Силовая ассоциативность

В математике , особенно в абстрактной алгебре , степенная ассоциативность — это свойство бинарной операции , которая является слабой формой ассоциативности .

Определение

Алгебра подалгебра (или, в более общем плане, магма ) называется степенно-ассоциативной, если , порожденная каким-либо элементом, ассоциативна. Конкретно это означает, что если элемент $x$ проводится операция $*$ само по себе несколько раз, не имеет значения, в каком порядке выполняются операции, например $x*(x*(x*x))=(x*(x*x))*x=(x*x)*(x*x)$.

Примеры и свойства

Каждая ассоциативная алгебра является степенно-ассоциативной, но таковыми являются и все другие альтернативные алгебры (например, октонионы , которые неассоциативны) и даже безальтернативные гибкие алгебры, такие как седенионы и алгебры Окубо . Любая алгебра, элементы которой идемпотентны, также является степенно-ассоциативной.

Возведение в степень любого положительного целого числа может быть определено последовательно, если умножение является степенно-ассоциативным. Например, нет необходимости различать, является ли x ³ должны быть определены как ( xx ) x или как x ( xx ), поскольку они равны. Возведение в степень нуля также может быть определено, если операция имеет единичный элемент , поэтому существование единичных элементов полезно в степенно-ассоциативных контекстах.

Над полем характеристики 0 алгебра степенно-ассоциативна тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию $[x,x,x]=0$ и $[x^{2},x,x]=0$, где $[x,y,z]:=(xy)z-x(yz)$ является ассоциатором (Альберт 1948).

Над бесконечным полем простой характеристики $p>0$ не существует конечного набора тождеств, характеризующего степенную ассоциативность, но существуют бесконечные независимые множества, как описано Гайновым (1970):

• Для $p=2$: $[x,x^{2},x]=0$ и $[x^{n-2},x,x]=0$ для $n=3,2^{k}$ ( $k=2,3...)$
• Для $p=3$: $[x^{n-2},x,x]=0$ для $n=4,5,3^{k}$ ( $k=1,2...)$
• Для $p=5$: $[x^{n-2},x,x]=0$ для $n=3,4,6,5^{k}$ ( $k=1,2...)$
• Для $p>5$: $[x^{n-2},x,x]=0$ для $n=3,4,p^{k}$ ( $k=1,2...)$

степенно-ассоциативных алгебр с единицей справедлив закон замены Для вещественных , который по сути утверждает, что умножение многочленов работает так, как ожидалось. Для f действительный многочлен от x и для любого a в такой алгебре определите f ( a ) как элемент алгебры, полученный в результате очевидной замены a в f . Тогда для любых двух таких полиномов f и g имеем ( fg )( a ) = f ( a ) g ( a ) .

См. также

• Альтернатива

Ссылки

• Альберт, А. Адриан (1948). «Степенно-ассоциативные кольца» . Труды Американского математического общества . 64 : 552–593. дои : 10.2307/1990399 . ISSN   0002-9947 . JSTOR   1990399 . МР   0027750 . Збл   0033.15402 .
• Гаинов А.Т. (1970). «Степенно-ассоциативные алгебры над полем конечной характеристики». Алгебра и логика . 9 (1): 5–19. дои : 10.1007/BF02219846 . ISSN   0002-9947 . МР   0281764 . Збл   0208.04001 .
• Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев, Александр ; Рост, Маркус ; Тиньоль, Жан-Пьер (1998). Книга инволюций . Публикации коллоквиума. Том. 44. С предисловием Жака Титса . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  0-8218-0904-0 . Збл   0955.16001 .
• Окубо, Сусуму (1995). Введение в октонион и другие неассоциативные алгебры в физике . Серия лекций Мемориала Монтролла по математической физике. Том. 2. Издательство Кембриджского университета . п. 17. ISBN  0-521-01792-0 . МР   1356224 . Збл   0841.17001 .
• Шафер, Р.Д. (1995) [1966]. Введение в неассоциативные алгебры . Дувр. стр. 128–148 . ISBN  0-486-68813-5 .