Оператор Гаусса–Кузьмина–Савойя.

В математике оператор Гаусса -Кузьмина-Вирсинга является оператором переноса отображения Гаусса, который переводит положительное число в дробную часть обратного ему числа. (Это не то же самое, что отображение Гаусса в дифференциальной геометрии .) Оно названо в честь Карла Гаусса , Родиона Кузьмина и Эдуарда Вирсинга . Это происходит при изучении цепных дробей ; это также связано с дзета-функцией Римана .

Связь с картами и продолженными дробями

Карта Гаусса

Файл:Функция Гаусса

Функция Гаусса (карта) h равна:

$h(x)=1/x-\lfloor 1/x\rfloor .$

где $\lfloor 1/x\rfloor$ обозначает функцию пола .

Он имеет бесконечное количество скачкообразных разрывов в точке x = 1/ n для натуральных чисел n . Его трудно аппроксимировать одним гладким полиномом.

Оператор на картах

Гаусса–Кузьмина–Вирсинга. Оператор $G$ действует на функции $f$ как

$[Gf](x)=\int _{0}^{1}\delta (x-h(y))f(y)\,dy=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(x+n)^{2}}}f\left({\frac {1}{x+n}}\right).$

у него есть фиксированная точка $\rho (x)={\frac {1}{\ln 2(1+x)}}$, уникальное с точностью до масштабирования, которое представляет собой плотность меры, инвариантную относительно отображения Гаусса.

Собственные значения оператора

Первая собственная функция этого оператора есть

${\frac {1}{\ln 2}}\ {\frac {1}{1+x}}$

что соответствует собственному значению λ распределение ₁ = 1. Эта собственная функция дает вероятность появления данного целого числа в разложении цепной дроби и известна как Гаусса – Кузьмина . Частично это следует из того, что карта Гаусса действует как оператор усекающего сдвига для цепных дробей : если

$x=[0;a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]$

представляет собой представление цепной дроби числа 0 < x < 1, тогда

$h(x)=[0;a_{2},a_{3},\dots ].$

Потому что $h$ сопряжено сдвигу Бернулли , собственное значение $\lambda _{1}=1$ является простым, и поскольку оператор оставляет инвариантной меру Гаусса–Кузьмина, он эргодичен относительно меры. Этот факт позволяет кратко доказать существование постоянной Хинчина .

Дополнительные собственные значения можно вычислить численно; следующее собственное значение λ ₂ = −0,3036630029... (последовательность A038517 в OEIS )а его абсолютное значение известно как константа Гаусса-Кузьмина-Вирсинга . Аналитические формы дополнительных собственных функций неизвестны. Неизвестно, иррациональны ли собственные значения .

Расположим собственные значения оператора Гаусса–Кузьмина–Вирсинга по модулю:

$1=|\lambda _{1}|>|\lambda _{2}|\geq |\lambda _{3}|\geq \cdots .$

предположили В 1995 году Филипп Флажоле и Бриджит Валле , что

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\lambda _{n}}{\lambda _{n+1}}}=-\varphi ^{2},{\text{ where }}\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.$

В 2018 году Гедриус ​​Алкаускас привел убедительный аргумент в пользу того, что эту гипотезу можно уточнить до гораздо более сильного утверждения:

${\begin{aligned}&(-1)^{n+1}\lambda _{n}=\varphi ^{-2n}+C\cdot {\frac {\varphi ^{-2n}}{\sqrt {n}}}+d(n)\cdot {\frac {\varphi ^{-2n}}{n}},\\[4pt]&{\text{where }}C={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}\cdot \zeta (3/2)}{2{\sqrt {\pi }}}}=1.1019785625880999_{+};\end{aligned}}$

здесь функция $d(n)$ ограничен, и $\zeta (\star )$ — дзета-функция Римана .

Непрерывный спектр

Собственные значения образуют дискретный спектр, когда оператор ограничен действием на функции на единичном интервале действительной числовой прямой. В более широком смысле, поскольку отображение Гаусса является оператором сдвига в пространстве Бэра. $\mathbb {N} ^{\omega }$оператор GKW также можно рассматривать как оператор в функциональном пространстве $\mathbb {N} ^{\omega }\to \mathbb {C}$ (рассматривается как банахово пространство , в котором базисными функциями считаются индикаторные функции на цилиндрах ) топологии произведения . В последнем случае он имеет непрерывный спектр с собственными значениями в единичном круге $|\lambda |<1$ сложной плоскости. То есть, учитывая цилиндр $C_{n}[b]=\{(a_{1},a_{2},\cdots )\in \mathbb {N} ^{\omega }:a_{n}=b\}$, оператор G сдвигает его влево: $GC_{n}[b]=C_{n-1}[b]$. принимая $r_{n,b}(x)$ быть индикаторной функцией, которая равна 1 на цилиндре (когда $x\in C_{n}[b]$), и ноль в противном случае, имеем это $Gr_{n,b}=r_{n-1,b}$. Серия

$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\lambda ^{n-1}r_{n,b}(x)$

тогда это собственная функция с собственным значением $\lambda$. То есть у человека есть $[Gf](x)=\lambda f(x)$ всякий раз, когда суммирование сходится: то есть, когда $|\lambda |<1$.

Особый случай возникает, когда хочется рассмотреть меру Хаара оператора сдвига, то есть функцию, инвариантную относительно сдвигов. Это дается мерой Минковского. $?^{\prime }$. То есть у человека есть это $G?^{\prime }=?^{\prime }$.

Эргодичность

Отображение Гаусса на самом деле гораздо больше, чем просто эргодично: оно экспоненциально смешивает, но доказательство не элементарно.

Энтропия

Карта Гаусса по мере Гаусса имеет энтропию. ${\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2}}$. Это можно доказать с помощью формулы Рохлина для энтропии. Затем, используя теорему Шеннона–Макмиллана–Бреймана с ее свойством равнораспределения, мы получаем теорему Лоха .

Предварительные сведения по теории меры

Покрывающая семья ${\mathcal {C}}$ — множество измеримых множеств, такое, что любое открытое множество представляет собой несвязное объединение входящих в него множеств. Сравните это с базой в топологии , которая менее ограничительна, поскольку допускает непересекающиеся объединения.

Лемма Кноппа. Пойдем $B\subset [0,1)$ быть измеримым, пусть ${\mathcal {C}}$ быть покрывающим семейством и предположим, что $\exists \gamma >0,\forall A\in {\mathcal {C}},\mu (A\cap B)\geq \gamma \mu (A)$. Затем $\mu (B)=1$.

Доказательство. Поскольку любое открытое множество представляет собой непересекающееся объединение множеств из ${\mathcal {C}}$, у нас есть $\mu (A\cap B)\geq \gamma \mu (A)$ для любого открытого набора $A$, а не просто любой набор ${\mathcal {C}}$.

Возьмите дополнение $B^{c}$. Поскольку мера Лебега внешне регулярна , мы можем взять открытое множество $B'$ это близко к $B^{c}$, что означает, что симметричная разность имеет сколь угодно малую меру $\mu (B'\Delta B^{c})<\epsilon$.

На пределе, $\mu (B'\cap B)\geq \gamma \mu (B')$ становится иметь $0\geq \gamma \mu (B^{c})$.

Отображение Гаусса эргодично.

Исправить последовательность $a_{1},\dots ,a_{n}$ положительных целых чисел. Позволять ${\frac {q_{n}}{p_{n}}}=[0;a_{1},\dots ,a_{n}]$. Пусть интервал $\Delta _{n}$ быть открытым интервалом с конечными точками $[0;a_{1},\dots ,a_{n}],[0;a_{1},\dots ,a_{n}+1]$.

Лемма. Для любого открытого интервала $(a,b)\subset (0,1)$, у нас есть $$\mu (T^{-n}(a,b)\cap \Delta _{n})=\mu ((a,b))\mu (\Delta _{n})\underbrace {\left({\frac {q_{n}(q_{n}+q_{n-1})}{(q_{n}+q_{n-1}b)(q_{n}+q_{n-1}a)}}\right)} _{\geq 1/2}$$Доказательство. Для любого $t\in (0,1)$ у нас есть $[0;a_{1},\dots ,a_{n}+t]={\frac {q_{n}+q_{n-1}t}{p_{n}+p_{n-1}t}}$ по стандартной теории цепных дробей . Расширяя определение, $T^{-n}(a,b)\cap \Delta _{n}$ это интервал с конечными точками $[0;a_{1},\dots ,a_{n}+a],[0;a_{1},\dots ,a_{n}+b]$. Теперь посчитаем напрямую. Чтобы показать, что дробь $\geq 1/2$, используйте тот факт, что $q_{n}\geq q_{n-1}$.

Теорема. Отображение Гаусса эргодично.

Доказательство. Рассмотрим множество всех открытых интервалов в виде $([0;a_{1},\dots ,a_{n}],[0;a_{1},\dots ,a_{n}+1])$. Соберите их в единую семью ${\mathcal {C}}$. Этот ${\mathcal {C}}$ является покрывающим семейством, поскольку любой открытый интервал $(a,b)\setminus \mathbb {Q}$ где $a,b$ рациональны, представляет собой непересекающееся объединение конечного числа множеств из ${\mathcal {C}}$.

Предположим, что набор $B$ является $T$-инвариантен и имеет положительную меру. Выберите любой $\Delta _{n}\in {\mathcal {C}}$. Поскольку мера Лебега внешне регулярна, существует открытое множество $B_{0}$ который отличается от $B$ только $\mu (B_{0}\Delta B)<\epsilon$. С $B$ является $T$-инвариант, мы также имеем $\mu (T^{-n}B_{0}\Delta B)=\mu (B_{0}\Delta B)<\epsilon$. Поэтому, $$\mu (T^{-n}B_{0}\cap \Delta _{n})\in \mu (B\cap \Delta _{n})\pm \epsilon$$По предыдущей лемме имеем $$\mu (T^{-n}B_{0}\cap \Delta _{n})\geq {\frac {1}{2}}\mu (B_{0})\mu (\Delta _{n})\in {\frac {1}{2}}(\mu (B)\pm \epsilon )\mu (\Delta _{n})$$Возьмите $\epsilon \to 0$ предел, у нас есть $\mu (B\cap \Delta _{n})\geq {\frac {1}{2}}\mu (B)\mu (\Delta _{n})$. По лемме Кноппа оно имеет полную меру.

Связь с дзета-функцией Римана

Оператор GKW связан с дзета-функцией Римана . Обратите внимание, что дзета-функция может быть записана как

$\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}-s\int _{0}^{1}h(x)x^{s-1}\;dx$

что подразумевает, что

$\zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-s\int _{0}^{1}x\left[Gx^{s-1}\right]\,dx$

путем замены переменной.

Матричные элементы

Рассмотрим разложение в ряд Тейлора при x = 1 для функции f ( x ) и $g(x)=[Gf](x)$. То есть пусть

$f(1-x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-x)^{n}{\frac {f^{(n)}(1)}{n!}}$

и напишем то же самое для g ( x ). Разложение производится около x = 1, потому что оператор GKW плохо ведет себя при x = 0. Разложение производится около 1 − x , чтобы мы могли сохранить x положительным числом, 0 ≤ x ≤ 1. Тогда оператор GKW действует на коэффициенты Тейлора как

$(-1)^{m}{\frac {g^{(m)}(1)}{m!}}=\sum _{n=0}^{\infty }G_{mn}(-1)^{n}{\frac {f^{(n)}(1)}{n!}},$

где матричные элементы оператора GKW имеют вид

$G_{mn}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{k+m+1 \choose m}\left[\zeta (k+m+2)-1\right].$

Этот оператор чрезвычайно хорошо сформирован и, следовательно, очень удобен в числовом отношении. Константу Гаусса-Кузьмина легко вычислить с высокой точностью путем численной диагонализации верхней левой части n на n . Не существует известного выражения в замкнутой форме, которое диагонализует этот оператор; то есть для собственных векторов не известны выражения в замкнутой форме.

Римана дзета

Дзета Римана можно записать как

$\zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-s\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s-1 \choose n}t_{n}$

где $t_{n}$ задаются приведенными выше матричными элементами:

$t_{n}=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {G_{mn}}{(m+1)(m+2)}}.$

Произведя суммирование, получим:

$t_{n}=1-\gamma +\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}\left[{\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (k+1)}{k+1}}\right]$

где $\gamma$ – постоянная Эйлера–Машерони . Эти $t_{n}$ сыграйте аналог констант Стилтьеса , но для падающего факториала . Написав

$a_{n}=t_{n}-{\frac {1}{2(n+1)}}$

получаем: = _-0,00474863 ... и _{0 = -0,0772156... и 1} так далее. Значения быстро уменьшаются, но являются колебательными. Можно выполнить некоторые явные суммы по этим значениям. Их можно явно связать с константами Стилтьеса, перевыразив падающий факториал в виде многочлена с коэффициентами числа Стирлинга , а затем решая его. В более общем смысле, дзета Римана может быть перевыражена как разложение в терминах Шеффера последовательностей полиномов .

Это расширение дзета Римана исследуется в следующих ссылках. Коэффициенты уменьшаются по мере

$\left({\frac {2n}{\pi }}\right)^{1/4}e^{-{\sqrt {4\pi n}}}\cos \left({\sqrt {4\pi n}}-{\frac {5\pi }{8}}\right)+{\mathcal {O}}\left({\frac {e^{-{\sqrt {4\pi n}}}}{n^{1/4}}}\right).$

Общие ссылки

• А. Я. Хинчин , Цепные дроби , 1935, английский перевод University of Chicago Press, 1961 ISBN   0-486-69630-8 (см. раздел 15).
• K. I. Babenko, On a Problem of Gauss , Soviet Mathematical Doklady 19 :136–140 (1978) MR 472746
• К. И. Бабенко, С. П. Юрьев, О дискретизации задачи Гаусса , Сов. Матем. докл. 19 : 731–735 (1978). МИСТЕР 499751
• Дюрнер А. К одной теореме Гаусса–Кузьмина–Леви. Арх. Математика. 58 , 251–256 (1992). МИСТЕР 1148200
• А. Дж. МакЛауд, «Высокоточные численные значения задачи Гаусса – Кузьмина о цепных дробях». Компьютеры Математика. Прил. 26 , 37–44 (1993).
• Вирсинг Э. «О теореме Гаусса–Кузьмина–Леви и теореме типа Фробениуса для функциональных пространств». Акта Арит. 24 , 507–528 (1974). МИСТЕР 337868

Дальнейшее чтение

• Кейт Бриггс, Точное вычисление постоянной Гаусса-Кузьмина-Вирсинга (2003) (Содержит очень обширную коллекцию ссылок).
• Филипп Флажоле и Бриджит Валле , О константе Гаусса-Кузмина-Вирсинга. Архивировано 18 мая 2005 г. в Wayback Machine (1995).
• Линас Вепстас Оператор Бернулли, оператор Гаусса – Кузьмина – Вирсинга и дзета Римана (2004) (PDF)

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Константа Гаусса-Кузмина-Савойи» . Математический мир .
• Последовательность OEIS A038517 (десятичное расширение константы Гаусса-Кузьмина-Вирсинга)