Медианное абсолютное отклонение

Другие статистические показатели, также обозначаемые сокращенно «MAD», см. в разделе « Среднее абсолютное отклонение » .

В статистике медианное абсолютное отклонение ( MAD является надежной мерой изменчивости одномерной выборки ) количественных данных . Это также может относиться к совокупности параметру , который оценивается с помощью MAD, рассчитанного на основе выборки.

Для одномерного набора данных X ₁ , X ₂ , ..., X _n MAD определяется как медиана абсолютных отклонений от медианы данных. ${\tilde {X}}=\operatorname {median} (X)$:

$\operatorname {MAD} =\operatorname {median} (|X_{i}-{\tilde {X}}|)$

то есть, начиная с остатков (отклонений) от медианы данных, MAD — это медиана их абсолютных значений .

Пример

Рассмотрим данные (1, 1, 2, 2 , 4, 6, 9). Его медианное значение равно 2. Абсолютные отклонения около 2 равны (1, 1, 0, 0, 2, 4, 7), которые, в свою очередь, имеют медианное значение 1 (поскольку отсортированные абсолютные отклонения равны (0, 0, 1, 1 , 2, 4, 7)). Таким образом, медианное абсолютное отклонение для этих данных равно 1.

Использует

Медианное абсолютное отклонение является мерой статистической дисперсии . Более того, MAD — это надежная статистика , более устойчивая к выбросам в наборе данных, чем стандартное отклонение . В стандартном отклонении расстояния от среднего значения возводятся в квадрат, поэтому большие отклонения имеют больший вес, и, таким образом, выбросы могут сильно влиять на него. В MAD отклонения небольшого количества выбросов не имеют значения.

Поскольку MAD является более надежной оценкой масштаба, чем выборочная дисперсия или стандартное отклонение , он лучше работает с распределениями без среднего значения или дисперсии, такими как распределение Коши .

к

MAD можно использовать аналогично тому, как можно использовать отклонение для среднего значения.Чтобы использовать MAD в качестве последовательной оценки средства стандартного отклонения $\sigma$, человек берет

${\hat {\sigma }}=k\cdot \operatorname {MAD} ,$

где $k$ — постоянный масштабный коэффициент , который зависит от распределения.

Для нормально распределенных данных $k$ считается

$k=1/\left(\Phi ^{-1}(3/4)\right)\approx 1/0.67449\approx 1.4826,$

т.е. обратная квантиля функция $\Phi ^{-1}$ (также известная как обратная функция кумулятивного распределения ) для стандартного нормального распределения $Z=(X-\mu )/\sigma$.

Вывод

Аргумент 3/4 таков, что $\pm \operatorname {MAD}$ покрывает 50% (от 1/4 до 3/4) стандартной нормальной функции кумулятивного распределения , т.е.

${\frac {1}{2}}=P(|X-\mu |\leq \operatorname {MAD} )=P\left(\left|{\frac {X-\mu }{\sigma }}\right|\leq {\frac {\operatorname {MAD} }{\sigma }}\right)=P\left(|Z|\leq {\frac {\operatorname {MAD} }{\sigma }}\right).$

Поэтому мы должны иметь это

$\Phi \left(\operatorname {MAD} /\sigma \right)-\Phi \left(-\operatorname {MAD} /\sigma \right)=1/2.$

Заметив, что

$\Phi \left(-\operatorname {MAD} /\sigma \right)=1-\Phi \left(\operatorname {MAD} /\sigma \right),$

у нас есть это $\operatorname {MAD} /\sigma =\Phi ^{-1}(3/4)=0.67449$, откуда мы получаем масштабный коэффициент $k=1/\Phi ^{-1}(3/4)=1.4826$.

Другой способ установить взаимосвязь — отметить, что MAD равно медиане полунормального распределения :

$\operatorname {MAD} =\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(1/2)\approx 0.67449\sigma .$

Эта форма используется, например, для вероятной ошибки .

В случае комплексных значений ( X +i Y ) отношение MAD к стандартному отклонению не меняется для нормально распределенных данных.

MAD с использованием геометрической медианы

Аналогично тому, как медиана обобщается до геометрической медианы (gm) в многомерных данных, MAD можно обобщить до MADGM (медиана расстояний до gm) в n измерениях. Это делается путем замены абсолютных различий в одном измерении евклидовыми расстояниями точек данных до геометрической медианы в n измерениях. Это дает тот же результат, что и одномерное MAD в 1 измерении, и распространяется на любое количество измерений. MADGM необходимо найти геометрическую медиану, что выполняется итеративным процессом.

Население MAD

Популяционный MAD ​​определяется аналогично выборочному MAD, но основан на полном распределении , а не на выборке. Для симметричного распределения с нулевым средним значением популяция MAD составляет 75-й процентиль распределения.

В отличие от дисперсии , которая может быть бесконечной или неопределенной, популяция MAD всегда является конечным числом. Например, стандартное распределение Коши имеет неопределенную дисперсию, но его MAD равно 1.

Самое раннее известное упоминание о концепции MAD произошло в 1816 году в статье Карла Фридриха Гаусса об определении точности численных наблюдений.

См. также

• Отклонение (статистика)
• Межквартильный размах
• Возможная ошибка
• Надежные меры масштаба
• Относительная средняя абсолютная разница
• Среднее абсолютное отклонение
• Наименьшие абсолютные отклонения

Ссылки

• Хоглин, Дэвид К.; Фредерик Мостеллер; Джон В. Тьюки (1983). Понимание надежного и исследовательского анализа данных . Джон Уайли и сыновья. стр. 404–414. ISBN  978-0-471-09777-8 .
• Рассел, Роберта С.; Бернард В. Тейлор III (2006). Управление операциями . Джон Уайли и сыновья. стр. 497–498 . ISBN  978-0-471-69209-6 .
• Венейблс, Западная Нью-Йорк; Б.Д. Рипли (1999). Современная прикладная статистика с S-PLUS . Спрингер. п. 128. ИСБН  978-0-387-98825-2 .