Среднеквадратичное отклонение

Чтобы узнать о концепции биоинформатики, см. Среднеквадратичное отклонение положений атомов .

Среднеквадратичное отклонение ( RMSD ) или среднеквадратическая ошибка ( RMSE ) — это либо одна из двух тесно связанных и часто используемых мер различий между истинными или прогнозируемыми значениями, с одной стороны, и наблюдаемыми значениями или оценкой , с другой.

СКО выборки

СКО выборки представляет собой среднее квадратическое разностей между наблюдаемыми значениями и прогнозируемыми. Эти отклонения называются остатками , когда вычисления выполняются над выборкой данных, которая использовалась для оценки (и, следовательно, всегда относятся к оценке), и называются ошибками (или ошибками прогнозирования), когда вычисляются вне выборки (т. полный набор, ссылаясь на истинное значение, а не на оценку). RMSD служит для агрегирования величин ошибок прогнозов для различных точек данных в единую меру прогнозирующей способности. RMSD — это мера точности , позволяющая сравнивать ошибки прогнозирования различных моделей для конкретного набора данных, а не между наборами данных, поскольку она зависит от масштаба.

СКО всегда неотрицательно, а значение 0 (практически никогда не достигаемое на практике) указывает на идеальное соответствие данным. В общем, более низкое RMSD лучше, чем более высокое. Однако сравнения различных типов данных будут недействительными, поскольку мера зависит от масштаба используемых чисел.

RMSD — это квадратный корень из среднего квадрата ошибок. Влияние каждой ошибки на RMSD пропорционально размеру квадрата ошибки; таким образом, более крупные ошибки оказывают непропорционально большое влияние на RMSD. Следовательно, RMSD чувствителен к выбросам .

Формулы

Оценщик

СКО оценщика ${\hat {\theta }}$ по оцениваемому параметру $\theta$ определяется как квадратный корень среднеквадратической ошибки :

$\operatorname {RMSD} ({\hat {\theta }})={\sqrt {\operatorname {MSE} ({\hat {\theta }})}}={\sqrt {\operatorname {E} (({\hat {\theta }}-\theta )^{2})}}.$

Для несмещенной оценки среднеквадратичное отклонение представляет собой квадратный корень дисперсии , известный как стандартное отклонение .

Образцы

Если X ₁ , ..., X _n является выборкой совокупности с истинным средним значением $x_{0}$, то среднеквадратическое отклонение выборки равно

$\operatorname {RMSD} ={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-x_{0})^{2}}}$.

СКО прогнозируемых значений ${\hat {y}}_{t}$ для времени t зависимой регрессии переменной $y_{t},$ с переменными, наблюдаемыми в течение T раз, вычисляется для T различных прогнозов как квадратный корень из среднего значения квадратов отклонений:

$\operatorname {RMSD} ={\sqrt {\frac {\sum _{t=1}^{T}(y_{t}-{\hat {y}}_{t})^{2}}{T}}}.$

(Для регрессий на данных поперечного сечения индекс t заменяется на i, а T заменяется на n .)

В некоторых дисциплинах RMSD используется для сравнения различий между двумя вещами, которые могут различаться, ни одна из которых не принимается в качестве «стандарта». Например, при измерении средней разницы между двумя временными рядами $x_{1,t}$ и $x_{2,t}$,формула становится

$\operatorname {RMSD} ={\sqrt {\frac {\sum _{t=1}^{T}(x_{1,t}-x_{2,t})^{2}}{T}}}.$

Нормализация

Нормализация RMSD облегчает сравнение наборов данных или моделей разных масштабов. Хотя в литературе нет последовательных способов нормализации, обычно выбирают среднее значение или диапазон (определяемый как максимальное значение минус минимальное значение) измеренных данных:

$\mathrm {NRMSD} ={\frac {\mathrm {RMSD} }{y_{\max }-y_{\min }}}$ или $\mathrm {NRMSD} ={\frac {\mathrm {RMSD} }{\bar {y}}}$.

Это значение обычно называют нормализованным среднеквадратическим отклонением или ошибкой (NRMSD или NRMSE) и часто выражают в процентах, где более низкие значения указывают на меньшую остаточную дисперсию. Это также называется коэффициентом вариации или процентом RMS . Во многих случаях, особенно для небольших выборок, диапазон выборки, вероятно, будет зависеть от размера выборки, что затруднит сравнения.

Другой возможный способ сделать СКО более полезным показателем сравнения — разделить СКО на межквартильный размах (IQR). При делении RMSD на IQR нормализованное значение становится менее чувствительным к экстремальным значениям целевой переменной.

$\mathrm {RMSDIQR} ={\frac {\mathrm {RMSD} }{IQR}}$ где $IQR=Q_{3}-Q_{1}$

с $Q_{1}={\text{CDF}}^{-1}(0.25)$ и $Q_{3}={\text{CDF}}^{-1}(0.75),$ где CDF ⁻¹ — функция квантиля .

При нормализации по среднему значению измерений термин коэффициент вариации СКО, CV(RMSD) . во избежание двусмысленности можно использовать Это аналогично коэффициенту вариации , в котором RMSD заменяет стандартное отклонение .

$\mathrm {CV(RMSD)} ={\frac {\mathrm {RMSD} }{\bar {y}}}.$

Средняя абсолютная ошибка

Некоторые исследователи рекомендовали использование средней абсолютной ошибки (MAE) вместо среднеквадратического отклонения. MAE обладает преимуществами в интерпретируемости перед RMSD. MAE – среднее абсолютных значений ошибок. MAE принципиально легче понять, чем квадратный корень из среднего квадрата ошибок. Более того, каждая ошибка влияет на MAE прямо пропорционально абсолютному значению ошибки, чего нельзя сказать о RMSD.

Приложения

• В метеорологии — чтобы увидеть, насколько эффективно математическая модель предсказывает поведение атмосферы .
• В биоинформатике среднеквадратичное отклонение положений атомов является мерой среднего расстояния между атомами наложенных друг на друга белков .
• При разработке лекарств на основе структуры RMSD является мерой разницы между кристаллической конформацией конформации лиганда и предсказанием стыковки .
• В экономике RMSD используется для определения того, соответствует ли экономическая модель экономическим показателям . Некоторые эксперты утверждают, что RMSD менее надежен, чем относительная абсолютная ошибка.
• В экспериментальной психологии RMSD используется для оценки того, насколько хорошо математические или вычислительные модели поведения объясняют эмпирически наблюдаемое поведение.
• В ГИС RMSD является одной из мер, используемых для оценки точности пространственного анализа и дистанционного зондирования.
• В гидрогеологии RMSD и NRMSD используются для оценки калибровки модели подземных вод.
• В области визуализации RMSD является частью пикового отношения сигнал/шум , меры, используемой для оценки того, насколько хорошо работает метод восстановления изображения по сравнению с исходным изображением.
• В вычислительной нейробиологии RMSD используется для оценки того, насколько хорошо система изучает данную модель.
• В спектроскопии ядерного магнитного резонанса белков RMSD используется как мера оценки качества полученного пучка структур.
• Заявки на премию Netflix оценивались с использованием RMSD на основе нераскрытых «истинных» значений набора тестовых данных.
• При моделировании энергопотребления зданий RMSE и CV(RMSE) используются для калибровки моделей для измерения характеристик зданий .
• В рентгеновской кристаллографии RMSD (и RMSZ) используется для измерения отклонения внутренних координат молекул от значений библиотеки ограничений.
• В теории управления RMSE используется как мера качества для оценки эффективности работы государственного наблюдателя .
• В гидродинамике нормализованное среднеквадратичное отклонение (NRMSD), коэффициент вариации (CV) и процентное среднеквадратичное значение используются для количественной оценки однородности поведения потока, такой как профиль скорости, распределение температуры или концентрация газовых частиц. Значение сравнивается с отраслевыми стандартами для оптимизации конструкции потокового и термического оборудования и процессов.

См. также

• Среднеквадратичное значение
• Средняя абсолютная ошибка
• Среднее абсолютное отклонение
• Среднее знаковое отклонение
• Среднеквадратичное отклонение
• Квадратные отклонения
• Ошибки и остатки в статистике
• Коэффициент вариации