Унимодальность

«Унимодальный» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о компании, продвигающей персональный скоростной транспорт, см. SkyTran .

В математике унимодальность . уникальной моды означает наличие В более общем смысле, унимодальность означает, что существует только одно высшее значение, каким-то образом определенное, для некоторого математического объекта .

Унимодальное распределение вероятностей

Рисунок 1. Функция плотности вероятности нормального распределения, пример унимодального распределения.

Рисунок 2. Простое бимодальное распределение.

Рисунок 3. Бимодальное распределение. Обратите внимание, что только самый большой пик будет соответствовать моде в строгом смысле определения моды.

В статистике унимодальное распределение вероятностей или унимодальное распределение — это распределение вероятностей , имеющее один пик. Термин «режим» в этом контексте относится к любому пику распределения, а не только к строгому определению режима , обычному в статистике.

Если имеется одна мода, функция распределения называется «унимодальной». Если у него больше мод, то он «бимодальный» (2), «тримодальный» (3) и т. д. или вообще «мультимодальный». Рисунок 1 иллюстрирует нормальные распределения , которые являются унимодальными. Другие примеры унимодальных распределений включают распределение Коши , Стьюдента t- распределение , распределение хи-квадрат и экспоненциальное распределение . Среди дискретных распределений биномиальное распределение и распределение Пуассона можно рассматривать как унимодальные, хотя для некоторых параметров они могут иметь два соседних значения с одинаковой вероятностью.

На рисунках 2 и 3 показаны бимодальные распределения.

Другие определения

Существуют и другие определения унимодальности функций распределения.

В непрерывных распределениях унимодальность можно определить через поведение кумулятивной функции распределения (cdf). Если cdf выпуклый для x < m и вогнутый для x > m , то распределение унимодальное, m является модой. Обратите внимание, что согласно этому определению равномерное распределение является унимодальным, а также любое другое распределение, в котором максимальное распределение достигается для диапазона значений, например трапециевидное распределение. Обычно это определение допускает разрыв в моде; обычно в непрерывном распределении вероятность любого отдельного значения равна нулю, тогда как это определение допускает ненулевую вероятность или «атом вероятности» в режиме.

Критерии унимодальности также можно определить через характеристическую функцию распределения или через преобразование Лапласа-Стилтьеса .

Другой способ определить унимодальное дискретное распределение — это появление смены знаков в последовательности разностей вероятностей. Дискретное распределение с функцией вероятностной массы , $\{p_{n}:n=\dots ,-1,0,1,\dots \}$, называется унимодальным, если последовательность $\dots ,p_{-2}-p_{-1},p_{-1}-p_{0},p_{0}-p_{1},p_{1}-p_{2},\dots$ имеет ровно одну смену знака (когда нули не учитываются).

Использование и результаты

Одна из причин важности унимодальности распределения заключается в том, что она позволяет получить несколько важных результатов. несколько неравенств Ниже приведены , справедливых только для унимодальных распределений. Таким образом, важно оценить, исходит ли данный набор данных из унимодального распределения. Несколько тестов на унимодальность приведены в статье о мультимодальном распределении .

Неравенства

Смотрите также: неравенство Чебышева § Унимодальные распределения

Неравенство Гаусса

Первым важным результатом является неравенство Гаусса . Неравенство Гаусса дает верхнюю границу вероятности того, что значение находится на расстоянии, превышающем любое заданное расстояние от его моды. Это неравенство зависит от унимодальности.

Vysochanskiï–Petunin inequality

Второе — неравенство Высочанского–Петунина : уточнение неравенства Чебышева . Неравенство Чебышева гарантирует, что в любом распределении вероятностей «почти все» значения «близки» к среднему значению. Неравенство Высочанского–Петунина уточняет это значение до еще более близких значений при условии, что функция распределения непрерывна и унимодальна. Дальнейшие результаты показали Селлке и Селлке.

Мода, медиана и среднее значение

Гаусс также показал в 1823 году, что для унимодального распределения

$\sigma \leq \omega \leq 2\sigma$

и

$|\nu -\mu |\leq {\sqrt {\frac {3}{4}}}\omega ,$

где медиана равна ν , среднее значение — μ , а ω — среднеквадратичное отклонение от моды.

Для унимодального распределения можно показать, что медиана ν и среднее значение µ лежат в пределах (3/5) ^1/2 ≈ 0,7746 стандартных отклонений друг друга. В символах,

${\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {\frac {3}{5}}}$

где | . | это абсолютное значение .

В 2020 году Бернар, Каззи и Вандюфель обобщили предыдущее неравенство, выведя максимальное расстояние между симметричным средним квантилем. ${\frac {q_{\alpha }+q_{(1-\alpha )}}{2}}$ и среднее,

${\frac {\left|{\frac {q_{\alpha }+q_{(1-\alpha )}}{2}}-\mu \right|}{\sigma }}\leq \left\{{\begin{array}{cl}{\frac {{\sqrt[{}]{{\frac {4}{9(1-\alpha )}}-1}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{\frac {1-\alpha }{1/3+\alpha }}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left[{\frac {5}{6}},1\right)\!,\\{\frac {{\sqrt[{}]{\frac {3\alpha }{4-3\alpha }}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{\frac {1-\alpha }{1/3+\alpha }}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left({\frac {1}{6}},{\frac {5}{6}}\right)\!,\\{\frac {{\sqrt[{}]{\frac {3\alpha }{4-3\alpha }}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{{\frac {4}{9\alpha }}-1}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left(0,{\frac {1}{6}}\right]\!.\end{array}}\right.$

Стоит отметить, что максимальное расстояние сводится к минимуму при $\alpha =0.5$ (т. е. когда симметричное среднее квантиля равно $q_{0.5}=\nu$), что действительно мотивирует общий выбор медианы в качестве надежного средства оценки среднего значения. Более того, когда $\alpha =0.5$, граница равна ${\sqrt {3/5}}$, что является максимальным расстоянием между медианой и средним значением унимодального распределения.

Аналогичное соотношение имеет место между медианой и модой θ : они лежат в пределах 3 ^1/2 ≈ 1,732 стандартных отклонения друг от друга:

${\frac {|\nu -\theta |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}}.$

Можно также показать, что среднее значение и мода лежат в пределах 3 ^1/2 друг друга:

${\frac {|\mu -\theta |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}}.$

Асимметрия и эксцесс

Рохатги и Секели утверждали, что асимметрия и эксцесс унимодального распределения связаны неравенством:

$\gamma ^{2}-\kappa \leq {\frac {6}{5}}=1.2$

где κ – эксцесс, а γ – асимметрия. Клаассен, Моквельд и ван Эс показали, что это применимо только в определенных условиях, например, при наборе унимодальных распределений, где мода и среднее совпадают.

Они вывели более слабое неравенство, применимое ко всем унимодальным распределениям:

$\gamma ^{2}-\kappa \leq {\frac {186}{125}}=1.488$

Эта граница является точной, поскольку она достигается с помощью равновесной смеси равномерного распределения на [0,1] и дискретного распределения в {0}.

Унимодальная функция

Поскольку термин «модальный» применяется к наборам данных и распределению вероятностей, а не к функциям в целом , приведенные выше определения не применяются. Определение «унимодального» было распространено на функции действительных чисел и .

Общее определение следующее: функция f ( x ) является унимодальной функцией , если для некоторого значения m она монотонно возрастает при x ≤ m и монотонно убывает при x ≥ m . В этом случае максимальное значение f ( x ) равно f ( m ), и других локальных максимумов нет.

Доказать унимодальность часто бывает сложно. Один из способов состоит в использовании определения этого свойства, но оказывается, что он подходит только для простых функций. общий метод, основанный на производных : Существует но, несмотря на свою простоту, он не срабатывает для каждой функции.

Примеры унимодальных функций включают квадратичные полиномиальные функции с отрицательным квадратичным коэффициентом, функции палаточного отображения и многое другое.

Вышеупомянутое иногда связано с сильная унимодальность из-за того, что подразумеваемая монотонность является сильной монотонностью . Функция f ( x ) называется слабо унимодальной функцией, если существует значение m , для которого она слабо монотонно возрастает при x ⩽ m и слабо монотонно убывает при x ≥ m . В этом случае максимальное значение f ( m ) может быть достигнуто для непрерывного диапазона значений x . Примером слабо унимодальной функции, которая не является сильно унимодальной, является каждая вторая строка в треугольнике Паскаля .

В зависимости от контекста унимодальная функция может также относиться к функции, которая имеет только один локальный минимум, а не максимум. Например, с помощью такой функции часто демонстрируется локальная унимодальная выборка — метод численной оптимизации. Можно сказать, что унимодальная функция в этом расширении — это функция с единственным локальным экстремумом .

Одним из важных свойств унимодальных функций является то, что экстремум может быть найден с использованием поисковых алгоритмов, таких как поиск золотого сечения , троичный поиск или последовательная параболическая интерполяция .

Другие расширения

Функция f ( x ) является «S-унимодальной» (часто называемой «S-унимодальным отображением»), если ее производная Шварца отрицательна для всех $x\neq c$, где $c$ является критической точкой.

В вычислительной геометрии, если функция унимодальна, это позволяет разработать эффективные алгоритмы поиска экстремумов функции.

Более общее определение, применимое к функции f ( X ) векторной переменной X , заключается в том, что f является унимодальным, если существует взаимно-однозначное дифференцируемое отображение X = G ( Z ) такое, что f ( G ( Z )) выпуклый. Обычно хотелось бы, чтобы G ( Z ) была непрерывно дифференцируемой с неособой матрицей Якобиана.

Квазивыпуклые функции и квазивогнутые функции расширяют понятие унимодальности на функции, аргументы которых принадлежат многомерным евклидовым пространствам .

См. также

• Бимодальное распределение
• Гипотеза Рида