Мультимодальная дистрибуция

«Бимодальный» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о музыкальной концепции, см. Бимодальность .

Рисунок 1. Простое бимодальное распределение, в данном случае смесь двух нормальных распределений с одинаковой дисперсией, но разными средними значениями. На рисунке показана функция плотности вероятности (pdf), которая представляет собой равновзвешенное среднее значение колоколообразных PDF-файлов двух нормальных распределений. Если бы веса не были равны, результирующее распределение все равно могло бы быть бимодальным, но с пиками разной высоты.

Рисунок 2. Бимодальное распределение.

Рисунок 3. Двумерное мультимодальное распределение.

Рисунок 4. Непример: унимодальное распределение, которое стало бы мультимодальным, если бы оно было обусловлено либо x, либо y.

В статистике мультимодальное (т. е. более распределение — это распределение вероятностей с более чем одной модой чем с одним локальным пиком распределения). Они выглядят как отдельные пики (локальные максимумы) функции плотности вероятности , как показано на рисунках 1 и 2. Категориальные, непрерывные и дискретные данные могут образовывать мультимодальные распределения. Среди одномерного анализа мультимодальные распределения обычно являются бимодальными.

Терминология

Когда две моды неравны, более крупная мода называется основной, а другая - второстепенной. Наименее частое значение между режимами известно как антимода . Разница между основной и второстепенной модами известна как амплитуда . Во временных рядах основная мода называется акрофазой , а антимода — батифазой .

Классификация Галтунга

Галтунг ввел систему классификации (AJUS) распределений:

• А: унимодальное распределение – пик посередине.
• J: унимодальный – пик на обоих концах
• U: бимодальный – пики на обоих концах
• S: бимодальный или мультимодальный – несколько пиков

С тех пор эта классификация была немного изменена:

• J: (модифицировано) – вершина справа
• L: унимодальный – пик слева
• F: без пика (плоский)

Согласно этой классификации бимодальные распределения классифицируются как тип S или U.

Примеры

Бимодальные распределения встречаются как в математике, так и в естественных науках.

Распределения

Важные бимодальные распределения включают арксинусное распределение и бета-распределение (если оба параметра a и b меньше 1). Другие включают U-квадратичное распределение .

Отношение двух нормальных распределений также распределено бимодально. Позволять

$R={\frac {a+x}{b+y}}$

где a и b являются постоянными, а x и y распределяются как нормальные переменные со средним значением 0 и стандартным отклонением 1. R имеет известную плотность, которую можно выразить как вырожденную гипергеометрическую функцию .

Распределение обратной величины случайной величины t является бимодальным, когда степени свободы больше одной. Аналогично, обратная переменная нормально распределенной переменной также распределена бимодально.

Статистика t , созданная на основе набора данных, полученного из распределения Коши, является бимодальной.

События в природе

Примеры переменных с бимодальным распределением включают время между извержениями определенных гейзеров , цвет галактик , размер рабочих муравьев-ткачей , возраст заболеваемости лимфомой Ходжкина , скорость инактивации препарата изониазид у взрослых в США, абсолютную величину и новых звезд циркадные закономерности активности тех сумеречных животных, которые активны как в утренние, так и в вечерние сумерки. В рыболовстве мультимодальные распределения длины отражают разные классы лет и, таким образом, могут использоваться для оценки возрастного распределения и роста популяции рыб. Отложения обычно распределяются бимодально. При отборе проб из шахтных галерей, пересекающих вмещающую породу и минерализованные жилы, распределение геохимических переменных будет бимодальным. Бимодальное распределение также наблюдается при анализе трафика: пик трафика приходится на утренний час пик, а затем снова на вечерний час пик. Это явление также наблюдается в ежедневном распределении воды, поскольку потребность в воде в виде душа, приготовления пищи и посещения туалета обычно достигает пика в утренние и вечерние периоды.

Эконометрика

В эконометрических моделях параметры могут иметь бимодальное распределение.

Происхождение

Основная статья: Распределение смеси

Математический

Бимодальное распределение обычно возникает как смесь двух разных унимодальных распределений (т.е. распределений, имеющих только одну моду). Другими словами, бимодально распределенная случайная величина X определяется как $Y$ с вероятностью $\alpha$ или $Z$ с вероятностью $(1-\alpha ),$ где Y и Z — унимодальные случайные величины и $0<\alpha <1$ – коэффициент смеси.

Смеси с двумя различными компонентами не обязательно должны быть бимодальными, а двухкомпонентные смеси с унимодальной плотностью компонентов могут иметь более двух мод. Непосредственной связи между количеством компонентов смеси и числом мод результирующей плотности нет.

Отдельные дистрибутивы

Бимодальные распределения, несмотря на их частое появление в наборах данных, изучались лишь изредка. . Возможно, это связано с трудностями оценки их параметров как частотными, так и байесовскими методами. Среди изученных есть

• Бимодальное экспоненциальное распределение.
• Альфа-косонормальное распределение.
• Бимодальное кососимметричное нормальное распределение.
• Смесь распределений Конвея-Максвелла-Пуассона была адаптирована к данным бимодального подсчета.

Бимодальность также естественным образом возникает в распределении катастроф каспов .

Биология

В биологии известно пять факторов, способствующих бимодальному распределению численности популяции. :

• первоначальное распределение индивидуальных размеров
• распределение темпов роста между особями
• размер и временная зависимость скорости роста каждой особи
• уровни смертности, которые могут по-разному влиять на каждый размерный класс
• Метилирование ДНК в геноме человека и мыши.

Бимодальное распределение размеров рабочих- ткачей-муравьев возникает из-за существования двух отдельных классов рабочих, а именно крупных рабочих и мелких рабочих.

Распределение фитнес-эффектов мутаций для обоих целых геномов и отдельные гены также часто оказывается бимодальным: большинство мутаций либо нейтральны, либо летальны, и относительно немногие имеют промежуточный эффект.

Общие свойства

Смесь двух унимодальных распределений с разными средними значениями не обязательно является бимодальной. Комбинированное распределение роста мужчин и женщин иногда используется как пример бимодального распределения, но на самом деле разница в средних высотах мужчин и женщин слишком мала по сравнению с их стандартными отклонениями , чтобы создать бимодальность при объединении двух кривых распределения. .

Бимодальные распределения обладают тем своеобразным свойством, что – в отличие от унимодальных распределений – среднее значение может быть более надежной выборочной оценкой, чем медиана. Очевидно, что это тот случай, когда распределение имеет U-образную форму, подобную распределению арксинуса. Это может быть неверно, если распределение имеет один или несколько длинных хвостов.

Моменты смесей

Позволять

$f(x)=pg_{1}(x)+(1-p)g_{2}(x)\,$

где g _i — распределение вероятностей, а p — параметр смешивания.

Моменты f ( x ) равны

$\mu =p\mu _{1}+(1-p)\mu _{2}$

$\nu _{2}=p[\sigma _{1}^{2}+\delta _{1}^{2}]+(1-p)[\sigma _{2}^{2}+\delta _{2}^{2}]$

$\nu _{3}=p[S_{1}\sigma _{1}^{3}+3\delta _{1}\sigma _{1}^{2}+\delta _{1}^{3}]+(1-p)[S_{2}\sigma _{2}^{3}+3\delta _{2}\sigma _{2}^{2}+\delta _{2}^{3}]$

$\nu _{4}=p[K_{1}\sigma _{1}^{4}+4S_{1}\delta _{1}\sigma _{1}^{3}+6\delta _{1}^{2}\sigma _{1}^{2}+\delta _{1}^{4}]+(1-p)[K_{2}\sigma _{2}^{4}+4S_{2}\delta _{2}\sigma _{2}^{3}+6\delta _{2}^{2}\sigma _{2}^{2}+\delta _{2}^{4}]$

где

$\mu =\int xf(x)\,dx$

$\delta _{i}=\mu _{i}-\mu$

$\nu _{r}=\int (x-\mu )^{r}f(x)\,dx$

а S _i и K _i — асимметрия и эксцесс i ​ ^й распределение.

двух

Нередко встречаются ситуации, когда исследователь считает, что данные получены из смеси двух нормальных распределений. По этой причине данная смесь была изучена достаточно подробно.

Смесь двух нормальных распределений имеет пять параметров для оценки: два средних значения, две дисперсии и параметр смешивания. Смесь двух нормальных распределений с равными стандартными отклонениями является бимодальной только в том случае, если их средние значения отличаются как минимум на удвоенное общее стандартное отклонение. Оценки параметров упрощаются, если дисперсии можно считать равными ( гомоскедастический случай).

Если средние значения двух нормальных распределений равны, то комбинированное распределение является унимодальным. Условия унимодальности комбинированного распределения были получены Эйзенбергером. Необходимые и достаточные условия для того, чтобы смесь нормальных распределений была бимодальной, были идентифицированы Рэем и Линдси.

Смесь двух примерно равных массовых нормальных распределений имеет отрицательный эксцесс, поскольку две моды по обе стороны от центра масс эффективно уменьшают хвосты распределения.

Смесь двух нормальных распределений с сильно неравной массой имеет положительный эксцесс, поскольку меньшее распределение удлиняет хвост более доминирующего нормального распределения.

Смеси других распределений требуют оценки дополнительных параметров.

на

• Когда компоненты смеси имеют равные дисперсии, смесь унимодальна тогда и только тогда, когда
  $$d\leq 1$$
  или
  $$\left\vert \log(1-p)-\log(p)\right\vert \geq 2\log(d-{\sqrt {d^{2}-1}})+2d{\sqrt {d^{2}-1}},$$
  где p — параметр смешивания и
  $$d={\frac {\left\vert \mu _{1}-\mu _{2}\right\vert }{2\sigma }},$$
  и где 1 ₂ и — _σ средние значения двух нормальных распределений, а — их стандартное отклонение.
• Следующий тест для случая p = 1/2 был описан Schilling et al . Позволять
  $$r={\frac {\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}.$$
  Коэффициент разделения ( S ) равен
  $$S={\frac {\sqrt {-2+3r+3r^{2}-2r^{3}+2(1-r+r^{2})^{1.5}}}{{\sqrt {r}}(1+{\sqrt {r}})}}.$$
  Если дисперсии равны, то S = 1. Плотность смеси унимодальна тогда и только тогда, когда
  $$|\mu _{1}-\mu _{2}|<S|\sigma _{1}+\sigma _{2}|.$$
• Достаточным условием унимодальности является
  $$|\mu _{1}-\mu _{2}|\leq 2\min(\sigma _{1},\sigma _{2}).$$
• Если два нормальных распределения имеют равные стандартные отклонения $\sigma ,$ достаточным условием унимодальности является
  $$|\mu _{1}-\mu _{2}|\leq 2\sigma {\sqrt {1+{\frac {|\log p-\ln(1-p)|}{2}}}}.$$

Сводная статистика

Бимодальные распределения являются широко используемым примером того, как сводные статистические данные, такие как среднее значение , медиана и стандартное отклонение, могут быть обманчивыми при использовании для произвольного распределения. Например, в распределении на рисунке 1 среднее значение и медиана будут около нуля, хотя ноль не является типичным значением. Стандартное отклонение также больше отклонения каждого нормального распределения.

Хотя было предложено несколько вариантов, в настоящее время не существует общепринятой сводной статистики (или набора статистических данных) для количественной оценки параметров общего бимодального распределения. Для смеси двух нормальных распределений обычно используются средние значения и стандартные отклонения, а также параметр смешивания (вес комбинации) – всего пять параметров.

Эшмана D

Полезной может оказаться статистика D Эшмана:

$D={\frac {\left|\mu _{1}-\mu _{2}\right|}{\sqrt {2(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})}}}$

где 1 _— , 2 ₂ средние значения, , _{а 1} — стандартные _{отклонения} .

Для смеси двух нормальных распределений требуется D > 2 для четкого разделения распределений.

Ван дер Эйк, А

Эта мера представляет собой средневзвешенное значение степени согласия распределения частот. Диапазон A варьируется от -1 (идеальная бимодальность ) до +1 (идеальная унимодальность ). Это определяется как

$A=U\left(1-{\frac {S-1}{K-1}}\right)$

где U — унимодальность распределения, S — количество категорий с ненулевой частотой, а K — общее количество категорий.

Значение U равно 1, если распределение имеет любую из трех следующих характеристик:

• все ответы относятся к одной категории
• ответы равномерно распределены по всем категориям
• ответы равномерно распределены между двумя или более смежными категориями, при этом остальные категории имеют нулевые ответы

При других распределениях данные необходимо разделить на «слои». Внутри слоя ответы либо равны, либо равны нулю. Категории не обязательно должны быть смежными. Вычисляется значение A для каждого слоя ( A _i ) и определяется средневзвешенное значение для распределения. Веса ( w _i ) для каждого слоя — это количество ответов в этом слое. В символах

$A_{\text{overall}}=\sum _{i}w_{i}A_{i}$

Равномерное распределение имеет A = 0: когда все ответы попадают в одну категорию A = +1.

Одна теоретическая проблема с этим индексом заключается в том, что он предполагает, что интервалы расположены на одинаковом расстоянии. Это может ограничить его применимость.

Бимодальное разделение

что распределение представляет собой смесь двух нормальных распределений со средними значениями ( и _{индекс предполагает ,} стандартными отклонениями _{1 и 2} ( 1 _Этот и 2 ₎ ):

$S={\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{2(\sigma _{1}+\sigma _{2})}}$

Коэффициент бимодальности

Коэффициент бимодальности Сарла b равен

$\beta ={\frac {\gamma ^{2}+1}{\kappa }}$

где γ — асимметрия , а κ — эксцесс . Эксцесс здесь определяется как стандартизированный четвертый момент вокруг среднего значения. Значение b находится между 0 и 1. Логика этого коэффициента заключается в том, что бимодальное распределение с легкими хвостами будет иметь очень низкий эксцесс, асимметричный характер или и то, и другое – все это увеличивает этот коэффициент.

Формула для конечной выборки:

$b={\frac {g^{2}+1}{k+{\frac {3(n-1)^{2}}{(n-2)(n-3)}}}}$

где n — количество элементов в выборке, g — асимметрия выборки , а k выборки — эксцесс .

Значение b для равномерного распределения составляет 5/9. Это также его значение для экспоненциального распределения . Значения, превышающие 5/9, могут указывать на бимодальное или мультимодальное распределение, хотя соответствующие значения также могут привести к сильно искаженным унимодальным распределениям. Максимальное значение (1,0) достигается только распределением Бернулли только с двумя различными значениями или суммой двух разных дельта-функций Дирака (би-дельта-распределение).

Распределение этой статистики неизвестно. Это связано со статистикой, предложенной ранее Пирсоном – разницей между эксцессом и квадратом асимметрии ( см. ниже ).

Амплитуда

Это определяется как

$A_{B}={\frac {A_{1}-A_{an}}{A_{1}}}$

где A ₁ — амплитуда меньшего пика, а A _an — амплитуда антимоды.

A _B всегда < 1. Большие значения указывают на более отчетливые пики.

Бимодальное соотношение

Это соотношение левого и правого пиков. Математически

$R={\frac {A_{r}}{A_{l}}}$

где A _l и Ar _- амплитуды левого и правого пиков соответственно.

Параметр бимодальности

Этот параметр ( B ) принадлежит Уилкоку.

$B={\sqrt {\frac {A_{r}}{A_{l}}}}\sum P_{i}$

где Al _{логарифм по} и Ar _— амплитуды левого и правого пиков соответственно, а Pi _— основанию 2 доли распределения в i ^й интервал. Максимальное значение ΣP равно 1, но значение B может быть больше этого значения.

Чтобы использовать этот индекс, ведется журнал значений. Затем данные разделяются на интервал шириной Φ, значение которого равно log 2. Ширина пиков принимается равной четыре раза 1/4 Φ с центром в их максимальных значениях.

Индексы

Индекс Ванга

Индекс бимодальности, предложенный Вангом и др., предполагает, что распределение представляет собой сумму двух нормальных распределений с равными дисперсиями, но разными средними значениями. Оно определяется следующим образом:

$\delta ={\frac {|\mu _{1}-\mu _{2}|}{\sigma }}$

где 1 ₂ , σ _— — средние значения, а общее стандартное отклонение.

$BI=\delta {\sqrt {p(1-p)}}$

где p — параметр смешивания.

Индекс Старрока

Другой индекс бимодальности был предложен Старроком.

Этот индекс ( B ) определяется как

$B={\frac {1}{N}}\left[\left(\sum _{1}^{N}\cos(2\pi m\gamma )\right)^{2}+\left(\sum _{1}^{N}\sin(2\pi m\gamma )\right)^{2}\right]$

Когда m = 2 и γ распределено равномерно, B распределяется экспоненциально.

Эта статистика представляет собой форму периодограммы . Он страдает от обычных проблем оценки и утечки спектра, свойственных этой форме статистики.

Индекс де Микеле и Аккатино

Другой индекс бимодальности был предложен де Микеле и Аккатино. Их индекс ( B ) равен

$B=|\mu -\mu _{M}|$

где μ — среднее арифметическое выборки и

$\mu _{M}={\frac {\sum _{i=1}^{L}m_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{L}m_{i}}}$

где m _i - количество точек данных в i ^й bin, x _i — центр i ^й bin, а L — количество ячеек.

Авторы предложили пороговое значение 0,1 для B, чтобы различать бимодальное ( B > 0,1) и унимодальное ( B <0,1) распределение. Никакого статистического обоснования этой величины предложено не было.

Индекс Сэмбрука Смита

Еще один индекс ( B ) был предложен Sambrook Smith et al.

$$B=|\phi _{2}-\phi _{1}|{\frac {p_{2}}{p_{1}}}$$

где p ₁ и p ₂ — доли, содержащиеся в первичной (той, что с большей амплитудой) и вторичной (той, что с меньшей амплитудой) моде, а φ ₁ и φ ₂ — φ -размеры первичной и вторичной моды. φ - размер определяется как минус один логарифм размера данных, принятый по основанию 2. Это преобразование обычно используется при изучении отложений.

Авторы рекомендовали пороговое значение 1,5, при этом B было больше 1,5 для бимодального распределения и меньше 1,5 для унимодального распределения. Статистического обоснования этой величины не было.

Метод Оцу

Метод Оцу для нахождения порога разделения между двумя модами основан на минимизации величины

$${\frac {n_{1}\sigma _{1}^{2}+n_{2}\sigma _{2}^{2}}{m\sigma ^{2}}}$$

где n _i — количество точек данных в i ^й субпопуляция, σ _i ² это дисперсия i ^й субпопуляция, m — общий размер выборки, σ ² — выборочная дисперсия. Некоторые исследователи (особенно в области цифровой обработки изображений ) применяли эту величину более широко в качестве индекса для обнаружения бимодальности, причем небольшое значение указывает на более бимодальное распределение.

тесты

Доступен ряд тестов, позволяющих определить, распространяется ли набор данных бимодальным (или мультимодальным) способом.

Графические методы

При изучении отложений размер частиц часто бывает бимодальным. Эмпирически оказалось полезным построить график зависимости частоты от логарифма (размера) частиц. Обычно это дает четкое разделение частиц на бимодальное распределение. В геологических приложениях логарифм обычно принимается по основанию 2. Логарифмически преобразованные значения называются единицами фи (Φ). Эта система известна как шкала Крумбейна (или фи).

Альтернативный метод — построить график зависимости размера частиц от кумулятивной частоты. Этот график обычно состоит из двух достаточно прямых линий с соединительной линией, соответствующей антимоде.

Статистика

Приблизительные значения для некоторых статистических данных можно получить из графических графиков.

${\mathit {Mean}}={\frac {\phi _{16}+\phi _{50}+\phi _{84}}{3}}$

${\mathit {StdDev}}={\frac {\phi _{84}-\phi _{16}}{4}}+{\frac {\phi _{95}-\phi _{5}}{6.6}}$

${\mathit {Skew}}={\frac {\phi _{84}+\phi _{16}-2\phi _{50}}{2(\phi _{84}-\phi _{16})}}+{\frac {\phi _{95}+\phi _{5}-2\phi _{50}}{2(\phi _{95}-\phi _{5})}}$

${\mathit {Kurt}}={\frac {\phi _{95}-\phi _{5}}{2.44(\phi _{75}-\phi _{25})}}$

где Mean — среднее значение, StdDev — стандартное отклонение, Skew — асимметрия, Kurt — эксцесс, а φ _x — значение переменной φ в точке x. ^й процент распределения.

и

Пирсон в 1894 году был первым, кто разработал процедуру проверки того, можно ли разложить распределение на два нормальных распределения. Этот метод требовал решения полинома девятого порядка . В последующей статье Пирсон сообщил, что при любой асимметрии распределения ² + 1 < эксцесс. Позже Пирсон показал, что

$b_{2}-b_{1}\geq 1$

где b ₂ – эксцесс, а b ₁ – квадрат асимметрии. Равенство справедливо только для двухточечного распределения Бернулли или суммы двух разных дельта-функций Дирака . Это самые крайние возможные случаи бимодальности. Эксцесс в обоих случаях равен 1. Поскольку они оба симметричны, их асимметрия равна 0, а разница равна 1.

Бейкер предложил преобразование для преобразования бимодального распределения в унимодальное.

Было предложено несколько тестов унимодальности и бимодальности: Холдейн предложил тест, основанный на вторых центральных различиях. Позже Ларкин представил тест, основанный на F-тесте; Бенетт создал его на основе G-теста Фишера . Токеши предложил четвертый тест. Тест, основанный на отношении правдоподобия, был предложен Хольцманном и Фоллмером.

Предложен метод, основанный на балльном тесте и тесте Вальда. Этот метод позволяет различать унимодальные и бимодальные распределения, если известны основные распределения.

Антимодные тесты

Статистические тесты антимоды известны.

Метод Оцу

Метод Оцу обычно используется в компьютерной графике для определения оптимального разделения между двумя распределениями.

Общие испытания

Чтобы проверить, является ли распределение отличным от унимодального, было разработано несколько дополнительных тестов: тест пропускной способности , тест на погружение , тест на избыточную массу , МАР-тест, режима проверка существования , коротышку тест на , диапазона тест , и седловой тест .

Реализация провального теста доступна для языка программирования R. Значения p для значений статистики провалов варьируются от 0 до 1. Значения P менее 0,05 указывают на значительную мультимодальность, а значения p больше 0,05, но меньше 0,10 предполагают мультимодальность с предельной значимостью.

Тест Сильвермана

Сильверман представил метод начальной загрузки для определения количества мод. В тесте используется фиксированная полоса пропускания, что снижает мощность теста и его интерпретируемость. При сглаженных плотностях может возникнуть чрезмерное количество мод, подсчет которых во время начальной загрузки нестабильен.

Тест Байгера-Аггарвала

Байгер и Аггарвал предложили тест, основанный на эксцессе распределения.

Особые случаи

Дополнительные тесты доступны для ряда особых случаев:

Смесь двух нормальных распределений

Исследование плотности смеси данных двух нормальных распределений показало, что разделение на два нормальных распределения было затруднено, если средние значения не были разделены 4–6 стандартными отклонениями.

В астрономии алгоритм Kernel Mean Matching используется для определения принадлежности набора данных к одному нормальному распределению или к смеси двух нормальных распределений.

Бета-нормальное распределение

Это распределение является бимодальным для определенных значений is-параметров. Описан тест на эти значения.

Оценка параметров и подбор кривых

Предполагая, что распределение известно как бимодальное или было показано, что оно бимодальное в результате одного или нескольких приведенных выше тестов, часто желательно подогнать кривую к данным. Это может быть сложно.

Байесовские методы могут оказаться полезными в сложных случаях.

Программное обеспечение

Два нормальных распределения

Пакет для R доступен для тестирования на бимодальность. Этот пакет предполагает, что данные распределяются как сумма двух нормальных распределений. Если это предположение неверно, результаты могут быть ненадежными. Он также включает функции для подгонки к данным суммы двух нормальных распределений.

Если предположить, что распределение представляет собой смесь двух нормальных распределений, то для определения параметров можно использовать алгоритм максимизации ожидания. Для этого доступно несколько программ, включая Cluster, и пакет R nor1mix.

Другие дистрибутивы

Пакет mixtools, доступный для R, может тестировать и оценивать параметры ряда различных дистрибутивов. Доступен пакет для смеси двух правосторонних гамма-распределений.

Доступно несколько других пакетов для R, подходящих для смешанных моделей; к ним относятся флексмикс, Маккласт, согласие, и миксдист.

Язык статистического программирования SAS также может соответствовать различным смешанным распределениям с помощью процедуры PROC FREQ.

Количество бегунов в парке по времени суток (X в часах) в бимодальном распределении вероятностей

В Python пакет Scikit-learn содержит инструмент для моделирования смесей.

Пример программного приложения

CumFreqA Программа подгонки составных распределений вероятностей к набору данных (X) может разделить набор на две части с различным распределением. На рисунке показан пример двойного обобщенного зеркального распределения Гамбеля , как при аппроксимации распределения уравнениями кумулятивной функции распределения (CDF):

X < 8.10 : CDF = 1 - exp[-exp{-(0.092X^0.01+935)}]
X > 8.10 : CDF = 1 - exp[-exp{-(-0.0039X^2.79+1.05)}]

См. также

• Передисперсия
• Модель смеси - Модели гауссовой смеси (GMM)
• Распределение смеси