Движение (геометрия)

В геометрии движение — это изометрия метрического пространства . Например, плоскость, снабженная евклидового расстояния метрикой , представляет собой метрическое пространство , в котором отображение, связывающее конгруэнтные фигуры, является движением. ^[1] В более общем смысле термин «движение» является синонимом сюръективной изометрии в метрической геометрии. ^[2] включая эллиптическую геометрию и гиперболическую геометрию . В последнем случае гиперболические движения обеспечивают подход к предмету начинающим.

Движения можно разделить на прямые и косвенные.Прямые, собственные или жесткие движения — это такие движения, как и вращение , которые сохраняют ориентацию киральной перемещение формы .Косвенные или неправильные движения — это такие движения, как , скользящие отражения и неправильные вращения , которые инвертируют ориентацию киральной отражения формы .Некоторые геометры определяют движение таким образом, что только прямое движение является движением. ^{[ нужна ссылка ]}.

В дифференциальной геометрии

В дифференциальной геометрии диффеоморфизм называется движением , если он вызывает изометрию между касательным пространством в точке многообразия и касательным пространством в образе этой точки. ^[3]^[4]

Группа ходатайств

Учитывая геометрию, набор движений образует группу при композиции отображений. Эта группа движений отличается своими свойствами. Например, группа отмечена как нормальная подгруппа переводов евклидова . На плоскости прямое евклидово движение представляет собой либо поступательное движение, либо вращение , тогда как в пространстве каждое прямое евклидово движение может быть выражено как винтовое перемещение согласно теореме Шаля . Когда основное пространство является римановым многообразием , группа движений является группой Ли . Более того, многообразие имеет постоянную кривизну тогда и только тогда, когда для каждой пары точек и каждой изометрии существует движение, переводящее одну точку в другую, для которого это движение вызывает изометрию. ^[5]

Идея группы движений в специальной теории относительности была выдвинута как лоренцевы движения. Например, фундаментальные идеи были изложены для плоскости, характеризующейся квадратичной формой $\ x^{2}-y^{2}\$ в Американском математическом ежемесячном журнале . ^[6]Движения пространства Минковского описал Сергей Новиков в 2006 году: ^[7]

Физический принцип постоянства скорости света выражается требованием, чтобы переход от одной инерциальной системы к другой определялся движением пространства Минковского, т. е. преобразованием

\phi :R^{1,3}\mapsto R^{1,3}

сохраняя пространственно-временные интервалы. Это означает, что

\langle \phi (x)-\phi (y),\ \phi (x)-\phi (y)\rangle \ =\ \langle x-y,\ x-y\rangle

для каждой пары точек x и y в R ^1,3.

История

Раннюю оценку роли движения в геометрии дал Альхазен (965–1039). Его работа «Космос и его природа». ^[8] использует сравнение размеров мобильного тела для количественной оценки вакуума воображаемого пространства. Его раскритиковал Омар Хайям, указав, что Аристотель осуждал использование движения в геометрии. ^[9]

В 19 веке Феликс Кляйн стал сторонником теории групп как средства классификации геометрии в соответствии с ее «группами движений». Он предложил использовать группы симметрии в своей программе в Эрлангене , и это предложение получило широкое распространение. Он заметил, что каждое евклидово сравнение есть аффинное отображение , и каждое из них есть проективное преобразование ; поэтому группа проективностей содержит группу аффинных отображений, которая, в свою очередь, содержит группу евклидовых сравнений. Термин «движение» , короче, чем «трансформация» , делает больший акцент на прилагательных: проективный, аффинный, евклидов. Таким образом, контекст был расширен настолько, что «В топологии разрешенные движения представляют собой непрерывные обратимые деформации, которые можно было бы назвать упругими движениями». ^[10]

Наука кинематика посвящена воплощению физического движения в виде математического преобразования. Часто преобразование можно записать с использованием векторной алгебры и линейного отображения. Простой пример — поворот , записанный как умножение комплексного числа : $z\mapsto \omega z\$ где $\ \omega =\cos \theta +i\sin \theta ,\quad i^{2}=-1$ . Вращение в пространстве достигается с помощью кватернионов , а преобразования Лоренца пространства -времени — с помощью бикватернионов . В начале 20 века гиперкомплексные системы счисления были изучены . Позже их группы автоморфизмов привели к исключительным группам, таким как G2 .

В 1890-е годы логики сводили примитивные представления о синтетической геометрии к абсолютному минимуму. Джузеппе Пеано и Марио Пьери использовали выражение «движение» для сравнения пар точек. Алессандро Падоа 1900 года прославлял сведение примитивных представлений к простому указанию и движению в своем докладе на Международном философском конгрессе . Именно на этом конгрессе Бертран Рассел через Пеано познакомился с континентальной логикой. В своей книге «Принципы математики» (1903) Рассел рассматривал движение как евклидову изометрию, сохраняющую ориентацию . ^[11]

В 1914 году Д.М.И. Соммервилль использовал идею геометрического движения, чтобы обосновать идею расстояния в гиперболической геометрии, когда написал « Элементы неевклидовой геометрии» . ^[12] Он объясняет:

Под движением или смещением в общем смысле понимают не изменение положения отдельной точки или какой-либо ограниченной фигуры, а перемещение всего пространства или, если мы имеем дело только с двумя измерениями, всей плоскости. Движение — это преобразование, которое превращает каждую точку P в другую точку P ′ таким образом, что расстояния и углы не изменяются.

Аксиомы движения

Ласло Редей приводит : в качестве аксиомы движения ^[13]

Любое движение представляет собой взаимно однозначное отображение пространства R на себя такое, что каждые три точки на прямой преобразуются в (три) точки на прямой.
Тождественное отображение пространства R есть движение.
Произведение двух движений есть движение.
Обратное отображение движения — это движение.
Если у нас есть две плоскости A, A', две прямые g, g' и две точки P, P' такие, что P находится на g, g находится на A, P' находится на g' и g' находится на A', то существуют отображение движения A в A', g в g' и P в P'
Существуют плоскость A, прямая g и точка P такие, что P находится на g, а g находится на A, то существуют четыре движения, отображающие A, g и P на себя соответственно, и не более двух из этих движений могут быть выполнены. иметь каждую точку g как неподвижную точку, при этом существует одна из них (т. е. тождество), для которой каждая точка A неподвижна.
На прямой g существуют три точки A, B, P такие, что P находится между A и B, и для каждой точки C (неравной P) между A и B существует точка D между C и P, для которой нет движения с фиксированным P. можно найти точку, которая отобразит C в точку, лежащую между D и P.

Аксиомы 2–4 подразумевают, что движения образуют группу .

Аксиома 5 означает, что группа движений обеспечивает групповые действия на R, которые являются транзитивными, так что существует движение, которое отображает каждую линию в каждую линию.

Примечания и ссылки

^ Гюнтер Эвальд (1971) Геометрия: Введение , с. 179, Бельмонт: Уодсворт ISBN 0-534-00034-7
^ М. А. Хамси и В. А. Кирк (2001) Введение в метрические пространства и теоремы о неподвижной точке , с. 15, Джон Уайли и сыновья ISBN 0-471-41825-0
^ А. З. Петров (1969) Пространства Эйнштейна , с. 60, Пергамон Пресс
^ Б. А. Дубровин, А. Т. Фоменко, С. П. Новиков (1992) Современная геометрия - методы и приложения , второе издание, стр. 24, Springer, ISBN 978-0-387-97663-1
^ D.V. Alekseevskij, E.B. Vinberg, A.S. Solodonikov (1993) Geometry II , p. 9, Springer, ISBN 0-387-52000-7
^ Грасиела С. Бирман и Кацуми Номидзу (1984) «Тригонометрия в лоренцевой геометрии», American Mathematical Monthly 91 (9): 543–9, группа движений: стр. 545
^ Сергей Новиков и И.А. Таимов (2006) Современные геометрические структуры и поля , переводчик Дмитрия Чибисова, стр. 45, Американское математическое общество ISBN 0-8218-3929-2
^ Ибн Аль-Хайтам: Материалы празднования 1000-летия , редактор Хакима Мохаммеда Саида, страницы 224–7, Национальный фонд Хамдарда, Карачи: The Times Press
^ Бойер, Карл Б.; Мерцбах, Ута К. (25 января 2011 г.). История математики . Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-470-63056-3 .
^ Ари Бен-Менахем (2009) Историческая энциклопедия естественных и математических наук , т. I, с. 1789 г.
^ Б. Рассел (1903) Принципы математики, стр. 418. См. также стр. 406, 436.
^ DMT Sommerville (1914) Элементы неевклидовой геометрии , страница 179, ссылка из Мичиганского университета коллекции исторической математики
^ Редей, Л. (1968). Основание евклидовой и неевклидовой геометрии по Ф. Клейну . Нью-Йорк: Пергамон. стр. 3–4.

Тристан Нидхэм (1997) Визуальный комплексный анализ , евклидово движение, стр. 34, прямое движение, стр. 36, противоположное движение, стр. 36, сферическое движение, стр. 279, гиперболическое движение, стр. 306, Clarendon Press , ISBN 0-19-853447-7 .
Майлз Рид и Балаж Сендрой (2005) Геометрия и топология , издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-61325-6 , МР 2194744 .

Внешние ссылки

[1] Гюнтер Эвальд (1971) Геометрия: Введение , с. 179, Бельмонт: Уодсворт ISBN 0-534-00034-7

[2] М. А. Хамси и В. А. Кирк (2001) Введение в метрические пространства и теоремы о неподвижной точке , с. 15, Джон Уайли и сыновья ISBN 0-471-41825-0

[3] А. З. Петров (1969) Пространства Эйнштейна , с. 60, Пергамон Пресс

[4] Б. А. Дубровин, А. Т. Фоменко, С. П. Новиков (1992) Современная геометрия - методы и приложения , второе издание, стр. 24, Springer, ISBN 978-0-387-97663-1

[5] D.V. Alekseevskij, E.B. Vinberg, A.S. Solodonikov (1993) Geometry II , p. 9, Springer, ISBN 0-387-52000-7

[6] Грасиела С. Бирман и Кацуми Номидзу (1984) «Тригонометрия в лоренцевой геометрии», American Mathematical Monthly 91 (9): 543–9, группа движений: стр. 545

[7] Сергей Новиков и И.А. Таимов (2006) Современные геометрические структуры и поля , переводчик Дмитрия Чибисова, стр. 45, Американское математическое общество ISBN 0-8218-3929-2

[8] Ибн Аль-Хайтам: Материалы празднования 1000-летия , редактор Хакима Мохаммеда Саида, страницы 224–7, Национальный фонд Хамдарда, Карачи: The Times Press

[9] Бойер, Карл Б.; Мерцбах, Ута К. (25 января 2011 г.). История математики . Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-470-63056-3 .

[10] Ари Бен-Менахем (2009) Историческая энциклопедия естественных и математических наук , т. I, с. 1789 г.

[11] Б. Рассел (1903) Принципы математики, стр. 418. См. также стр. 406, 436.

[12] DMT Sommerville (1914) Элементы неевклидовой геометрии , страница 179, ссылка из Мичиганского университета коллекции исторической математики

[13] Редей, Л. (1968). Основание евклидовой и неевклидовой геометрии по Ф. Клейну . Нью-Йорк: Пергамон. стр. 3–4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]