя эту геометрическую задачу к алгебраической. ^{[ 119 ]} Он показывает, что правильный многоугольник можно построить, если число его сторон является либо степенью 2 , либо произведением степени 2 и любого количества различных простых чисел Ферма . В этой же главе он дает результат о числе решений некоторых кубических многочленов с коэффициентами в конечных полях , что сводится к подсчету целых точек на эллиптической кривой . ^{[ 120 ]} Лишь после его смерти среди оставленных бумаг была найдена незаконченная восьмая глава, состоящая из работ, выполненных в 1797–1799 гг. ^{[ 121 ]}^{[ 122 ]}

Дальнейшие расследования

Одним из первых результатов Гаусса была эмпирически найденная гипотеза 1792 года – позже названная теоремой о простых числах – дающая оценку количества простых чисел с помощью целого логарифма . ^{[ 123 ]}^{[ о ]}

Когда в 1816 году Ольберс предложил Гауссу побороться за приз Французской академии за доказательство Великой теоремы Ферма (FLT), он отказался из-за своей низкой оценки в этом вопросе. Однако среди его левых работ была найдена короткая недатированная статья с доказательством FLT для случаев n = 3 и n = 5. ^{[ 125 ]} Частный случай n = 3 был доказан гораздо раньше Леонардом Эйлером , но Гаусс разработал более упрощенное доказательство, в котором использовались целые числа Эйзенштейна ; хотя и более общее, доказательство было проще, чем в случае действительных целых чисел. ^{[ 126 ]}

Гаусс внес свой вклад в решение гипотезы Кеплера в 1831 году, доказав, что наибольшая плотность упаковки сфер в трехмерном пространстве достигается тогда, когда центры сфер образуют кубическое гранецентрированное расположение: ^{[ 127 ]} когда он рецензировал книгу Людвига Августа Зеебера по теории приведения положительных троичных квадратичных форм. ^{[ 128 ]} Заметив некоторые недостатки в доказательстве Зеебера, он упростил многие из своих аргументов, доказал центральную гипотезу и заметил, что эта теорема эквивалентна гипотезе Кеплера для регулярных расположений. ^{[ 129 ]}

В двух статьях о биквадратичных вычетах (1828, 1832) Гаусс ввел кольцо гауссовских целых чисел. $\mathbb {Z} [i]$ показал, что это уникальная область факторизации . ^{[ 130 ]} и обобщил некоторые ключевые арифметические концепции, такие как малая теорема Ферма и лемма Гаусса . Основной целью введения этого кольца была формулировка закона биквадратичной взаимности. ^{[ 130 ]} – как обнаружил Гаусс, кольца комплексных целых чисел являются естественной средой для таких высших законов взаимности. ^{[ 131 ]}

Во второй статье он сформулировал общий закон биквадратной взаимности и доказал несколько его частных случаев. В более ранней публикации 1818 года, содержащей его пятое и шестое доказательства квадратичной взаимности, он утверждал, что методы этих доказательств ( суммы Гаусса ) могут быть применены для доказательства высших законов взаимности. ^{[ 132 ]}

Анализ

Одним из первых открытий Гаусса было понятие среднего арифметико-геометрического (АГС) двух положительных действительных чисел. ^{[ 133 ]} Он обнаружил ее связь с эллиптическими интегралами в 1798–1799 годах посредством преобразования Ландена , а в дневниковой записи зафиксировано открытие связи константы Гаусса с лемнискатическими эллиптическими функциями , результат, который, как заявил Гаусс, «наверняка откроет совершенно новую область анализа». ^{[ 134 ]} Он также рано вторгся в более формальные вопросы оснований комплексного анализа , и из письма Бесселю в 1811 году ясно, что он знал «фундаментальную теорему комплексного анализа» – интегральную теорему Коши – и понимал понятие комплексного анализа . остатки при интегрировании вокруг полюсов . ^{[ 120 ]}^{[ 135 ]}

Теорема Эйлера о пятиугольных числах вместе с другими исследованиями AGM и лемнискатических функций привела его к множеству результатов о тета-функциях Якоби . ^{[ 120 ]} кульминацией стало открытие в 1808 году тождества тройного произведения Якоби, позже названного тождеством тройного произведения , которое включает в себя теорему Эйлера как частный случай. ^{[ 136 ]} Его работы показывают, что он знал модулярные преобразования 3, 5, 7 порядка для эллиптических функций с 1808 года. ^{[ 137 ]}^{[ п ]}^{[ q ]}

Несколько математических фрагментов в его «Начклассе» указывают на то, что он знал некоторые части современной теории модульных форм . ^{[ 120 ]} В своей работе над многозначным AGM двух комплексных чисел он обнаружил глубокую связь между бесконечно многими значениями AGM и двумя его «простейшими значениями». ^{[ 134 ]} В своих неопубликованных работах он осознал и сделал набросок ключевой концепции фундаментальной области модульной группы . ^{[ 139 ]}^{[ 140 ]} Одним из набросков Гаусса такого рода был рисунок замощения единичного круга « равносторонними» гиперболическими треугольниками со всеми углами, равными $\pi /4$ . ^{[ 141 ]}

Примером проницательности Гаусса в области анализа является загадочное замечание о том, что принципы деления круга с помощью циркуля и линейки также могут быть применены к делению кривой лемнискаты , что послужило вдохновением для создания теоремы Абеля о делении лемнискаты. ^{[ р ]} Другим примером является его публикация «Summatio quarundam serierum сингуляриум» (1811 г.) об определении знака квадратичной суммы Гаусса , в которой он решил основную проблему, введя q-аналоги биномиальных коэффициентов и манипулируя ими с помощью нескольких оригинальных тождеств, которые кажутся вытекают из его работ по теории эллиптических функций; однако Гаусс изложил свой аргумент формальным образом, который не раскрывает его происхождение из теории эллиптических функций, и только более поздние работы математиков, таких как Якоби и Эрмит, раскрыли суть его аргумента. ^{[ 142 ]}

В «Disquisitionesgenerales circa series infinitam...» (1813 г.) он дает первое систематическое рассмотрение общей гипергеометрической функции. $F(\alpha ,\beta ,\gamma ,x)$ и показывает, что многие из известных в то время функций являются частными случаями гипергеометрической функции. ^{[ 143 ]} Эта работа является первой точной работой по исследованию сходимости бесконечных рядов. в истории математики ^{[ 144 ]} Кроме того, он имеет дело с бесконечными цепными дробями, возникающими как отношения гипергеометрических функций, которые теперь называются цепными дробями Гаусса . ^{[ 145 ]}

В 1823 году Гаусс получил премию Датского общества за эссе о конформных отображениях , содержащее несколько разработок, относящихся к области комплексного анализа. ^{[ 146 ]} Гаусс заявил, что отображения, сохраняющие угол в комплексной плоскости, должны быть комплексными аналитическими функциями , и использовал позднее названное уравнение Бельтрами , чтобы доказать существование изотермических координат на аналитических поверхностях. Эссе завершается примерами конформных отображений на сферу и эллипсоид вращения . ^{[ 147 ]}

Численный анализ

Гаусс часто выводил теоремы индуктивным путем на основе числовых данных, собранных им эмпирическим путем. ^{[ 77 ]} Таким образом, использование эффективных алгоритмов для облегчения вычислений было жизненно важным для его исследований, и он внес большой вклад в численный анализ , например, в метод квадратуры Гаусса, опубликованный в 1816 году. ^{[ 148 ]}

В частном письме Герлингу от 1823 г. ^{[ 149 ]} он описал решение системы линейных уравнений 4X4 с использованием метода Гаусса-Зейделя - «косвенного» итерационного метода решения линейных систем и рекомендовал его вместо обычного метода «прямого исключения» для систем, состоящих из более чем двух уравнений. . ^{[ 150 ]}

Гаусс изобрел алгоритм вычисления того, что сейчас называется дискретными преобразованиями Фурье , при вычислении орбит Паллады и Юноны в 1805 году, за 160 лет до того, как Кули и Тьюки нашли свой аналогичный алгоритм БПФ Кули-Тьюки . ^{[ 151 ]} Он разработал его как метод тригонометрической интерполяции , но статья Theoria Interpolationis Methodo Nova Tractata была опубликована только посмертно в 1876 году. ^{[ 152 ]} предшествовала первая презентация Жозефа Фурье по этому вопросу в 1807 году. ^{[ 153 ]}

Хронология

Первая публикация после докторской диссертации была посвящена определению даты Пасхи (1800 г.) — элементарному вопросу математики. Гаусс стремился представить наиболее удобный алгоритм для людей без каких-либо знаний церковной или даже астрономической хронологии и, таким образом, избегал обычно требуемых терминов золотого числа , эпакта , солнечного цикла , купольной буквы и любых религиозных коннотаций. ^{[ 154 ]} Биографы размышляли о причине, по которой Гаусс затронул этот вопрос, но это, вероятно, можно понять, исходя из исторического фона. Замена юлианского календаря григорианским календарем вызвала путаницу в Священной Римской империи с 16 века и завершилась в Германии только в 1700 году, когда разница в одиннадцать дней была устранена, но разница в вычислении даты Пасхи оставался между протестантскими и католическими территориями. Дальнейшее соглашение 1776 г. уравняло конфессиональный способ счета; таким образом, в протестантских государствах, таких как герцогство Брауншвейгское, Пасха 1777 года, за пять недель до рождения Гаусса, была первой, рассчитанной по-новому. ^{[ 155 ]} Общественные трудности замены могут быть историческим фоном путаницы по этому вопросу в семье Гаусс (см. главу: Анекдоты ). эссе о дате Песаха . Поскольку это было связано с пасхальными правилами, вскоре в 1802 году последовало ^{[ 156 ]}

Астрономия

1 января 1801 года итальянский астроном Джузеппе Пиацци открыл новый небесный объект, предположил, что это давно разыскиваемая планета между Марсом и Юпитером согласно так называемому закону Тициуса-Боде , и назвал его Церерой . ^{[ 157 ]} Он мог отслеживать его лишь в течение короткого времени, пока он не скрылся за сиянием Солнца. Математических инструментов того времени было недостаточно, чтобы экстраполировать положение на основе немногочисленных данных для его повторного появления. Гаусс взялся за эту проблему и предсказал место возможного повторного открытия в декабре 1801 года. Это оказалось точным с точностью до полградуса, когда Франц Ксавер фон Зах 7 и 31 декабря в Готе и независимо Генрих Ольберс 1 и 2 января в Бремене. , идентифицировал объект рядом с прогнозируемым положением. ^{[ 158 ]}^{[ с ]}

Метод Гаусса приводит к уравнению восьмой степени, одно решение которого — орбита Земли, известно. Затем искомое решение отделяется от остальных шести на основе физических условий. В этой работе Гаусс использовал созданные им для этой цели комплексные методы аппроксимации. ^{[ 159 ]}

Открытие Цереры привело Гаусса к теории движения планетоидов, возмущенной большими планетами, которая в конечном итоге была опубликована в 1809 году под названием Theoria motus corporum coelestium insectionibus conicis solemambitum . ^{[ 160 ]} Он ввел гравитационную постоянную Гаусса . ^{[ 33 ]}

С тех пор как были открыты новые астероиды, Гаусс занялся возмущениями элементов их орбит . Сначала он исследовал Цереру аналитическими методами, подобными методам Лапласа, но его любимым объектом была Паллада из-за ее большого эксцентриситета и наклона орбиты , из-за чего метод Лапласа не работал. Гаусс использовал свои собственные инструменты: среднее арифметико-геометрическое , гипергеометрическую функцию и свой метод интерполяции. ^{[ 161 ]} В 1812 году он обнаружил орбитальный резонанс с Юпитером в пропорции 18:7; Гаусс дал этот результат в виде шифра , а явный смысл придал только в письмах Ольберсу и Бесселю. ^{[ 162 ]}^{[ 163 ]}^{[ т ]} После долгих лет работы он закончил ее в 1816 году, не получив результата, который показался ему достаточным. Это положило конец его деятельности в области теоретической астрономии. ^{[ 165 ]}

Одним из результатов исследований Гаусса возмущений Палласа стала работа Determinatio Attractionis... (1818 г.), посвященная методу теоретической астрономии, который позже стал известен как «метод эллиптических колец». Он ввел концепцию усреднения, в которой планета на орбите заменяется фиктивным кольцом с плотностью массы, пропорциональной времени, за которое планета движется по соответствующим орбитальным дугам. ^{[ 166 ]} Гаусс представляет метод оценки гравитационного притяжения такого эллиптического кольца, включающий несколько этапов; один из них предполагает прямое применение алгоритма среднего арифметико-геометрического (AGM) для вычисления эллиптического интеграла . ^{[ 167 ]}

Хотя вклад Гаусса в теоретическую астрономию подошел к концу, более практическая деятельность в наблюдательной астрономии продолжалась и занимала его на протяжении всей его карьеры. Еще в начале 1799 года Гаусс занимался определением долготы с использованием лунного параллакса, для чего он разработал более удобные формулы, чем те, которые обычно использовались. ^{[ 168 ]} После назначения директором обсерватории в переписке с Бесселем он придавал значение фундаментальным астрономическим константам. Сам Гаусс предоставил таблицы нутации и аберрации, солнечных координат и рефракции. ^{[ 169 ]} Он внес большой вклад в сферическую геометрию и в этом контексте решил некоторые практические проблемы навигации по звездам . ^{[ 170 ]} Он опубликовал большое количество наблюдений, главным образом по малым планетам и кометам; его последним наблюдением было солнечное затмение 28 июля 1851 года . ^{[ 171 ]}

Теория ошибок

Гаусс, вероятно, использовал метод наименьших квадратов для расчета орбиты Цереры, чтобы минимизировать влияние ошибки измерения . ^{[ 88 ]} Этот метод был впервые опубликован Адрианом-Мари Лежандром в 1805 году, но Гаусс в «Theoria motus» (1809) утверждал, что он использовал его с 1794 или 1795 года. ^{[ 172 ]}^{[ 173 ]}^{[ 174 ]} В истории статистики это разногласие получило название «спор о приоритете открытия метода наименьших квадратов». ^{[ 88 ]} Гаусс доказал, что этот метод имеет наименьшую дисперсию выборки в классе линейных несмещенных оценок в предположении нормально распределенных ошибок ( теорема Гаусса-Маркова ), в статье, состоящей из двух частей, Theoria Combinis Observeum erroribus Minimis Obnoxiae (1823). ^{[ 175 ]}

В первой статье он доказал неравенство Гаусса ( неравенство типа Чебышева ) для унимодальных распределений и сформулировал без доказательства другое неравенство для моментов четвертого порядка (частный случай неравенства Гаусса-Винклера). ^{[ 176 ]} Он получил нижнюю и верхнюю границы дисперсии выборочной дисперсии . Во второй статье Гаусс описал рекурсивные методы наименьших квадратов . Его работа по теории ошибок была расширена в нескольких направлениях геодезистом Фридрихом Робертом Гельмертом до модели Гаусса-Гельмерта . ^{[ 177 ]}

Гаусс также внес свой вклад в решение проблем теории вероятностей , которые не связаны напрямую с теорией ошибок. Одним из примеров является дневниковая заметка, в которой он пытался описать асимптотическое распределение записей в разложении случайного числа в непрерывную дробь, равномерно распределенного в (0,1) . Он вывел это распределение, теперь известное как распределение Гаусса-Кузмина , как побочный продукт открытия эргодичности отображения Гаусса для цепных дробей . Решение Гаусса — первый результат в метрической теории цепных дробей. ^{[ 178 ]}

Дуговые измерения и геодезические изыскания

Геодезическими задачами Гаусс занимался с 1799 года, когда помогал Карлу Людвигу фон Лекоку с расчетами во время его изысканий в Вестфалии . ^{[ 179 ]} Начиная с 1804 года, он самостоятельно обучался геодезии с секстантом в Брауншвейге. ^{[ 180 ]} и Геттинген. ^{[ 181 ]}

С 1816 года бывший ученик Гаусса Генрих Кристиан Шумахер , тогда профессор в Копенгагене , но живший в Альтоне ( Гольштейн ) под Гамбургом в качестве руководителя обсерватории, осуществил триангуляцию полуострова Ютландия от Скагена на севере до Лауэнбурга на юге. ^{[ в ]} Этот проект послужил основой для создания карт, но также был направлен на определение геодезической дуги между терминалами. Данные геодезических дуг использовались для определения размеров земного геоида , а большие расстояния по дугам давали более точные результаты. Шумахер попросил Гаусса продолжить эту работу дальше на юг, в Ганноверском королевстве; Гаусс согласился после непродолжительного колебания. Наконец, в мае 1820 года король Георг IV отдал приказ Гауссу. ^{[ 182 ]}

Измерение дуги требует точного астрономического определения как минимум двух точек сети . Гаусс и Шумахер использовали излюбленный случай: обе обсерватории в Геттингене и Альтоне, в саду дома Шумахера, лежали почти на одной и той же долготе . Широта , была измерена обоими их инструментами, а также сектором Рамсдена зенитным который был доставлен в обе обсерватории. ^{[ 183 ]}^{[ v ]}

Гаусс и Шумахер уже определили некоторые углы между Люнебургом , Гамбургом и Лауэнбургом для геодезической связи в октябре 1818 года. ^{[ 184 ]} Летом 1821–1825 годов Гаусс лично руководил работами по триангуляции от Тюрингии на юге до реки Эльбы на севере. Треугольник был самым большим из тех, которые когда - между Хохер-Хагеном , Гроссер-Инзельсбергом в Тюрингском лесу и Броккеном в горах Гарца либо измерял Гаусс, с максимальным размером 107 км (66,5 миль). В малонаселенной Люнебургской пустоши, где не было значительных естественных вершин или искусственных построек, ему было трудно найти подходящие точки триангуляции; иногда приходилось прорезать тропы сквозь растительность. ^{[ 155 ]}^{[ 185 ]}

Для наведения сигналов Гаусс изобрел новый инструмент с подвижными зеркалами и небольшим телескопом, отражающим солнечные лучи к точкам триангуляции, и назвал его гелиотропом . ^{[ 186 ]} Другой подходящей конструкцией для той же цели был секстант с дополнительным зеркалом, который он назвал вице-гелиотропом . ^{[ 187 ]} Гауссу помогли солдаты ганноверской армии, в том числе его старший сын Йозеф. Гаусс принимал участие в измерении базовой линии ( Baak Base Line ) Шумахера в деревне Браак недалеко от Гамбурга в 1820 году и использовал результат для оценки ганноверской триангуляции. ^{[ 188 ]}

Дополнительным результатом стало лучшее значение уплощения аппроксимативного земного эллипсоида . ^{[ 189 ]}^{[ В ]} Гаусс разработал универсальную поперечную проекцию Меркатора Земли эллипсоидной формы (то, что он назвал конформной проекцией ). ^{[ 191 ]} для представления геодезических данных на плоских картах.

начал расширение триангуляции на запад, чтобы получить обзор всего Ганноверского королевства . Когда измерение дуги было закончено, Гаусс королевским указом от 25 марта 1828 года ^{[ 192 ]} Практической работой руководили три армейских офицера, в том числе лейтенант Йозеф Гаусс. Полная оценка данных оказалась в руках Гаусса, который применил к ней свои математические изобретения, такие как метод наименьших квадратов и метод исключения . Проект был завершен в 1844 году, и Гаусс отправил правительству окончательный отчет о проекте; его метод проекции не редактировался до 1866 года. ^{[ 193 ]}^{[ 194 ]}

В 1828 году, изучая различия в широте , Гаусс впервые определил физическую аппроксимацию фигуры Земли как поверхности, всюду перпендикулярной направлению силы тяжести; ^{[ 195 ]} позже его докторант Иоганн Бенедикт Листинг назвал это геоидом . ^{[ 196 ]}

Дифференциальная геометрия

Геодезическая съемка Ганновера подогрела интерес Гаусса к дифференциальной геометрии и топологии , областям математики, имеющим дело с кривыми и поверхностями . Это привело его в 1828 году к публикации мемуаров, которые ознаменовали рождение современной дифференциальной геометрии поверхностей , поскольку она отошла от традиционных способов рассмотрения поверхностей как декартовых графиков функций двух переменных и положила начало исследованию поверхностей с точки зрения «внутренняя» точка зрения двумерного существа, вынужденного передвигаться по нему. В результате появилась Теорема Эгрегиум ( замечательная теорема ), установившая свойство понятия гауссовой кривизны . Неформально теорема гласит, что кривизну поверхности можно полностью определить путем измерения углов и расстояний на поверхности, независимо от встраивания поверхности в трехмерное или двумерное пространство. ^{[ 197 ]}

Теорема Эгрегиум приводит к абстракции поверхностей как дважды расширенных многообразий ; оно проясняет различие между внутренними свойствами многообразия ( метрикой ) и его физической реализацией в окружающем пространстве. Следствием является невозможность изометрического преобразования между поверхностями различной гауссовой кривизны. Практически это означает, что сферу или эллипсоид невозможно преобразовать в плоскость без искажения, что вызывает фундаментальную проблему при построении проекций для географических карт. ^{[ 197 ]} Часть этого эссе посвящена глубокому изучению геодезии . В частности, Гаусс доказывает локальную теорему Гаусса-Бонне о геодезических треугольниках и обобщает теорему Лежандра о сферических треугольниках на геодезические треугольники на произвольных поверхностях с непрерывной кривизной; он нашел, что углы «достаточно малого» геодезического треугольника отклоняются от углов плоского треугольника с теми же сторонами таким образом, что это зависит только от значений кривизны поверхности в вершинах треугольника, независимо от поведения поверхность внутри треугольника. ^{[ 198 ]}

В мемуарах Гаусса 1828 года отсутствует концепция геодезической кривизны . Однако в ранее неопубликованной рукописи, скорее всего, написанной в 1822–1825 годах, он ввел термин «боковая кривизна» (нем. «Seitenkrümmung») и доказал его инвариантность при изометрических преобразованиях, результат, который позже был получен Фердинандом Миндингом и опубликован. им в 1830 году. Эта статья Гаусса содержит ядро его леммы о полной кривизне, а также ее обобщение, найденное и доказанное Пьером. Оссиана Бонне в 1848 году и известная как теорема Гаусса-Бонне . ^{[ 199 ]}

Неевклидова геометрия

При жизни Гаусса оживленная дискуссия по постулату о параллельности в евклидовой геометрии . шла ^{[ 200 ]} Были предприняты многочисленные попытки доказать это в рамках аксиом Евклида, тогда как некоторые математики обсуждали возможность существования геометрических систем без них. ^{[ 201 ]} Гаусс задумывался об основах геометрии еще с 1790-х годов, но в 1810-х годах он понял, что неевклидова геометрия без постулата параллельности может решить проблему. ^{[ 202 ]}^{[ 200 ]} В письме Францу Таврину в 1824 году он представил краткий понятный обзор того, что он назвал « неевклидовой геометрией ». ^{[ 203 ]} но он категорически запретил Таврину использовать его. ^{[ 202 ]}

Первые публикации по неевклидовой геометрии в истории математики принадлежат Николаю Лобачевскому в 1829 году и Яношу Бойяи в 1832 году. ^{[ 201 ]} В последующие годы Гаусс писал свои идеи по этой теме, но не публиковал их, избегая тем самым влияния на современную научную дискуссию. ^{[ 202 ]}^{[ 204 ]} Гаусс высоко оценил идеи Яноша Бойяи в письме своему отцу и университетскому другу Фаркасу Бойяи. ^{[ 205 ]} утверждая, что это соответствует его собственным мыслям нескольких десятилетий. ^{[ 202 ]}^{[ 206 ]} Однако не совсем ясно, насколько он опередил Лобачевского и Бояи, поскольку его письменные замечания весьма расплывчаты и неясны. ^{[ 201 ]}

Сарториус впервые упомянул о работах Гаусса по неевклидовой геометрии в 1856 году, но только издание левых статей в VIII томе Собрания сочинений (1900) показало идеи Гаусса по этому вопросу, в то время как неевклидова геометрия еще выросла из спорное обсуждение. ^{[ 202 ]}

Ранняя топология

Гаусс также был пионером топологии или Geometria Situs , как ее называли при его жизни. Первое доказательство основной теоремы алгебры в 1799 году содержало по существу топологический аргумент; пятьдесят лет спустя он развил топологический аргумент в своем четвертом доказательстве этой теоремы. ^{[ 207 ]}

Еще одно столкновение с топологическими понятиями произошло с ним в ходе астрономических работ в 1804 году, когда он определил пределы области на небесной сфере , в которой могли появиться кометы и астероиды и которую назвал «Зодиаком». Он обнаружил, что если орбиты Земли и кометы связаны , то по топологическим причинам Зодиак представляет собой всю сферу. В 1848 году, в связи с открытием астероида 7 Ирис , он опубликовал дальнейшее качественное обсуждение Зодиака. ^{[ 208 ]}

В письмах Гаусса 1820–1830 годов он интенсивно размышлял над темами, близкими к Geometria Situs, и постепенно осознал семантические трудности в этой области. Фрагменты этого периода показывают, что он пытался классифицировать «фигуры трактов», которые представляют собой замкнутые плоские кривые с конечным числом поперечных самопересечений, которые также могут быть плоскими проекциями узлов . ^{[ 209 ]} Для этого он разработал символическую схему, код Гаусса , которая в некотором смысле отражала характерные особенности фигур трактов. ^{[ 210 ]}^{[ 211 ]}

Во фрагменте 1833 года Гаусс определил связующее число двух пространственных кривых неким двойным интегралом и тем самым впервые дал аналитическую формулировку топологического явления. В той же ноте он посетовал на небольшой прогресс, достигнутый в Geometria Situs, и отметил, что одной из ее центральных проблем будет «подсчет переплетений двух замкнутых или бесконечных кривых». Его записные книжки того периода показывают, что он также думал о других топологических объектах, таких как косы и клубки . ^{[ 208 ]}

Влияние Гаусса в последующие годы на развивающуюся область топологии, которую он высоко ценил, заключалось в периодических замечаниях и устных сообщениях Мебиусу и Листингу. ^{[ 212 ]}

Незначительные математические достижения

Гаусс применил концепцию комплексных чисел для решения известных задач новым, лаконичным способом. Например, в короткой заметке 1836 года о геометрических аспектах тройных форм и их применении в кристаллографии: ^{[ 213 ]} он сформулировал фундаментальную теорему аксонометрии , которая говорит, как с полной точностью представить трехмерный куб на двумерной плоскости с помощью комплексных чисел. ^{[ 214 ]} Вращение этой сферы он описал как действие некоторых дробно-линейных преобразований на расширенной комплексной плоскости: ^{[ 215 ]} и дал доказательство геометрической теоремы о том, что высоты треугольника всегда встречаются в одном ортоцентре . ^{[ 216 ]}

Гаусса интересовала » Джона Непера « Pentagramma mirificum – некая сферическая пентаграмма – в течение нескольких десятилетий; ^{[ 217 ]} он подошел к ней с разных точек зрения и постепенно пришел к полному пониманию ее геометрических, алгебраических и аналитических аспектов. ^{[ 218 ]} В частности, в 1843 году он сформулировал и доказал несколько теорем, связывающих эллиптические функции, сферические пятиугольники Непера и пятиугольники Понселе на плоскости. ^{[ 219 ]}

Кроме того, он внес решение проблемы построения эллипса наибольшей площади внутри заданного четырехугольника . ^{[ 220 ]}^{[ 221 ]} и обнаружил удивительный результат о вычислении площади пятиугольников . ^{[ 222 ]}^{[ 223 ]}

Магнетизм и телеграфия

Геомагнетизм

Памятник Гауссу-Веберу в Геттингене работы Фердинанда Харцера (1899 г.)

Гаусс интересовался магнетизмом с 1803 года. ^{[ 224 ]} После того, как Александр фон Гумбольдт посетил Гёттинген в 1826 году, оба учёных начали интенсивные исследования по геомагнетизму , частично независимо, частично в продуктивном сотрудничестве. ^{[ 225 ]} В 1828 году Гаусс был гостем Гумбольдта во время конференции Общества немецких естествоиспытателей и врачей в Берлине, где познакомился с физиком Вильгельмом Вебером . ^{[ 226 ]}

Когда Вебер получил кафедру физики в Геттингене в качестве преемника Иоганна Тобиаса Майера по рекомендации Гаусса в 1831 году, они оба начали плодотворное сотрудничество, которое привело к новым знаниям о магнетизме с представлением единиц магнетизма через массу, заряд. , и время. ^{[ 227 ]} Они основали Магнитную ассоциацию (нем. Magnetischer Verein ), международную рабочую группу из нескольких обсерваторий, которая поддерживала измерения магнитного поля Земли во многих регионах мира одинаковыми методами в установленные даты в период с 1836 по 1841 год. ^{[ 228 ]}

предложил создать всемирную сеть геомагнитных станций в британских владениях В 1836 году Гумбольдт в письме герцогу Сассекскому , тогдашнему президенту Королевского общества, ; он предложил проводить магнитные измерения в стандартизированных условиях, используя его методы. ^{[ 229 ]}^{[ 230 ]} Вместе с другими зачинщиками это привело к глобальной программе, известной как « Магнитный крестовый поход » под руководством Эдварда Сабина . Даты, время и интервалы наблюдений определялись заранее, среднее геттингенское время . в качестве эталона использовалось ^{[ 231 ]} В этой глобальной программе приняла участие 61 станция на всех пяти континентах. Гаусс и Вебер основали серию для публикации результатов, в период с 1837 по 1843 год было издано шесть томов. Отъезд Вебера в Лейпциг в 1843 году как поздний эффект дела Геттингенской семерки ознаменовал конец деятельности Магнитной ассоциации. ^{[ 228 ]}

Следуя примеру Гумбольдта, Гаусс приказал магнитную обсерваторию построить в саду обсерватории , но ученые разошлись во мнениях по поводу инструментального оборудования; Гаусс предпочитал стационарные инструменты, которые, по его мнению, давали более точные результаты, тогда как Гумбольдт привык к подвижным инструментам. Гаусс интересовался временными и пространственными изменениями магнитного склонения, наклонения и интенсивности, но различал концепцию магнитной напряженности Гумбольдта до терминов «горизонтальная» и «вертикальная» интенсивность. Вместе с Вебером он разработал методы измерения составляющих напряженности магнитного поля и сконструировал подходящий магнитометр для измерения абсолютных значений напряженности магнитного поля Земли, а не относительных, зависящих от прибора. ^{[ 228 ]}^{[ 232 ]} Точность магнитометра была примерно в десять раз выше, чем у предыдущих приборов. В этой работе Гаусс первым вывел немеханическую величину с помощью основных механических величин. ^{[ 231 ]}

Гаусс разработал « Общую теорию земного магнетизма» (1839 г.), которая, по его мнению, описывает природу магнитной силы; по словам Феликса Кляйна, эта работа представляет собой представление наблюдений с использованием сферических гармоник, а не физической теории. ^{[ 233 ]} Теория предсказывала существование ровно двух магнитных полюсов на Земле, поэтому идея Ханстина о четырех магнитных полюсах устарела. ^{[ 234 ]} и данные позволили определить их местоположение с достаточно хорошей точностью. ^{[ 235 ]}

Гаусс повлиял на начало геофизики в России, когда Адольф Теодор Купфер , один из его бывших учеников, основал магнитную обсерваторию в Петербурге по примеру обсерватории в Гёттингене, а также Ивана Симонова в Казани . ^{[ 234 ]}

Электромагнетизм

Открытия Ганса Христиана Эрстеда по электромагнетизму и Майкла Фарадея по электромагнитной индукции привлекли внимание Гаусса к этим вопросам. ^{[ 236 ]} Гаусс и Вебер нашли правила для разветвленных электрических цепей, которые позже были найдены независимо и впервые опубликованы Густавом Кирхгофом и названы в его честь законами цепей Кирхгофа . ^{[ 237 ]} и навел справки по электромагнетизму. В 1833 году они построили первый электромеханический телеграф , а сам Вебер соединил обсерваторию с физическим институтом в центре Геттингена. ^{[ и ]} но они не заботились о дальнейшем развитии этого изобретения в коммерческих целях. ^{[ 238 ]}^{[ 239 ]}

Основные теоретические интересы Гаусса в области электромагнетизма нашли отражение в его попытках сформулировать количественные законы, управляющие электромагнитной индукцией. В тетрадях этих лет он записал несколько новаторских формулировок; он открыл идею векторной потенциальной функции (независимо переоткрытую Францем Эрнстом Нейманом в 1845 году), а в январе 1835 года записал «закон индукции», эквивалентный закону Фарадея , который гласил, что электродвижущая сила в данной точке пространства равна к мгновенной скорости изменения (по времени) этой функции. ^{[ 240 ]}^{[ 241 ]}

Гаусс пытался найти объединяющий закон для эффектов электростатики , электродинамики , электромагнетизма и индукции на больших расстояниях , сравнимый с законом гравитации Ньютона. ^{[ 242 ]} но его попытка закончилась «трагической неудачей». ^{[ 231 ]}

Потенциальная теория

Поскольку Исаак Ньютон теоретически показал, что Земля и вращающиеся звезды принимают несферическую форму, проблема притяжения эллипсоидов приобрела важное значение в математической астрономии. В своей первой публикации по теории потенциала «Теория притяжения...» (1813 г.) Гаусс представил в замкнутой форме гравитационное притяжение однородного трехосного эллипсоида в каждой точке пространства. ^{[ 243 ]} В отличие от предыдущих исследований Маклорена , Лапласа и Лагранжа, новое решение Гаусса рассматривало притяжение более непосредственно в форме эллиптического интеграла. В процессе он также доказал и применил некоторые частные случаи так называемой теоремы Гаусса в векторном анализе . ^{[ 244 ]}

В «Общих теоремах» о силах притяжения и отталкивания, действующих в пропорциях, обратных квадратичным расстояниям (1840), Гаусс заложил основу теории магнитного потенциала , основанной на Лагранже, Лапласе и Пуассоне; ^{[ 233 ]} кажется маловероятным, что он знал предыдущие работы Джорджа Грина по этой теме. ^{[ 236 ]} Однако Гаусс так и не смог объяснить ни причины магнетизма, ни теорию магнетизма, подобную работе Ньютона по гравитации, которая позволила бы ученым предсказать геомагнитные эффекты в будущем. ^{[ 231 ]}

Оптика

Расчеты Гаусса позволили приборостроителю Иоганну Георгу Репсольду из Гамбурга сконструировать новую систему ахроматических линз в 1810 году. Основной проблемой, среди других трудностей, было неточное знание показателя преломления и дисперсии используемых типов стекла. ^{[ 245 ]} В небольшой статье 1817 года Гаусс рассмотрел проблему устранения хроматической аберрации в двойных линзах и рассчитал корректировки формы и коэффициентов преломления, необходимые для ее минимизации. Его работа была отмечена оптиком Карлом Августом фон Штайнхайлем , который в 1860 году представил ахроматический дублет Штейнхайля , частично основанный на расчетах Гаусса. ^{[ 246 ]} Многие результаты по геометрической оптике разбросаны лишь в переписках и записях Гаусса. ^{[ 247 ]}

В «Диоптрических исследованиях» (1840 г.) Гаусс дал первый систематический анализ формирования изображений в параксиальном приближении ( гауссова оптика ). ^{[ 248 ]} Он характеризовал оптические системы в параксиальном приближении только по сторонам света : ^{[ 249 ]} и он вывел формулу линзы Гаусса , применимую без ограничений по толщине линз. ^{[ 250 ]}^{[ 251 ]}

Механика

Первое занятие Гаусса в области механики касалось вращения Земли . Когда его университетский друг Бензенберг проводил эксперименты по определению отклонения падающих масс от перпендикуляра в 1802 году, что сегодня известно как эффект силы Кориолиса , он попросил Гаусса провести теоретически обоснованный расчет значений для сравнения с экспериментальными. те. Гаусс разработал систему основных уравнений движения, и результаты достаточно соответствовали данным Бензенберга, который включил соображения Гаусса в качестве приложения к своей книге об опытах с падением. ^{[ 252 ]}

После того, как Фуко публично продемонстрировал вращение Земли в своем эксперименте с маятником в 1851 году, Герлинг обратился к Гауссу с просьбой дать дальнейшие объяснения. Это побудило Гаусса разработать новый демонстрационный аппарат с маятником гораздо меньшей длины, чем у Фуко. Колебания наблюдались с помощью считывающего телескопа с вертикальной шкалой и зеркалом, закрепленным на маятнике. Он описан в переписке Гаусса-Герлинга, и Вебер провел несколько экспериментов с этим аппаратом в 1853 году, но никаких данных опубликовано не было. ^{[ 253 ]}^{[ 254 ]}

Принцип наименьшего принуждения Гаусса 1829 года был установлен как общая концепция для преодоления разделения механики на статику и динамику, сочетая принцип Даламбера с Лагранжа принципом виртуальной работы и показывая аналогии с методом наименьших квадратов . ^{[ 255 ]}

Метрология

В 1828 году Гаусс был назначен главой Совета мер и весов Ганноверского королевства. Он обеспечил создание эталонов длины и мер. Гаусс сам взял на себя трудоемкие мероприятия и отдал подробные распоряжения по механической подготовке. ^{[ 155 ]} В переписке с Шумахером, который также работал над этим вопросом, он изложил новые идеи весов высокой точности. ^{[ 256 ]} Окончательные отчеты о ганноверском футе и фунте он представил правительству в 1841 году. Эта работа получила более чем региональное значение благодаря изданию закона 1836 года, связывавшего ганноверские меры с английскими. ^{[ 155 ]}

Анекдоты

Сообщается несколько историй о его раннем гении. Мать Карла Фридриха Гаусса никогда не записывала дату его рождения, помня лишь, что он родился в среду, за восемь дней до праздника Вознесения , который наступает через 39 дней после Пасхи. Позже Гаусс решил загадку о дате своего рождения в контексте определения даты Пасхи , выведя методы вычисления этой даты как в прошлые, так и в будущие годы. ^{[ 257 ]}

В своем мемориале Гауссу Вольфганг Сарториус фон Вальтерсхаузен рассказывает историю о трехлетнем Гауссе, который исправил математическую ошибку, допущенную его отцом. Самая популярная история, также рассказанная Сарториусом, повествует о школьном упражнении: учитель Бюттнер и его помощник Мартин Бартельс приказали ученикам складывать арифметический ряд . Из примерно ста учеников Гаусс первым с большим отрывом правильно решил задачу. ^{[ 258 ]}^{[ 8 ]} Хотя (или потому что) Сарториус не сообщил подробностей, со временем было создано множество версий этой истории со все более и более подробной информацией о природе ряда - наиболее частой из них является классическая задача о сложении всех целых чисел от 1 до 100. – и обстоятельства в классе. ^{[ 259 ]}^{[ С ]}

Почести и награды

Первое членство в научном обществе было предоставлено Гауссу в 1802 Российской Академией наук . ^{[ 261 ]} Дальнейшее членство (соответствующее, иностранное или полное) было предоставлено Академией наук в Геттингене (1802/1807 г.), ^{[ 262 ]} Французская академия наук (1804/1820), ^{[ 263 ]} ) , Лондонское королевское общество (1804 г. ^{[ 264 ]} Королевская прусская академия в Берлине (1810 г.), ^{[ 265 ]} Национальная академия наук в Вероне (1810 г.), ^{[ 266 ]} Королевское общество Эдинбурга (1820 г.), ^{[ 267 ]} Баварская академия наук Мюнхена (1820 г.), ^{[ 268 ]} Королевская Датская академия в Копенгагене (1821 г.), ^{[ 269 ]} Королевское астрономическое общество в Лондоне (1821 г.), ^{[ 270 ]} Шведская королевская академия наук (1821 г.), ^{[ 269 ]} Американская академия искусств и наук в Бостоне (1822 г.), ^{[ 271 ]} Королевское чешское общество наук в Праге (1833 г.), ^{[ 272 ]} Королевская академия наук, литературы и изящных искусств Бельгии (1841/1845), ^{[ 273 ]} Королевское общество наук в Уппсале (1843 г.), ^{[ 272 ]} Королевская ирландская академия в Дублине (1843 г.), ^{[ 272 ]} Королевский институт Нидерландов (1845/1851), ^{[ 274 ]} Испанская королевская академия наук в Мадриде (1850 г.), ^{[ 275 ]} Русское географическое общество (1851 г.), ^{[ 276 ]} Императорская Академия наук в Вене (1848 г.), ^{[ 276 ]} Американское философское общество (1853 г.), ^{[ 277 ]} Кембриджское философское общество , ^{[ 276 ]} и Королевское голландское общество наук в Харлеме. ^{[ 278 ]}^{[ 279 ]}

И Казанский университет , и философский факультет Пражского университета назначили его почетным членом в 1848 году. ^{[ 278 ]}

Гаусс получил премию Лаланда от Французской академии наук в 1809 году за теорию планет и способы определения их орбит всего по трем наблюдениям. ^{[ 280 ]} премия Датской академии наук в 1823 году за мемуары о конформной проекции, ^{[ 272 ]} и медаль Копли Королевского общества в 1838 году за «изобретения и математические исследования в области магнетизма». ^{[ 279 ]}^{[ 281 ]}^{[ 33 ]}

Гаусс был назначен кавалером французского Почетного легиона в 1837 году. ^{[ 282 ]} и был одним из первых членов прусского ордена Pour le Merite (Гражданский класс), когда он был основан в 1842 году. ^{[ 283 ]} Он получил Орден Вестфальской Короны (1810 г.). ^{[ 279 ]} Датский орден Даннеброга (1817 г.), ^{[ 279 ]} Ганноверский королевский гвельфийский орден (1815 г.), ^{[ 279 ]} шведский орден Полярной звезды (1844 г.), ^{[ 284 ]} Орден Генриха Льва (1849 г.), ^{[ 284 ]} и Баварский Орден Максимилиана науки и искусства (1853 г.). ^{[ 276 ]}

Короли Ганновера присвоили ему почетные титулы « Хофрат » (1816 г.). ^{[ 51 ]} и «Тайный Хофрат» ^{[ аа ]} (1845). В 1949 году по случаю своего золотого юбилея со степенью доктора он получил почетное гражданство обоих городов Брауншвейг и Геттинген. ^{[ 276 ]} была выпущена медаль Вскоре после его смерти по приказу короля Ганновера Георга V с надписью на обороте, посвященной «Принцу математиков». ^{[ 285 ]}

«Gauss-Gesellschaft Göttingen» («Геттингенское общество Гаусса») было основано в 1964 году для исследования жизни и творчества Карла Фридриха Гаусса и связанных с ним лиц и редактирует Mitteilungen der Gauss-Gesellschaft ( «Сообщения Общества Гаусса» ). ^{[ 286 ]}

Имена и памятные даты

Список вещей, названных в честь Карла Фридриха Гаусса

Избранные произведения

Математика и астрономия

1799: Новое доказательство теоремы о том, что любую целую алгебраическую функцию одной переменной можно разложить на действительные множители первой или . степени второй Хельмштедт: К.Г. Флекайзен. (Докторская диссертация по основной теореме алгебры, Хельмштедтский университет) Оригинальная книга
1816: «Новая демонстрация второй теоремы о том, что всякую целую рациональную алгебраическую функцию одной переменной можно разложить на действительные множители первой или второй степени» . Труды Королевского общества новейших наук Геттингена. Комм. Сорт. Математика . 3 : 107–134. Оригинал
1816: «Третье доказательство теоремы о разрешимости целых алгебраических функций в действительные множители» . Труды Королевского общества новейших наук Геттингена. Комм. Сорт. Математика . 3 : 135–142. Оригинал
1850: «Вклад в теорию алгебраических уравнений» . Трактаты Королевского общества наук в Геттингене . 4 :34-35. Оригинал (Лекция 1849 г.)
- Четыре гауссовых доказательства разложения целых алгебраических функций на действительные множители первой и второй степени. (1799–1849) [ Четыре гауссовских доказательства основной теоремы алгебры ]. Перевод Нетто . Лейпциг: Вильгельм Энгельманн. 1890 г. (немецкий)
1800: «Расчет Пасхи». Ежемесячная корреспонденция для развития географии и небесной науки (на немецком языке). 2 : 121-130. Оригинал
1801: Арифметические рассуждения . Лейпциг: Немецкий. Флейшер июнь.
- Гаусс, Карл Фридрих (1986). Disquisitions Arithmeticae и другие статьи по теории чисел . Перевод Кларка, Артура А. (2-е, исправленное изд.). Нью-Йорк: Спрингер . дои : 10.1007/978-1-4939-7560-0 . ISBN 978-0-387-96254-2 . (перевод со второго немецкого издания, Геттинген, 1860 г. )
1802: «Расчет еврейской Пасхи» . Ежемесячная корреспонденция для развития географии и небесной науки (на немецком языке). 5 : 435-437. Оригинал
1804: «О пределах геоцентрических мест планет» . Ежемесячная корреспонденция для развития географии и небесной науки (на немецком языке). 10 : 171–193. Оригинал (по Зодиаку)
1808: «Новая демонстрация арифметической теоремы» . Труды Королевского общества наук Геттингена. Комм. Математика . 16 : 69–74. Оригинальный (вводит лемму Гаусса , использует ее в третьем доказательстве квадратичной взаимности)
1808: Особый метод определения высоты шеста (на латыни). Геттинген.
1809: Теория движения небесных тел в конических сечениях, окружающих Солнце (на латыни). Гамбург: Фридрих Пертес и Иоганн Генрих Бессер. Оригинальная книга
- Теория движения небесных тел, движущихся вокруг Солнца в конических сечениях . Перевод Дэвиса, Чарльза Генри . Литтл, Браун и компания, 1857 г.
1811: «Рассуждения об эллиптических элементах Паллады из противостояний 1803, 1804, 1805, 1806, 1807, 1808, 1809 годов» . Труды Королевского общества новейших наук Геттингена. Комм. Математика . 1 :1–26. Оригинал (с 1810 г.) (Орбита Паллады )
1811: «Краткое содержание какой-то конкретной серии» . Труды Королевского общества новейших наук Геттингена. Комм. Сорт. Математика . 1 :1–40. Оригинал (1808 г.) (Определение знака квадратичной суммы Гаусса , использует это для четвертого доказательства квадратичной взаимности)
1813: «Общие дискуссии о бесконечных рядах $1+{\frac {\alpha \beta }{\gamma .1}}+{\mbox{etc.}}$ " . Комментарии выпускников Королевского общества Геттингенсских наук. Комм. Класс. Математика . 2 : 1–42. Оригинал (с 1812 г., содержит непрерывную дробь Гаусса )
1816: «Новый метод нахождения целых значений методом аппроксимации» . Труды Королевского общества новейших наук Геттингена. Комм. Сорт. Математика . 3 : 39–76. Оригинал (с 1814 г.)
1818: «Новые демонстрации и расширения основной теоремы теории квадратичных вычетов» . Труды Королевского общества новейших наук Геттингена. Комм. Сорт. Математика . 4 :3–20. Оригинал (с 1817 г.) (Пятое и шестое доказательства квадратичной взаимности)
1818: «Определение притяжения, которое планета оказала бы на данную точку положения, если бы ее масса была равномерно распределена по всей ее орбите, пропорционально времени, в течение которого описывается каждая часть » . Труды Королевского общества новейших наук Геттингена. Комм. Сорт. Математика . 4 : 21–48. Оригинал (Единственная ссылка на – в основном неопубликованную – работу по алгоритму среднего арифметико-геометрического .)
1823: «Теория сочетания наблюдений с учетом мельчайших ошибок. Часть предшествующая» . Труды Королевского общества новейших наук Геттингена. Комм. Сорт. Математика . 5 : 33–62. Оригинал (с 1821 г.)
1823: «Теория сочетания наблюдений, допускающая мельчайшие ошибки. Часть апостериорная» . Труды Королевского общества новейших наук Геттингена. Комм. Сорт. Математика . 5 : 63–90. Оригинал
1825: «Общее решение задачи изображения частей данной поверхности на другой данной поверхности таким образом, чтобы изображение стало подобным мельчайшим частям изображаемого» . Астрономические трактаты . 3 . Альтона. (Отмеченное премией эссе 1822 года по конформному картированию)
1828: Определение разницы широты между обсерваториями Геттингена и Альтоны по наблюдениям с зенитным сектором Рамсдена [ Определение разницы в широте между обсерваториями Геттингена и Альтоны по наблюдениям с зенитным сектором Рамсдена ] (на немецком языке). Геттинген: Ванденхук и Рупрехт. 1828. Оригинальная книга .
1828: Гаусс, Карл Фридрих (1828). «Дополнение к теории комбинаций наблюдений при условии минимальных ошибок» . Труды Королевского общества новейших наук Геттингена. Комм. Сорт. Математика . 6 : 57–98. Бибкод : 1828stco.book.....G . (с 1826 г.)
- Гаусс, Карл Фридрих; Стюарт, GW (1995). Теория комбинации наблюдений, наименее подверженной ошибкам. Часть первая, Часть вторая, Дополнение (Классика прикладной математики) . Перевод Г.В. Стюарта. Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики. дои : 10.1137/1.9781611971248 . ISBN 978-0-89871-347-3 . (Три эссе о вычислении вероятностей как основе гауссовского закона распространения ошибок)
1828: «Общие дискуссии о криволинейных поверхностях» . Труды Королевского общества новейших наук Геттингена. Комм. Сорт. Математика . 6 : 99–146. Оригинал (с 1827 г.)
- Общие исследования криволинейных поверхностей (PDF) . Перевод Дж. К. Морхеда и А. М. Хилтебейтеля. Библиотека Принстонского университета. 1902.
1828: «Теория биквадратичных вычетов, первый комментарий» . Труды Королевского общества новейших наук Геттингена. Комм. Сорт. Математика . 6 : 27–56. Оригинал (с 1825 г.)
1832: «Теория биквадратичных вычетов, второй комментарий» . Труды Королевского общества новейших наук Геттингена. Комм. Сорт. Математика . 7 : 89–148. Оригинал (с 1831 г.) (вводит гауссовы целые числа , утверждает (без доказательства) закон биквадратичной взаимности , доказывает дополнительный закон для 1 + i )
1845: «Исследования объектов высшей геодезии. Первый трактат» . Трактаты Королевского общества наук в Геттингене . Второй том, 1842–1844 годы: 3–46. Оригинал (с 1843 г.)
1847: «Исследования объектов высшей геодезии. Второй трактат» . Трактаты Королевского общества наук в Геттингене . Третий том, 1845–1847 годы: 3–44. Оригинал (с 1846 г.)
1848: Гаусс (1848 г.). «Письмо господина тайного советника двора Гаусса в редакцию». Астрономические новости (на немецком языке). 27 :1–3. Бибкод : 1848AN.....27....1G . дои : 10.1002/asna.18480270102 . Оригинал
1903: Научный дневник ( Кляйн, Феликс, изд. «Научный дневник Гаусса 1796–1814» . Математические анналы (на латыни и немецком языке). 57 :1–34. дои : 10.1007/BF01449013 . S2CID 119641638 . ) Оригинальная книга (1847 г., о Зодиаке)
- Джереми Грей (1984). «Комментарий к математическому дневнику Гаусса, 1796–1814». Математические изложения . 2 : 97–130.

Физика

1804: Фундаментальные уравнения движения тяжелых тел на Земле (в оригинальной книге: Бензенберг, Иоганн Фридрих . , по сопротивлению воздуха и вращению . Опыты по закону падения тел Земли Дортмунд: братья Маллинкродт. стр. 363–371. оригинал )
1813: «Теория притяжения однородных сфероидальных эллиптических тел, трактуемая новым методом» . Труды Королевского общества новейших наук Геттингена. Комм. Сорт. Математика . 2 : 1–24. Оригинал (содержит теорему Гаусса о векторном анализе)
1817: «Об ахроматических двойных линзах с особым вниманием к более полной дисперсии цветов». Журнал астрономии и смежных наук (на немецком языке). IV : 345–351.
1829: «О новом общем основном законе механики». Журнал чистой и прикладной математики . 1829 (4): 232–235. 1829. дои : 10.1515/crll.1829.4.232 . S2CID 199545985 .
1830: «Общие положения теории формы жидкостей в состоянии равновесия» . Недавние комментарии Королевского общества геттингенских наук . 7 : 39–88. Оригинал (с 1829 г.)
1841: «Интенсивность магнитной силы Земли вернулась к абсолютному измерению» . Недавние комментарии Королевского общества геттингенских наук . 8 : 3–44. Оригинал (с 1832 г.) ^{[ аб ]}
- Интенсивность магнитной силы Земли, приведенная к абсолютному измерению. Перевод Сьюзан П. Джонсон.
1836: Земной магнетизм и магнитометр (Оригинальная книга: ХК Шумахер (ред.). Ежегодник за 1836 год (на немецком языке). Том 1836. Тюбинген: книжный магазин JGCotta'sche. стр. 1–47. )
1840: Общие теоремы о силах притяжения и отталкивания, действующих в обратном соотношении квадрату расстояния (Оригинальная книга: о силах притяжения и отталкивания, действующих в пропорциях, обратных квадратам расстояний ( Общие теоремы на немецком языке). Лейпциг: книжный магазин Weidmannsche. 1840.
1843: « Диоптрические исследования». Трактаты Королевского общества наук в Геттингене (на немецком языке). Первый том: 1–34. Оригинал (с 1840 г.)

Вместе с Вильгельмом Вебером

1837–1839: Результаты наблюдений магнитной ассоциации в 1836–1838 гг. (на немецком языке). Геттинген: книжный магазин Дитрих.
1840–1843: Результаты наблюдений магнитной ассоциации в 1839–1841 гг. (на немецком языке). Лейпциг: Weidmannsche Verlagsbuchhandlung.
1840: Атлас земного магнетизма составлен по элементам теории. Дополнение к результатам наблюдений магнитной ассоциации (на немецком языке). Лейпциг: Weidmannsche Verlagsbuchhandlung.

Собрание сочинений

Королевская прусская академия наук, изд. Карл Фридрих Гаусс. Сочинения (на латыни и немецком языке). Том 1-12. Геттинген: (разные издательства). (включая неопубликованное литературное наследие)

Переписка

Королевская Прусская академия наук, изд. Переписка Гаусса и Бесселя (на немецком языке). Лейпциг: Вильгельм Энгельманн. (письма с декабря 1804 г. по август 1844 г.)
Шенберг, Эрих; Перлик, Альфонс (1955). Неизвестные письма от К. Ф. Гаусса и г-жи В. Бессель . Трактаты Баварской академии наук, Матем.-нат. Класс, Новая серия, №. 71 (на немецком языке). Мюнхен: Издательство Баварской академии наук. стр. 5–21. (письма Богуславскому с февраля 1835 г. по январь 1848 г.)
Швемин, Фридхельм, изд. Переписка Карла Фридриха Гаусса и Иоганна Элерта Боде . Acta Historica Astronomica (на немецком языке). Том 53. Лейпциг: Akademische Verlaganstalt. ISBN 978-3-944913-43-8 . (письма с февраля 1802 г. по октябрь 1826 г.)
Франц Шмидт, Пауль Штекель, изд. Переписка между Карлом Фридрихом Гауссом и Вольфгангом Бояи (на немецком языке). Лейпциг: Б. Г. Тойбнер. (письма с сентября 1797 г. по февраль 1853 г.; добавлены письма других корреспондентов)
Аксель Виттманн, изд. Хотя и однако. Переписка Карла Фридриха Гаусса и Иоганна Франца Энке (на немецком языке). Ремаген: Издательство Кесселя. ISBN 978-3945941379 . (письма с июня 1810 г. по июнь 1854 г.)
Клеменс Шефер, изд. Переписка между Карлом Фридрихом Гауссом и Кристианом Людвигом Герлингом (на немецком языке). Берлин: Отто Эльснер. (письма с июня 1810 г. по июнь 1854 г.)
Карл Кристиан Брюнс , изд. Письма между А. в. Гумбольдт и Гаусс (на немецком языке). Лейпциг: Вильгельм Энгельманн. (письма с июля 1807 г. по декабрь 1854 г.; добавлены письма других корреспондентов)
Рич, Карин ; Русанова, Елена (2018). Карл Крейль и земной магнетизм. Его переписка с Карлом Фридрихом Гауссом в историческом контексте . Издания Комиссии истории естествознания, математики и медицины. 68 (на немецком языке). Вена: Издательство Австрийской академии наук. (письма с 1835 по 1843 год)
Джерарди, Тео, изд. Переписка между Карлом Фридрихом Гаусом и Карлом Людвигом фон Лекоком . Трактаты Академии наук в Геттингене, Математик-физический класс, № 1. 4 (на немецком языке). Геттинген: Ванденхук и Рупрехт. стр. 37–63. (письма с февраля 1799 г. по сентябрь 1800 г.)
Форбс, Эрик Г. (1971). «Переписка между Карлом Фридрихом Гауссом и преподобным Невилом Маскелином (1802–05)» . Анналы науки . 27 (3): 213–237. дои : 10.1080/00033797100203767 .
Каннингем, Клиффорд (2004). «Обнаружение пропавшей переписки между Карлом Фридрихом Гауссом и преподобным Невилом Маскелином (1802–05)» . Анналы науки . 61 (4): 469–481. дои : 10.1080/00033790310001660164 .
Карл Шиллинг, изд. Переписка Ольберса и Гаусса: Первый раздел . Вильгельм Ольберс . Его жизнь и его творчество. Второй том (на немецком языке). Берлин: Юлиус Шпрингер. (письма с января 1802 г. по октябрь 1819 г.)
Карл Шиллинг, изд. Переписка Ольберса и Гаусса: Второй раздел . Вильгельм Ольберс. Его жизнь и его творчество. Второй том (на немецком языке). Берлин: Юлиус Шпрингер. (письма с января 1820 г. по май 1839 г.; добавлены письма других корреспондентов)
Кристиан Август Фридрих Петерс , изд. Переписка между К.Ф. Гауссом и Х.К. Шумахером (на немецком языке). Альтона: Густав Эш.
- Тома 1+2 (письма с апреля 1808 г. по март 1836 г.)
- Тома 3+4 (письма с марта 1836 г. по апрель 1845 г.)
- Тома 5+6 (письма с апреля 1845 г. по ноябрь 1850 г.)
Позер, Ганс, изд. Переписка между Карлом Фридрихом Гаусом и Эберхардом Августом Циммерманом . Трактаты Академии наук в Геттингене, Математик-физический класс, Эпизод 3, № 1. 39 (на немецком языке). Геттинген: Ванденхук и Рупрехт. ISBN 978-3525821169 . (письма с 1795 по 1815 гг.)

Геттингенская академия наук и гуманитарных наук предоставляет полную коллекцию известных писем Карла Фридриха Гаусса и к нему, доступную в Интернете. ^{[ 34 ]} Литературное наследие хранится и предоставляется Геттингенской государственной и университетской библиотекой . ^{[ 287 ]} Письменные материалы Карла Фридриха Гаусса и членов его семьи также можно найти в муниципальном архиве Брауншвейга. ^{[ 288 ]}

Ссылки

Примечания

^ Collegium Carolinum был предшествующим учреждением Брауншвейгского технического университета , но во времена Гаусса не равнялся университету. ^{[ 7 ]}
↑ Однажды Гаусс нарисовал сцену лекции, где профессор Кестнер допустил ошибку в простом расчете. ^{[ 10 ]}
^ Эта ошибка встречается, например, у Марсдена (1977). ^{[ 17 ]}
^ Гаусс объявил о 195 лекциях, 70 процентов из них по астрономическим, 15 процентов по математическим, 9 процентов по геодезическим и 6 процентов по физическим предметам. ^{[ 33 ]}
↑ Указатель переписки показывает, что Бенджамин Гулд был предположительно последним корреспондентом, который 13 февраля 1855 года при жизни отправил письмо Гауссу. Это было настоящее прощальное письмо, но неизвестно, дошло ли оно до адресата вовремя. ^{[ 34 ]}
↑ После его смерти среди его бумаг была найдена беседа о возмущениях Палласа на французском языке, вероятно, как вклад в конкурс на премию Французской академии наук. ^{[ 36 ]}
^ Theoria motus... была завершена на немецком языке в 1806 году, но по просьбе редактора Фридриха Кристофа Пертеса Гаусса перевела ее на латынь. ^{[ 37 ]}
↑ И Гаусс, и Хардинг в своей переписке лишь завуалировали намеки на эту личную проблему. В письме Шумахеру указывается, что Гаусс пытался избавиться от своего коллеги и искал для него новую должность за пределами Геттингена, но безрезультатно. Кроме того, Шарлотта Вальдек, теща Гаусса, умоляла Ольберса попытаться предоставить Гауссу другую должность вдали от Геттингена. ^{[ 42 ]}
↑ Первым помощником Гаусса был Бенджамин Гольдшмидт , а вторым — Вильгельм Клинкерфюс , который впоследствии стал одним из его преемников. ^{[ 33 ]}
↑ Бессель так и не получил университетского образования. ^{[ 46 ]}^{[ 47 ]}
↑ В этом путешествии он встретил геодезиста Фердинанда Рудольфа Хасслера , который был научным корреспондентом Карла Фридриха Гаусса. ^{[ 65 ]}^{[ 66 ]}
↑ Следуя рукописному венгерскому тексту Бояи внизу, Гаусс намеренно охарактеризовал Кестнера, добавив неверное дополнение.
↑ Первой книгой, которую он одолжил в университетской библиотеке в 1795 году, был роман «Кларисса» Сэмюэля Ричардсона . ^{[ 101 ]}
^ Политическим фоном была запутанная ситуация в Германской Конфедерации с 39 почти независимыми государствами, суверенами трех из которых были короли других стран (Нидерланды, Дания, Соединенное Королевство), тогда как Королевство Пруссия и Австрийская империя широко простирались на территорию границы Конфедерации.
↑ Гаусс подробно рассказал эту историю позже в письме Энке . ^{[ 124 ]}
^ Позже эти преобразования были даны Лежандром в 1824 г. (3-й порядок), Якоби в 1829 г. (5-й порядок), Зонке в 1837 г. (7-й и другие порядки).
↑ В письме Бесселю от 1828 года Гаусс прокомментировал: «Г-н Абель [...] предвосхитил меня и освободил меня от усилий [публикации] в отношении одной трети этих вопросов…» ^{[ 138 ]}
^ Это замечание появляется в статье 335 главы 7 Disquisitiones Arithmeticae (1801 г.).
^ Для однозначной идентификации космического объекта как планеты среди неподвижных звезд требуется как минимум два наблюдения с интервалом.
^ Брендель (1929) считал этот шифр неразрешимым, но на самом деле декодирование было очень простым. ^{[ 162 ]}^{[ 164 ]}
^ Лауэнбург был самым южным городом герцогства Гольштейн , которое принадлежало лично королю Дании .
^ Этот сектор Рамсдена был предоставлен Советом по артиллерийскому вооружению и ранее использовался Уильямом Маджем в Главной триангуляции Великобритании . ^{[ 183 ]}
^ Значение Уолбека (1820 г.) 1/302,78 было улучшено до 1/298,39; расчет провел Эдуард Шмидт, частный преподаватель Геттингенского университета. ^{[ 190 ]}
↑ Хеземанн также взял у Гаусса посмертную маску. ^{[ 39 ]}
↑ Гроза повредила кабель в 1845 году. ^{[ 238 ]}
↑ Некоторые авторы, такие как Джозеф Дж. Ротман , задаются вопросом, происходило ли это когда-либо. ^{[ 260 ]}
^ дословный перевод: Тайный советник суда.
↑ Гаусс представил текст Геттингенской академии в декабре 1832 года, препринт на латыни в небольшом количестве экземпляров появился в 1833 году. Вскоре он был переведен и опубликован на немецком и французском языках. Полный текст на латыни был опубликован в 1841 году. ^{[ 228 ]}

Цитаты

^ Аксель Д. Виттманн, Инна Викторовна Орешина (2009). «О картинах Йенсена К. Ф. Гаусса» . Сообщения Общества Гаусса (46): 57–61.
^ Дуден - ( Словарь произношения на немецком языке) (7-е изд.). Берлин: Дуденверлаг. 2015 [1962]. стр. 246, 381, 391. ISBN. 978-3-411-04067-4 .
^ Креч, Ева-Мария; Сток, Эберхард; Хиршфельд, Урсула; Андерс, Лутц-Кристиан (2009). Словарь немецкого произношения [ Словарь немецкого произношения ] (на немецком языке). Берлин: Вальтер де Грюйтер. стр. 402, 520, 529. ISBN. 978-3-11-018202-6 .
^ Борх, Рудольф (1929). Генеалогическая таблица математика Карла Фридриха Гаусса [ Таблица предков математика Карла Фридриха Гаусса ]. Родословная знаменитых немцев (на немецком языке). Том 1. Центральное управление личной и семейной истории Германии. стр. 63–65.
^ Даннингтон 2004 , с. 8.
^ Даннингтон 2004 , стр. 8–9.
^ Даннингтон 2004 , с. 17.
^ Перейти обратно: ^а ^б Шлезингер 1933 , с. 10.
^ Даннингтон 2004 , с. 14.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Ульрих, Питер (2005). «Происхождение, школа и время учебы Карла Фридриха Гаусса». В Миттлер, Эльмар (ред.). «Когда ударит молния, тайна раскрыта» – Карл Фридрих Гаус в Геттингене (PDF) . Сочинения Геттингенской библиотеки 30 (на немецком языке). Государственная и университетская библиотека Нижней Саксонии. стр. 17–29. ISBN 3-930457-72-5 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Даннингтон, Уолдо (1927). «Полтора столетия со дня рождения Гаусса» . Научный ежемесячник . 24 (5): 402–414. Бибкод : 1927SciMo..24..402D . JSTOR 7912 . Архивировано из оригинала 26 февраля 2008 г. Также доступно на сайте. «Полтора столетия со дня рождения Гаусса» . Проверено 23 февраля 2014 г. Подробная биографическая статья.
^ Перейти обратно: ^а ^б Даннингтон 2004 , с. 24.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Даннингтон 2004 , с. 26.
^ Ваттенберг, Дидрих (1994). Вильгельм Ольберс в переписке с астрономами своего времени (на немецком языке). Штутгарт: GNT – Издательство истории естественных наук и технологий. п. 41. ИСБН 3-928186-19-1 .
^ Даннингтон 2004 , с. 28.
^ Даннингтон 2004 , с. 37.
^ Перейти обратно: ^а ^б Марсден, Брайан Г. (1 августа 1977 г.). «Карл Фридрих Гаусс, астроном» . Журнал Королевского астрономического общества Канады . 71 : 309–323. Бибкод : 1977JRASC..71..309M . ISSN 0035-872X .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Райх, Карин (2000). «Ученики Гаусса». Сообщения Gauß-Gesellschaft Göttingen (на немецком языке) (37): 33–62.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Бойерманн, Клаус (2005). «Карл Фридрих Гаус и Геттингенская обсерватория» (PDF) . В Бойерманне, Клаус (ред.). Принципы строительства новых обсерваторий со ссылкой на обсерваторию в Геттингенском университете Георга Генриха Борека . Геттинген: Издательство Геттингенского университета. стр. 37–45. ISBN 3-938616-02-4 .
^ Михлинг, Хорст (1966). «О проекте Гауссовой обсерватории в Брауншвейге». Объявления Gauß-Gesellschaft Göttingen (на немецком языке) (3): 24.
^ Даннингтон 2004 , стр. 50, 54–55, 74–77.
^ Даннингтон 2004 , стр. 91–92.
^ Перейти обратно: ^а ^б Даннингтон 2004 , стр. 85–87.
^ Даннингтон 2004 , стр. 86–87.
^ Брендель 1929 , стр. 81–82.
^ Брендель 1929 , с. 49.
^ Брендель 1929 , с. 83.
^ Брендель 1929 , с. 84.
^ Брендель 1929 , с. 119.
^ Брендель 1929 , с. 56.
^ Кляйн 1979 , с. 7.
^ Даннингтон 2004 , стр. 405–410.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Виттманн, Аксель (2005). «Карл Фридрих Гаус и его работа астронома». В Миттлер, Эльмар (ред.). «Когда ударит молния, тайна раскрыта» – Карл Фридрих Гаус в Геттингене (PDF) . Сочинения Геттингенской библиотеки 30 (на немецком языке). Государственная и университетская библиотека Нижней Саксонии. стр. 131–149. ISBN 3-930457-72-5 .
^ Перейти обратно: ^а ^б «Полная переписка Карла Фридриха Гаусса» . Академия наук в Геттингене . Проверено 10 марта 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Бирманн, Курт Р. (1966). «Об отношениях между К. Ф. Гаусом и Ф. В. Бесселем». Объявления Gauß-Gesellschaft Göttingen (на немецком языке) (3): 7–20.
^ Брендель 1929 , с. 211.
^ Даннингтон 2004 , с. 90.
^ Даннингтон 2004 , стр. 37–38.
^ Перейти обратно: ^а ^б Даннингтон 2004 , с. 324.
^ Кантор, Мориц (1894). Тибо, Бернхард Фридрих . Общая немецкая биография (на немецком языке). Том 37. Лейпциг: Данкер и Хамблот. стр. 745–746.
^ Фолкертс, Менсо (1990). Майер, Иоганн Тобиас . Новая немецкая биография (на немецком языке). Том 16. Данкер и Хамблот. п. 530.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Кюсснер, Марта (1978). «Отношения Фридриха Вильгельма Бесселя с Геттингеном и воспоминания о нем». Объявления Gauß-Gesellschaft Göttingen (на немецком языке) (15): 3–19.
^ Перейти обратно: ^а ^б Брендель 1929 , стр. 106–108.
^ Брендель 1929 , стр. 7, 128.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Джерарди, Тео (1966). «К. Ф. Гаусс и его сыновья». Объявления Gauß-Gesellschaft Göttingen (на немецком языке) (3): 25–35.
^ Хамель, Юрген (1984). Фридрих Вильгельм Бессель . Лейпциг: BSB BGTeubner Verlagsgesellschaft. п. 29.
^ Даннингтон 2004 , с. 76.
^ Маккиннон, Ник (1990). «Софи Жермен, или Был ли Гаусс феминисткой?». Математический вестник . 74 (470). Математическая ассоциация: 346–351. дои : 10.2307/3618130 . JSTOR 3618130 . S2CID 126102577 .
^ Бирманн, Курт Р. (1964). «Готхольд Эйзенштейн» . Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке). 214 : 19-30. дои : 10.1515/crll.1964.214-215.19 .
^ Даннингтон 2004 , стр. 195–200.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Даннингтон 2004 , с. 288.
^ Сарториус фон Вальтерсхаузен 1856 , с. 104.
^ Даннингтон 2004 , с. 237.
^ Вагнер, Рудольф (1860). О типичных различиях в извилинах полушарий и о теории веса мозга с особым учетом формирования мозга разумных людей. Предварительные исследования по научной морфологии и физиологии человеческого мозга как органа души, Том 1 . Геттинген: Дитрих.
^ Вагнер, Рудольф (1862). О строении мозга микроцефалов при сравнительном рассмотрении строения мозга нормального человека и четвероногого человека. Предварительные исследования по научной морфологии и физиологии человеческого мозга как органа души, Том 2 . Геттинген: Дитрих.
^ Вагнер, Герман (1864). поверхности большого мозга Измерения ( на немецком языке). Кассель и Геттинген: Георг Х. Виганд.
^ Швейцер, Рената; Виттманн, Аксель; Фрам, Йенс (2014). «Редкая анатомическая вариация недавно идентифицирует мозг К. Ф. Гаусса и К. Х. Фукса в коллекции Геттингенского университета» . Мозг . 137 (4): e269. дои : 10.1093/brain/awt296 . hdl : 11858/00-001M-0000-0014-C6F0-6 . ПМИД 24163274 . (с дальнейшими ссылками)
^ «Разгадка истинной личности мозга Карла Фридриха Гаусса» . Общество Макса Планка .
^ Даннингтон 2004 , с. 66.
^ Вуссинг 1982 , с. 44.
^ Даннингтон 2004 , стр. 77, 88, 93.
^ Каджори, Флориан (19 мая 1899 г.). «Карл Фридрих Гаусс и его дети» . Наука . Новая серия. 9 (229). Американская ассоциация содействия развитию науки: 697–704. Бибкод : 1899Sci.....9..697C . дои : 10.1126/science.9.229.697 . JSTOR 1626244 . ПМИД 17817224 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Даннингтон 2004 , с. 374.
^ Даннингтон 2004 , с. 206.
^ Джерарди, Тео (1977). «Геодезисты как корреспонденты Карла Фридриха Гауса». Новости общей геодезии (на немецком языке) (84): 150–160. п. 157
^ Даннингтон 2004 , с. 286.
^ Вольф, Армин (1964). «Педагог и философ Иоганн Конрад Фалленштейн (1731–1813) – Генеалогические связи между Максом Вебером , Гаусом и Бесселем». Генеалогия (на немецком языке). 7 :266-269.
^ Вайнбергер, Джозеф (1977). «Карл Фридрих Гаус 1777–1855 и его потомки». Архив исследований кланов и всех связанных с ними областей (на немецком языке). 43/44 (66): 73–98.
^ Шубринг, Герт (1993). «Немецкое математическое сообщество». В Фовеле, Джон ; Флуд, Рэймонд ; Уилсон, Робин (ред.). Мёбиус и его группа: Математика и астрономия в Германии девятнадцатого века . Издательство Оксфордского университета. стр. 21–33.
^ Шубринг, Герт (2021). История математики в ее контексте (на немецком языке). Биркгаузер. стр. 133–134.
^ Кляйн 1894 , стр. 100–101.
^ Кляйн 1979 , стр. 5–6.
^ Даннингтон 2004 , с. 217.
↑ Письмо Гаусса Бояи от 2 сентября 1808 г.
^ Кляйн, Феликс, изд. «Научный дневник Гаусса 1796–1814» . Математические анналы (на латыни и немецком языке). 57 :1–34. дои : 10.1007/BF01449013 . S2CID 119641638 . п. 2
^ Бахманн 1922 , стр. 4–6.
^ Перейти обратно: ^а ^б Шлезингер 1933 , с. 18.
^ Меннхен 1930 , стр. 64–65.
^ Перейти обратно: ^а ^б Менхен 1930 , стр. 4–9.
^ Райх, Карин (2005). «Таблицы логарифмов – «повседневные рабочие инструменты» Гаусса ». В Миттлер, Эльмар (ред.). «Когда ударит молния, тайна раскрыта» – Карл Фридрих Гаус в Геттингене (PDF) . Сочинения Геттингенской библиотеки 30 (на немецком языке). Государственная и университетская библиотека Нижней Саксонии. стр. 73–86. ISBN 3-930457-72-5 .
^ Альтоэн, Стивен С.; Маклафлин, Рената (1987), «Редукция Гаусса – Джордана: краткая история», The American Mathematical Monthly , 94 (2), Mathematical Association of America: 130–142, doi : 10.2307/2322413 , ISSN 0002-9890 , JSTOR 2322413
^ Мюнхен 1930 , с. 3.
^ Бахманн 1922 , с. 5.
^ Кляйн 1979 , с. 29.
^ Даннингтон 2004 , стр. 420–430.
^ Сарториус фон Вальтерсхаузен 1856 , с. 79.
^ Дербишир, Джон (2003). Основная одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема математики . Вашингтон, округ Колумбия: Джозеф Генри Пресс. п. 202 . ISBN 978-0-309-08549-6 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Стиглер , Стивен М. (1981). «Гаусс и изобретение метода наименьших квадратов» . Анналы статистики . 9 (3): 465–474. дои : 10.1214/aos/1176345451 .
^ Сарториус фон Вальтерсхаузен 1856 , с. 102.
^ Перейти обратно: ^а ^б Сарториус фон Вальтерсхаузен 1856 , с. 95.
^ Сарториус фон Вальтерсхаузен 1856 , с. 8.
^ Вуссинг 1982 , с. 41.
^ Даннингтон 2004 , с. 253.
^ «Письмо Карла Фридриха Гаусса Йоханне Гаусс, 23 октября 1809 года» . Полная переписка Карла Фридриха Гаусса . Геттингенская академия наук. 23 октября 1809 года . Проверено 26 марта 2023 г.
^ Даннингтон 2004 , стр. 94–95.
^ Даннингтон 2004 , с. 206, 374.
^ «Письмо: Чарльз Генри Гаусс Флориану Каджори - 21 декабря 1898 г.» . Проверено 25 марта 2023 г.
^ Сарториус фон Вальтерсхаузен 1856 , с. 71.
^ Лефельдт, Вернер (2005). «Исследование русского языка Карлом Фридрихом Гаусом». В Миттлер, Эльмар (ред.). «Когда ударит молния, тайна раскрыта» – Карл Фридрих Гаус в Геттингене (PDF) . Сочинения Геттингенской библиотеки 30 (на немецком языке). Государственная и университетская библиотека Нижней Саксонии. стр. 302–310. ISBN 3-930457-72-5 .
^ Даннингтон 2004 , с. 241.
^ Райх, Карин (2005). «Духовные отцы Гаусса: не только «summus Ньютон», но и «summus Эйлер» ». В Миттлер, Эльмар (ред.). «Когда ударит молния, тайна раскрыта» – Карл Фридрих Гаус в Геттингене (PDF) . Сочинения Геттингенской библиотеки 30 (на немецком языке). Государственная и университетская библиотека Нижней Саксонии. стр. 105–115. ISBN 3-930457-72-5 .
^ Вуссинг 1982 , с. 80.
^ Вуссинг 1982 , с. 81.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Сарториус фон Вальтерсхаузен 1856 , с. 94.
^ Вуссинг 1982 , с. 79.
^ Сарториус фон Вальтерсхаузен 1856 , с. 97.
^ «Письмо Карла Фридриха Гаусса Вильгельму Ольберсу, 3 сентября 1805 года» . Полная переписка Карла Фридриха Гаусса . Геттингенская академия наук. 23 октября 1809 года . Проверено 26 марта 2023 г.
^ Даннингтон 2004 , с. 300.
^ Сарториус фон Вальтерсхаузен 1856 , с. 100.
^ Басу, Сохам; Веллеман, Дэниел Дж. (21 апреля 2017 г.). «О первом доказательстве Гаусса основной теоремы алгебры». arXiv : 1704.06585 [ math.CV ].
^ Бахманн 1922 , с. 8.
^ Бахманн 1922 , стр. 8–9.
^ Бахманн 1922 , стр. 16–25.
^ Бахманн 1922 , стр. 14–16, 25.
^ Бахманн 1922 , стр. 25–28.
^ Бахманн 1922 , с. 29.
^ Бахманн 1922 , стр. 22–23.
^ Бахманн 1922 , стр. 66–69.
^ Денкер, Манфред; Паттерсон, Сэмюэл Джеймс (2005). «Гаусс – гениальный математик». В Миттлер, Эльмар (ред.). «Когда ударит молния, тайна раскрыта» – Карл Фридрих Гаус в Геттингене (PDF) . Сочинения Геттингенской библиотеки 30 (на немецком языке). Государственная и университетская библиотека Нижней Саксонии. стр. 53–62. ISBN 3-930457-72-5 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Штулер, Ульрих (2005). «Среднее арифметико-геометрическое и эллиптические интегралы: Гаусс и комплексный анализ». В Миттлер, Эльмар (ред.). «Когда ударит молния, тайна раскрыта» – Карл Фридрих Гаус в Геттингене (PDF) . Сочинения Геттингенской библиотеки 30 (на немецком языке). Государственная и университетская библиотека Нижней Саксонии. стр. 62–72. ISBN 3-930457-72-5 .
^ Даннингтон 2004 , с. 44.
^ Фрей, Гюнтер (2007). «Неопубликованный восьмой раздел: На пути к функциональным полям над конечным полем». В Гольдштейне, Кэтрин ; Шаппахер, Норберт ; Швермер, Иоахим (ред.). Формирование арифметики по мотивам «Disquisitiones Arithmeticae» К. Ф. Гаусса . Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer. стр. 159–198. дои : 10.1007/978-3-540-34720-0 . ISBN 978-3-540-20441-1 .
^ Кох, Х .; Пипер, Х. (1976). Теория чисел . Берлин: Немецкое научное издательство VEB. стр. 6, 124.
^ Бахманн 1922 , с. 4.
^ Кляйнер, И. (2000). «От Ферма до Уайлса: Последняя теорема Ферма становится теоремой» (PDF) . Элементы математики . 55 : 19–37. дои : 10.1007/PL00000079 . S2CID 53319514 . Архивировано из оригинала (PDF) 8 июня 2011 года.
^ Бахманн 1922 , стр. 60–61.
^ Хейлз, Томас К. (2006). «Исторический обзор гипотезы Кеплера» . Дискретная и вычислительная геометрия . 36 (1): 5–20. дои : 10.1007/s00454-005-1210-2 . ISSN 0179-5376 . МР 2229657 .
^ Зеебер, Людвиг Август (1831). Исследования свойств положительных тернарных квадратичных форм . Мангейм.
^ «Исследования свойств положительных тернарных квадратичных форм Людвига Августа Зеебера» . Научные объявления Геттингена (108): 1065–1077. Июль 1831 года.
^ Перейти обратно: ^а ^б Кляйнер, Израиль (1998). «От чисел к кольцам: ранняя история теории колец» . Элементы математики . 53 (1): 18–35. дои : 10.1007/s000170050029 . Збл 0908.16001 .
^ Леммермейер, Франц (2000). Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна . Монографии Спрингера по математике. Берлин: Шпрингер. п. 15. дои : 10.1007/978-3-662-12893-0 . ISBN 3-540-66957-4 .
^ Бахманн 1922 , стр. 52, 57–59.
^ Шлезингер 1933 , с. 41–57.
^ Перейти обратно: ^а ^б Кокс, Дэвид А. (январь 1984 г.). «Среднее арифметико-геометрическое Гаусса» . Математическое познание . 30 (2): 275–330.
↑ Письмо Гаусса Бесселю от 18 декабря 1811 г., частично напечатано в Собрании сочинений , том 8, стр. 90–92 .
^ Рой, Ранджан (2021). Серии и продукты в области развития математики (PDF) . Том. 2 (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 20–22. ISBN 9781108709378 .
^ Шлезингер 1933 , стр. 185–186.
^ Шлезингер 1933 , с. 41.
^ Шлезингер 1933 , стр. 101–106.
^ Хаузель, Кристиан (2007). «Эллиптические функции и арифметика». В Гольдштрейне, Кэтрин ; Шаппахер, Норберт ; Швермер, Иоахим (ред.). Формирование арифметики по мотивам «Disquisitiones Arithmeticae» К. Ф. Гаусса . Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer. п. 293. дои : 10.1007/978-3-540-34720-0 . ISBN 978-3-540-20441-1 .
^ Напечатано в Собрании сочинений , том 8, с. 104 .
^ Шлезингер 1933 , стр. 122–123.
^ Шлезингер 1933 , стр. 136–142.
^ Шлезингер 1933 , с. 142.
^ Шлезингер 1933 , стр. 136–154.
^ Штекель 1917 , стр. 90–91.
^ Бюлер 1981 , с. 103.
^ Гаучи, Уолтер (1981). «Обзор квадратурных формул Гаусса-Кристофеля» . В Батцере, Пол Б .; Фехер, Франциска (ред.). Э.Б. Кристоффель. Влияние его работ на математику и физику (1-е изд.). Биркхойзер, Базель: Springer. стр. 72–147. дои : 10.1007/978-3-0348-5452-8_6 . ISBN 978-3-0348-5452-8 .
↑ Письмо Гаусса Герлингу от 26 декабря 1823 г.
^ Юсеф Саад (2 августа 2019 г.). «Итерационные методы для линейных систем уравнений: краткое историческое путешествие». arXiv : 1908.01083v1 [ math.HO ].
^ Кули, Джеймс В.; Тьюки, Джон В. (1965). «Алгоритм машинного вычисления комплексных рядов Фурье» . Математика вычислений . 19 (90): 297–301. дои : 10.2307/2003354 . JSTOR 2003354 .
^ Гаусс, CF (1876). Theoria Interpolationis Methodo Nova Tractata (на латыни). Геттинген: К. Общество наук в Геттингене. стр. 265–327.
^ Хайдеман, Майкл Т.; Джонсон, Дон Х.; Буррус, К. Сидни (1984). «Гаусс и история быстрого преобразования Фурье» (PDF) . Журнал IEEE ASSP . 1 (4): 14–21. дои : 10.1109/MASSP.1984.1162257 . S2CID 10032502 . Архивировано (PDF) из оригинала 19 марта 2013 г.
^ Меннхен 1930 , стр. 49–63.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Олеско, Кэтрин (2005). «Практический Гаусс – точные измерения для повседневной жизни». В Миттлер, Эльмар (ред.). «Когда ударит молния, тайна раскрыта» – Карл Фридрих Гаус в Геттингене (PDF) . Сочинения Геттингенской библиотеки 30 (на немецком языке). Государственная и университетская библиотека Нижней Саксонии. стр. 236–253. ISBN 3-930457-72-5 .
^ Даннингтон 2004 , с. 69.
^ Форбс, Эрик Г. (1971). «Гаусс и открытие Цереры» . Журнал истории астрономии . 2 (3): 195–199. Бибкод : 1971JHA.....2..195F . дои : 10.1177/002182867100200305 . S2CID 125888612 . Архивировано из оригинала 18 июля 2021 года.
^ Титс, Дональд; Уайтхед, Карен (1965). «Открытие Цереры. Как прославился Гаусс» . Журнал «Математика» . 19 (90): 83–91. Архивировано из оригинала 3 апреля 2023 года . Проверено 22 марта 2023 г.
^ Кляйн 1979 , с. 8.
^ Феликс Кляйн, Лекции о развитии математики в XIX веке. Берлин: Юлиус Шпрингер Верлаг, 1926.
^ Брендель 1929 , стр. 194–195.
^ Перейти обратно: ^а ^б Брендель 1929 , с. 206.
^ Тейлор, Д.Б. (1982). «Вековое движение Паллады» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 199 (2): 255–265. Бибкод : 1982MNRAS.199..255T . дои : 10.1093/mnras/199.2.255 .
^ Шредер, Манфред Р. (2005). «Гаусс, акустика концертного зала и астероид Паллс». В Миттлер, Эльмар (ред.). «Когда ударит молния, тайна раскрыта» – Карл Фридрих Гаус в Геттингене (PDF) . Сочинения Геттингенской библиотеки 30 (на немецком языке). Государственная и университетская библиотека Нижней Саксонии. стр. 259–260. ISBN 3-930457-72-5 .
^ Брендель 1929 , с. 254.
^ Брендель 1929 , стр. 253–254.
^ Шлезингер 1933 , стр. 169–170.
^ Брендель 1929 , стр. 8–9.
^ Брендель 1929 , с. 3.
^ Брендель 1929 , с. 54.
^ Брендель 1929 , с. 144.
^ Шааф 1964 , с. 84.
^ Плакетт, Р.Л. (1972). «Открытие метода наименьших квадратов» (PDF) . Биометрика . 59 (2): 239–251. дои : 10.2307/2334569 . JSTOR 2334569 .
^ Лим, Милтон (31 марта 2021 г.). «Гаусс, метод наименьших квадратов и недостающая планета» . Актуарии Цифровые . Проверено 14 октября 2023 г.
^ Плакетт, Р.Л. (1949). «Историческая справка о методе наименьших квадратов». Биометрика . 36 (3/4): 458–460. дои : 10.2307/2332682 . JSTOR 2332682 . ПМИД 15409359 .
^ Авхадиев, ФГ (2005). «Простое доказательство неравенства Гаусса-Винклера». Американский математический ежемесячник . 112 (5): 459–462. дои : 10.2307/30037497 . JSTOR 30037497 .
^ Шаффрин, Буркхард; Сноу, Кайл (2010). «Полная регуляризация тихоновского типа методом наименьших квадратов и древний ипподром в Коринфе» . Линейная алгебра и ее приложения . 432 (8). Эльзевир Б.В.: 2061–2076. дои : 10.1016/j.laa.2009.09.014 . ISSN 0024-3795 .
^ Шейнин, О. Б. (1979). «К. Ф. Гаусс и теория ошибок». Архив истории точных наук . 20 (1): 21–72. дои : 10.1007/BF00776066 . JSTOR 41133536 .
^ Галле 1924 , стр. 16–18.
^ Галле 1924 , с. 22.
^ Галле 1924 , с. 28.
^ Галле 1924 , с. 32.
^ Перейти обратно: ^а ^б Галле 1924 , с. 61.
^ Галле 1924 , с. 60.
^ Галле 1924 , стр. 75–80.
^ Шааф 1964 , с. 81.
^ Галле 1924 , с. 69.
^ Даннингтон 2004 , с. 121.
^ Галле 1924 , стр. 37–38, 49–50.
^ Галле 1924 , с. 49-50.
^ Даннингтон 2004 , с. 164.
^ Даннингтон 2004 , с. 135.
^ Галле 1924 , с. 129.
^ Шрайбер, Оскар (1866). Теория проекционного метода государственного обследования Ганновера (на немецком языке). Ганновер: Книжный магазин Ханше.
^ Гаусс, CF (1828). Определение разницы широт между обсерваториями Геттингена и Альтоны по наблюдениям в зенитном секторе Рамсдена (на немецком языке). Ванденхук и Рупрехт. п. 73.
^ Листинг, Дж. Б. (1872 г.). О наших современных знаниях о форме и размерах Земли (на немецком языке). Геттинген: Дитрих. п. 9.
^ Перейти обратно: ^а ^б Штекель 1917 , стр. 110–119.
^ Штекель 1917 , стр. 105–106.
^ Больца 1921 , стр. 70–74.
^ Перейти обратно: ^а ^б Штекель 1917 , стр. 19–20.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Бюлер 1981 , стр. 100–102.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Кляйн 1979 , стр. 57–60.
^ Вингер, Р.М. (1925). «Гаусс и неевклидова геометрия» . Бюллетень Американского математического общества . 31 (7): 356–358. дои : 10.1090/S0002-9904-1925-04054-9 . ISSN 0002-9904 .
^ Енковский, Ласло; Лейк, Мэтью Дж.; Соловьев Владимир (12 марта 2023 г.). «Янош Бойяи, Карл Фридрих Гаусс, Николай Лобачевский и новая геометрия: Предисловие» . Симметрия . 15 (3): 707. arXiv : 2303.17011 . Бибкод : 2023Symm...15..707J . дои : 10.3390/sym15030707 . ISSN 2073-8994 .
^ https://archive.org/details/briefwechselzwi00gausgoog/page/n146/mode/2up Письмо Гаусса Боляи от 6 марта 1832 г.]
^ Кранц, Стивен Г. (2010). Эпизодическая история математики: математическая культура через решение проблем . Математическая ассоциация Америки . стр. 171f. ISBN 978-0-88385-766-3 . Проверено 9 февраля 2013 г.
^ Островский 1920 , стр. 1–18.
^ Перейти обратно: ^а ^б Эппле, Мориц (1998). «Орбиты астероидов, коса и инвариант первого звена» . Математический интеллект . 20 (1): 45–52. дои : 10.1007/BF03024400 . S2CID 124104367 .
^ Эппле, Мориц (1999). «Геометрические аспекты развития теории узлов» (PDF) . В Джеймсе, IM (ред.). История топологии . Амстердам: Elseviwer. стр. 301–357.
^ Лисица, Алексей; Потапов Игорь; Салех, Рафик (2009). «Автоматы на словах Гаусса» (PDF) . В Дедиу, Адриан Хориа; Ионеску, Арманд Михай; Мартин-Виде, Карлос (ред.). Теория и приложения языка и автоматов . Конспекты лекций по информатике. Том. 5457. Берлин, Гейдельберг: Springer. стр. 505–517. дои : 10.1007/978-3-642-00982-2_43 . ISBN 978-3-642-00982-2 .
^ Штекель 1917 , стр. 50–51.
^ Штекель 1917 , стр. 51–55.
^ Напечатано в собрания сочинений , стр. 305–310. томе 2
^ Иствуд, Майкл ; Пенроуз, Роджер (2000). «Рисование комплексными числами». Математический интеллект . 22 (4): 8–13. arXiv : math/0001097 . дои : 10.1007/BF03026760 . S2CID 119136586 .
^ Шлезингер 1933 , с. 198.
^ Карл Фридрих Гаусс: Дополнения.II. В: Карно, Лазар (1810). Geometrie der Stellung (на немецком языке). Перевод Х.К. Шумахера. Альтона: Хаммерих. стр. 363–364. (Текст Шумахера, алгоритм Гаусса), переиздано в Собрании сочинений, том 4, стр. 396-398
^ Коксетер, HSM (1971). «Узоры фризов» (PDF) . Журнал арифметики . 18 : 297–310. дои : 10.4064/aa-18-1-297-310 .
↑ Чудесная пентаграмма , напечатано в собрания сочинений Томе III , стр. 481–490
^ Шехтман, Вадим (2013). «Pentagramma mirificum и эллиптические функции (Напье, Гаусс, Понселе, Якоби, ...)» . Анналы факультета математических наук Тулузы . 22 (2): 353–375. дои : 10.5802/afst.1375 .
^ Определение наибольшего эллипса, касающегося четырех плоскостей заданного четырехугольника , напечатано в Собрании сочинений , том 4, стр. 385–392; оригинал в Monthly Correspondence for the Advance of Earth and Celestial Knowledge , том 22, 1810 г., стр. 112–121.
^ Штекель 1917 , с. 71-72.
^ Напечатано в собрания сочинений , стр. 406–407. томе 4
^ Штекель 1917 , с. 76.
^ Даннингтон 2004 , с. 153.
^ Райх, Карин (2011). «Александр фон Гумбольдт и Карл Фридрих Гаусс как пионеры новой дисциплины земного магнетизма» . Гумбольдт в сети (на немецком языке). 12 (22): 33–55.
^ Даннингтон 2004 , с. 136.
^ Даннингтон 2004 , с. 161.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Райх, Карин (2023). «Магнитная ассоциация Гумбольдта в историческом контексте» . Гумбольдт в сети (на немецком языке). 24 (46): 53–74.
^ Бирманн, Курт Р. (2005). «Из истории просьбы Александра фон Гумбольдта в 1836 году к президенту Королевского общества об учреждении геомагнитных станций (документы о взаимоотношениях Ава Гумбольдта и К. Ф. Гаусса)» . Гумбольдт в сети (на немецком языке). 6 (11).
^ Гумбольдт, Александр фон (1836). «Письмо барона фон Гумбольдта Его Королевскому Высочеству герцогу Сассекскому... о развитии знаний о земном магнетизме путем создания магнитных станций и соответствующих наблюдений» . Философский журнал . Бд. 6 (9): 42–53. дои : 10.18443/70 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Рупке, Николаас (2005). «Карл Фридрих Гаусс и земной магнетизм». В Миттлер, Эльмар (ред.). «Когда ударит молния, тайна раскрыта» – Карл Фридрих Гаус в Геттингене (PDF) . Сочинения Геттингенской библиотеки 30 (на немецком языке). Государственная и университетская библиотека Нижней Саксонии. стр. 188–201. ISBN 3-930457-72-5 .
^ Шааф 1964 , стр. 115–127.
^ Перейти обратно: ^а ^б Кляйн 1979 , стр. 21–23.
^ Перейти обратно: ^а ^б Русанова, Елена (2011). «Россия всегда была землей обетованной для магнетизма: Александр фон Гумбольдт, Карл Фридрих Гаусс и исследование земного магнетизма в России» . Гумбольдт в сети (на немецком языке). 12 (22): 56–83.
^ Шефер 1929 , с. 87.
^ Перейти обратно: ^а ^б Шефер 1929 , с. 6.
^ Шефер 1929 , с. 108.
^ Перейти обратно: ^а ^б Тимм, Арнульф (2005). «Электрический телеграф Гаусса и Вебера». В Миттлер, Эльмар (ред.). «Когда ударит молния, тайна раскрыта» – Карл Фридрих Гаус в Геттингене (PDF) . Сочинения Геттингенской библиотеки 30 (на немецком языке). Государственная и университетская библиотека Нижней Саксонии. стр. 169–183. ISBN 3-930457-72-5 .
^ Мартин-Родригес, Фернандо; Баррио Гарсия, Гонсало; Альварес Лирес, Мария (2010). «Технологическая археология: Техническое описание телеграфа Гаусса-Вебера» . 2010 Вторая 8-я региональная конференция IEEE по истории коммуникаций . стр. 1–4. дои : 10.1109/HISTELCON.2010.5735309 . HDL : 11093/1859 . ISBN 978-1-4244-7450-9 . S2CID 2359293 .
↑ Напечатано в Собрании сочинений , том 5, стр. 609–610.
^ Рош, Джон Дж. (1990). «Критическое исследование векторного потенциала». В Роше, Джон (ред.). Физики оглядываются назад: исследования по истории физики . Бристоль, Нью-Йорк: Адам Хилгер. стр. 147–149. ISBN 0-85274-001-8 .
^ Шефер 1929 , стр. 148–152.
^ Гепперт 1933 , с. 32.
^ Гепперт 1933 , стр. 32–40.
^ Шефер 1929 , стр. 153–154.
^ Шефер 1929 , стр. 159–165.
^ Даннингтон 2004 , с. 170.
^ Хехт, Юджин (1987). Оптика . Эддисон Уэсли. п. 134. ИСБН 978-0-201-11609-0 .
^ Басс, Майкл; ДеКусатис, Казимер; Енох, Джей; Лакшминараянан, Васудеван (2009). Справочник по оптике . МакГроу Хилл Профессионал. п. 17.7. ISBN 978-0-07-149889-0 .
^ Остдик, Верн Дж.; Борд, Дональд Дж. (2007). Запрос по физике . Cengage Обучение. п. 381. ИСБН 978-0-495-11943-2 .
^ Шефер 1929 , с. 189–208.
^ Гепперт 1933 , стр. 3–11.
^ Гепперт 1933 , с. 12-16.
^ Зиберт, Манфред (1998). «Маятник Фуко К.Ф. Гаусса». Объявления Gauß-Gesellschaft Göttingen (на немецком языке). 35 (35): 49–52. Бибкод : 1998ГГМит..35...49С .
^ Гепперт 1933 , с. 16-26.
^ Гепперт 1933 , стр. 59–60.
^ Даннингтон 2004 , стр. 69–70.
^ Сарториус фон Вальтерсхаузен 1856 , стр. 11–13.
^ Хейс, Брайан (2006). «День расплаты Гаусса» . Американский учёный . 94 (3): 200. дои : 10.1511/2006.59.200 . Архивировано из оригинала 12 января 2012 года . Проверено 30 октября 2012 г.
^ Ротман, Джозеф Дж. (2006). Первый курс абстрактной алгебры: с приложениями (3-е изд.). Аппер-Сэддл-Ривер, Нью-Джерси: Пирсон Прентис Холл. стр. 7–8. ISBN 0-13-186267-7 . OCLC 61309485 .
^ Даннингтон 2004 , с. 351.
^ «Карл Фридрих Гаусс» . Нижнесаксонская академия наук в Геттингене . Проверено 8 апреля 2023 г.
^ «Члены прошлого» . Академия наук – Институт Франции . Проверено 7 апреля 2023 г.
^ «Товарищи» . Королевское общество . Проверено 7 апреля 2023 г.
^ «Карл Фридрих Гаусс» . Берлин-Бранденбургская академия наук . Проверено 7 апреля 2023 г.
^ «Хронологический список иностранных членов» . Национальная академия наук . Проверено 7 апреля 2023 г.
^ «Бывшие товарищи» . Королевское общество Эдинбурга. п. 345 . Проверено 7 апреля 2023 г.
^ «Умершие члены: профессор доктор Карл Фридрих Гаусс» . Баварская академия наук . Проверено 7 апреля 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Даннингтон 2004 , с. 352.
^ «Карл Фредерик Гаусс» . Королевское астрономическое общество. 30 апреля 1777 года . Проверено 7 апреля 2023 г.
^ «Книга участников, 1780–2010: Глава G» . Американская академия искусств и наук. 9 февраля 2023 г. Проверено 7 апреля 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Даннингтон 2004 , с. 353.
^ Королевская академия Бельгии: члены Академии
^ «К. Ф. Гаусс (1797–1855)» . Королевская Нидерландская академия искусств и наук . Проверено 19 июля 2015 г.
^ «Иностранцы» . Королевская академия наук . Проверено 7 апреля 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Даннингтон 2004 , с. 355.
^ «История участников APS» . search.amphilsoc.org . Проверено 16 апреля 2021 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Даннингтон 2004 , стр. 351–355.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Даннингтон 2004 , с. 359.
^ Майдрон, Мэн (1887). «Астрономическая премия, основанная Лаландом» . Научное обозрение . XIV . Париж: 460.
^ «Медаль Копли: Прошлые победители» . Королевское общество . Проверено 3 июня 2024 г.
^ «Гаусс, Шарль Фредерик» . Национальный архив . Проверено 7 апреля 2023 г.
^ «Карл Фридрих Гаусс» . Орден «За заслуги перед наукой и искусством» . Проверено 7 апреля 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Даннингтон 2004 , с. 354.
^ Вуссинг 1982 , с. 86.
^ «Gauss-Gesellschaft eV (Общество Гаусса) Геттинген» . Проверено 4 апреля 2024 г.
^ Ролфинг, Хельмут (2003). «Наследие гения. Поместье Карла Фридриха Гаусса в Государственной и университетской библиотеке Нижней Саксонии в Геттингене». Объявления Gauß-Gesellschaft Göttingen (на немецком языке). 35 (40): 7–23. Бибкод : 1998ГГМит..35...49С .
^ «Семейный архив Гаусс» . Подпись: G IX 021. Городской архив Брауншвейга . Проверено 25 марта 2023 г.

Источники

Бахманн, Пол (1922). «О теоретико-числовых работах Гаусса» . В Королевской прусской академии наук (ред.). Карл Фридрих Гаусс. Работы (на немецком языке). Том X, 2 (Документ 1).
Больца, Оскар (1921). «Гаусс и вариационное исчисление» . В Королевской прусской академии наук (ред.). Карл Фридрих Гаусс. Работы (на немецком языке). Том X, 2 (Документ 5).
Брендель, Мартин (1929). «Об астрономических трудах Гаусса» . В Королевской прусской академии наук (ред.). Карл Фридрих Гаусс. Работы (на немецком языке). Том XI, 2 (Документ 3).
Бюлер, Вальтер Кауфманн (1981). Гаусс: Биографическое исследование . Издательство Спрингер. ISBN 978-0-387-10662-5 .
Даннингтон, Дж. Уолдо (2004). Карл Фридрих Гаусс: Титан науки . Математическая ассоциация Америки. ISBN 978-0-88385-547-8 . OCLC 53933110 . Первое издание: Карл Фридрих Гаусс: Титан науки. Исследование его жизни и творчества . Нью-Йорк: Экспозиционная пресса. 1955.
- Грей, Джереми (1955). «Введение в «Гаусс» Даннингтона ». Карл Фридрих Гаусс: Титан науки. Исследование его жизни и творчества . Нью-Йорк: Экспозиционная пресса. стр. XIX – XXVI. С критическим взглядом на стиль и оценки Даннингтона.
Галле, Андреас (1924). «О геодезических трудах Гаусса» . В Королевской прусской академии наук (ред.). Карл Фридрих Гаусс. Работы (на немецком языке). Том XI, 2 (Документ 1).
Гепперт, Харальд (1933). «О работах Гаусса по механике и теории потенциала» . В Королевской прусской академии наук (ред.). Карл Фридрих Гаусс. Работы (на немецком языке). Том X, 2 (Документ 7).
Кляйн, Феликс (1894). «Развитие математики в немецких университетах» . Лекции по математике . Нью-Йорк, Лондон: Macmillan and Co., стр. 99–101.
Кляйн, Феликс (1979) [1926]. Лекции о развитии математики в XIX веке. Часть 1 [ Лекции о развитии математики в XIX веке ]. Основные учения математических наук 24 (на немецком языке). Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN 3-540-09234-Х .
Меннхен, Филипп (1930). «Гаусс как числовой калькулятор» . В Королевской прусской академии наук (ред.). Карл Фридрих Гаусс. Работы (на немецком языке). Том X, 2 (Документ 6).
О'Хара, Джеймс Гэбриэл (1983). «Гаусс и Королевское общество: восприятие его идей о магнетизме в Великобритании» . Заметки и отчеты Королевского общества . 38 (1): 17–78.
Островский, Александр (1920). «О первом и четвёртом гауссовских доказательствах основной теоремы алгебры» . В Королевской прусской академии наук (ред.). Карл Фридрих Гаусс. Работы (на немецком языке). Том X, 2 (Документ 3).
Сарториус фон Вальтерсхаузен, Вольфганг (1856 г.). Гаусс по памяти (на немецком языке). С. Хирзель.
- Карл Фридрих Гаусс. Мемориал (PDF) . Перевод Хелен Уортингтон Гаусс. Колорадо-Спрингс. 1966. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
Шааф, Уильям Л. (1964). Карл Фридрих Гаусс: принц математиков . Нью-Йорк: Франклин Уоттс.
Шефер, Клеменс (1929). «О физических работах Гаусса» . В Королевской прусской академии наук (ред.). Карл Фридрих Гаусс. Работы (на немецком языке). Том XI, 2 (Документ 2).
Шлезингер, Людвиг (1933). «О работах Гаусса по теории функций» . В Королевской прусской академии наук (ред.). Карл Фридрих Гаусс. Работы (на немецком языке). Том X, 2 (Документ 2).
Штекель, Пауль (1917). «Гаусс как геометр» . В Королевской прусской академии наук (ред.). Карл Фридрих Гаусс. Работы (на немецком языке). Том X, 2 (Документ 4).
Стулофф, Николай (1964). Историческая комиссия Баварской академии наук (ред.). Гаусс, Карл Фридрих . Новая немецкая биография (на немецком языке). Том 6. Берлин: Данкер и Хамблот. стр. 101–107. ISBN 3-428-00187-7 .
Вуссинг, Ганс (1982). Карл Фридрих Гаус (на немецком языке) (4-е изд.). Лейпциг: BSB Б.Г. Тойбнер.

Дальнейшее чтение

Мерцбах, Ута К. ; Бойер, Карл Б. (2011). История математики (3-е изд.). Нью-Джерси: Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0470630563 .
Холл, Торд (1970). Карл Фридрих Гаусс: Биография . Кембридж, Массачусетс: MIT Press . ISBN 978-0-262-08040-8 . OCLC 185662235 .
Нахин, Пол Дж . (2010). Воображаемая сказка: История √-1 . Издательство Принстонского университета. ISBN 9 78-1-4008-3389-4 .
Симмонс, Дж. (1996). Гигантская книга учёных: 100 величайших умов всех времён . Сидней: Книжная компания.
Палатка, Маргарет (2006). Принц математики: Карл Фридрих Гаусс . АК Петерс. ISBN 978-1-56881-455-1 .

Вымышленный

Кельманн, Дэниел (2005). Измерение мира (на немецком языке). Ровольт. ISBN 978-3-498-03528-0 . OCLC 144590801 .
- Кельманн, Дэниел (2006). Измерение мира . Перевод Джейнвей, Кэрол Браун .

Внешние ссылки

Ресурсы библиотеки о
Карл Фридрих Гаусс

Карл Фридрих Гаусс

Работы Карла Фридриха Гаусса или о нем в Интернет-архиве
Публикации К.Ф. Гаусса в системе астрофизических данных
«Некролог» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 16 (80). 1856 год . Проверено 8 апреля 2024 г.
«Карл Фридрих Гаусс» . Би-би-си 4 . Краткая история математики . Проверено 8 апреля 2024 г.
«Разум превыше математики: как Гаусс определил дату своего рождения» . american_almanac.tripod.com . Проверено 8 апреля 2024 г.
«О замощении Гаусса единичного диска» . Проверено 8 апреля 2024 г.
«Карл Фридрих Гаусс» . Геттингенский университет . Проверено 8 апреля 2024 г.
« Потомки Гаусса » . www.coloradocollege.edu . Архивировано из оригинала 28 мая 2010 года . Проверено 4 июня 2024 г.
«Гаусс» . www.gausschildren.org . Проверено 8 апреля 2024 г.
Карл Фридрих Гаусс – Следы его жизни (Места, используемые как точки для триангуляции)

[8] Collegium Carolinum был предшествующим учреждением Брауншвейгского технического университета , но во времена Гаусса не равнялся университету. ^{[ 7 ]}

[14] Однажды Гаусс нарисовал сцену лекции, где профессор Кестнер допустил ошибку в простом расчете. ^{[ 10 ]}

[20] Эта ошибка встречается, например, у Марсдена (1977). ^{[ 17 ]}

[37] Гаусс объявил о 195 лекциях, 70 процентов из них по астрономическим, 15 процентов по математическим, 9 процентов по геодезическим и 6 процентов по физическим предметам. ^{[ 33 ]}

[39] Указатель переписки показывает, что Бенджамин Гулд был предположительно последним корреспондентом, который 13 февраля 1855 года при жизни отправил письмо Гауссу. Это было настоящее прощальное письмо, но неизвестно, дошло ли оно до адресата вовремя. ^{[ 34 ]}

[42] После его смерти среди его бумаг была найдена беседа о возмущениях Палласа на французском языке, вероятно, как вклад в конкурс на премию Французской академии наук. ^{[ 36 ]}

[44] Theoria motus... была завершена на немецком языке в 1806 году, но по просьбе редактора Фридриха Кристофа Пертеса Гаусса перевела ее на латынь. ^{[ 37 ]}

[50] И Гаусс, и Хардинг в своей переписке лишь завуалировали намеки на эту личную проблему. В письме Шумахеру указывается, что Гаусс пытался избавиться от своего коллеги и искал для него новую должность за пределами Геттингена, но безрезультатно. Кроме того, Шарлотта Вальдек, теща Гаусса, умоляла Ольберса попытаться предоставить Гауссу другую должность вдали от Геттингена. ^{[ 42 ]}

[53] Первым помощником Гаусса был Бенджамин Гольдшмидт , а вторым — Вильгельм Клинкерфюс , который впоследствии стал одним из его преемников. ^{[ 33 ]}

[Bessel-57] Бессель так и не получил университетского образования. ^{[ 46 ]}^{[ 47 ]}

[77] В этом путешествии он встретил геодезиста Фердинанда Рудольфа Хасслера , который был научным корреспондентом Карла Фридриха Гаусса. ^{[ 65 ]}^{[ 66 ]}

[80] Следуя рукописному венгерскому тексту Бояи внизу, Гаусс намеренно охарактеризовал Кестнера, добавив неверное дополнение.

[114] Первой книгой, которую он одолжил в университетской библиотеке в 1795 году, был роман «Кларисса» Сэмюэля Ричардсона . ^{[ 101 ]}

[119] Политическим фоном была запутанная ситуация в Германской Конфедерации с 39 почти независимыми государствами, суверенами трех из которых были короли других стран (Нидерланды, Дания, Соединенное Королевство), тогда как Королевство Пруссия и Австрийская империя широко простирались на территорию границы Конфедерации.

[139] Гаусс подробно рассказал эту историю позже в письме Энке . ^{[ 124 ]}

[153] Позже эти преобразования были даны Лежандром в 1824 г. (3-й порядок), Якоби в 1829 г. (5-й порядок), Зонке в 1837 г. (7-й и другие порядки).

[155] В письме Бесселю от 1828 года Гаусс прокомментировал: «Г-н Абель [...] предвосхитил меня и освободил меня от усилий [публикации] в отношении одной трети этих вопросов…» ^{[ 138 ]}

[159] Это замечание появляется в статье 335 главы 7 Disquisitiones Arithmeticae (1801 г.).

[177] Для однозначной идентификации космического объекта как планеты среди неподвижных звезд требуется как минимум два наблюдения с интервалом.

[184] Брендель (1929) считал этот шифр неразрешимым, но на самом деле декодирование было очень простым. ^{[ 162 ]}^{[ 164 ]}

[202] Лауэнбург был самым южным городом герцогства Гольштейн , которое принадлежало лично королю Дании .

[205] Этот сектор Рамсдена был предоставлен Советом по артиллерийскому вооружению и ранее использовался Уильямом Маджем в Главной триангуляции Великобритании . ^{[ 183 ]}

[213] Значение Уолбека (1820 г.) 1/302,78 было улучшено до 1/298,39; расчет провел Эдуард Шмидт, частный преподаватель Геттингенского университета. ^{[ 190 ]}

[231] Хеземанн также взял у Гаусса посмертную маску. ^{[ 39 ]}

[263] Гроза повредила кабель в 1845 году. ^{[ 238 ]}

[286] Некоторые авторы, такие как Джозеф Дж. Ротман , задаются вопросом, происходило ли это когда-либо. ^{[ 260 ]}

[311] дословный перевод: Тайный советник суда.

[314] Гаусс представил текст Геттингенской академии в декабре 1832 года, препринт на латыни в небольшом количестве экземпляров появился в 1833 году. Вскоре он был переведен и опубликован на немецком и французском языках. Полный текст на латыни был опубликован в 1841 году. ^{[ 228 ]}

[1] Аксель Д. Виттманн, Инна Викторовна Орешина (2009). «О картинах Йенсена К. Ф. Гаусса» . Сообщения Общества Гаусса (46): 57–61.

[2] Дуден - ( Словарь произношения на немецком языке) (7-е изд.). Берлин: Дуденверлаг. 2015 [1962]. стр. 246, 381, 391. ISBN. 978-3-411-04067-4 .

[3] Креч, Ева-Мария; Сток, Эберхард; Хиршфельд, Урсула; Андерс, Лутц-Кристиан (2009). Словарь немецкого произношения [ Словарь немецкого произношения ] (на немецком языке). Берлин: Вальтер де Грюйтер. стр. 402, 520, 529. ISBN. 978-3-11-018202-6 .

[4] Борх, Рудольф (1929). Генеалогическая таблица математика Карла Фридриха Гаусса [ Таблица предков математика Карла Фридриха Гаусса ]. Родословная знаменитых немцев (на немецком языке). Том 1. Центральное управление личной и семейной истории Германии. стр. 63–65.

[FOOTNOTEDunnington20048-5] Даннингтон 2004 , с. 8.

[FOOTNOTEDunnington20048–9-6] Даннингтон 2004 , стр. 8–9.

[FOOTNOTEDunnington200417-7] Даннингтон 2004 , с. 17.

[FOOTNOTESchlesinger193310-9] Перейти обратно: ^а ^б Шлезингер 1933 , с. 10.

[FOOTNOTEDunnington200414-10] Даннингтон 2004 , с. 14.

[Ullrich-11] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Ульрих, Питер (2005). «Происхождение, школа и время учебы Карла Фридриха Гаусса». В Миттлер, Эльмар (ред.). «Когда ударит молния, тайна раскрыта» – Карл Фридрих Гаус в Геттингене (PDF) . Сочинения Геттингенской библиотеки 30 (на немецком языке). Государственная и университетская библиотека Нижней Саксонии. стр. 17–29. ISBN 3-930457-72-5 .

[scientificmonthly-12] Перейти обратно: ^а ^б Даннингтон, Уолдо (1927). «Полтора столетия со дня рождения Гаусса» . Научный ежемесячник . 24 (5): 402–414. Бибкод : 1927SciMo..24..402D . JSTOR 7912 . Архивировано из оригинала 26 февраля 2008 г. Также доступно на сайте. «Полтора столетия со дня рождения Гаусса» . Проверено 23 февраля 2014 г. Подробная биографическая статья.

[FOOTNOTEDunnington200424-13] Перейти обратно: ^а ^б Даннингтон 2004 , с. 24.

[FOOTNOTEDunnington200426-15] Перейти обратно: ^а ^б ^с Даннингтон 2004 , с. 26.

[16] Ваттенберг, Дидрих (1994). Вильгельм Ольберс в переписке с астрономами своего времени (на немецком языке). Штутгарт: GNT – Издательство истории естественных наук и технологий. п. 41. ИСБН 3-928186-19-1 .

[FOOTNOTEDunnington200428-17] Даннингтон 2004 , с. 28.

[FOOTNOTEDunnington200437-18] Даннингтон 2004 , с. 37.

[Marsden-19] Перейти обратно: ^а ^б Марсден, Брайан Г. (1 августа 1977 г.). «Карл Фридрих Гаусс, астроном» . Журнал Королевского астрономического общества Канады . 71 : 309–323. Бибкод : 1977JRASC..71..309M . ISSN 0035-872X .

[Reich2000-21] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Райх, Карин (2000). «Ученики Гаусса». Сообщения Gauß-Gesellschaft Göttingen (на немецком языке) (37): 33–62.

[Beuermann-22] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Бойерманн, Клаус (2005). «Карл Фридрих Гаус и Геттингенская обсерватория» (PDF) . В Бойерманне, Клаус (ред.). Принципы строительства новых обсерваторий со ссылкой на обсерваторию в Геттингенском университете Георга Генриха Борека . Геттинген: Издательство Геттингенского университета. стр. 37–45. ISBN 3-938616-02-4 .

[23] Михлинг, Хорст (1966). «О проекте Гауссовой обсерватории в Брауншвейге». Объявления Gauß-Gesellschaft Göttingen (на немецком языке) (3): 24.

[FOOTNOTEDunnington200450,_54–55,_74–77-24] Даннингтон 2004 , стр. 50, 54–55, 74–77.

[FOOTNOTEDunnington200491–92-25] Даннингтон 2004 , стр. 91–92.

[FOOTNOTEDunnington200485–87-26] Перейти обратно: ^а ^б Даннингтон 2004 , стр. 85–87.

[FOOTNOTEDunnington200486–87-27] Даннингтон 2004 , стр. 86–87.

[FOOTNOTEBrendel192981–82-28] Брендель 1929 , стр. 81–82.

[FOOTNOTEBrendel192949-29] Брендель 1929 , с. 49.

[FOOTNOTEBrendel192983-30] Брендель 1929 , с. 83.

[FOOTNOTEBrendel192984-31] Брендель 1929 , с. 84.

[FOOTNOTEBrendel1929119-32] Брендель 1929 , с. 119.

[FOOTNOTEBrendel192956-33] Брендель 1929 , с. 56.

[FOOTNOTEKlein19797-34] Кляйн 1979 , с. 7.

[FOOTNOTEDunnington2004405–410-35] Даннингтон 2004 , стр. 405–410.

[Wittmann-36] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Виттманн, Аксель (2005). «Карл Фридрих Гаус и его работа астронома». В Миттлер, Эльмар (ред.). «Когда ударит молния, тайна раскрыта» – Карл Фридрих Гаус в Геттингене (PDF) . Сочинения Геттингенской библиотеки 30 (на немецком языке). Государственная и университетская библиотека Нижней Саксонии. стр. 131–149. ISBN 3-930457-72-5 .

[Correspondence-38] Перейти обратно: ^а ^б «Полная переписка Карла Фридриха Гаусса» . Академия наук в Геттингене . Проверено 10 марта 2023 г.

[Biermann-40] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Бирманн, Курт Р. (1966). «Об отношениях между К. Ф. Гаусом и Ф. В. Бесселем». Объявления Gauß-Gesellschaft Göttingen (на немецком языке) (3): 7–20.

[FOOTNOTEBrendel1929211-41] Брендель 1929 , с. 211.

[FOOTNOTEDunnington200490-43] Даннингтон 2004 , с. 90.

[FOOTNOTEDunnington200437–38-45] Даннингтон 2004 , стр. 37–38.

[FOOTNOTEDunnington2004324-46] Перейти обратно: ^а ^б Даннингтон 2004 , с. 324.

[47] Кантор, Мориц (1894). Тибо, Бернхард Фридрих . Общая немецкая биография (на немецком языке). Том 37. Лейпциг: Данкер и Хамблот. стр. 745–746.

[48] Фолкертс, Менсо (1990). Майер, Иоганн Тобиас . Новая немецкая биография (на немецком языке). Том 16. Данкер и Хамблот. п. 530.

[Küssner-49] Перейти обратно: ^а ^б ^с Кюсснер, Марта (1978). «Отношения Фридриха Вильгельма Бесселя с Геттингеном и воспоминания о нем». Объявления Gauß-Gesellschaft Göttingen (на немецком языке) (15): 3–19.

[FOOTNOTEBrendel1929106–108-51] Перейти обратно: ^а ^б Брендель 1929 , стр. 106–108.

[FOOTNOTEBrendel19297,_128-52] Брендель 1929 , стр. 7, 128.

[Gerardy-54] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Джерарди, Тео (1966). «К. Ф. Гаусс и его сыновья». Объявления Gauß-Gesellschaft Göttingen (на немецком языке) (3): 25–35.

[55] Хамель, Юрген (1984). Фридрих Вильгельм Бессель . Лейпциг: BSB BGTeubner Verlagsgesellschaft. п. 29.

[FOOTNOTEDunnington200476-56] Даннингтон 2004 , с. 76.

[58] Маккиннон, Ник (1990). «Софи Жермен, или Был ли Гаусс феминисткой?». Математический вестник . 74 (470). Математическая ассоциация: 346–351. дои : 10.2307/3618130 . JSTOR 3618130 . S2CID 126102577 .

[59] Бирманн, Курт Р. (1964). «Готхольд Эйзенштейн» . Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке). 214 : 19-30. дои : 10.1515/crll.1964.214-215.19 .

[FOOTNOTEDunnington2004195–200-60] Даннингтон 2004 , стр. 195–200.

[FOOTNOTEDunnington2004288-61] Перейти обратно: ^а ^б ^с Даннингтон 2004 , с. 288.

[FOOTNOTESartorius_von_Waltershausen1856104-62] Сарториус фон Вальтерсхаузен 1856 , с. 104.

[FOOTNOTEDunnington2004237-63] Даннингтон 2004 , с. 237.

[64] Вагнер, Рудольф (1860). О типичных различиях в извилинах полушарий и о теории веса мозга с особым учетом формирования мозга разумных людей. Предварительные исследования по научной морфологии и физиологии человеческого мозга как органа души, Том 1 . Геттинген: Дитрих.

[65] Вагнер, Рудольф (1862). О строении мозга микроцефалов при сравнительном рассмотрении строения мозга нормального человека и четвероногого человека. Предварительные исследования по научной морфологии и физиологии человеческого мозга как органа души, Том 2 . Геттинген: Дитрих.

[66] Вагнер, Герман (1864). поверхности большого мозга Измерения ( на немецком языке). Кассель и Геттинген: Георг Х. Виганд.

[67] Швейцер, Рената; Виттманн, Аксель; Фрам, Йенс (2014). «Редкая анатомическая вариация недавно идентифицирует мозг К. Ф. Гаусса и К. Х. Фукса в коллекции Геттингенского университета» . Мозг . 137 (4): e269. дои : 10.1093/brain/awt296 . hdl : 11858/00-001M-0000-0014-C6F0-6 . ПМИД 24163274 . (с дальнейшими ссылками)

[68] «Разгадка истинной личности мозга Карла Фридриха Гаусса» . Общество Макса Планка .

[FOOTNOTEDunnington200466-69] Даннингтон 2004 , с. 66.

[FOOTNOTEWußing198244-70] Вуссинг 1982 , с. 44.

[FOOTNOTEDunnington200477,_88,_93-71] Даннингтон 2004 , стр. 77, 88, 93.

[72] Каджори, Флориан (19 мая 1899 г.). «Карл Фридрих Гаусс и его дети» . Наука . Новая серия. 9 (229). Американская ассоциация содействия развитию науки: 697–704. Бибкод : 1899Sci.....9..697C . дои : 10.1126/science.9.229.697 . JSTOR 1626244 . ПМИД 17817224 .

[FOOTNOTEDunnington2004374-73] Перейти обратно: ^а ^б Даннингтон 2004 , с. 374.

[FOOTNOTEDunnington2004206-74] Даннингтон 2004 , с. 206.

[75] Джерарди, Тео (1977). «Геодезисты как корреспонденты Карла Фридриха Гауса». Новости общей геодезии (на немецком языке) (84): 150–160. п. 157

[FOOTNOTEDunnington2004286-76] Даннингтон 2004 , с. 286.

[78] Вольф, Армин (1964). «Педагог и философ Иоганн Конрад Фалленштейн (1731–1813) – Генеалогические связи между Максом Вебером , Гаусом и Бесселем». Генеалогия (на немецком языке). 7 :266-269.

[79] Вайнбергер, Джозеф (1977). «Карл Фридрих Гаус 1777–1855 и его потомки». Архив исследований кланов и всех связанных с ними областей (на немецком языке). 43/44 (66): 73–98.

[Schubring-81] Шубринг, Герт (1993). «Немецкое математическое сообщество». В Фовеле, Джон ; Флуд, Рэймонд ; Уилсон, Робин (ред.). Мёбиус и его группа: Математика и астрономия в Германии девятнадцатого века . Издательство Оксфордского университета. стр. 21–33.

[82] Шубринг, Герт (2021). История математики в ее контексте (на немецком языке). Биркгаузер. стр. 133–134.

[FOOTNOTEKlein1894100–101-83] Кляйн 1894 , стр. 100–101.

[FOOTNOTEKlein19795–6-84] Кляйн 1979 , стр. 5–6.

[FOOTNOTEDunnington2004217-85] Даннингтон 2004 , с. 217.

[86] Письмо Гаусса Бояи от 2 сентября 1808 г.

[87] Кляйн, Феликс, изд. «Научный дневник Гаусса 1796–1814» . Математические анналы (на латыни и немецком языке). 57 :1–34. дои : 10.1007/BF01449013 . S2CID 119641638 . п. 2

[FOOTNOTEBachmann19224–6-88] Бахманн 1922 , стр. 4–6.

[FOOTNOTESchlesinger193318-89] Перейти обратно: ^а ^б Шлезингер 1933 , с. 18.

[FOOTNOTEMaennchen193064–65-90] Меннхен 1930 , стр. 64–65.

[FOOTNOTEMaennchen19304–9-91] Перейти обратно: ^а ^б Менхен 1930 , стр. 4–9.

[92] Райх, Карин (2005). «Таблицы логарифмов – «повседневные рабочие инструменты» Гаусса ». В Миттлер, Эльмар (ред.). «Когда ударит молния, тайна раскрыта» – Карл Фридрих Гаус в Геттингене (PDF) . Сочинения Геттингенской библиотеки 30 (на немецком языке). Государственная и университетская библиотека Нижней Саксонии. стр. 73–86. ISBN 3-930457-72-5 .

[93] Альтоэн, Стивен С.; Маклафлин, Рената (1987), «Редукция Гаусса – Джордана: краткая история», The American Mathematical Monthly , 94 (2), Mathematical Association of America: 130–142, doi : 10.2307/2322413 , ISSN 0002-9890 , JSTOR 2322413

[FOOTNOTEMaennchen19303-94] Мюнхен 1930 , с. 3.

[FOOTNOTEBachmann19225-95] Бахманн 1922 , с. 5.

[FOOTNOTEKlein197929-96] Кляйн 1979 , с. 29.

[FOOTNOTEDunnington2004420–430-97] Даннингтон 2004 , стр. 420–430.

[FOOTNOTESartorius_von_Waltershausen185679-98] Сарториус фон Вальтерсхаузен 1856 , с. 79.

[First-Class-99] Дербишир, Джон (2003). Основная одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема математики . Вашингтон, округ Колумбия: Джозеф Генри Пресс. п. 202 . ISBN 978-0-309-08549-6 .

[Stigler-100] Перейти обратно: ^а ^б ^с Стиглер , Стивен М. (1981). «Гаусс и изобретение метода наименьших квадратов» . Анналы статистики . 9 (3): 465–474. дои : 10.1214/aos/1176345451 .

[FOOTNOTESartorius_von_Waltershausen1856102-101] Сарториус фон Вальтерсхаузен 1856 , с. 102.

[FOOTNOTESartorius_von_Waltershausen185695-102] Перейти обратно: ^а ^б Сарториус фон Вальтерсхаузен 1856 , с. 95.

[FOOTNOTESartorius_von_Waltershausen18568-103] Сарториус фон Вальтерсхаузен 1856 , с. 8.

[FOOTNOTEWußing198241-104] Вуссинг 1982 , с. 41.

[FOOTNOTEDunnington2004253-105] Даннингтон 2004 , с. 253.

[106] «Письмо Карла Фридриха Гаусса Йоханне Гаусс, 23 октября 1809 года» . Полная переписка Карла Фридриха Гаусса . Геттингенская академия наук. 23 октября 1809 года . Проверено 26 марта 2023 г.

[FOOTNOTEDunnington200494–95-107] Даннингтон 2004 , стр. 94–95.

[FOOTNOTEDunnington2004206,_374-108] Даннингтон 2004 , с. 206, 374.

[gausschildren-109] «Письмо: Чарльз Генри Гаусс Флориану Каджори - 21 декабря 1898 г.» . Проверено 25 марта 2023 г.

[FOOTNOTESartorius_von_Waltershausen185671-110] Сарториус фон Вальтерсхаузен 1856 , с. 71.

[111] Лефельдт, Вернер (2005). «Исследование русского языка Карлом Фридрихом Гаусом». В Миттлер, Эльмар (ред.). «Когда ударит молния, тайна раскрыта» – Карл Фридрих Гаус в Геттингене (PDF) . Сочинения Геттингенской библиотеки 30 (на немецком языке). Государственная и университетская библиотека Нижней Саксонии. стр. 302–310. ISBN 3-930457-72-5 .

[FOOTNOTEDunnington2004241-112] Даннингтон 2004 , с. 241.

[113] Райх, Карин (2005). «Духовные отцы Гаусса: не только «summus Ньютон», но и «summus Эйлер» ». В Миттлер, Эльмар (ред.). «Когда ударит молния, тайна раскрыта» – Карл Фридрих Гаус в Геттингене (PDF) . Сочинения Геттингенской библиотеки 30 (на немецком языке). Государственная и университетская библиотека Нижней Саксонии. стр. 105–115. ISBN 3-930457-72-5 .

[FOOTNOTEWußing198280-115] Вуссинг 1982 , с. 80.

[FOOTNOTEWußing198281-116] Вуссинг 1982 , с. 81.

[FOOTNOTESartorius_von_Waltershausen185694-117] Перейти обратно: ^а ^б ^с Сарториус фон Вальтерсхаузен 1856 , с. 94.

[FOOTNOTEWußing198279-118] Вуссинг 1982 , с. 79.

[FOOTNOTESartorius_von_Waltershausen185697-120] Сарториус фон Вальтерсхаузен 1856 , с. 97.

[121] «Письмо Карла Фридриха Гаусса Вильгельму Ольберсу, 3 сентября 1805 года» . Полная переписка Карла Фридриха Гаусса . Геттингенская академия наук. 23 октября 1809 года . Проверено 26 марта 2023 г.

[FOOTNOTEDunnington2004300-122] Даннингтон 2004 , с. 300.

[FOOTNOTESartorius_von_Waltershausen1856100-123] Сарториус фон Вальтерсхаузен 1856 , с. 100.

[124] Басу, Сохам; Веллеман, Дэниел Дж. (21 апреля 2017 г.). «О первом доказательстве Гаусса основной теоремы алгебры». arXiv : 1704.06585 [ math.CV ].

[FOOTNOTEBachmann19228-125] Бахманн 1922 , с. 8.

[FOOTNOTEBachmann19228–9-126] Бахманн 1922 , стр. 8–9.

[FOOTNOTEBachmann192216–25-127] Бахманн 1922 , стр. 16–25.

[FOOTNOTEBachmann192214–16,_25-128] Бахманн 1922 , стр. 14–16, 25.

[FOOTNOTEBachmann192225–28-129] Бахманн 1922 , стр. 25–28.

[FOOTNOTEBachmann192229-130] Бахманн 1922 , с. 29.

[FOOTNOTEBachmann192222–23-131] Бахманн 1922 , стр. 22–23.

[FOOTNOTEBachmann192266–69-132] Бахманн 1922 , стр. 66–69.

[Denker-133] Денкер, Манфред; Паттерсон, Сэмюэл Джеймс (2005). «Гаусс – гениальный математик». В Миттлер, Эльмар (ред.). «Когда ударит молния, тайна раскрыта» – Карл Фридрих Гаус в Геттингене (PDF) . Сочинения Геттингенской библиотеки 30 (на немецком языке). Государственная и университетская библиотека Нижней Саксонии. стр. 53–62. ISBN 3-930457-72-5 .

[Stuhler-134] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Штулер, Ульрих (2005). «Среднее арифметико-геометрическое и эллиптические интегралы: Гаусс и комплексный анализ». В Миттлер, Эльмар (ред.). «Когда ударит молния, тайна раскрыта» – Карл Фридрих Гаус в Геттингене (PDF) . Сочинения Геттингенской библиотеки 30 (на немецком языке). Государственная и университетская библиотека Нижней Саксонии. стр. 62–72. ISBN 3-930457-72-5 .

[FOOTNOTEDunnington200444-135] Даннингтон 2004 , с. 44.

[Frei-136] Фрей, Гюнтер (2007). «Неопубликованный восьмой раздел: На пути к функциональным полям над конечным полем». В Гольдштейне, Кэтрин ; Шаппахер, Норберт ; Швермер, Иоахим (ред.). Формирование арифметики по мотивам «Disquisitiones Arithmeticae» К. Ф. Гаусса . Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer. стр. 159–198. дои : 10.1007/978-3-540-34720-0 . ISBN 978-3-540-20441-1 .

[137] Кох, Х .; Пипер, Х. (1976). Теория чисел . Берлин: Немецкое научное издательство VEB. стр. 6, 124.

[FOOTNOTEBachmann19224-138] Бахманн 1922 , с. 4.

[140] Кляйнер, И. (2000). «От Ферма до Уайлса: Последняя теорема Ферма становится теоремой» (PDF) . Элементы математики . 55 : 19–37. дои : 10.1007/PL00000079 . S2CID 53319514 . Архивировано из оригинала (PDF) 8 июня 2011 года.

[FOOTNOTEBachmann192260–61-141] Бахманн 1922 , стр. 60–61.

[142] Хейлз, Томас К. (2006). «Исторический обзор гипотезы Кеплера» . Дискретная и вычислительная геометрия . 36 (1): 5–20. дои : 10.1007/s00454-005-1210-2 . ISSN 0179-5376 . МР 2229657 .

[143] Зеебер, Людвиг Август (1831). Исследования свойств положительных тернарных квадратичных форм . Мангейм.

[144] «Исследования свойств положительных тернарных квадратичных форм Людвига Августа Зеебера» . Научные объявления Геттингена (108): 1065–1077. Июль 1831 года.

[Kleiner1998-145] Перейти обратно: ^а ^б Кляйнер, Израиль (1998). «От чисел к кольцам: ранняя история теории колец» . Элементы математики . 53 (1): 18–35. дои : 10.1007/s000170050029 . Збл 0908.16001 .

[146] Леммермейер, Франц (2000). Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна . Монографии Спрингера по математике. Берлин: Шпрингер. п. 15. дои : 10.1007/978-3-662-12893-0 . ISBN 3-540-66957-4 .

[FOOTNOTEBachmann192252,_57–59-147] Бахманн 1922 , стр. 52, 57–59.

[FOOTNOTESchlesinger193341–57-148] Шлезингер 1933 , с. 41–57.

[Cox-149] Перейти обратно: ^а ^б Кокс, Дэвид А. (январь 1984 г.). «Среднее арифметико-геометрическое Гаусса» . Математическое познание . 30 (2): 275–330.

[150] Письмо Гаусса Бесселю от 18 декабря 1811 г., частично напечатано в Собрании сочинений , том 8, стр. 90–92 .

[151] Рой, Ранджан (2021). Серии и продукты в области развития математики (PDF) . Том. 2 (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 20–22. ISBN 9781108709378 .

[FOOTNOTESchlesinger1933185–186-152] Шлезингер 1933 , стр. 185–186.

[FOOTNOTESchlesinger193341-154] Шлезингер 1933 , с. 41.

[FOOTNOTESchlesinger1933101–106-156] Шлезингер 1933 , стр. 101–106.

[Houzel-157] Хаузель, Кристиан (2007). «Эллиптические функции и арифметика». В Гольдштрейне, Кэтрин ; Шаппахер, Норберт ; Швермер, Иоахим (ред.). Формирование арифметики по мотивам «Disquisitiones Arithmeticae» К. Ф. Гаусса . Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer. п. 293. дои : 10.1007/978-3-540-34720-0 . ISBN 978-3-540-20441-1 .

[158] Напечатано в Собрании сочинений , том 8, с. 104 .

[FOOTNOTESchlesinger1933122–123-160] Шлезингер 1933 , стр. 122–123.

[FOOTNOTESchlesinger1933136–142-161] Шлезингер 1933 , стр. 136–142.

[FOOTNOTESchlesinger1933142-162] Шлезингер 1933 , с. 142.

[FOOTNOTESchlesinger1933136–154-163] Шлезингер 1933 , стр. 136–154.

[FOOTNOTEStäckel191790–91-164] Штекель 1917 , стр. 90–91.

[FOOTNOTEBühler1981103-165] Бюлер 1981 , с. 103.

[166] Гаучи, Уолтер (1981). «Обзор квадратурных формул Гаусса-Кристофеля» . В Батцере, Пол Б .; Фехер, Франциска (ред.). Э.Б. Кристоффель. Влияние его работ на математику и физику (1-е изд.). Биркхойзер, Базель: Springer. стр. 72–147. дои : 10.1007/978-3-0348-5452-8_6 . ISBN 978-3-0348-5452-8 .

[167] Письмо Гаусса Герлингу от 26 декабря 1823 г.

[168] Юсеф Саад (2 августа 2019 г.). «Итерационные методы для линейных систем уравнений: краткое историческое путешествие». arXiv : 1908.01083v1 [ math.HO ].

[169] Кули, Джеймс В.; Тьюки, Джон В. (1965). «Алгоритм машинного вычисления комплексных рядов Фурье» . Математика вычислений . 19 (90): 297–301. дои : 10.2307/2003354 . JSTOR 2003354 .

[170] Гаусс, CF (1876). Theoria Interpolationis Methodo Nova Tractata (на латыни). Геттинген: К. Общество наук в Геттингене. стр. 265–327.

[171] Хайдеман, Майкл Т.; Джонсон, Дон Х.; Буррус, К. Сидни (1984). «Гаусс и история быстрого преобразования Фурье» (PDF) . Журнал IEEE ASSP . 1 (4): 14–21. дои : 10.1109/MASSP.1984.1162257 . S2CID 10032502 . Архивировано (PDF) из оригинала 19 марта 2013 г.

[FOOTNOTEMaennchen193049–63-172] Меннхен 1930 , стр. 49–63.

[Olesko-173] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Олеско, Кэтрин (2005). «Практический Гаусс – точные измерения для повседневной жизни». В Миттлер, Эльмар (ред.). «Когда ударит молния, тайна раскрыта» – Карл Фридрих Гаус в Геттингене (PDF) . Сочинения Геттингенской библиотеки 30 (на немецком языке). Государственная и университетская библиотека Нижней Саксонии. стр. 236–253. ISBN 3-930457-72-5 .

[FOOTNOTEDunnington200469-174] Даннингтон 2004 , с. 69.

[175] Форбс, Эрик Г. (1971). «Гаусс и открытие Цереры» . Журнал истории астрономии . 2 (3): 195–199. Бибкод : 1971JHA.....2..195F . дои : 10.1177/002182867100200305 . S2CID 125888612 . Архивировано из оригинала 18 июля 2021 года.

[176] Титс, Дональд; Уайтхед, Карен (1965). «Открытие Цереры. Как прославился Гаусс» . Журнал «Математика» . 19 (90): 83–91. Архивировано из оригинала 3 апреля 2023 года . Проверено 22 марта 2023 г.

[FOOTNOTEKlein19798-178] Кляйн 1979 , с. 8.

[179] Феликс Кляйн, Лекции о развитии математики в XIX веке. Берлин: Юлиус Шпрингер Верлаг, 1926.

[FOOTNOTEBrendel1929194–195-180] Брендель 1929 , стр. 194–195.

[FOOTNOTEBrendel1929206-181] Перейти обратно: ^а ^б Брендель 1929 , с. 206.

[182] Тейлор, Д.Б. (1982). «Вековое движение Паллады» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 199 (2): 255–265. Бибкод : 1982MNRAS.199..255T . дои : 10.1093/mnras/199.2.255 .

[183] Шредер, Манфред Р. (2005). «Гаусс, акустика концертного зала и астероид Паллс». В Миттлер, Эльмар (ред.). «Когда ударит молния, тайна раскрыта» – Карл Фридрих Гаус в Геттингене (PDF) . Сочинения Геттингенской библиотеки 30 (на немецком языке). Государственная и университетская библиотека Нижней Саксонии. стр. 259–260. ISBN 3-930457-72-5 .

[FOOTNOTEBrendel1929254-185] Брендель 1929 , с. 254.

[FOOTNOTEBrendel1929253–254-186] Брендель 1929 , стр. 253–254.

[FOOTNOTESchlesinger1933169–170-187] Шлезингер 1933 , стр. 169–170.

[FOOTNOTEBrendel19298–9-188] Брендель 1929 , стр. 8–9.

[FOOTNOTEBrendel19293-189] Брендель 1929 , с. 3.

[FOOTNOTEBrendel192954-190] Брендель 1929 , с. 54.

[FOOTNOTEBrendel1929144-191] Брендель 1929 , с. 144.

[FOOTNOTESchaaf196484-192] Шааф 1964 , с. 84.

[:3-193] Плакетт, Р.Л. (1972). «Открытие метода наименьших квадратов» (PDF) . Биометрика . 59 (2): 239–251. дои : 10.2307/2334569 . JSTOR 2334569 .

[194] Лим, Милтон (31 марта 2021 г.). «Гаусс, метод наименьших квадратов и недостающая планета» . Актуарии Цифровые . Проверено 14 октября 2023 г.

[195] Плакетт, Р.Л. (1949). «Историческая справка о методе наименьших квадратов». Биометрика . 36 (3/4): 458–460. дои : 10.2307/2332682 . JSTOR 2332682 . ПМИД 15409359 .

[196] Авхадиев, ФГ (2005). «Простое доказательство неравенства Гаусса-Винклера». Американский математический ежемесячник . 112 (5): 459–462. дои : 10.2307/30037497 . JSTOR 30037497 .

[197] Шаффрин, Буркхард; Сноу, Кайл (2010). «Полная регуляризация тихоновского типа методом наименьших квадратов и древний ипподром в Коринфе» . Линейная алгебра и ее приложения . 432 (8). Эльзевир Б.В.: 2061–2076. дои : 10.1016/j.laa.2009.09.014 . ISSN 0024-3795 .

[198] Шейнин, О. Б. (1979). «К. Ф. Гаусс и теория ошибок». Архив истории точных наук . 20 (1): 21–72. дои : 10.1007/BF00776066 . JSTOR 41133536 .

[FOOTNOTEGalle192416–18-199] Галле 1924 , стр. 16–18.

[FOOTNOTEGalle192422-200] Галле 1924 , с. 22.

[FOOTNOTEGalle192428-201] Галле 1924 , с. 28.

[FOOTNOTEGalle192432-203] Галле 1924 , с. 32.

[FOOTNOTEGalle192461-204] Перейти обратно: ^а ^б Галле 1924 , с. 61.

[FOOTNOTEGalle192460-206] Галле 1924 , с. 60.

[FOOTNOTEGalle192475–80-207] Галле 1924 , стр. 75–80.

[FOOTNOTESchaaf196481-208] Шааф 1964 , с. 81.

[FOOTNOTEGalle192469-209] Галле 1924 , с. 69.

[FOOTNOTEDunnington2004121-210] Даннингтон 2004 , с. 121.

[FOOTNOTEGalle192437–38,_49–50-211] Галле 1924 , стр. 37–38, 49–50.

[FOOTNOTEGalle192449-50-212] Галле 1924 , с. 49-50.

[FOOTNOTEDunnington2004164-214] Даннингтон 2004 , с. 164.

[FOOTNOTEDunnington2004135-215] Даннингтон 2004 , с. 135.

[FOOTNOTEGalle1924129-216] Галле 1924 , с. 129.

[217] Шрайбер, Оскар (1866). Теория проекционного метода государственного обследования Ганновера (на немецком языке). Ганновер: Книжный магазин Ханше.

[Gauß1828-218] Гаусс, CF (1828). Определение разницы широт между обсерваториями Геттингена и Альтоны по наблюдениям в зенитном секторе Рамсдена (на немецком языке). Ванденхук и Рупрехт. п. 73.

[219] Листинг, Дж. Б. (1872 г.). О наших современных знаниях о форме и размерах Земли (на немецком языке). Геттинген: Дитрих. п. 9.

[FOOTNOTEStäckel1917110–119-220] Перейти обратно: ^а ^б Штекель 1917 , стр. 110–119.

[FOOTNOTEStäckel1917105–106-221] Штекель 1917 , стр. 105–106.

[FOOTNOTEBolza192170–74-222] Больца 1921 , стр. 70–74.

[FOOTNOTEStäckel191719–20-223] Перейти обратно: ^а ^б Штекель 1917 , стр. 19–20.

[FOOTNOTEBühler1981100–102-224] Перейти обратно: ^а ^б ^с Бюлер 1981 , стр. 100–102.

[FOOTNOTEKlein197957–60-225] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Кляйн 1979 , стр. 57–60.

[:0-226] Вингер, Р.М. (1925). «Гаусс и неевклидова геометрия» . Бюллетень Американского математического общества . 31 (7): 356–358. дои : 10.1090/S0002-9904-1925-04054-9 . ISSN 0002-9904 .

[227] Енковский, Ласло; Лейк, Мэтью Дж.; Соловьев Владимир (12 марта 2023 г.). «Янош Бойяи, Карл Фридрих Гаусс, Николай Лобачевский и новая геометрия: Предисловие» . Симметрия . 15 (3): 707. arXiv : 2303.17011 . Бибкод : 2023Symm...15..707J . дои : 10.3390/sym15030707 . ISSN 2073-8994 .

[228] ttps://archive.org/details/briefwechselzwi00gausgoog/page/n146/mode/2up Письмо Гаусса Боляи от 6 марта 1832 г.]

[229] Кранц, Стивен Г. (2010). Эпизодическая история математики: математическая культура через решение проблем . Математическая ассоциация Америки . стр. 171f. ISBN 978-0-88385-766-3 . Проверено 9 февраля 2013 г.

[FOOTNOTEOstrowski19201–18-230] Островский 1920 , стр. 1–18.

[Epple_1998_45–52-232] Перейти обратно: ^а ^б Эппле, Мориц (1998). «Орбиты астероидов, коса и инвариант первого звена» . Математический интеллект . 20 (1): 45–52. дои : 10.1007/BF03024400 . S2CID 124104367 .

[233] Эппле, Мориц (1999). «Геометрические аспекты развития теории узлов» (PDF) . В Джеймсе, IM (ред.). История топологии . Амстердам: Elseviwer. стр. 301–357.

[234] Лисица, Алексей; Потапов Игорь; Салех, Рафик (2009). «Автоматы на словах Гаусса» (PDF) . В Дедиу, Адриан Хориа; Ионеску, Арманд Михай; Мартин-Виде, Карлос (ред.). Теория и приложения языка и автоматов . Конспекты лекций по информатике. Том. 5457. Берлин, Гейдельберг: Springer. стр. 505–517. дои : 10.1007/978-3-642-00982-2_43 . ISBN 978-3-642-00982-2 .

[FOOTNOTEStäckel191750–51-235] Штекель 1917 , стр. 50–51.

[FOOTNOTEStäckel191751–55-236] Штекель 1917 , стр. 51–55.

[237] Напечатано в собрания сочинений , стр. 305–310. томе 2

[238] Иствуд, Майкл ; Пенроуз, Роджер (2000). «Рисование комплексными числами». Математический интеллект . 22 (4): 8–13. arXiv : math/0001097 . дои : 10.1007/BF03026760 . S2CID 119136586 .

[FOOTNOTESchlesinger1933198-239] Шлезингер 1933 , с. 198.

[240] Карл Фридрих Гаусс: Дополнения.II. В: Карно, Лазар (1810). Geometrie der Stellung (на немецком языке). Перевод Х.К. Шумахера. Альтона: Хаммерих. стр. 363–364. (Текст Шумахера, алгоритм Гаусса), переиздано в Собрании сочинений, том 4, стр. 396-398

[241] Коксетер, HSM (1971). «Узоры фризов» (PDF) . Журнал арифметики . 18 : 297–310. дои : 10.4064/aa-18-1-297-310 .

[242] Чудесная пентаграмма , напечатано в собрания сочинений Томе III , стр. 481–490

[243] Шехтман, Вадим (2013). «Pentagramma mirificum и эллиптические функции (Напье, Гаусс, Понселе, Якоби, ...)» . Анналы факультета математических наук Тулузы . 22 (2): 353–375. дои : 10.5802/afst.1375 .

[244] Определение наибольшего эллипса, касающегося четырех плоскостей заданного четырехугольника , напечатано в Собрании сочинений , том 4, стр. 385–392; оригинал в Monthly Correspondence for the Advance of Earth and Celestial Knowledge , том 22, 1810 г., стр. 112–121.

[FOOTNOTEStäckel191771-72-245] Штекель 1917 , с. 71-72.

[246] Напечатано в собрания сочинений , стр. 406–407. томе 4

[FOOTNOTEStäckel191776-247] Штекель 1917 , с. 76.

[FOOTNOTEDunnington2004153-248] Даннингтон 2004 , с. 153.

[249] Райх, Карин (2011). «Александр фон Гумбольдт и Карл Фридрих Гаусс как пионеры новой дисциплины земного магнетизма» . Гумбольдт в сети (на немецком языке). 12 (22): 33–55.

[FOOTNOTEDunnington2004136-250] Даннингтон 2004 , с. 136.

[FOOTNOTEDunnington2004161-251] Даннингтон 2004 , с. 161.

[Reich-252] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Райх, Карин (2023). «Магнитная ассоциация Гумбольдта в историческом контексте» . Гумбольдт в сети (на немецком языке). 24 (46): 53–74.

[253] Бирманн, Курт Р. (2005). «Из истории просьбы Александра фон Гумбольдта в 1836 году к президенту Королевского общества об учреждении геомагнитных станций (документы о взаимоотношениях Ава Гумбольдта и К. Ф. Гаусса)» . Гумбольдт в сети (на немецком языке). 6 (11).

[254] Гумбольдт, Александр фон (1836). «Письмо барона фон Гумбольдта Его Королевскому Высочеству герцогу Сассекскому... о развитии знаний о земном магнетизме путем создания магнитных станций и соответствующих наблюдений» . Философский журнал . Бд. 6 (9): 42–53. дои : 10.18443/70 .

[Rupke-255] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Рупке, Николаас (2005). «Карл Фридрих Гаусс и земной магнетизм». В Миттлер, Эльмар (ред.). «Когда ударит молния, тайна раскрыта» – Карл Фридрих Гаус в Геттингене (PDF) . Сочинения Геттингенской библиотеки 30 (на немецком языке). Государственная и университетская библиотека Нижней Саксонии. стр. 188–201. ISBN 3-930457-72-5 .

[FOOTNOTESchaaf1964115–127-256] Шааф 1964 , стр. 115–127.

[FOOTNOTEKlein197921–23-257] Перейти обратно: ^а ^б Кляйн 1979 , стр. 21–23.

[Roussanova-258] Перейти обратно: ^а ^б Русанова, Елена (2011). «Россия всегда была землей обетованной для магнетизма: Александр фон Гумбольдт, Карл Фридрих Гаусс и исследование земного магнетизма в России» . Гумбольдт в сети (на немецком языке). 12 (22): 56–83.

[FOOTNOTESchaefer192987-259] Шефер 1929 , с. 87.

[FOOTNOTESchaefer19296-260] Перейти обратно: ^а ^б Шефер 1929 , с. 6.

[FOOTNOTESchaefer1929108-261] Шефер 1929 , с. 108.

[Timm-262] Перейти обратно: ^а ^б Тимм, Арнульф (2005). «Электрический телеграф Гаусса и Вебера». В Миттлер, Эльмар (ред.). «Когда ударит молния, тайна раскрыта» – Карл Фридрих Гаус в Геттингене (PDF) . Сочинения Геттингенской библиотеки 30 (на немецком языке). Государственная и университетская библиотека Нижней Саксонии. стр. 169–183. ISBN 3-930457-72-5 .

[264] Мартин-Родригес, Фернандо; Баррио Гарсия, Гонсало; Альварес Лирес, Мария (2010). «Технологическая археология: Техническое описание телеграфа Гаусса-Вебера» . 2010 Вторая 8-я региональная конференция IEEE по истории коммуникаций . стр. 1–4. дои : 10.1109/HISTELCON.2010.5735309 . HDL : 11093/1859 . ISBN 978-1-4244-7450-9 . S2CID 2359293 .

[265] Напечатано в Собрании сочинений , том 5, стр. 609–610.

[266] Рош, Джон Дж. (1990). «Критическое исследование векторного потенциала». В Роше, Джон (ред.). Физики оглядываются назад: исследования по истории физики . Бристоль, Нью-Йорк: Адам Хилгер. стр. 147–149. ISBN 0-85274-001-8 .

[FOOTNOTESchaefer1929148–152-267] Шефер 1929 , стр. 148–152.

[FOOTNOTEGeppert193332-268] Гепперт 1933 , с. 32.

[FOOTNOTEGeppert193332–40-269] Гепперт 1933 , стр. 32–40.

[FOOTNOTESchaefer1929153–154-270] Шефер 1929 , стр. 153–154.

[FOOTNOTESchaefer1929159–165-271] Шефер 1929 , стр. 159–165.

[FOOTNOTEDunnington2004170-272] Даннингтон 2004 , с. 170.

[Hecht-273] Хехт, Юджин (1987). Оптика . Эддисон Уэсли. п. 134. ИСБН 978-0-201-11609-0 .

[Bass-274] Басс, Майкл; ДеКусатис, Казимер; Енох, Джей; Лакшминараянан, Васудеван (2009). Справочник по оптике . МакГроу Хилл Профессионал. п. 17.7. ISBN 978-0-07-149889-0 .

[Ostdiek-275] Остдик, Верн Дж.; Борд, Дональд Дж. (2007). Запрос по физике . Cengage Обучение. п. 381. ИСБН 978-0-495-11943-2 .

[FOOTNOTESchaefer1929189–208-276] Шефер 1929 , с. 189–208.

[FOOTNOTEGeppert19333–11-277] Гепперт 1933 , стр. 3–11.

[FOOTNOTEGeppert193312-16-278] Гепперт 1933 , с. 12-16.

[279] Зиберт, Манфред (1998). «Маятник Фуко К.Ф. Гаусса». Объявления Gauß-Gesellschaft Göttingen (на немецком языке). 35 (35): 49–52. Бибкод : 1998ГГМит..35...49С .

[FOOTNOTEGeppert193316-26-280] Гепперт 1933 , с. 16-26.

[FOOTNOTEGeppert193359–60-281] Гепперт 1933 , стр. 59–60.

[FOOTNOTEDunnington200469–70-282] Даннингтон 2004 , стр. 69–70.

[FOOTNOTESartorius_von_Waltershausen185611–13-283] Сарториус фон Вальтерсхаузен 1856 , стр. 11–13.

[hayesreckoning-284] Хейс, Брайан (2006). «День расплаты Гаусса» . Американский учёный . 94 (3): 200. дои : 10.1511/2006.59.200 . Архивировано из оригинала 12 января 2012 года . Проверено 30 октября 2012 г.

[285] Ротман, Джозеф Дж. (2006). Первый курс абстрактной алгебры: с приложениями (3-е изд.). Аппер-Сэддл-Ривер, Нью-Джерси: Пирсон Прентис Холл. стр. 7–8. ISBN 0-13-186267-7 . OCLC 61309485 .

[FOOTNOTEDunnington2004351-287] Даннингтон 2004 , с. 351.

[288] «Карл Фридрих Гаусс» . Нижнесаксонская академия наук в Геттингене . Проверено 8 апреля 2023 г.

[289] «Члены прошлого» . Академия наук – Институт Франции . Проверено 7 апреля 2023 г.

[290] «Товарищи» . Королевское общество . Проверено 7 апреля 2023 г.

[291] «Карл Фридрих Гаусс» . Берлин-Бранденбургская академия наук . Проверено 7 апреля 2023 г.

[292] «Хронологический список иностранных членов» . Национальная академия наук . Проверено 7 апреля 2023 г.

[293] «Бывшие товарищи» . Королевское общество Эдинбурга. п. 345 . Проверено 7 апреля 2023 г.

[294] «Умершие члены: профессор доктор Карл Фридрих Гаусс» . Баварская академия наук . Проверено 7 апреля 2023 г.

[FOOTNOTEDunnington2004352-295] Перейти обратно: ^а ^б Даннингтон 2004 , с. 352.

[296] «Карл Фредерик Гаусс» . Королевское астрономическое общество. 30 апреля 1777 года . Проверено 7 апреля 2023 г.

[AAAS-297] «Книга участников, 1780–2010: Глава G» . Американская академия искусств и наук. 9 февраля 2023 г. Проверено 7 апреля 2023 г.

[FOOTNOTEDunnington2004353-298] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Даннингтон 2004 , с. 353.

[299] Королевская академия Бельгии: члены Академии

[300] «К. Ф. Гаусс (1797–1855)» . Королевская Нидерландская академия искусств и наук . Проверено 19 июля 2015 г.

[301] «Иностранцы» . Королевская академия наук . Проверено 7 апреля 2023 г.

[FOOTNOTEDunnington2004355-302] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Даннингтон 2004 , с. 355.

[303] «История участников APS» . search.amphilsoc.org . Проверено 16 апреля 2021 г.

[FOOTNOTEDunnington2004351–355-304] Перейти обратно: ^а ^б Даннингтон 2004 , стр. 351–355.

[FOOTNOTEDunnington2004359-305] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Даннингтон 2004 , с. 359.

[306] Майдрон, Мэн (1887). «Астрономическая премия, основанная Лаландом» . Научное обозрение . XIV . Париж: 460.

[307] «Медаль Копли: Прошлые победители» . Королевское общество . Проверено 3 июня 2024 г.

[308] «Гаусс, Шарль Фредерик» . Национальный архив . Проверено 7 апреля 2023 г.

[309] «Карл Фридрих Гаусс» . Орден «За заслуги перед наукой и искусством» . Проверено 7 апреля 2023 г.

[FOOTNOTEDunnington2004354-310] Перейти обратно: ^а ^б Даннингтон 2004 , с. 354.

[FOOTNOTEWußing198286-312] Вуссинг 1982 , с. 86.

[313] «Gauss-Gesellschaft eV (Общество Гаусса) Геттинген» . Проверено 4 апреля 2024 г.

[315] Ролфинг, Хельмут (2003). «Наследие гения. Поместье Карла Фридриха Гаусса в Государственной и университетской библиотеке Нижней Саксонии в Геттингене». Объявления Gauß-Gesellschaft Göttingen (на немецком языке). 35 (40): 7–23. Бибкод : 1998ГГМит..35...49С .

[316] «Семейный архив Гаусс» . Подпись: G IX 021. Городской архив Брауншвейга . Проверено 25 марта 2023 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ а ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ б ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ с ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ д ]

[ и ]

[ 35 ]

[ ж ]

[ г ]

[ 38 ]

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ ч ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 42 ]

[ я ]

[ 45 ]

[ Дж ]

[ 48 ]

[ 49 ]

[ 50 ]

[ 51 ]

[ 52 ]

[ 53 ]

[ 54 ]

[ 55 ]

[ 56 ]

[ 57 ]

[ 58 ]

[ 59 ]

[ 60 ]

[ 61 ]

[ 62 ]

[ 63 ]

[ 64 ]

[ к ]

[ 67 ]

[ 68 ]

[ л ]

[ 69 ]

[ 70 ]

[ 71 ]

[ 72 ]

[ 73 ]

[ 74 ]

[ 75 ]

[ 76 ]

[ 77 ]

[ 78 ]

[ 79 ]

[ 80 ]

[ 81 ]

[ 82 ]

[ 83 ]

[ 84 ]

[ 85 ]

[ 86 ]

[ 87 ]

[ 88 ]

[ 89 ]

[ 90 ]

[ 91 ]

[ 92 ]

[ 93 ]

[ 94 ]

[ 95 ]

[ 96 ]

v т и Ученые, чьи имена используются в качестве единиц измерения
SI base units	André-Marie Ampère (ampere) Lord Kelvin (kelvin)
SI derived units	Henri Becquerel (becquerel) Anders Celsius (degree Celsius) Charles-Augustin de Coulomb (coulomb) Michael Faraday (farad) Louis Harold Gray (gray) Joseph Henry (henry) Heinrich Hertz (hertz) James Prescott Joule (joule) Isaac Newton (newton) Georg Ohm (ohm) Blaise Pascal (pascal) Werner von Siemens (siemens) Rolf Maximilian Sievert (sievert) Nikola Tesla (tesla) Alessandro Volta (volt) James Watt (watt) Wilhelm Eduard Weber (weber)
Non-SI metric (cgs) units	Anders Jonas Ångström (angstrom) Peter Debye (debye) Loránd Eötvös (eotvos) Galileo Galilei (gal) Carl Friedrich Gauss (gauss) William Gilbert (gilbert) Heinrich Kayser (kayser) Johann Heinrich Lambert (lambert) Samuel Langley (langley) James Clerk Maxwell (maxwell) Hans Christian Ørsted (oersted) Jean Léonard Marie Poiseuille (poise) Sir George Stokes, 1st Baronet (stokes) John William Strutt, 3rd Baron Rayleigh (rayl)
Imperial and US customary units	Daniel Gabriel Fahrenheit (degree Fahrenheit) Johann Heinrich Lambert (foot-lambert) William John Macquorn Rankine (degree Rankine)
Non-systematic units	Alexander Graham Bell (bel) Marie Curie (curie) Pierre Curie (curie) John Dalton (dalton) Michael Faraday (faraday) Heinrich Mache (Mache) John Napier (neper) René Antoine Ferchault de Réaumur (degree Réaumur) Wilhelm Röntgen (roentgen) J. J. Thomson (thomson) Evangelista Torricelli (torr)
List of scientists whose names are used as units · Scientists whose names are used in physical constants · People whose names are used in chemical element names

Базы данных авторитетного контроля
International	FAST ISNI VIAF WorldCat
National	Norway Chile Spain France BnF data Catalonia Germany Italy Israel Belgium United States Sweden Latvia Japan Czech Republic Australia Greece Korea Croatia Netherlands Poland Portugal Vatican
Academics	CiNii MathSciNet Mathematics Genealogy Project Scopus zbMATH
Artists	RKD Artists
People	Deutsche Biographie Trove
Other	IdRef