Vysochanskij–Petunin inequality

В теории вероятностей Высочанского - Петунина неравенство дает нижнюю границу вероятности того , что случайная величина с конечной дисперсией находится в пределах определенного числа стандартных отклонений переменной от среднего значения , или, что то же самое, верхнюю границу вероятности того, что она находится дальше. Единственное ограничение на распределение состоит в том, что оно должно быть унимодальным и иметь конечную дисперсию ; здесь унимодальный подразумевает, что это непрерывное распределение вероятностей, за исключением режима , который может иметь ненулевую вероятность.

Теорема

Позволять $X$ быть случайной величиной с унимодальным распределением, и $\alpha \in \mathbb {R}$. Если мы определим $\rho ={\sqrt {\mathbb {E} [(X-\alpha )^{2}]}}$ тогда для любого $r>0$,

${\begin{aligned}\operatorname {Pr} (|X-\alpha |\geq r)\leq {\begin{cases}{\frac {4\rho ^{2}}{9r^{2}}}&r\geq {\sqrt {8/3}}\rho \\{\frac {4\rho ^{2}}{3r^{2}}}-{\frac {1}{3}}&r\leq {\sqrt {8/3}}\rho .\\\end{cases}}\end{aligned}}$

Связь с неравенством Гаусса

принимая $\alpha$ равный моде $X$ дает первый случай неравенства Гаусса .

Плотность границ

Не ограничивая общности, предположим $\alpha =0$ и $\rho =1$.

• Если $r<1$, левая часть может равняться единице, поэтому оценка бесполезна.

• Если $r\geq {\sqrt {8/3}}$, граница является плотной, когда $X=0$ с вероятностью $1-{\frac {4}{3r^{2}}}$ и в противном случае распределяется равномерно в интервале $\left[-{\frac {3r}{2}},{\frac {3r}{2}}\right]$.

• Если $1\leq r\leq {\sqrt {8/3}}$, граница является плотной, когда $X=r$ с вероятностью ${\frac {4}{3r^{2}}}-{\frac {1}{3}}$ и в противном случае распределяется равномерно в интервале $\left[-{\frac {r}{2}},r\right]$.

Специализация на среднем значении и дисперсии

Если $X$ имеет в виду $\mu$ и конечная, ненулевая дисперсия $\sigma ^{2}$, затем берём $\alpha =\mu$ и $r=\lambda \sigma$ дает это для любого ${\textstyle \lambda >{\sqrt {\frac {8}{3}}}=1.63299...,}$

$\operatorname {Pr} (\left|X-\mu \right|\geq \lambda \sigma )\leq {\frac {4}{9\lambda ^{2}}}.$

Эскиз доказательства

Относительно элементарное доказательство см. Грубая идея, лежащая в основе доказательства, состоит в том, что есть два случая: один, когда способ $X$ близко к $\alpha$ по сравнению с $r$, и в этом случае мы можем показать $\operatorname {Pr} (|X-\alpha |\geq r)\leq {\frac {4\rho ^{2}}{9r^{2}}}$, и тот, где режим $X$ далеко от $\alpha$ по сравнению с $r$, и в этом случае мы можем показать $\operatorname {Pr} (|X-\alpha |\geq r)\leq {\frac {4\rho ^{2}}{3r^{2}}}-{\frac {1}{3}}$. Объединение этих двух случаев дает $\operatorname {Pr} (|X-\alpha |\geq r)\leq \max \left({\frac {4\rho ^{2}}{9r^{2}}},{\frac {4\rho ^{2}}{3r^{2}}}-{\frac {1}{3}}\right).$ Когда ${\frac {r}{\rho }}={\sqrt {\frac {8}{3}}}$, оба случая дают одно и то же значение.

Характеристики

Теорема уточняет неравенство Чебышева , добавляя коэффициент 4/9, что стало возможным благодаря унимодальному распределению.

и других статистических эвристик обычно При построении контрольных карт устанавливают λ = 3 , что соответствует верхней границе вероятности 4/81 = 0,04938..., и строят 3-сигма пределы, чтобы ограничить почти все (т. е. 95%) значений выхода процесса. Без унимодальности неравенство Чебышева дало бы более слабую оценку 1/9 = 0,11111... .

Односторонняя версия

Существует улучшенная версия неравенства Высочанского-Петунина для односторонних хвостовых границ. Для унимодальной случайной величины $X$ со средним $\mu$ и дисперсия $\sigma ^{2}$, и $r\geq 0$, одностороннее неравенство Высочанского-Петунина имеет место следующее:

$\mathbb {P} (X-\mu \geq r)\leq {\begin{cases}{\dfrac {4}{9}}{\dfrac {\sigma ^{2}}{r^{2}+\sigma ^{2}}}&{\mbox{for }}r^{2}\geq {\dfrac {5}{3}}\sigma ^{2},\\{\dfrac {4}{3}}{\dfrac {\sigma ^{2}}{r^{2}+\sigma ^{2}}}-{\dfrac {1}{3}}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}$

Одностороннее неравенство Высочанского-Петунина, а также связанное с ним неравенство Кантелли могут быть актуальными, например, в финансовой сфере в смысле того, «насколько большими могут быть потери».

Доказательство

Доказательство очень похоже на доказательство неравенства Кантелли . Для любого $u\geq 0$,

${\begin{aligned}\mathbb {P} (X-\mu \geq r)&=\mathbb {P} ((X+u)-\mu \geq r+u)\\&\leq \mathbb {P} (|(X+u)-\mu )|\geq r+u).\\\end{aligned}}$

Тогда можно применить неравенство Высочанского-Петунина. С $\rho ^{2}=\mathbb {E} [((X+u)-\mu )^{2}]=u^{2}+\sigma ^{2}$, у нас есть:

${\begin{aligned}\mathbb {P} (|(X+u)-\mu )|\geq r+u)&\leq {\begin{cases}{\frac {4}{9}}{\frac {\rho ^{2}}{(r+u)^{2}}}&r+u\geq {\sqrt {8/3}}\rho \\{\frac {4}{3}}{\frac {\rho ^{2}}{(r+u)^{2}}}-{\frac {1}{3}}&r+u\leq {\sqrt {8/3}}\rho \end{cases}}.\end{aligned}}$

Как и при доказательстве неравенства Кантелли, можно показать, что минимум ${\frac {\rho ^{2}}{(r+u)^{2}}}$ общий $u\geq 0$ достигается при $u=\sigma ^{2}/r$. Подключая это значение $u$ и упрощение дает желаемое неравенство.

Обобщение

Дхармадхикари и Джоаг-Дев обобщил неравенство ВП на отклонения от произвольной точки и моменты порядка $k$ кроме $2$

${\begin{aligned}P(|X-\alpha |\geq r)\leq \max \left\{{\frac {s\tau _{k}-r^{k}}{(s-1)r^{k}}},\left[{\frac {k}{k+1}}\right]^{k}{\frac {\tau _{k}}{r^{k}}}\right\}\\\end{aligned}}$

где

${\begin{aligned}\tau _{k}=E\left(|X-\alpha |^{k}\right),s>(k+1),s(s-k-1)^{k}=k^{k}\end{aligned}}$

Стандартную форму неравенства можно восстановить, положив $k=2$ что приводит к уникальной ценности $s=4$.

См. также

• Неравенство Гаусса , аналогичный результат для расстояния от моды, а не среднего значения
• Правило трех (статистика) , аналогичный результат для распределения Бернулли.

Ссылки

• Д. Ф. Высочанский, Ю. И. Петунин (1980). «Обоснование правила 3σ для унимодальных распределений». Теория вероятностей и математическая статистика . 21 : 25–36.
• Отчет (о диагностике рака) Петунина и других, излагающий теорему на английском языке.