Неассоциативная алгебра

Эта статья посвящена особой структуре, известной как неассоциативная алгебра. О неассоциативности в целом см. Неассоциативность .

Неассоциативная алгебра (или дистрибутивная алгебра ) — алгебра над полем , в которой операция двоичного умножения не считается ассоциативной . То есть алгебраическая структура A является неассоциативной алгеброй над полем K, если она является векторным пространством над K и оснащена K - билинейной двоичной операцией умножения A × A → A , которая может быть или не быть ассоциативной. Примеры включают алгебры Ли , йордановые алгебры , октонионы и трехмерное евклидово пространство, оснащенное операцией векторного произведения . Поскольку не предполагается, что умножение ассоциативно, необходимо использовать круглые скобки для указания порядка умножения. Например, выражения ( ab )( cd ), ( a ( bc )) d и a ( b ( cd )) могут давать разные ответы.

Хотя использование термина «неассоциативность» означает, что ассоциативность не предполагается, это не означает, что ассоциативность запрещена. Другими словами, «неассоциативный» означает «не обязательно ассоциативный», точно так же, как «некоммутативный» означает «не обязательно коммутативный» для некоммутативных колец .

Алгебра является унитарной или унитарной , если она имеет единичный элемент e с ex = x = xe для всех x в алгебре. Например, октонионы унитальны, а алгебры Ли — никогда.

Структуру неассоциативной алгебры A связав ее с другими ассоциативными алгебрами, которые являются подалгебрами полной алгебры K - эндоморфизмов A можно изучить , как K -векторного пространства. Двумя такими являются алгебра вывода и (ассоциативная) обертывающая алгебра , причем последняя в некотором смысле является «наименьшей ассоциативной алгеброй, содержащей A ».

В более общем смысле некоторые авторы рассматривают концепцию неассоциативной алгебры над коммутативным кольцом R : R -модуль, оснащенный R -билинейной операцией двоичного умножения. Если структура подчиняется всем аксиомам кольца, кроме ассоциативности (например, любая R -алгебра), то она, естественно, является $\mathbb {Z}$-алгебра, поэтому некоторые авторы относят к неассоциативным $\mathbb {Z}$-алгебры как неассоциативные кольца .

Алгебры, удовлетворяющие тождествам

Кольцеобразные структуры с двумя бинарными операциями и отсутствием других ограничений представляют собой широкий класс, слишком общий для изучения.По этой причине самые известные виды неассоциативных алгебр удовлетворяют тождествам или свойствам, которые несколько упрощают умножение.К ним относятся следующие.

Обычные свойства

Пусть x , y и z алгебры A над полем K. обозначают произвольные элементы Пусть степени положительного (ненулевого) целого числа рекурсивно определяются как x ¹ ≝ x и либо x ^{п +1} ≝ х ^н х (правые степени) или x ^{п +1} ≝ хх ^н (левые полномочия) в зависимости от авторов.

• Униталь : существует элемент e такой, что ex = x = xe ; в этом случае мы можем определить x ⁰ ≝ и .
• Ассоциативный : ( xy ) z знак равно x ( yz ) .
• Коммутативный : xy = yx .
• Антикоммутативный : ху = - ух .
• Личность Якоби : ( xy ) z + ( yz ) x + ( zx ) y = 0 или x ( yz ) + y ( zx ) + z ( xy ) = 0 в зависимости от авторов.
• Личность Джордана : ( х ² у ) х = х ² ( yx ) или ( xy ) x ² = х ( ух ² ) в зависимости от авторов.
• Альтернатива : ( xx ) y = x ( xy ) (левый вариант) и ( yx ) x = y ( xx ) (правый вариант).
• Гибкий : ( ху ) Икс знак равно Икс ( yx ) .
• n -я степень ассоциативна с n ≥ 2 : x ^n−k х ^к = х ^н для всех целых k так, что 0 < k < n .
  • Ассоциатив третьей степени: x ² х = хх ² .
  • Ассоциатив четвертой степени: x ³ х = х ² х ² = хх ³ (сравните с коммутативом четвертой степени ниже).
• Силовая ассоциативность : подалгебра, порожденная любым элементом, ассоциативна, т.е. ассоциативна в n-й степени для всех n ≥ 2 .
• n -я степень коммутативна с n ≥ 2 : x ^n−k х ^к = х ^к х ^n−k для всех целых k так, что 0 < k < n .
  • Коммутатив в третьей степени: x ² х = хх ² .
  • Коммутатив четвертой степени: x ³ х = хх ³ (сравните с ассоциативом четвертой степени выше).
• Степенная коммутативность: подалгебра, порожденная любым элементом, коммутативна, т. е. коммутативна n-й степени для всех n ≥ 2 .
• Нильпотент индекса n ≥ 2 : произведение любых n элементов в любой ассоциации обращается в нуль, но не для некоторых n −1 элементов: x ₁ x ₂ … x _n = 0 , и существуют n −1 элементов так, что y ₁ y ₂ … y _{n −1} ≠ 0 для конкретной ассоциации.
• Ноль индекса n ≥ 2 : степенная ассоциативность и x ^н = 0 и существует элемент y такой, что y ^{п -1} ≠ 0 .

Отношения между свойствами

Для К любой характеристики :

• Ассоциативность подразумевает альтернативность .
• Любые два из трех свойств левая альтернатива , правая альтернатива и гибкий подразумевают третье.
  • Таким образом, альтернатива подразумевает гибкость .
• Альтернатива подразумевает идентичность Джордана .
• Коммутативный подразумевает гибкий .
• Антикоммутативный подразумевает гибкий .
• Альтернатива подразумевает власть ассоциативную .
• Гибкость подразумевает ассоциатив третьей степени .
• Ассоциатив второй степени и коммутатив второй степени всегда верны.
• Ассоциатив третьей степени и коммутатив третьей степени эквивалентны.
• Ассоциатив n-й степени подразумевает n-й коммутатив степени .
• Ноль индекса 2 означает антикоммутативность .
• Ноль индекса 2 подразумевает тождество Жордана .
• Из нильпотента индекса 3 следует тождество Якоби .
• Нильпотентность индекса n подразумевает ноль индекса N при 2 ≤ N ≤ n .
• Единица и ноль индекса n несовместимы.

Если K ≠ GF(2) или dim( A ) ≤ 3 :

• Жордановская идентичность и коммутативность вместе подразумевают ассоциативную степень .

Если char( K ) ≠ 2 :

• Правильная альтернатива предполагает силовую ассоциативность .
  • Точно так же левая альтернатива подразумевает ассоциативную власть .
• Unital и Идентичность Jordan вместе подразумевают гибкость .
• Джорданская идентичность и гибкость вместе подразумевают ассоциативную власть .
• Коммутативность и антикоммутативность вместе подразумевают нильпотентность индекса 2 .
• Антикоммутативность подразумевает ноль индекса 2 .
• Унитальное и антикоммутативное несовместимы.

Если char( K ) ≠ 3 :

• Юнитал и идентичность Якоби несовместимы.

Если char( K ) ∉ {2,3,5 }:

• Коммутативный и х ⁴ = х ² х ² (одна из двух идентичностей, определяющих ассоциативную степень четвертой степени ) вместе подразумевают ассоциативную степень .

Если char( K ) = 0 :

• Ассоциатив третьей степени и x ⁴ = х ² х ² (одна из двух идентичностей, определяющих ассоциативную степень четвертой степени ) вместе подразумевают ассоциативную степень .

Если char( K ) = 2 :

• Коммутативный и антикоммутативный эквивалентны.

Ассоциатор

Основная статья: Ассоциатор

Ассоциатором . на A является K - полилинейное отображение $[\cdot ,\cdot ,\cdot ]:A\times A\times A\to A$ данный

[ Икс , y , z ] знак равно ( ху ) z - Икс ( yz ) .

Он измеряет степень неассоциативности $A$, и может использоваться для удобного выражения некоторых возможных тождеств, которым удовлетворяет A .

Пусть x , y и z обозначают произвольные элементы алгебры.

• Ассоциативный: [ x , y , z ] знак равно 0 .
• Альтернатива: [ x , x , y ] = 0 (левый вариант) и [ y , x , x ] = 0 (правый вариант).
  • Это означает, что перестановка любых двух членов меняет знак: [ x , y , z ] = −[ x , z , y ] = −[ z , y , x ] = −[ y , x , z ] ; обратное справедливо только в том случае, если char( K ) ≠ 2 .
• Гибкий: [ x , y , x ] = 0 .
  • Это означает, что перестановка экстремальных членов меняет знак: [ x , y , z ] = −[ z , y , x ] ; обратное справедливо только в том случае, если char( K ) ≠ 2 .
• Джорданская личность: [ х ² , y , x ] = 0 или [ x , y , x ² ] = 0 в зависимости от авторов.
• Ассоциатив третьей степени: [ x , x , x ] = 0 .

Ядро – это совокупность элементов, которые связаны со всеми остальными: то есть n в A такое, что

[ п , А , А ] знак равно [ А , п , А ] знак равно [ А , А , п ] знак равно {0} .

Ядро является ассоциативным подкольцом A .

Центр

Центр A A — это набор элементов, которые коммутируют и связываются со всем в , то есть пересечение

$C(A)=\{n\in A\ |\ nr=rn\,\forall r\in A\,\}$

с ядром. Оказывается, для элементов из С(А) достаточно, чтобы два множества $([n,A,A],[A,n,A],[A,A,n])$ являются $\{0\}$ чтобы третий также был нулевым множеством.

Примеры

• Евклидово пространство R ³ с умножением, заданным векторным произведением, является примером антикоммутативной, а не ассоциативной алгебры. Перекрестное произведение также удовлетворяет тождеству Якоби.
• Алгебры Ли — это алгебры, удовлетворяющие антикоммутативности и тождеству Якоби.
• Алгебры векторных полей на дифференцируемом многообразии (если K есть R или комплексные числа C ) или алгебраическом многообразии (для общего K );
• Йордановы алгебры — это алгебры, удовлетворяющие коммутативному закону и жордановому тождеству.
• Любая ассоциативная алгебра порождает алгебру Ли, используя коммутатор в качестве скобки Ли. Фактически каждая алгебра Ли может быть построена таким образом или является подалгеброй построенной таким образом алгебры Ли.
• Каждая ассоциативная алгебра над полем характеристики, отличной от 2, порождает йорданову алгебру путем определения нового умножения x*y = ( xy + yx )/2. В отличие от случая алгебры Ли, не всякую йорданову алгебру можно построить таким образом. Те, которые могут, называются особенными .
• Альтернативные алгебры — это алгебры, обладающие свойством альтернативности. Наиболее важными примерами альтернативных алгебр являются октонионы (алгебра над действительными числами) и обобщения октонионов над другими полями. Все ассоциативные алгебры альтернативны. С точностью до изоморфизма, единственной конечномерной вещественной альтернативой, алгебры с делением (см. ниже) представляют собой вещественные числа, комплексы, кватернионы и октонионы.
• Степенно-ассоциативные алгебры — это алгебры, удовлетворяющие степенно-ассоциативному тождеству. Примеры включают все ассоциативные алгебры, все альтернативные алгебры, йордановые алгебры над полем, отличным от GF(2) (см. предыдущий раздел), и седенионы .
• Гиперболическая алгебра кватернионов над R , которая была экспериментальной алгеброй до принятия пространства Минковского для специальной теории относительности .

Еще классы алгебр:

• Градуированные алгебры . К ним относятся большинство алгебр, представляющих интерес для полилинейной алгебры , таких как тензорная алгебра , симметричная алгебра и внешняя алгебра над заданным векторным пространством . Градуированные алгебры можно обобщить до фильтрованных алгебр .
• Алгебры с делением , в которых существуют мультипликативные обратные. Классифицированы конечномерные альтернативные алгебры с делением над полем действительных чисел. Это действительные числа (размерность 1), комплексные числа (размерность 2), кватернионы (размерность 4) и октонионы (размерность 8). Кватернионы и октонионы не коммутативны. Из этих алгебр все ассоциативны, за исключением октонионов.
• Квадратичные алгебры , которые требуют, чтобы xx = re + sx для некоторых элементов r и s в основном поле, а e - единица алгебры. Примеры включают все конечномерные альтернативные алгебры и алгебру вещественных матриц 2х2. С точностью до изоморфизма единственными альтернативными квадратичными действительными алгебрами без делителей нуля являются вещественные числа, комплексы, кватернионы и октонионы.
• Алгебры Кэли –Диксона (где K — R ), которые начинаются с:
  • C (коммутативная и ассоциативная алгебра);
  • кватернионы ; H (ассоциативная алгебра)
  • октонионы ) ( альтернативная алгебра ;
  • седенионы ) и бесконечная последовательность алгебр Кэли-Диксона ( степенно-ассоциативные алгебры .
• Все гиперкомплексные алгебры являются конечномерными R -алгебрами с единицей, поэтому они включают алгебры Кэли-Диксона и многие другие.
• Алгебры Пуассона рассматриваются при геометрическом квантовании . Они выполняют два умножения, разными способами превращая их в коммутативные алгебры и алгебры Ли.
• Генетические алгебры — это неассоциативные алгебры, используемые в математической генетике.
• Тройные системы

Смотрите также: список алгебр

Характеристики

Есть несколько свойств, которые могут быть знакомы из теории колец или ассоциативных алгебр, но которые не всегда верны для неассоциативных алгебр. В отличие от ассоциативного случая, элементы с (двусторонним) мультипликативным обратным также могут быть делителем нуля . Например, все ненулевые элементы седенионов имеют двустороннюю инверсию, но некоторые из них также являются делителями нуля.

Свободная неассоциативная алгебра

Свободная неассоциативная алгебра на множестве X над полем K определяется как алгебра с базисом, состоящим из всех неассоциативных мономов, конечных формальных произведений элементов X, сохраняющих круглые скобки. Произведение мономов u , v равно ( u )( v ). Алгебра унитальна, если пустое произведение считать мономом.

Курош доказал , что каждая подалгебра свободной неассоциативной алгебры свободна.

Ассоциированные алгебры

Алгебра A над полем K является, в частности, - векторным пространством, поэтому можно рассмотреть ассоциативную алгебру End _K ( A ) эндоморфизма K -линейного векторного пространства A. K Мы можем сопоставить структуре алгебры на A две подалгебры End _K ( A ), алгебру дифференцирования и (ассоциативную) обертывающую алгебру .

Алгебра вывода

Основная статья: Алгебра вывода

Вывод — на A это отображение D со свойством

$D(x\cdot y)=D(x)\cdot y+x\cdot D(y)\ .$

Дифференцирования на A образуют подпространство Der _K ( A ) в End _K ( A ). Коммутатор двух дифференцирований снова является дифференцированием, так что скобка Ли дает Der _K ( A ) структуру алгебры Ли .

Обертывающая алгебра

прикреплены линейные отображения L и R К каждому элементу a алгебры A :

$L(a):x\mapsto ax;\ \ R(a):x\mapsto xa\ .$

Ассоциативная обертывающая алгебра или алгебра умножения A — это ассоциативная алгебра , порожденная левым и правым линейными отображениями. Центроид ( A K является централизатором обертывающей алгебры в алгебре эндоморфизмов ₎ A End . Алгебра является центральной , если ее центроид состоит из K -скалярных кратных единицы.

Некоторые из возможных тождеств, которым удовлетворяют неассоциативные алгебры, можно удобно выразить через линейные отображения:

• Коммутативный: каждый L ( a ) равен соответствующему R ( a );
• Ассоциативность: любой L коммутирует с любым R ;
• Гибкость: каждый L ( a ) коммутирует с соответствующим R ( a );
• Джордан: каждый L ( a ) коммутирует с R ( a ² );
• Альтернатива: каждый L ( a ) ² = L ( а ² ) и аналогично справа.

Квадратичное представление Q определяется формулой

$Q(a):x\mapsto 2a\cdot (a\cdot x)-(a\cdot a)\cdot x\$,

или эквивалентно,

$Q(a)=2L^{2}(a)-L(a^{2})\ .$

В статье об универсальных обертывающих алгебрах описаны канонические конструкции обертывающих алгебр, а также теоремы типа PBW для них. Для алгебр Ли такие обертывающие алгебры обладают универсальным свойством, которое, вообще говоря, не имеет места для неассоциативных алгебр. Самым известным примером является, пожалуй, алгебра Альберта , исключительная йордановая алгебра , которая не обертывается канонической конструкцией обертывающей алгебры для йордановых алгебр.

См. также

• Список алгебр
• Коммутативные неассоциативные магмы , порождающие неассоциативные алгебры

Ссылки

• Альберт, А. Адриан (2003) [1939]. Структура алгебр . Коллоквиум Американского математического общества. Том. 24 (Исправленная перепечатка исправленного издания 1961 года). Нью-Йорк: Американское математическое общество . ISBN  0-8218-1024-3 . Збл   0023.19901 .
• Альберт, А. Адриан (1948a). «Степенно-ассоциативные кольца» . Труды Американского математического общества . 64 : 552–593. дои : 10.2307/1990399 . ISSN   0002-9947 . JSTOR   1990399 . МР   0027750 . Збл   0033.15402 .
• Альберт, А. Адриан (1948b). «О правоальтернативных алгебрах». Анналы математики . 50 : 318–328. дои : 10.2307/1969457 . JSTOR   1969457 .
• Бремнер, Мюррей; Мураками, Люсия; Шестаков, Иван (2013) [2006]. «Глава 86: Неассоциативные алгебры» (PDF) . В Хогбене, Лесли (ред.). Справочник по линейной алгебре (2-е изд.). ЦРК Пресс . ISBN  978-1-498-78560-0 .
• Херштейн, И.Н. , изд. (2011) [1965]. Некоторые аспекты теории колец: лекции, прочитанные в летней школе Centro Internazionale Matematico Estivo (CIME), проходившей в Варенне (Комо), Италия, 23-31 августа 1965 г. Летние школы CIME. Том. 37 (переиздание). Спрингер-Верлаг . ISBN  3-6421-1036-3 .
• Джейкобсон, Натан (1968). Строение и представления йордановых алгебр . Публикации коллоквиума Американского математического общества, Vol. XXXIX. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  978-0-821-84640-7 . МР   0251099 .
• Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев, Александр ; Рост, Маркус ; Тиньоль, Жан-Пьер (1998). Книга инволюций . Публикации коллоквиума. Том. 44. С предисловием Дж. Титса. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  0-8218-0904-0 . Збл   0955.16001 .
• Кехер, Макс (1999). Криг, Алоис; Уолчер, Себастьян (ред.). Заметки Миннесоты о йордановых алгебрах и их приложениях . Конспект лекций по математике. Том. 1710. Берлин: Springer-Verlag . ISBN  3-540-66360-6 . Збл   1072.17513 .
• Кокорис, Луи А. (1955). «Степенно-ассоциативные кольца характеристики два» . Труды Американского математического общества . 6 (5). Американское математическое общество : 705–710. дои : 10.2307/2032920 .
• Курош, А.Г. (1947). «Неассоциативные алгебры и свободные произведения алгебр». Мат. Сборник . 20 (62). МР   0020986 . Збл   0041.16803 .
• МакКриммон, Кевин (2004). Немного о йордановых алгебрах . Университеттекст. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/b97489 . ISBN  978-0-387-95447-9 . МР   2014924 . Збл   1044.17001 . Ошибка .
• Михеев, И.М. (1976). «Правая нильпотентность в правых альтернативных кольцах». Сибирский математический журнал . 17 (1): 178–180. дои : 10.1007/BF00969304 .
• Окубо, Сусуму (2005) [1995]. Введение в октонион и другие неассоциативные алгебры в физике . Серия лекций Мемориала Монтролла по математической физике. Том. 2. Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/CBO9780511524479 . ISBN  0-521-01792-0 . Збл   0841.17001 .
• Розенфельд, Борис (1997). Геометрия групп Ли . Математика и ее приложения. Том. 393. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. ISBN  0-7923-4390-5 . Збл   0867.53002 .
• Роуэн, Луи Галле (2008). Высшая алгебра: некоммутативный взгляд . Аспирантура по математике. Американское математическое общество . ISBN  0-8218-8408-5 .
• Шафер, Ричард Д. (1995) [1966]. Введение в неассоциативные алгебры . Дувр. ISBN  0-486-68813-5 . Збл   0145.25601 .
• Жевлаков Константин А.; Слинько Аркадий М.; Шестаков Иван П.; Ширшов, Анатолий Иванович (1982) [1978]. Кольца, которые почти ассоциативны . Перевод Смита, Гарри Ф. ISBN  0-12-779850-1 .