Нильпотентная алгебра

В математике , особенно в теории колец , нильпотентная алгебра над коммутативным кольцом — это алгебра над коммутативным кольцом , в которой для некоторого натурального числа n каждое произведение, содержащее не менее n элементов алгебры, равно нулю. Понятие нильпотентной алгебры Ли имеет другое определение, которое зависит от скобки Ли . (Для многих алгебр над коммутативными кольцами не существует скобки Ли; алгебра Ли включает в себя свою скобку Ли, тогда как не существует скобки Ли, определенной в общем случае алгебры над коммутативным кольцом.) Еще одним возможным источником путаницы в терминологии является квантовая нильпотентная алгебра , ^[1] понятие, связанное с квантовыми группами и алгебрами Хопфа .

Формальное определение

Ассоциативная алгебра $A$ над коммутативным кольцом $R$ определяется как нильпотентная алгебра тогда и только тогда, когда существует некоторое положительное целое число $n$ такой, что $0=y_{1}\ y_{2}\ \cdots \ y_{n}$ для всех $y_{1},\ y_{2},\ \ldots ,\ y_{n}$ в алгебре $A$ . Самый маленький такой $n$ называется индексом алгебры $A$ . ^[2] В случае неассоциативной алгебры определение состоит в том, что каждая другая мультипликативная ассоциация алгебры $n$ элементы равны нулю.

Ниль алгебра

Степенная ассоциативная алгебра, в которой каждый элемент алгебры нильпотентен, называется ниль-алгеброй . ^[3]

Нильпотентные алгебры тривиально равны нулю, тогда как ниль алгебры не могут быть нильпотентными, поскольку нильпотентность каждого элемента не приводит к исчезновению произведений различных элементов.

См. также

Алгебраическая структура (гораздо более общий термин)
ниль-алгебра Кокстера
Алгебра Ли
Пример неассоциативной алгебры

Ссылки

^ Гудерл, КР; Якимов, МТ (1 ноября 2013 г.). «Унипотентные автоморфизмы и автоморфизмы Накаямы квантовых нильпотентных алгебр». arXiv : 1311.0278 [ math.QA ].
^ Альберт, А. Адриан (2003) [1939]. «Глава 2: Идеалы и нильпотентные алгебры» . Структура алгебр . Публикации коллоквиума, колонка 24. Амер. Математика. Соц. п. 22. ISBN 0-8218-1024-3 . ISSN 0065-9258 ; перепечатка с исправлениями исправленного издания 1961 года {{cite book}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
^ Ниль алгебра - Математическая энциклопедия

Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4 , МР 1878556

Внешние ссылки

Нильпотентная алгебра - Математическая энциклопедия

[1] Гудерл, КР; Якимов, МТ (1 ноября 2013 г.). «Унипотентные автоморфизмы и автоморфизмы Накаямы квантовых нильпотентных алгебр». arXiv : 1311.0278 [ math.QA ].

[2] Альберт, А. Адриан (2003) [1939]. «Глава 2: Идеалы и нильпотентные алгебры» . Структура алгебр . Публикации коллоквиума, колонка 24. Амер. Математика. Соц. п. 22. ISBN 0-8218-1024-3 . ISSN 0065-9258 ; перепечатка с исправлениями исправленного издания 1961 года {{cite book}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )

[3] Ниль алгебра - Математическая энциклопедия

[1]

[2]

[3]