Неравенство Гаусса

Не путать с корреляционным неравенством Гаусса или изопериметрическим неравенством Гаусса .

В теории вероятностей неравенство Гаусса (или неравенство Гаусса ) дает верхнюю границу вероятности того, что унимодальная случайная величина находится на расстоянии, превышающем любое заданное расстояние от ее моды .

Пусть X — унимодальная случайная величина с модой m и τ  ² быть ожидаемым значением ( X − m ) ² . ( т  ² также может быть выражено как ( µ - m ) ² + р  ² , где и σ — среднее и стандартное отклонение X , .) Тогда для любого положительного значения k µ

$\Pr(|X-m|>k)\leq {\begin{cases}\left({\frac {2\tau }{3k}}\right)^{2}&{\text{if }}k\geq {\frac {2\tau }{\sqrt {3}}}\\[6pt]1-{\frac {k}{\tau {\sqrt {3}}}}&{\text{if }}0\leq k\leq {\frac {2\tau }{\sqrt {3}}}.\end{cases}}$

Теорему впервые доказал Карл Фридрих Гаусс в 1823 году.

Расширения к моментам более высокого порядка

Винклер в 1866 году расширил неравенство Гаусса до r ^й моменты где r > 0 и распределение унимодальное с нулевой модой. Иногда это называют неравенством Кэмпа-Мейделла.

$P(|X|\geq k)\leq \left({\frac {r}{r+1}}\right)^{r}{\frac {\operatorname {E} (|X|)^{r}}{k^{r}}}\quad {\text{if}}\quad k^{r}\geq {\frac {r^{r}}{(r+1)^{r+1}}}\operatorname {E} (|X|^{r}),$

$P(|X|\geq k)\leq \left(1-\left[{\frac {k^{r}}{(r+1)\operatorname {E} (|X|)^{r}}}\right]^{1/r}\right)\quad {\text{if}}\quad k^{r}\leq {\frac {r^{r}}{(r+1)^{r+1}}}\operatorname {E} (|X|^{r}).$

Граница Гаусса впоследствии была уточнена и расширена, чтобы применяться к отклонениям от среднего, а не от моды из-за неравенства Высочанского-Петунина . Последний был расширен Дхармадхикари и Джоаг-Девом.

$P(|X|>k)\leq \max \left(\left[{\frac {r}{(r+1)k}}\right]^{r}E|X^{r}|,{\frac {s}{(s-1)k^{r}}}E|X^{r}|-{\frac {1}{s-1}}\right)$

где s — константа, удовлетворяющая как s > r + 1, так и s ( s − r − 1) = r ^р и г > 0.

Можно показать, что эти неравенства являются наилучшими и что дальнейшее ужесточение границ требует наложения дополнительных ограничений на распределения.

См. также

• Неравенство Высочанского – Петунина , аналогичный результат для расстояния от среднего, а не от моды.
• Неравенство Чебышева касается расстояния от среднего значения, не требуя унимодальности.
• Неравенство концентрации - сводка хвостовых границ случайных величин.

Ссылки

• Гаусс, CF (1823). «Теория комбинаций наблюдений с минимальными ошибками, часть первая». Недавние комментарии Королевского общества геттингенских наук . 5 .
• Аптон, Грэм; Кук, Ян (2008). «Неравенство Гаусса». Статистический словарь . Издательство Оксфордского университета.
• Селлке, ТМ; Селлке, С.Х. (1997). «Неравенства Чебышева для унимодальных распределений». Американский статистик . 51 (1). Американская статистическая ассоциация: 34–40. дои : 10.2307/2684690 . JSTOR   2684690 .
• Пукельсхайм, Ф. (1994). «Правило трех сигм». Американский статистик . 48 (2). Американская статистическая ассоциация: 88–91. дои : 10.2307/2684253 . JSTOR   2684253 .