Гауссово корреляционное неравенство

( Корреляционное неравенство Гаусса GCI ) , ранее известное как гипотеза корреляции Гаусса ( GCC ), является математической теоремой в области математической статистики и выпуклой геометрии .

Заявление

Гауссово корреляционное неравенство гласит:

Позволять $\mu$ — n -мерная гауссова вероятностная мера на $\mathbb {R} ^{n}$ , то есть $\mu$ многомерное нормальное распределение с центром в начале координат. Тогда для всех выпуклых множеств $E,F\subset \mathbb {R} ^{n}$ симметричные относительно начала координат ,

\mu (E\cap F)\geq \mu (E)\cdot \mu (F).

В качестве простого примера для n = 2 можно представить дротики, бросаемые в доску, причем места их приземления на плоскости распределены в соответствии с нормальным распределением с двумя переменными с центром в начале координат. (Это разумное предположение для любого игрока в дартс, поскольку разные игроки описываются разными нормальными распределениями.) Если мы теперь рассмотрим круг и прямоугольник на плоскости, оба с центром в начале координат, то доля дротиков, приземлившихся в пересечение обеих фигур не меньше, чем произведение пропорций попадания дротиков в каждую фигуру. Это также можно сформулировать в терминах условных вероятностей : если вам сообщают, что ваш последний дротик попал в прямоугольник, то эта информация увеличит вашу оценку вероятности попадания дротика в круг.

История

Особый случай неравенства был выдвинут в 1955 году; ^[1] дальнейшее развитие получила Олив Джин Данн в 1958 году. ^[2]^[3] Общий случай был сформулирован в 1972 году также как гипотеза. ^[4] Случай размерности n =2 был доказан в 1977 г. ^[5] и некоторые частные случаи более высокой размерности также были доказаны в последующие годы. ^[6]

Общий случай неравенства оставался открытым до 2014 года, когда Томас Ройен , немецкий статистик на пенсии, доказал его, используя относительно элементарные инструменты. ^[7] Фактически Ройен обобщил гипотезу и доказал ее для многомерных гамма-распределений . Доказательство не привлекло внимания, когда оно было опубликовано в 2014 году, из-за относительной анонимности Ройена и того факта, что доказательство было опубликовано в грабительском журнале . ^[2]^[8] Другой причиной была история ложных доказательств (других) и множества неудачных попыток доказать гипотезу, что вызвало скептицизм среди математиков в этой области. ^[2]

Гипотеза и ее решение привлекли внимание общественности в 2017 году, когда другие математики описали доказательство Ройена в популярной публикации. ^[9] и популярные СМИ сообщили об этой истории. ^[2]^[10]^[11]

Ссылки

^ Даннетт, CW; Собель, М. (1955). «Аппроксимации интеграла вероятности и определенных процентных точек многомерного аналога t-распределения Стьюдента». Биометрика . 42 (1–2): 258–267. дои : 10.1093/biomet/42.1-2.258 . ISSN 0006-3444 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Волчовер, Натали (28 марта 2017 г.). «Долгожданное доказательство, найденное и почти утерянное» . Журнал КВАНТА . Проверено 4 апреля 2017 г.
^ Шехтман, Г.; Шлумпрехт, Т.; Зинн, Дж. (январь 1998 г.). «О гауссовой мере пересечения» . Анналы вероятности . 26 (1): 346–357. дои : 10.1214/aop/1022855422 . ISSN 0091-1798 . S2CID 119824731 .
^ Дас Гупта, С.; Итон, ML; Олькин И.; Перлман, М.; Сэвидж, LJ; Собель, М. (1972). Неравенства о вероятностном содержании выпуклых областей для эллиптически контурных распределений . Труды шестого симпозиума Беркли по математической статистике и вероятности. Том. II: Теория вероятностей. Беркли, Калифорния: Univ. Калифорния Пресс. стр. 241–265.
^ Питт, Лорен Д. (1977). «Гауссово корреляционное неравенство для симметричных выпуклых множеств» . Анналы вероятности . 5 (3): 470–474. дои : 10.1214/aop/1176995808 .
^ Харж, Жиль (1999). «Частный случай корреляционного неравенства для гауссовой меры» (PDF) . Анналы вероятности . 27 (4): 1939–1951. дои : 10.1214/aop/1022874822 . S2CID 118789169 .
^ Ройен, Томас (ноябрь 2014 г.). «Простое доказательство гипотезы о гауссовой корреляции, распространенное на многомерные гамма-распределения» . Дальневосточный журнал теоретической статистики . 48 (2): 139–145. arXiv : 1408.1028 .
^ «Издательство Пушпа» . www.pphmj.com . Проверено 4 июля 2017 г.
^ Латала, Р.; Матлак, Д. (2017). «Доказательство Ройена гауссовского корреляционного неравенства». Геометрические аспекты функционального анализа . Конспект лекций по математике. Том. 2169. стр. 265–275. arXiv : 1512.08776 . дои : 10.1007/978-3-319-45282-1_17 . ISBN 978-3-319-45281-4 . S2CID 36992343 .
^ Фаранд, Хлоя (3 апреля 2017 г.). «Пенсионер решает одну из сложнейших математических задач в мире, и никто этого не замечает» . Независимый . Проверено 4 апреля 2017 г.
^ Дамбек, Хольгер (4 апреля 2017 г.). «Успех в 67 лет: чудо-дедушка математики» . ШПИГЕЛЬ ОНЛАЙН . Проверено 4 апреля 2017 г.

Внешние ссылки

Джордж Лоутер, Гипотеза Гауссовой корреляции , «Почти уверен»

[1] Даннетт, CW; Собель, М. (1955). «Аппроксимации интеграла вероятности и определенных процентных точек многомерного аналога t-распределения Стьюдента». Биометрика . 42 (1–2): 258–267. дои : 10.1093/biomet/42.1-2.258 . ISSN 0006-3444 .

[wolchover-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Волчовер, Натали (28 марта 2017 г.). «Долгожданное доказательство, найденное и почти утерянное» . Журнал КВАНТА . Проверено 4 апреля 2017 г.

[annals1998-3] Шехтман, Г.; Шлумпрехт, Т.; Зинн, Дж. (январь 1998 г.). «О гауссовой мере пересечения» . Анналы вероятности . 26 (1): 346–357. дои : 10.1214/aop/1022855422 . ISSN 0091-1798 . S2CID 119824731 .

[4] Дас Гупта, С.; Итон, ML; Олькин И.; Перлман, М.; Сэвидж, LJ; Собель, М. (1972). Неравенства о вероятностном содержании выпуклых областей для эллиптически контурных распределений . Труды шестого симпозиума Беркли по математической статистике и вероятности. Том. II: Теория вероятностей. Беркли, Калифорния: Univ. Калифорния Пресс. стр. 241–265.

[5] Питт, Лорен Д. (1977). «Гауссово корреляционное неравенство для симметричных выпуклых множеств» . Анналы вероятности . 5 (3): 470–474. дои : 10.1214/aop/1176995808 .

[6] Харж, Жиль (1999). «Частный случай корреляционного неравенства для гауссовой меры» (PDF) . Анналы вероятности . 27 (4): 1939–1951. дои : 10.1214/aop/1022874822 . S2CID 118789169 .

[7] Ройен, Томас (ноябрь 2014 г.). «Простое доказательство гипотезы о гауссовой корреляции, распространенное на многомерные гамма-распределения» . Дальневосточный журнал теоретической статистики . 48 (2): 139–145. arXiv : 1408.1028 .

[8] «Издательство Пушпа» . www.pphmj.com . Проверено 4 июля 2017 г.

[9] Латала, Р.; Матлак, Д. (2017). «Доказательство Ройена гауссовского корреляционного неравенства». Геометрические аспекты функционального анализа . Конспект лекций по математике. Том. 2169. стр. 265–275. arXiv : 1512.08776 . дои : 10.1007/978-3-319-45282-1_17 . ISBN 978-3-319-45281-4 . S2CID 36992343 .

[10] Фаранд, Хлоя (3 апреля 2017 г.). «Пенсионер решает одну из сложнейших математических задач в мире, и никто этого не замечает» . Независимый . Проверено 4 апреля 2017 г.

[11] Дамбек, Хольгер (4 апреля 2017 г.). «Успех в 67 лет: чудо-дедушка математики» . ШПИГЕЛЬ ОНЛАЙН . Проверено 4 апреля 2017 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]