Формула Лагерра

Формула Лагерра (названная в честь Эдмона Лагерра ) определяет острый угол $\phi$ между двумя правильными вещественными прямыми, следующее:

$\phi =|{\frac {1}{2i}}\operatorname {Log} \operatorname {Cr} (I_{1},I_{2},P_{1},P_{2})|$

где:

• $\operatorname {Log}$ - главное значение комплексного логарифма
• $\operatorname {Cr}$ это перекрестное отношение четырех коллинеарных точек
• $P_{1}$ и $P_{2}$ это точки на бесконечности линий
• $I_{1}$ и $I_{2}$ являются пересечениями абсолютной коники , имеющими уравнения $x_{0}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0$, с линией, соединяющейся $P_{1}$ и $P_{2}$.

Выражение между вертикальными чертами представляет собой действительное число.

Формула Лагерра может быть полезна в компьютерном зрении , поскольку абсолютная коника имеет изображение на плоскости сетчатки, инвариантное относительно смещений камеры, а перекрестное отношение четырех коллинеарных точек одинаково для их изображений на плоскости сетчатки.

Вывод

Можно предположить, что линии проходят через начало координат. Любая изометрия оставляет абсолютный конический инвариант, это позволяет принять в качестве первой линии ось x , а второй линию, лежащую в плоскости z =0. вышеупомянутых Однородные координаты четырех точек:

$(0,1,i,0),\ (0,1,-i,0),\ (0,1,0,0),\ (0,\cos \phi ,\pm \sin \phi ,0),$

соответственно. Их неоднородные координаты на бесконечной линии плоскости z =0 равны $i$, $-i$, 0, $\pm \sin \phi /\cos \phi$. (Обмен $I_{1}$ и $I_{2}$ изменяет перекрестное отношение на обратное, поэтому формула для $\phi$ дает тот же результат.) Теперь из формулы перекрестного отношения имеем $\operatorname {Cr} (I_{1},I_{2},P_{1},P_{2})=-{\frac {-i\cos \phi \pm \sin \phi }{i\cos \phi \pm \sin \phi }}=e^{\pm 2i\phi }.$

Ссылки

• О. Фогерас. Трехмерное компьютерное зрение. MIT Press, Кембридж, Лондон, 1999.